पाइथागोरस प्रमेय किन त्रिभुजों पर लागू होता है? पाइथागोरस प्रमेय: पृष्ठभूमि, साक्ष्य, व्यावहारिक अनुप्रयोग के उदाहरण

जब आपने पहली बार वर्गमूल के बारे में सीखना शुरू किया और अपरिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाए (मूल चिह्न के नीचे एक अज्ञात वाली समानताएं), तो आपको शायद उनके बारे में पहला विचार आया। प्रायोगिक उपयोग. पाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोग पर समस्याओं को हल करने के लिए संख्याओं का वर्गमूल निकालने की क्षमता भी आवश्यक है। यह प्रमेय किसी भी समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई से संबंधित है।

एक समकोण त्रिभुज के पैरों की लंबाई (वे दो भुजाएँ जो समकोण पर अभिसरण करती हैं) को अक्षरों द्वारा निरूपित करें और कर्ण की लंबाई (समकोण के विपरीत स्थित त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा) को निरूपित किया जाएगा पत्र द्वारा। तब संगत लंबाइयाँ निम्नलिखित संबंध से संबंधित हैं:

यह समीकरण आपको उस स्थिति में समकोण त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई ज्ञात करने की अनुमति देता है जब उसकी अन्य दो भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो। इसके अलावा, यह आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि क्या माना गया त्रिभुज समकोण है, बशर्ते कि तीनों पक्षों की लंबाई पहले से ज्ञात हो।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके समस्याओं का समाधान

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोग के लिए निम्नलिखित समस्याओं को हल करेंगे।

तो दिया गया:

1. पैरों में से एक की लंबाई 48 है, कर्ण 80 है।
2. पैर की लंबाई 84 है, कर्ण 91 है।

आइए समाधान पर आते हैं:

क) उपरोक्त समीकरण में आँकड़ों को प्रतिस्थापित करने पर निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं:

48 2 + बी 2 = 80 2

2304 + बी 2 = 6400

बी 2 = 4096

बी= 64 या बी = -64

चूँकि त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई को ऋणात्मक संख्या के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, दूसरा विकल्प स्वतः ही खारिज कर दिया जाता है।

पहली तस्वीर का जवाब: बी = 64.

b) दूसरे त्रिभुज के पैर की लंबाई इसी तरह पाई जाती है:

84 2 + बी 2 = 91 2

7056 + बी 2 = 8281

बी 2 = 1225

बी= 35 या बी = -35

पिछले मामले की तरह, नकारात्मक समाधान को त्याग दिया जाता है।

दूसरी तस्वीर का जवाब: बी = 35

हम दे रहे हैं:

1. त्रिभुज की छोटी भुजाओं की लंबाई क्रमशः 45 और 55 है, और बड़ी भुजाएँ 75 हैं।
2. त्रिभुज की छोटी भुजाओं की लंबाई क्रमशः 28 और 45 है, और बड़ी भुजाएँ 53 हैं।

हम समस्या का समाधान करते हैं:

a) यह जांचना आवश्यक है कि किसी दिए गए त्रिभुज की छोटी भुजाओं की लंबाई के वर्गों का योग बड़े त्रिभुज की लंबाई के वर्ग के बराबर है या नहीं:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

इसलिए, पहला त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज नहीं है।

बी) एक ही ऑपरेशन किया जाता है:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

इसलिए, दूसरा त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

सबसे पहले, निर्देशांक (-2, -3) और (5, -2) वाले बिंदुओं से बने सबसे बड़े खंड की लंबाई पाएं। ऐसा करने के लिए, हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली में बिंदुओं के बीच की दूरी खोजने के लिए प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करते हैं:

इसी तरह, हम निर्देशांक (-2, -3) और (2, 1) वाले बिंदुओं के बीच संलग्न खंड की लंबाई पाते हैं:

अंत में, हम निर्देशांक (2, 1) और (5, -2) वाले बिंदुओं के बीच खंड की लंबाई निर्धारित करते हैं:

चूंकि समानता है:

तो संगत त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

इस प्रकार, हम समस्या का उत्तर तैयार कर सकते हैं: चूंकि सबसे छोटी लंबाई वाली भुजाओं के वर्गों का योग सबसे लंबी लंबाई वाली भुजा के वर्ग के बराबर होता है, अंक एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष होते हैं।

आधार (कड़ाई से क्षैतिज रूप से स्थित), जंब (कड़ाई से लंबवत स्थित) और केबल (तिरछे फैला हुआ) क्रमशः एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग केबल की लंबाई खोजने के लिए किया जा सकता है:

इस प्रकार, केबल की लंबाई लगभग 3.6 मीटर होगी।

दिया गया है: बिंदु R से बिंदु P (त्रिभुज का पैर) की दूरी 24 है, बिंदु R से बिंदु Q (कर्ण) - 26 तक।

इसलिए, हम समस्या को हल करने में वाइटा की मदद करते हैं। चूँकि आकृति में दिखाए गए त्रिभुज की भुजाएँ एक समकोण त्रिभुज बनाने वाली हैं, आप पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके तीसरी भुजा की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं:

अतः तालाब की चौड़ाई 10 मीटर है।

सर्गेई वेलेरिविच

पाइथागोरस प्रमेय: पैरों द्वारा समर्थित वर्गों के क्षेत्रफल का योग ( एऔर बी), कर्ण पर बने वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है ( सी).

ज्यामितीय सूत्रीकरण:

प्रमेय मूल रूप से निम्नानुसार तैयार किया गया था:

बीजीय सूत्रीकरण:

अर्थात्, त्रिभुज के कर्ण की लंबाई को दर्शाते हुए सी, और पैरों की लंबाई एऔर बी :

ए 2 + बी 2 = सी 2

प्रमेय के दोनों सूत्र समान हैं, लेकिन दूसरा सूत्रीकरण अधिक प्राथमिक है, इसमें क्षेत्रफल की अवधारणा की आवश्यकता नहीं है। अर्थात्, क्षेत्रफल के बारे में कुछ भी जाने बिना और एक समकोण त्रिभुज की केवल भुजाओं की लंबाई को मापकर दूसरे कथन को सत्यापित किया जा सकता है।

उलटा पाइथागोरस प्रमेय:

का प्रमाण

पर इस पलइस प्रमेय के 367 प्रमाण वैज्ञानिक साहित्य में दर्ज हैं। संभवतः, पाइथागोरस प्रमेय ही एकमात्र ऐसा प्रमेय है जिसके पास इतनी प्रभावशाली संख्या में प्रमाण हैं। इस तरह की विविधता को ज्यामिति के लिए प्रमेय के मौलिक महत्व से ही समझाया जा सकता है।

बेशक, वैचारिक रूप से, उन सभी को कम संख्या में वर्गों में विभाजित किया जा सकता है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध: क्षेत्र विधि द्वारा प्रमाण, स्वयंसिद्ध और विदेशी प्रमाण (उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणों का उपयोग करके)।

समरूप त्रिभुजों द्वारा

बीजगणितीय सूत्रीकरण का निम्नलिखित प्रमाण सीधे स्वयंसिद्धों से निर्मित प्रमाणों में सबसे सरल है। विशेष रूप से, यह आकृति क्षेत्र की अवधारणा का उपयोग नहीं करता है।

रहने दो एबीसीएक समकोण त्रिभुज है सी. आइए से ऊंचाई बनाएं सीऔर इसके आधार को द्वारा निरूपित करें एच. त्रिकोण आकत्रिभुज के समान एबीसीदो कोनों पर। इसी तरह, त्रिभुज सीबीएचएक जैसा एबीसी. संकेतन का परिचय

हम पाते हैं

बराबर क्या है

जोड़ने पर, हमें मिलता है

क्षेत्र प्रमाण

निम्नलिखित प्रमाण, उनकी स्पष्ट सादगी के बावजूद, इतने सरल नहीं हैं। वे सभी क्षेत्र के गुणों का उपयोग करते हैं, जिसका प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण से अधिक जटिल है।

तुल्यता के माध्यम से सबूत

1. चार समान समकोण त्रिभुजों को व्यवस्थित करें जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है।
2. भुजाओं वाला चतुर्भुज सीएक वर्ग है क्योंकि दो का योग है धारदार कोना 90° और सीधा कोण 180° है।
3. पूरी आकृति का क्षेत्रफल एक तरफ, एक तरफ (a + b) वाले वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है, और दूसरी ओर, चार त्रिभुजों और दो आंतरिक क्षेत्रफलों का योग वर्ग

क्यू.ई.डी.

तुल्यता के माध्यम से साक्ष्य

एक सुरुचिपूर्ण क्रमपरिवर्तन प्रमाण

इन प्रमाणों में से एक का एक उदाहरण दाईं ओर के चित्र में दिखाया गया है, जहाँ कर्ण पर बने वर्ग को क्रमपरिवर्तन द्वारा पैरों पर बने दो वर्गों में परिवर्तित किया जाता है।

यूक्लिड का प्रमाण

यूक्लिड के प्रमाण के लिए आरेखण

यूक्लिड के प्रमाण के लिए चित्रण

यूक्लिड के प्रमाण का विचार इस प्रकार है: आइए यह साबित करने का प्रयास करें कि कर्ण पर बने वर्ग का आधा क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के आधे क्षेत्रों के योग के बराबर है, और फिर के क्षेत्रफल बड़े और दो छोटे वर्ग बराबर हैं।

बाईं ओर के चित्र पर विचार करें। हमने उस पर एक समकोण त्रिभुज के किनारों पर वर्ग बनाए और कर्ण AB के समकोण C के लंबवत से एक किरण s खींची, यह कर्ण पर बने वर्ग ABIK को दो आयतों में काटती है - BHJI और HAKJ , क्रमश। यह पता चला है कि इन आयतों के क्षेत्रफल संबंधित पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के बराबर हैं।

आइए यह साबित करने का प्रयास करें कि वर्ग DECA का क्षेत्रफल आयत AHJK के क्षेत्रफल के बराबर है ऐसा करने के लिए, हम एक सहायक अवलोकन का उपयोग करते हैं: दिए गए समान ऊँचाई और आधार वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल आयत दिए गए आयत के आधे क्षेत्रफल के बराबर है। यह त्रिभुज के क्षेत्रफल को आधार और ऊँचाई के आधे गुणनफल के रूप में परिभाषित करने का परिणाम है। इस अवलोकन से यह पता चलता है कि त्रिभुज ACK का क्षेत्रफल त्रिभुज AHK (नहीं दिखाया गया) के क्षेत्रफल के बराबर है, जो बदले में, आयत AHJK के आधे क्षेत्रफल के बराबर है।

आइए अब हम सिद्ध करें कि त्रिभुज ACK का क्षेत्रफल भी वर्ग DECA के आधे क्षेत्रफल के बराबर होता है। इसके लिए केवल एक चीज जो करने की जरूरत है वह है त्रिभुज एसीके और बीडीए की समानता साबित करना (चूंकि त्रिभुज बीडीए का क्षेत्रफल उपरोक्त संपत्ति द्वारा वर्ग के आधे क्षेत्र के बराबर है)। यह समानता स्पष्ट है, त्रिभुज दो भुजाओं में बराबर होते हैं और उनके बीच का कोण। अर्थात् - AB=AK,AD=AC - कोणों की समानता CAK और BAD को गति की विधि से साबित करना आसान है: आइए त्रिभुज CAK 90 ° वामावर्त घुमाएँ, तो यह स्पष्ट है कि दो त्रिभुजों की संगत भुजाएँ मानी जाती हैं संपाती होगा (इस तथ्य के कारण कि वर्ग के शीर्ष पर कोण 90° है)।

वर्ग BCFG और आयत BHJI के क्षेत्रफलों की समानता के बारे में तर्क पूरी तरह से समान है।

इस प्रकार, हमने सिद्ध किया है कि कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों का योग होता है। इस सबूत के पीछे के विचार को ऊपर दिए गए एनीमेशन के साथ आगे दिखाया गया है।

लियोनार्डो दा विंची का प्रमाण

लियोनार्डो दा विंची का प्रमाण

प्रमाण के मुख्य तत्व समरूपता और गति हैं।

चित्र पर विचार करें, जैसा कि समरूपता से देखा जा सकता है, खंड सीमैंवर्ग काटना एबीएचजे दो समान भागों में (त्रिभुजों के बाद से एबीसीऔर जेएचमैंनिर्माण में समान हैं)। 90 डिग्री वामावर्त घुमाव का उपयोग करते हुए, हम छायांकित आकृतियों की समानता देखते हैं सीएजेमैं और जीडीएबी . अब यह स्पष्ट है कि हमारे द्वारा छायांकित आकृति का क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के आधे क्षेत्रफल और मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के योग के बराबर है। दूसरी ओर, यह कर्ण पर बने वर्ग के आधे क्षेत्रफल के साथ-साथ मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है। प्रूफ़ का अंतिम चरण पाठक पर छोड़ दिया जाता है।

अतिसूक्ष्म विधि द्वारा प्रमाण

विभेदक समीकरणों का उपयोग करते हुए निम्नलिखित प्रमाण को अक्सर प्रसिद्ध अंग्रेजी गणितज्ञ हार्डी के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है, जो 20 वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में रहते थे।

चित्र में दिखाए गए चित्र को ध्यान में रखते हुए और पक्ष में परिवर्तन को देखते हुए ए, हम इनफिनिटिमल साइड इंक्रीमेंट के लिए निम्नलिखित संबंध लिख सकते हैं साथऔर ए(समान त्रिभुजों का उपयोग करके):

अतिसूक्ष्म विधि द्वारा प्रमाण

चरों को अलग करने की विधि का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं

दोनों पैरों की वृद्धि के मामले में कर्ण को बदलने के लिए एक अधिक सामान्य अभिव्यक्ति

इस समीकरण को एकीकृत करने और प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

सी 2 = ए 2 + बी 2 + स्थिर।

इस प्रकार, हम वांछित उत्तर पर पहुँचते हैं

सी 2 = ए 2 + बी 2 .

यह देखना आसान है कि अंतिम सूत्र में द्विघात निर्भरता त्रिभुज की भुजाओं और वृद्धि के बीच रैखिक आनुपातिकता के कारण प्रकट होती है, जबकि योग विभिन्न पैरों की वृद्धि से स्वतंत्र योगदान के कारण होता है।

एक सरल प्रमाण प्राप्त किया जा सकता है यदि हम मानते हैं कि पैरों में से एक में वृद्धि का अनुभव नहीं होता है (इस मामले में, पैर बी) तब समाकलन नियतांक के लिए हमें प्राप्त होता है

विविधताएं और सामान्यीकरण

• यदि, वर्गों के बजाय, पैरों पर अन्य समान आकृतियों का निर्माण किया जाता है, तो पाइथागोरस प्रमेय का निम्नलिखित सामान्यीकरण सत्य है: एक समकोण त्रिभुज में, पैरों पर बनी समान आकृतियों के क्षेत्रफलों का योग कर्ण पर बनी आकृति के क्षेत्रफल के बराबर होता है।विशेष रूप से:
  • पैरों पर बने नियमित त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग कर्ण पर बने एक नियमित त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
  • पैरों पर बने अर्धवृत्तों के क्षेत्रफलों का योग (व्यास के अनुसार) कर्ण पर बने अर्धवृत्त के क्षेत्रफल के बराबर होता है। इस उदाहरण का उपयोग दो वृत्तों के चापों से घिरी और हिप्पोक्रेटिक लूनुला नाम की आकृतियों के गुणों को सिद्ध करने के लिए किया जाता है।

कहानी

चु-पेई 500-200 ई.पू. बाईं ओर शिलालेख है: ऊंचाई और आधार की लंबाई के वर्गों का योग कर्ण की लंबाई का वर्ग है।

प्राचीन चीनी पुस्तक चु-पेई 3, 4 और 5 पक्षों के साथ एक पाइथागोरस त्रिभुज की बात करती है: उसी पुस्तक में, एक चित्र प्रस्तावित किया गया है जो बसखारा के हिंदू ज्यामिति के एक चित्र के साथ मेल खाता है।

कांतोर (गणित का सबसे बड़ा जर्मन इतिहासकार) का मानना ​​है कि समानता 3 + 4 = 5² मिस्रवासियों को 2300 ईसा पूर्व के आसपास पहले से ही ज्ञात थी। ई।, राजा अमेनेमेट I के समय के दौरान (बर्लिन संग्रहालय के पेपिरस 6619 के अनुसार)। कैंटर के अनुसार, हार्पडोनैप्स, या "स्ट्रिंगर्स", ने 3, 4 और 5 भुजाओं वाले समकोण त्रिभुजों का उपयोग करके समकोण बनाया।

उनके निर्माण की विधि को पुन: पेश करना बहुत आसान है। 12 मीटर लंबी एक रस्सी लें और उसे 3 मीटर की दूरी पर रंगीन पट्टी के साथ बांध दें। एक छोर से और दूसरे से 4 मीटर। 3 और 4 मीटर लंबी भुजाओं के बीच एक समकोण बनाया जाएगा। हार्पीडोनैप्ट्स पर इस बात पर आपत्ति हो सकती है कि यदि कोई सभी बढ़ई द्वारा उपयोग किए जाने वाले लकड़ी के वर्ग का उपयोग करता है, तो उनके निर्माण का तरीका बेमानी हो जाता है। दरअसल, मिस्र के चित्र ज्ञात हैं जिनमें ऐसा उपकरण पाया जाता है, उदाहरण के लिए, एक बढ़ईगीरी कार्यशाला का चित्रण करने वाले चित्र।

बेबीलोनियों के बीच पाइथागोरस प्रमेय के बारे में कुछ अधिक जाना जाता है। एक पाठ में हम्मुराबी के समय का, यानी 2000 ईसा पूर्व का। ई।, एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की अनुमानित गणना दी गई है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मेसोपोटामिया में वे कम से कम कुछ मामलों में समकोण त्रिभुजों के साथ गणना करने में सक्षम थे। एक ओर, मिस्र और बेबीलोन के गणित के बारे में ज्ञान के वर्तमान स्तर के आधार पर, और दूसरी ओर, ग्रीक स्रोतों के एक महत्वपूर्ण अध्ययन पर, वैन डेर वेर्डन (एक डच गणितज्ञ) ने निम्नलिखित निष्कर्ष निकाला:

साहित्य

रूसी में

• स्कोपेट्स Z. A.ज्यामितीय लघुचित्र। एम., 1990
• येलेंस्की श.पाइथागोरस के नक्शेकदम पर चलते हुए। एम., 1961
• वैन डेर वेर्डन बी. एल.जागरण विज्ञान। प्राचीन मिस्र, बेबीलोन और यूनान का गणित। एम., 1959
• ग्लेज़र जी.आई.स्कूल में गणित का इतिहास। एम., 1982
• डब्ल्यू. लिट्ज़मैन, "द पाइथागोरस प्रमेय" एम., 1960.
  • पाइथागोरस प्रमेय के बारे में एक साइट जिसमें बड़ी संख्या में सबूत हैं, सामग्री डब्ल्यू लिट्ज़मैन द्वारा पुस्तक से ली गई है, बड़ी संख्या में चित्र अलग ग्राफिक फाइलों के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं।
• डी.वी. एनोसोव की पुस्तक से पाइथागोरस प्रमेय और पाइथागोरस ट्रिपल अध्याय "गणित पर एक नज़र और इससे कुछ"
• पाइथागोरस प्रमेय और इसके प्रमाण के तरीकों पर जी. ग्लेसर, रूसी शिक्षा अकादमी, मास्को के शिक्षाविद

अंग्रेजी में

• वुल्फराममैथवर्ल्ड में पाइथागोरस प्रमेय
• कट-द-नॉट, पाइथागोरस प्रमेय पर खंड, लगभग 70 प्रमाण और व्यापक अतिरिक्त जानकारी (इंग्लैंड।)

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीके

9 "ए" कक्षा के छात्र

एमओयू माध्यमिक विद्यालय 8

सुपरवाइज़र:

गणित के शिक्षक,

एमओयू माध्यमिक विद्यालय 8

कला। नया क्रिसमस

क्रास्नोडार क्षेत्र।

कला। नया क्रिसमस

टिप्पणी।

पाइथागोरस प्रमेय को ज्यामिति के पाठ्यक्रम में सबसे महत्वपूर्ण माना जाता है और यह ध्यान देने योग्य है। यह कई ज्यामितीय समस्याओं को हल करने का आधार है, भविष्य में ज्यामिति के सैद्धांतिक और व्यावहारिक पाठ्यक्रम के अध्ययन का आधार है। प्रमेय अपनी उपस्थिति और सबूत के तरीकों से संबंधित सबसे समृद्ध ऐतिहासिक सामग्री से घिरा हुआ है। ज्यामिति के विकास के इतिहास का अध्ययन इस विषय के लिए एक प्रेम पैदा करता है, संज्ञानात्मक रुचि, सामान्य संस्कृति और रचनात्मकता के विकास में योगदान देता है, और अनुसंधान कौशल भी विकसित करता है।

खोज गतिविधि के परिणामस्वरूप, कार्य का लक्ष्य प्राप्त किया गया था, जो पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण पर ज्ञान को फिर से भरना और सामान्य बनाना है। खोजने और समीक्षा करने में कामयाब रहे विभिन्न तरीकेएक स्कूल पाठ्यपुस्तक के पन्नों से परे जाकर इस विषय पर साक्ष्य और ज्ञान को गहरा करना।

एकत्रित सामग्री और भी अधिक आश्वस्त करती है कि पाइथागोरस प्रमेय ज्यामिति का महान प्रमेय है और इसका महान सैद्धांतिक और व्यावहारिक महत्व है।

परिचय। ऐतिहासिक पृष्ठभूमि 5 मुख्य भाग 8

3. निष्कर्ष 19

4. प्रयुक्त साहित्य 20
1। परिचय। इतिहास संदर्भ।

सत्य का सार यह है कि यह हमारे लिए हमेशा के लिए है,

जब कम से कम एक बार उसकी अंतर्दृष्टि में हम प्रकाश देखते हैं,

और पाइथागोरस प्रमेय इतने वर्षों के बाद

हमारे लिए, उसके लिए, यह निर्विवाद, त्रुटिहीन है।

जश्न मनाने के लिए, पाइथागोरस ने देवताओं को एक प्रतिज्ञा दी थी:

अनंत ज्ञान को छूने के लिए,

उस ने सनातन बैलों का धन्यवाद करके सौ बैल बलि किए;

इसके बाद उन्होंने पीड़िता के लिए प्रार्थना और स्तुति की।

तब से, बैल, जब वे सूंघते हैं, धक्का देते हैं,

जो लोगों को फिर से नए सत्य की ओर ले जाता है,

वे दहाड़ते हैं, इसलिए सुनने के लिए पेशाब नहीं है,

ऐसे पाइथागोरस ने उनमें हमेशा के लिए आतंक पैदा कर दिया।

नई सच्चाई का विरोध करने के लिए शक्तिहीन बैल,

क्या बचा है? - बस अपनी आँखें बंद करो, दहाड़ो, कांप।

यह ज्ञात नहीं है कि पाइथागोरस ने अपने प्रमेय को कैसे सिद्ध किया। यह निश्चित है कि उसने इसे मिस्र के विज्ञान के प्रबल प्रभाव में खोजा था। विशेष मामलापाइथागोरस प्रमेय - 3, 4 और 5 भुजाओं वाले त्रिभुज के गुण - पाइथागोरस के जन्म से बहुत पहले पिरामिड बनाने वालों के लिए जाने जाते थे, जबकि उन्होंने स्वयं मिस्र के पुजारियों के साथ 20 से अधिक वर्षों तक अध्ययन किया था। एक किंवदंती है जो कहती है कि, अपने प्रसिद्ध प्रमेय को साबित करने के बाद, पाइथागोरस ने देवताओं को एक बैल की बलि दी, और अन्य स्रोतों के अनुसार, यहां तक ​​​​कि 100 बैल भी। हालाँकि, यह पाइथागोरस के नैतिक और धार्मिक विचारों के बारे में जानकारी के विपरीत है। साहित्यिक स्रोतों में, कोई यह पढ़ सकता है कि उसने "जानवरों को मारने से भी मना किया था, और इससे भी ज्यादा उन्हें खिलाना, क्योंकि जानवरों में हमारी तरह एक आत्मा होती है।" पाइथागोरस केवल शहद, रोटी, सब्जियां और कभी-कभी मछली खाते थे। इस सब के संबंध में, निम्नलिखित प्रविष्टि को अधिक प्रशंसनीय माना जा सकता है: "... और यहां तक ​​​​कि जब उन्हें पता चला कि एक समकोण त्रिभुज में कर्ण पैरों से मेल खाता है, तो उन्होंने गेहूं के आटे से बने एक बैल की बलि दी।"

पाइथागोरस प्रमेय की लोकप्रियता इतनी अधिक है कि इसके प्रमाण कथा साहित्य में भी मिलते हैं, उदाहरण के लिए, प्रसिद्ध अंग्रेजी लेखक हक्सले "यंग आर्किमिडीज" की कहानी में। प्लेटो के संवाद मेनो में एक ही सबूत, लेकिन समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के विशेष मामले के लिए दिया गया है।

परी कथा घर।

"दूर, दूर, जहां हवाई जहाज भी नहीं उड़ते, वह देश ज्यामिति का देश है। इस असामान्य देश में एक अद्भुत शहर था - तेओरम शहर। एक दिन इस शहर में कर्ण नाम की एक खूबसूरत लड़की आई। उसने एक कमरा लेने की कोशिश की, लेकिन उसने जहां भी आवेदन किया, उसे हर जगह मना कर दिया गया। अंत में वह रिकी हाउस के पास पहुंची और दस्तक दी। वह एक ऐसे व्यक्ति द्वारा खोली गई जो खुद को समकोण कहता था, और उसने कर्ण को अपने साथ रहने के लिए आमंत्रित किया। कर्ण उस घर में रहता था जहाँ समकोण और उसके दो छोटे बेटे, केट नाम के, रहते थे। तब से, राइट एंगल हाउस में जीवन एक नए तरीके से बदल गया है। कर्ण ने खिड़की में फूल लगाए और सामने के बगीचे में लाल गुलाब बिखेर दिए। घर ने एक समकोण त्रिभुज का रूप ले लिया। दोनों पैर कर्ण को बहुत पसंद करते थे और उसे हमेशा के लिए अपने घर में रहने के लिए कहते थे। शाम को, यह मिलनसार परिवार परिवार की मेज पर इकट्ठा होता है। कभी-कभी राइट एंगल अपने बच्चों के साथ लुका-छिपी खेलता है। अक्सर उसे देखना पड़ता है, और कर्ण इतनी कुशलता से छिप जाता है कि उसे खोजना बहुत मुश्किल हो सकता है। एक बार एक खेल के दौरान, समकोण ने एक दिलचस्प संपत्ति देखी: यदि वह पैरों को खोजने का प्रबंधन करता है, तो कर्ण को खोजना मुश्किल नहीं है। तो समकोण इस पैटर्न का उपयोग करता है, मुझे कहना होगा, बहुत सफलतापूर्वक। पाइथागोरस प्रमेय इस समकोण त्रिभुज के गुण पर आधारित है।

(ए। ओकुनेव की पुस्तक से "पाठ के लिए धन्यवाद, बच्चों")।

प्रमेय का एक चंचल सूत्रीकरण:

अगर हमें एक त्रिभुज दिया जाता है

और, इसके अलावा, एक समकोण के साथ,

वह कर्ण का वर्ग है

हम हमेशा आसानी से पा सकते हैं:

हम पैरों को एक वर्ग में बनाते हैं,

हम डिग्री का योग पाते हैं -

और इतने आसान तरीके से

हम परिणाम पर आएंगे।

10वीं कक्षा में बीजगणित और विश्लेषण और ज्यामिति की शुरुआत का अध्ययन करते हुए, मुझे विश्वास हो गया था कि 8वीं कक्षा में मानी जाने वाली पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने की विधि के अलावा, इसे सिद्ध करने के अन्य तरीके भी हैं। मैं उन्हें आपके विचारार्थ प्रस्तुत करता हूँ।
2. मुख्य भाग।

प्रमेय। समकोण त्रिभुज में वर्ग

कर्ण पैरों के वर्गों के योग के बराबर है।

1 रास्ता।

बहुभुजों के क्षेत्रफलों के गुणों का उपयोग करते हुए, हम एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और टांगों के बीच एक उल्लेखनीय संबंध स्थापित करते हैं।

प्रमाण।

ए, इनऔर कर्ण साथ(चित्र 1, ए)।

आइए साबित करें कि सी²=ए²+बी².

प्रमाण।

हम त्रिभुज को एक भुजा के साथ एक वर्ग में पूरा करते हैं ए + बीजैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 1बी. इस वर्ग का क्षेत्रफल S (a + b)² है। दूसरी ओर, यह वर्ग चार समान समकोण त्रिभुजों से बना है, जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल ½ है ऐडवर्ड्स, और एक भुजा वाला वर्ग साथ,तो = 4 * ½ एवी + एस² = 2एवी + एस².

इस प्रकार,

(ए + बी)² = 2 एवी + एस²,

सी²=ए²+बी².

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
2 रास्ते।

"समान त्रिभुज" विषय का अध्ययन करने के बाद, मुझे पता चला कि आप पायथागॉरियन प्रमेय के प्रमाण के लिए त्रिभुजों की समानता को लागू कर सकते हैं। अर्थात्, मैंने इस कथन का उपयोग किया है कि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण के लिए आनुपातिक है और कर्ण का खंड पैर और समकोण के शीर्ष से खींची गई ऊंचाई के बीच संलग्न है।

एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें जिसमें एक समकोण C है, CD ऊँचाई है (चित्र 2)। आइए साबित करें कि एसी+ SW= एबी² .

प्रमाण।

एक समकोण त्रिभुज के पैर के बारे में कथन के आधार पर:

एसी =, सीबी =।

हम परिणामी समानता को वर्ग और जोड़ते हैं:

एसी² = एबी * एडी, सीबी² = एबी * डीबी;

एसी² + सीबी² = एबी * (एडी + डीबी), जहां एडी + डीबी = एबी, तो

एसी² + सीबी² = एबी * एबी,

एसी² + सीबी² = एबी²।

सबूत पूरा हो गया है।
3 रास्ता।

एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की कोज्या की परिभाषा को पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण पर लागू किया जा सकता है। अंजीर पर विचार करें। 3.

प्रमाण:

मान लीजिए ABC एक समकोण C वाला एक समकोण त्रिभुज है। समकोण C के शीर्ष से एक ऊँचाई CD खींचिए।

कोण की कोज्या की परिभाषा के अनुसार:

कॉस ए \u003d एडी / एसी \u003d एसी / एबी। अत: AB * AD = AC²

वैसे ही,

कॉस बी \u003d बीडी / बीसी \u003d बीसी / एबी।

इसलिए एबी * बीडी \u003d बीसी²।

परिणामी समानता पदों को पदों से जोड़ने पर और यह देखते हुए कि AD + DВ = AB, हम प्राप्त करते हैं:

एसी+ सुन² \u003d एबी (एडी + डीबी) \u003d अब²

सबूत पूरा हो गया है।
4 तरफा।

"एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच अनुपात" विषय का अध्ययन करने के बाद, मुझे लगता है कि पाइथागोरस प्रमेय को दूसरे तरीके से सिद्ध किया जा सकता है।

पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें ए, इनऔर कर्ण साथ. (चित्र 4)।

आइए साबित करें कि सी²=ए²+बी²।

प्रमाण।

पाप बी =एसी ; क्योंकि बी =जैसा , फिर, परिणामी समानता को चुकता करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

पाप बी = in²/s²; कोस² पर\u003d ए² / एस²।

उन्हें जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:

पाप पर+ कोस बी = v² / s² + a² / s², जहाँ sin² पर+ कोस बी = 1,

1 \u003d (v² + a²) / s², इसलिए,

सी² = ए² + बी²।

सबूत पूरा हो गया है।

5 रास्ता।

यह प्रमाण पैरों पर बने वर्गों को काटने पर आधारित है (चित्र 5) और परिणामी भागों को कर्ण पर बने वर्ग पर ढेर करना।

6 रास्ता।

कैथीट पर प्रमाण के लिए सूरजइमारत बीसीडी एबीसी(चित्र 6)। हम जानते हैं कि समान आकृतियों के क्षेत्रफल उनके समान रैखिक आयामों के वर्गों के रूप में संबंधित हैं:

पहली समानता से दूसरे को घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं

c2 = a2 + ख2.

सबूत पूरा हो गया है।

7 रास्ता।

दिया गया(चित्र 7):

एबीएस,= 90° , सूरज= ए, एसी =बी, एबी = सी।

सिद्ध करना:c2 = a2 +बी2.

प्रमाण।

पैर चलो बी ए।आइए सेगमेंट जारी रखें दपप्रति बिंदु परऔर एक त्रिभुज बनाएं बीएमडीताकि अंक एमऔर लेकिनएक सीधी रेखा के एक तरफ लेटें सीडीके अतिरिक्त, बी.डी.=बी, बीडीएम= 90°, डीएम= ए, तब बीएमडी= एबीसीदो तरफ और उनके बीच का कोण। अंक ए और एमखंडों द्वारा कनेक्ट करें हूँ।हमारे पास है मोहम्मद सीडीऔर एसी सीडी,मतलब सीधा एसीएक सीधी रेखा के समानांतर एमडीजैसा मोहम्मद< АС, फिर सीधे सीडीऔर हूँसमानांतर नहीं हैं। इसलिए, एएमडीसी-आयताकार ट्रेपोजॉइड।

समकोण त्रिभुजों में ABC और बीएमडी 1 + 2 = 90° और 3 + 4 = 90°, लेकिन चूंकि = =, तो 3 + 2 = 90°; तब एवीएम=180° - 90° = 90°। यह पता चला है कि समलम्बाकार एएमडीसीतीन गैर-अतिव्यापी समकोण त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है, फिर क्षेत्र स्वयंसिद्धों द्वारा

(ए+बी)(ए+बी)

असमानता के सभी पदों को से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

एबी + सी 2 + एबी = (ए +बी) , 2 अब+ सी2 = a2+ 2एबी+ बी 2,

c2 = a2 + ख2.

सबूत पूरा हो गया है।

8 रास्ता।

यह विधि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और टांगों पर आधारित है एबीसी.वह संबंधित वर्ग बनाता है और साबित करता है कि कर्ण पर बना वर्ग पैरों पर बने वर्गों के योग के बराबर है (चित्र 8)।

प्रमाण।

1) डीबीसी= एफ बी ए= 90°;

डीबीसी+ एबीसी= एफबीए+ एबीसी,साधन, एफबीसी = डीबीए।

इस प्रकार, एफबीसी=अब्द(दो तरफ और उनके बीच का कोण)।

2) , जहाँ AL DE, क्योंकि BD एक उभयनिष्ठ आधार है, डीएलकुल ऊंचाई।

3) , चूँकि FB एक आधार है, अब- कुल ऊंचाई।

4)

5) इसी प्रकार, कोई यह सिद्ध कर सकता है कि

6) पद दर पद जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:

, BC2 = AB2 + AC2 . सबूत पूरा हो गया है।

9 रास्ता।

प्रमाण।

1) चलो एबीडीई- एक वर्ग (चित्र 9), जिसकी भुजा समकोण त्रिभुज के कर्ण के बराबर है एबीसी (एबी= सी, बीसी = ए, एसी =बी)।

2) चलो डीके ईसा पूर्वऔर डीके = सूर्य,चूँकि 1 + 2 = 90° (एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण के रूप में), 3 + 2 = 90° (एक वर्ग के कोण के रूप में), अब= बीडी(वर्ग के किनारे)।

माध्यम, एबीसी= भडक(कर्ण और न्यून कोण से)।

3) चलो एली डीसी, एएम ईएल.यह आसानी से सिद्ध किया जा सकता है कि ABC = BDK = DEL = EAM (पैरों के साथ .) एऔर बी)।फिर केएस= से। मी= एमएल= लालकृष्ण= ए -बी।

4) एसकेबी = 4एस+एसकेएलएमसी= 2ab+ (ए-बी),साथ2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

सबूत पूरा हो गया है।

10 रास्ता।

सबूत एक आकृति पर किया जा सकता है, जिसे मजाक में "पायथागॉरियन पैंट" कहा जाता है (चित्र 10)। इसका विचार पैरों पर बने वर्गों को समान त्रिभुजों में बदलना है, जो एक साथ कर्ण का वर्ग बनाते हैं।

एबीसीशिफ्ट, जैसा कि तीर द्वारा दिखाया गया है, और यह स्थिति लेता है केडीएन.बाकी का आंकड़ा एकेडीसीबीएक वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर एकेडीसी-यह एक समांतर चतुर्भुज है एकेएनबी.

एक समांतर चतुर्भुज मॉडल बनाया एकेएनबी. हम काम की सामग्री में स्केच के अनुसार समांतर चतुर्भुज को स्थानांतरित करते हैं। एक समांतर चतुर्भुज का एक समान त्रिभुज में परिवर्तन दिखाने के लिए, विद्यार्थियों के सामने, हमने मॉडल पर एक त्रिभुज को काट दिया और उसे नीचे खिसका दिया। तो वर्ग का क्षेत्रफल एकेडीसीआयत के क्षेत्रफल के बराबर है। इसी तरह, हम एक वर्ग के क्षेत्रफल को एक आयत के क्षेत्रफल में बदलते हैं।

आइए एक पैर पर बने वर्ग के लिए एक परिवर्तन करें ए(चित्र 11, ए):

a) वर्ग एक समान आकार के समांतर चतुर्भुज में बदल जाता है (चित्र 11.6):

बी) समांतर चतुर्भुज एक चौथाई मोड़ घुमाता है (चित्र 12):

ग) समांतर चतुर्भुज एक समान आकार के आयत में बदल जाता है (चित्र 13): 11 रास्ता।

प्रमाण:

पीसीएल-सीधा (चित्र 14);

केएलओए= एसीपीएफ= एसीईडी= ए2;

एलजीबीओ= सीवीएमआर =सीबीएनक्यू= बी 2;

एकेजीबी= एक्लो +एलजीबीओ= c2;

c2 = a2 + ख2.

सबूत खत्म .

12 रास्ता।

चावल। 15 पाइथागोरस प्रमेय का एक और मूल प्रमाण दिखाता है।

यहाँ: समकोण C वाला त्रिभुज ABC; रेखा खंड BF केसीधा दपऔर इसके बराबर, खंड होनासीधा अबऔर इसके बराबर, खंड विज्ञापनसीधा एसीऔर उसके बराबर; अंक एफ, सी,डीएक सीधी रेखा से संबंधित हैं; चतुर्भुजों एडीएफबीऔर एसीबीईसमान हैं क्योंकि एबीएफ = ईसीबी;त्रिभुज एडीएफऔर ऐसबराबर हैं; हम दोनों समान चतुर्भुजों में से उनके लिए एक उभयनिष्ठ त्रिभुज घटाते हैं एबीसी,हम पाते हैं

, c2 = a2 + ख2.

सबूत पूरा हो गया है।

13 रास्ता।

इस समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल, एक ओर, के बराबर है , दूसरे के साथ, ,

3. निष्कर्ष

खोज गतिविधि के परिणामस्वरूप, कार्य का लक्ष्य प्राप्त किया गया था, जो पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण पर ज्ञान को फिर से भरना और सामान्य बनाना है। इसे साबित करने के विभिन्न तरीकों को खोजना और उन पर विचार करना और स्कूल की पाठ्यपुस्तक के पन्नों से परे जाकर विषय पर ज्ञान को गहरा करना संभव था।

मैंने जो सामग्री एकत्र की है वह और भी अधिक आश्वस्त करने वाली है कि पाइथागोरस प्रमेय ज्यामिति का महान प्रमेय है और महान सैद्धांतिक और व्यावहारिक महत्व का है। अंत में, मैं कहना चाहूंगा: त्रिगुण के पाइथागोरस प्रमेय की लोकप्रियता का कारण सुंदरता, सरलता और महत्व है!

4. साहित्य का इस्तेमाल किया।

1. मनोरंजक बीजगणित। . मॉस्को "नौका", 1978।

2. "सितंबर का पहला", 24/2001 समाचार पत्र के लिए साप्ताहिक शैक्षिक और पद्धतिगत पूरक।

3. ज्यामिति 7-9। और आदि।

4. ज्यामिति 7-9। और आदि।

सुनिश्चित करें कि आपको दिया गया त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है, क्योंकि पाइथागोरस प्रमेय केवल समकोण त्रिभुजों पर लागू होता है। समकोण त्रिभुज में, तीन कोणों में से एक हमेशा 90 डिग्री का होता है।

• एक समकोण त्रिभुज में एक समकोण वक्र के बजाय एक वर्ग द्वारा इंगित किया जाता है, जो गैर-समकोण का प्रतिनिधित्व करता है।

त्रिभुज के किनारों को लेबल करें।पैरों को "ए" और "बी" के रूप में नामित करें (पैर समकोण पर प्रतिच्छेद करने वाले पक्ष हैं), और कर्ण को "सी" के रूप में नामित करें (कर्ण एक समकोण त्रिभुज का सबसे बड़ा पक्ष है जो समकोण के विपरीत स्थित है)।

निर्धारित करें कि आप त्रिभुज के किस पक्ष को खोजना चाहते हैं।पाइथागोरस प्रमेय आपको एक समकोण त्रिभुज की कोई भी भुजा खोजने की अनुमति देता है (यदि अन्य दो भुजाएँ ज्ञात हों)। निर्धारित करें कि आपको कौन सा पक्ष (ए, बी, सी) खोजना है।

• उदाहरण के लिए, 5 के बराबर एक कर्ण दिया गया है, और 3 के बराबर एक पैर दिया गया है। इस मामले में, आपको दूसरा पैर खोजने की जरूरत है। हम इस उदाहरण पर बाद में लौटेंगे।
• यदि अन्य दो पक्ष अज्ञात हैं, तो पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने में सक्षम होने के लिए अज्ञात पक्षों में से एक की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, मूल त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करें (यदि आपको एक गैर-समकोण का मान दिया गया है)।

आपको दिए गए मानों (या आपके द्वारा पाए गए मान) के सूत्र में 2 + b 2 \u003d c 2 को प्रतिस्थापित करें।याद रखें कि ए और बी पैर हैं, और सी कर्ण है।

• हमारे उदाहरण में, लिखें: 3² + b² = 5²।

प्रत्येक ज्ञात पक्ष को वर्गाकार करें।या डिग्री छोड़ दें - आप बाद में संख्याओं का वर्ग कर सकते हैं।

• हमारे उदाहरण में, लिखिए: 9 + b² = 25।

अज्ञात पक्ष को समीकरण के एक तरफ अलग करें।ऐसा करने के लिए, ज्ञात मानों को समीकरण के दूसरी तरफ स्थानांतरित करें। यदि आप कर्ण पाते हैं, तो पाइथागोरस प्रमेय में यह पहले से ही समीकरण के एक तरफ अलग है (इसलिए कुछ भी करने की आवश्यकता नहीं है)।

• हमारे उदाहरण में, 9 को . पर ले जाएँ दाईं ओरअज्ञात b² को अलग करने के लिए समीकरण। आपको b² = 16 मिलेगा।

समीकरण के एक तरफ अज्ञात (वर्ग) और दूसरी तरफ एक अवरोधन (संख्या) होने के बाद समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लें।

• हमारे उदाहरण में, b² = 16. समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लें और b = 4 प्राप्त करें। तो दूसरा चरण 4 है।

पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें रोजमर्रा की जिंदगीक्योंकि इसे व्यावहारिक स्थितियों की एक विस्तृत श्रृंखला में लागू किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, रोजमर्रा की जिंदगी में समकोण त्रिभुजों को पहचानना सीखें - ऐसी किसी भी स्थिति में जिसमें दो वस्तुएँ (या रेखाएँ) समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं, और एक तीसरी वस्तु (या रेखा) पहली दो वस्तुओं (या) के शीर्षों को (तिरछे) जोड़ती है। रेखाएं), आप अज्ञात पक्ष को खोजने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं (यदि अन्य दो पक्ष ज्ञात हैं)।

• उदाहरण: एक इमारत के खिलाफ झुकी हुई सीढ़ी को देखते हुए। सीढ़ियों के नीचे दीवार के आधार से 5 मीटर की दूरी पर है। सबसे ऊपर का हिस्सासीढ़ियाँ जमीन से (दीवार के ऊपर) 20 मीटर की दूरी पर स्थित हैं। सीढ़ी की लंबाई क्या है?
  • "दीवार के आधार से 5 मीटर" का अर्थ है कि a = 5; "जमीन से 20 मीटर की दूरी पर है" का अर्थ है कि b = 20 (अर्थात, आपको एक समकोण त्रिभुज के दो पैर दिए गए हैं, क्योंकि भवन की दीवार और पृथ्वी की सतह समकोण पर प्रतिच्छेद करती है)। सीढ़ी की लंबाई कर्ण की लंबाई है, जो अज्ञात है।
    • ए² + बी² = सी²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = सी²
    • 425 = सी²
    • सी = √425
    • सी = 20.6। इस प्रकार, सीढ़ियों की अनुमानित लंबाई 20.6 मीटर है।

पाइथागोरस प्रमेय

अन्य प्रमेयों और समस्याओं का भाग्य अजीब है ... कोई कैसे समझा सकता है, उदाहरण के लिए, गणितज्ञों और गणितज्ञों की ओर से पाइथागोरस प्रमेय पर इस तरह का असाधारण ध्यान? उनमें से कई पहले से ही ज्ञात प्रमाणों से संतुष्ट क्यों नहीं थे, लेकिन अपने स्वयं के पाए गए, पच्चीस तुलनात्मक रूप से देखने योग्य सदियों में प्रमाणों की संख्या कई सौ तक पहुंच गई?
जब पाइथागोरस प्रमेय की बात आती है, तो असामान्य इसके नाम से शुरू होता है। ऐसा माना जाता है कि यह किसी भी तरह से पाइथागोरस नहीं था जिसने इसे पहली बार तैयार किया था। यह भी संदेह है कि उसने उसे सबूत दिया। यदि पाइथागोरस एक वास्तविक व्यक्ति है (कुछ इस पर भी संदेह करते हैं!), तो वह सबसे अधिक संभावना 6 वीं -5 वीं शताब्दी में रहता था। ईसा पूर्व इ। उन्होंने खुद कुछ नहीं लिखा, उन्होंने खुद को एक दार्शनिक कहा, जिसका अर्थ है, उनकी समझ में, "ज्ञान की आकांक्षा", पाइथागोरस संघ की स्थापना की, जिसके सदस्य संगीत, जिमनास्टिक, गणित, भौतिकी और खगोल विज्ञान में लगे हुए थे। जाहिरा तौर पर, वह एक महान वक्ता भी थे, जैसा कि क्रोटन शहर में उनके रहने से संबंधित निम्नलिखित किंवदंती से स्पष्ट है: युवकों के कर्तव्यों को रेखांकित किया, कि शहर के बुजुर्गों ने उन्हें बिना पढ़ाए नहीं छोड़ने के लिए कहा। इस दूसरे भाषण में, उन्होंने परिवार की नींव के रूप में नैतिकता की वैधता और शुद्धता की ओर इशारा किया; अगले दो में उन्होंने बच्चों और महिलाओं को संबोधित किया। अंतिम भाषण का परिणाम, जिसमें उन्होंने विशेष रूप से विलासिता की निंदा की, यह था कि हेरा के मंदिर में हजारों कीमती पोशाकें पहुंचाई गईं, क्योंकि अब एक भी महिला ने खुद को सड़क पर दिखाने की हिम्मत नहीं की ... ”फिर भी, वापस हमारे युग की दूसरी शताब्दी में, यानी 700 वर्षों के बाद, वे पूरी तरह से जीवित रहे और काम किया सच्चे लोग, उत्कृष्ट वैज्ञानिक जो पाइथागोरस संघ से स्पष्ट रूप से प्रभावित थे और पौराणिक कथाओं के अनुसार, पाइथागोरस ने जो बनाया, उसके लिए बहुत सम्मान के साथ।
यह भी निस्संदेह है कि प्रमेय में रुचि इस तथ्य के कारण है कि यह गणित में केंद्रीय स्थानों में से एक पर कब्जा कर लेता है, और उन सबूतों के लेखकों की संतुष्टि के कारण जिन्होंने उन कठिनाइयों पर काबू पा लिया, जिनके बारे में रोमन कवि क्विंटस होरेस फ्लैकस , जो हमारे युग से पहले रहते थे, ने कहा: "प्रसिद्ध तथ्यों को व्यक्त करना मुश्किल है"।
प्रारंभ में, प्रमेय ने कर्ण पर बने वर्गों के क्षेत्रों और एक समकोण त्रिभुज के पैरों के बीच संबंध स्थापित किया:
.
बीजीय सूत्रीकरण:
एक समकोण त्रिभुज में कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है।
अर्थात्, c के माध्यम से त्रिभुज के कर्ण की लंबाई, और a और b के माध्यम से पैरों की लंबाई: a 2 + b 2 \u003d c 2 को दर्शाते हुए। प्रमेय के दोनों सूत्र समान हैं, लेकिन दूसरा सूत्रीकरण अधिक प्राथमिक है, इसमें क्षेत्रफल की अवधारणा की आवश्यकता नहीं है। अर्थात्, क्षेत्रफल के बारे में कुछ भी जाने बिना और एक समकोण त्रिभुज की केवल भुजाओं की लंबाई को मापकर दूसरे कथन को सत्यापित किया जा सकता है।
उलटा पाइथागोरस प्रमेय। सकारात्मक संख्याओं के किसी भी ट्रिपल के लिए a, b और c ऐसा है कि
a 2 + b 2 = c 2 , पैरों a और b और कर्ण c के साथ एक समकोण त्रिभुज है।

का प्रमाण

फिलहाल इस प्रमेय के 367 प्रमाण वैज्ञानिक साहित्य में दर्ज हैं। संभवतः, पाइथागोरस प्रमेय ही एकमात्र ऐसा प्रमेय है जिसके पास इतनी प्रभावशाली संख्या में प्रमाण हैं। इस तरह की विविधता को ज्यामिति के लिए प्रमेय के मौलिक महत्व से ही समझाया जा सकता है।
बेशक, वैचारिक रूप से, उन सभी को कम संख्या में वर्गों में विभाजित किया जा सकता है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध: क्षेत्र विधि द्वारा प्रमाण, स्वयंसिद्ध और विदेशी प्रमाण (उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणों का उपयोग करके)।

समरूप त्रिभुजों द्वारा

बीजगणितीय सूत्रीकरण का निम्नलिखित प्रमाण सीधे स्वयंसिद्धों से निर्मित प्रमाणों में सबसे सरल है। विशेष रूप से, यह एक आकृति के क्षेत्र की अवधारणा का उपयोग नहीं करता है।
मान लीजिए कि ABC समकोण C वाला एक समकोण त्रिभुज है। C से एक ऊँचाई खींचिए और उसके आधार को H से निरूपित कीजिए। त्रिभुज ACH त्रिभुज ABC के दो कोणों में समरूप है।
इसी प्रकार, त्रिभुज CBH, ABC के समरूप है। संकेतन का परिचय

हम पाते हैं

बराबर क्या है

जोड़ने पर, हमें मिलता है

या

क्षेत्र प्रमाण

निम्नलिखित प्रमाण, उनकी स्पष्ट सादगी के बावजूद, इतने सरल नहीं हैं। वे सभी क्षेत्र के गुणों का उपयोग करते हैं, जिसका प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण से अधिक जटिल है।

तुल्यता के माध्यम से सबूत

1. आकृति में दर्शाए अनुसार चार समान समकोण त्रिभुजों को व्यवस्थित कीजिए।
2. भुजा c वाला एक चतुर्भुज एक वर्ग है, क्योंकि दो न्यून कोणों का योग 90° और सरल कोण 180° होता है।
3. पूरी आकृति का क्षेत्रफल बराबर होता है, एक ओर एक भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल (a + b), और दूसरी ओर, चार त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग और भीतरी चौक।



क्यू.ई.डी.

तुल्यता के माध्यम से साक्ष्य

इन प्रमाणों में से एक का एक उदाहरण दाईं ओर के चित्र में दिखाया गया है, जहाँ कर्ण पर बने वर्ग को क्रमपरिवर्तन द्वारा पैरों पर बने दो वर्गों में परिवर्तित किया जाता है।

यूक्लिड का प्रमाण

यूक्लिड के प्रमाण का विचार इस प्रकार है: आइए यह साबित करने का प्रयास करें कि कर्ण पर बने वर्ग का आधा क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के आधे क्षेत्रों के योग के बराबर है, और फिर के क्षेत्रफल बड़े और दो छोटे वर्ग बराबर हैं। बाईं ओर के चित्र पर विचार करें। हमने उस पर एक समकोण त्रिभुज के किनारों पर वर्ग बनाए और कर्ण AB के समकोण C के लंबवत से एक किरण s खींची, यह कर्ण पर बने वर्ग ABIK को दो आयतों में काटती है - BHJI और HAKJ , क्रमश। यह पता चला है कि इन आयतों के क्षेत्रफल संबंधित पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के बराबर हैं। आइए यह साबित करने का प्रयास करें कि वर्ग DECA का क्षेत्रफल आयत AHJK के क्षेत्रफल के बराबर है ऐसा करने के लिए, हम एक सहायक अवलोकन का उपयोग करते हैं: दिए गए समान ऊँचाई और आधार वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल आयत दिए गए आयत के आधे क्षेत्रफल के बराबर है। यह त्रिभुज के क्षेत्रफल को आधार और ऊँचाई के आधे गुणनफल के रूप में परिभाषित करने का परिणाम है। इस अवलोकन से यह पता चलता है कि त्रिभुज ACK का क्षेत्रफल त्रिभुज AHK (नहीं दिखाया गया) के क्षेत्रफल के बराबर है, जो बदले में, आयत AHJK के आधे क्षेत्रफल के बराबर है। आइए अब हम सिद्ध करें कि त्रिभुज ACK का क्षेत्रफल भी वर्ग DECA के आधे क्षेत्रफल के बराबर होता है। इसके लिए केवल एक चीज जो करने की जरूरत है वह है त्रिभुज एसीके और बीडीए की समानता साबित करना (चूंकि त्रिभुज बीडीए का क्षेत्रफल उपरोक्त संपत्ति द्वारा वर्ग के आधे क्षेत्र के बराबर है)। यह समानता स्पष्ट है, त्रिभुज दो भुजाओं में बराबर होते हैं और उनके बीच का कोण। अर्थात् - AB=AK,AD=AC - कोणों की समानता CAK और BAD को गति की विधि से साबित करना आसान है: आइए त्रिभुज CAK 90 ° वामावर्त घुमाएँ, तो यह स्पष्ट है कि दो त्रिभुजों की संगत भुजाएँ मानी जाती हैं संपाती होगा (इस तथ्य के कारण कि वर्ग के शीर्ष पर कोण 90° है)। वर्ग BCFG और आयत BHJI के क्षेत्रफलों की समानता के बारे में तर्क पूरी तरह से समान है। इस प्रकार, हमने सिद्ध किया है कि कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों का योग होता है।

लियोनार्डो दा विंची का प्रमाण

प्रमाण के मुख्य तत्व समरूपता और गति हैं।

चित्र पर विचार करें, जैसा कि समरूपता से देखा जा सकता है, खंड CI वर्ग ABHJ को दो समान भागों में काटता है (चूंकि त्रिभुज ABC और JHI निर्माण में समान हैं)। 90 डिग्री वामावर्त घुमाव का उपयोग करते हुए, हम छायांकित आकृतियों CAJI और GDAB की समानता देखते हैं। अब यह स्पष्ट है कि हमारे द्वारा छायांकित आकृति का क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के आधे क्षेत्रफल और मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के योग के बराबर है। दूसरी ओर, यह कर्ण पर बने वर्ग के आधे क्षेत्रफल के साथ-साथ मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है। प्रूफ़ का अंतिम चरण पाठक पर छोड़ दिया जाता है।