Vlastnosti

• Stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý sa nazýva ťažisko, a týmto bodom sú rozdelené na dve časti v pomere 2:1, počítané zhora.
• Trojuholník je rozdelený tromi stredmi na šesť trojuholníkov rovnakej plochy.
• Dlhšia strana trojuholníka zodpovedá menšiemu mediánu.
• Z vektorov, ktoré tvoria mediány, môžete vytvoriť trojuholník.
• Pri afinných transformáciách ide medián do mediánu.
• Stred trojuholníka ho rozdeľuje na dve rovnaké časti.

Vzorce

• Vzorec pre medián z hľadiska strán (odvodený Stewartovou vetou alebo jeho doplnením na rovnobežník a použitím rovnosti súčtu štvorcov strán a súčtu druhých mocnín uhlopriečok v rovnobežníku):

kde mc je medián strany c; a, b, c sú strany trojuholníka, takže súčet druhých mocnín mediánov ľubovoľného trojuholníka je vždy 4/3-krát menší ako súčet druhých mocnín jeho strán.

• Vedľajší vzorec z hľadiska mediánov:

, kde mediány k príslušným stranám trojuholníka sú strany trojuholníka.

Ak sú dva stredy kolmé, potom súčet štvorcov strán, na ktoré padajú, je 5-násobok štvorca tretej strany.

Mnemotechnické pravidlo

stredná opica,
ktorý má bystrý zrak
skočiť priamo do stredu
strany proti vrchu,
kde je teraz.

Poznámky

pozri tiež

Odkazy

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite sa, čo je „stredná hodnota trojuholníka“ v iných slovníkoch:

Medián: Medián trojuholníka v planimetrii, úsečka spájajúca vrchol trojuholníka so stredom opačnej strany v štatistike, medián je hodnota populácie, ktorá delí rad údajov zoradených na polovicu Medián (štatistika) ... . .. Wikipedia

Medián: Medián trojuholníka v planimetrii, segment spájajúci vrchol trojuholníka so stredom opačnej strany Medián (štatistika) kvantil 0,5 Medián (stopa) stredná čiara stopy nakreslená medzi pravou a ľavou ... Wikipedia

Trojuholník a jeho stredy. Stred trojuholníka je segment vo vnútri trojuholníka, ktorý spája vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany, ako aj priamku obsahujúcu tento segment. Obsah 1 Vlastnosti 2 Vzorce ... Wikipedia

Čiara, ktorá spája vrchol trojuholníka so stredom jeho základne. Kompletný slovník cudzích slov, ktoré sa začali používať v ruskom jazyku. Popov M., 1907. medián (lat. mediana medium) 1) geol. segment, ktorý spája vrchol trojuholníka s ... ... Slovník cudzích slov ruského jazyka

Medián (z latinského mediana stred) v geometrii segment spájajúci jeden z vrcholov trojuholníka so stredom protiľahlej strany. Tri trojuholníky M. sa pretínajú v jednom bode, ktorý sa niekedy nazýva "ťažisko" trojuholníka, takže ... Veľká sovietska encyklopédia

Trojuholník je priamka (alebo jej časť vo vnútri trojuholníka), ktorá spája vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany. Tri M. trojuholníky sa pretínajú v jednom bode, do raja sa nazýva ťažisko trojuholníka, ťažisko, alebo ... ... Matematická encyklopédia

- (z lat. mediana stred) segment spájajúci vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany ... Veľký encyklopedický slovník

MEDIÁN, medians, women. (lat. mediana, lit. stred). 1. Priamka vedená od vrcholu trojuholníka do stredu protiľahlej strany (mat.). 2. V štatistike je pre sériu mnohých údajov veličina, ktorá má vlastnosť, že počet údajov, ... ... Vysvetľujúci slovník Ushakov

MEDIAN, s, žena V matematike: priamka, ktorá spája vrchol trojuholníka so stredom opačnej strany. Vysvetľujúci slovník Ozhegov. S.I. Ozhegov, N.Yu. Švedova. 1949 1992 ... Vysvetľujúci slovník Ozhegov

MEDIÁN (z lat. mediana stred), segment spájajúci vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany ... encyklopedický slovník

Medián trojuholníka, rovnako ako výška, slúži ako grafický parameter, ktorý určuje celý trojuholník, hodnotu jeho strán a uhlov. Tri hodnoty: mediány, výšky a stredy - je to ako čiarový kód na produkte, našou úlohou je len vedieť to spočítať.

Definícia

Stred je úsečka, ktorá spája nadmorskú výšku a stred opačnej strany. Trojuholník má tri vrcholy, a teda tri stredy. Mediány sa nie vždy zhodujú s výškami alebo osami. Najčastejšie ide o samostatné segmenty.

Medián vlastností

• Medián rovnoramenného trojuholníka nakresleného k základni sa zhoduje s výškou a osou. V rovnostrannom trojuholníku sa všetky mediány zhodujú s osami a výškami.
• Všetky stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.
• Medián rozdeľuje trojuholník na dva rovnaké trojuholníky a tri mediány na 6 rovnakých trojuholníkov.

Rovnaké plochy sú trojuholníky, ktorých plochy sú rovnaké.

Ryža. 1. Tri stredy tvoria 6 rovnakých trojuholníkov.

• Priesečník mediánov ich rozdeľuje v pomere 2:1, počítajúc zhora.
• Medián k prepone pravouhlého trojuholníka je polovica prepony.

Úlohy

Všetky tieto vlastnosti sú ľahko zapamätateľné, v praxi sa dajú ľahko opraviť. Pre lepšie pochopenie témy vyriešime niekoľko problémov:

• V pravouhlom trojuholníku sú známe nohy, ktoré sa rovnajú a=3 a b=4. Nájdite hodnotu mediánu m nakreslenej k prepone c.

Ryža. 2. Kreslenie problému.

Aby sme našli hodnotu mediánu, musíme nájsť preponu, pretože medián k prepone sa rovná jej polovici. Prepona podľa Pytagorovej vety: $$a^2+b^2=c^2$$

$$c=\sqrt(a^2+b^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$

Nájdite hodnotu mediánu: $$m=(c\over2)=(5\over2)=2,5$$ - výsledné číslo je hodnota mediánu.

Stredné hodnoty v trojuholníku nie sú rovnaké. Preto je potrebné si presne predstaviť, akú hodnotu má nájsť.

• V trojuholníku sú známe hodnoty strán: a=7; b = 8; c=9. Nájdite hodnotu mediánu smerom nadol na stranu b.

Ryža. 3. Kreslenie problému.

Na vyriešenie tohto problému musíte použiť jeden z troch vzorcov na nájdenie mediánu pozdĺž strán trojuholníka:

$$m^2 =(1\over2)*(a^2+c^2-b^2)$$

Ako vidíte, hlavnou vecou je zapamätať si koeficient v zátvorkách a znamienka pre hodnoty strán. Znamienka sú najľahšie zapamätateľné - vždy sa odčíta strana, na ktorú je stredná hodnota znížená. V našom prípade je to b, ale môže to byť aj iné.

Dosaďte hodnoty do vzorca a nájdite strednú hodnotu: $$m=\sqrt((1\over2)*(a^2+c^2-b^2))$$

$$m=\sqrt((1\over2)*(49+81-64))=\sqrt(33)$$ – výsledok ponechajte ako koreň.

• V rovnoramennom trojuholníku je stred prikreslený k základni 8 a samotná základňa je 6. Spolu so zvyšnými dvoma tento stred rozdeľuje trojuholník na 6 trojuholníkov. Nájdite oblasť každého z nich.

Mediány delia trojuholník na šesť rovnakých. To znamená, že plochy malých trojuholníkov sa budú navzájom rovnať. Stačí nájsť oblasť väčšej a vydeliť ju 6.

Vzhľadom na medián nakreslený k základni, v rovnoramennom trojuholníku je to stred a výška. Takže trojuholník má základňu a nadmorskú výšku. Môžete nájsť oblasť.

$$S=(1\over2)*6*8=24$$

Plocha každého malého trojuholníka: $$(24\over6)=4$$

Čo sme sa naučili?

Dozvedeli sme sa, čo je medián. Určili sme vlastnosti mediánu a našli riešenie typických problémov. Rozprávali sme sa o základných chybách a prišli sme na to, ako si rýchlo a jednoducho zapamätať vzorec na nájdenie mediánu cez strany trojuholníka.

Tématický kvíz

Hodnotenie článku

Priemerné hodnotenie: 4.7. Celkový počet získaných hodnotení: 84.

Stredný trojuholník je úsečka, ktorá spája vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany tohto trojuholníka.

Stredové vlastnosti trojuholníka

1. Medián rozdeľuje trojuholník na dva trojuholníky rovnakej oblasti.

2. Strednice trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý rozdeľuje každý z nich v pomere 2:1, počítajúc zhora. Tento bod sa nazýva ťažisko trojuholníka (ťažisko).

3. Celý trojuholník je rozdelený svojimi prostredníkmi na šesť rovnakých trojuholníkov.

Dĺžka mediánu nakreslená na stranu: ( doc vytvorením rovnobežníka a použitím rovnosti v rovnobežníku dvojnásobku súčtu štvorcov strán a súčtu druhých mocnín uhlopriečok )

T1. Tri stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode M, ktorý rozdeľuje každý z nich v pomere 2:1, počítajúc od vrcholov trojuholníka. Dané: ∆ abc, SS 1, AA 1, BB 1 - mediány
∆ABC. Dokážte: a

D-in: Nech M je priesečník stredníc CC 1 , AA 1 trojuholníka ABC. Poznámka A 2 - stred segmentu AM a C 2 - stred segmentu CM. Potom A 2 C 2 je stredná čiara trojuholníka AMS. znamená, A 2 C 2|| AC

a A 2 C 2 \u003d 0,5 * AC. OD 1 ALE 1 je stredná čiara trojuholníka ABC. Takže A 1 OD 1 || AC a A 1 OD 1 \u003d 0,5 * AC.

štvoruholník A 2 C 1 A 1 C 2- rovnobežník, pretože jeho protiľahlé strany A 1 OD 1 A A 2 C 2 rovnaké a paralelné. v dôsledku toho A 2 M = MA 1 A C2M = PANI 1 . To znamená, že body A 2 A M rozdeliť medián AA 2 na tri rovnaké časti, t.j. AM = 2MA 2. Podobne CM = 2MC 1 . Takže bod M priesečníka dvoch mediánov AA 2 A CC2 trojuholník ABC rozdeľuje každý z nich v pomere 2:1, počítajúc od vrcholov trojuholníka. Podobne je dokázané, že priesečník stredníc AA 1 a BB 1 rozdeľuje každý z nich v pomere 2:1, počítajúc od vrcholov trojuholníka.

Na mediáne AA 1 je takýmto bodom bod M, teda bod M a je tu priesečník mediánov AA 1 a BB 1.

Touto cestou, n

T2. Dokážte, že segmenty, ktoré spájajú ťažisko s vrcholmi trojuholníka, ho rozdeľujú na tri rovnaké časti. Vzhľadom na to: ∆ABC , sú jej mediány.

dokázať: S AMB =S BMC =S-AMC.Dôkaz. IN, majú spoločné. pretože ich základy sú rovnaké a výška nakreslená zhora M, majú spoločné. Potom

Podobným spôsobom je dokázané, že S AMB = S AMC . Touto cestou, S AMB = S AMC = S CMB .n

Sektor trojuholníka Vety o osi trojuholníka. Vzorce na nájdenie osi

Stred uhla Lúč, ktorý začína na vrchole uhla a rozdeľuje uhol na dva rovnaké uhly.

Osa uhla je ťažisko bodov vo vnútri uhla, ktoré sú rovnako vzdialené od strán uhla.

Vlastnosti

1. Sektorová veta: Sektor vnútorného uhla trojuholníka rozdeľuje opačnú stranu v pomere, ktorý sa rovná pomeru dvoch susedných strán.

2. Osy vnútorných uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode - stred - stred kružnice vpísanej do tohto trojuholníka.

3. Ak sú dve osi v trojuholníku rovnaké, potom je trojuholník rovnoramenný (Steinerova-Lemusova veta).

Výpočet dĺžky osy

l c - dĺžka osy nakreslenej na stranu c,

a,b,c - strany trojuholníka proti vrcholom A,B,C, resp.

p - polovica obvodu trojuholníka,

a l ,b l - dĺžky úsečiek, na ktoré os l c delí stranu c,

α,β,γ - vnútorné uhly trojuholníka vo vrcholoch A,B,C, resp.

h c - výška trojuholníka zníženého na stranu c.

plošná metóda.

Charakteristika metódy. Už z názvu vyplýva, že hlavným predmetom tejto metódy je plocha. Pri viacerých obrazcoch, napríklad pri trojuholníku, je plocha celkom jednoducho vyjadrená rôznymi kombináciami prvkov obrazca (trojuholníka). Preto je technika veľmi efektívna, keď sa porovnávajú rôzne výrazy pre oblasť daného čísla. V tomto prípade vzniká rovnica obsahujúca známe a požadované prvky obrazca, ktorej riešením určíme neznámu. Tu sa prejavuje hlavná črta plošnej metódy – z geometrického problému „robí“ algebraický, redukuje všetko na riešenie rovnice (a niekedy aj sústavy rovníc).

1) Metóda porovnávania: spojená s veľkým počtom vzorcov S rovnakých čísel

2) Metóda pomeru S: založená na nasledujúcich referenčných úlohách:

Ceva teorém

Nech body A",B",C" ležia na priamkach BC,CA,AB trojuholníka. Priamky AA",BB",CC" sa pretínajú v jednom bode vtedy a len vtedy

Dôkaz.

Označte priesečníkom segmentov a . Spustíme kolmice z bodov C a A na priamku BB 1, kým sa s ňou nepretnú v bodoch K a L (pozri obrázok).

Keďže trojuholníky a majú spoločnú stranu, ich plochy súvisia ako výšky nakreslené na túto stranu, t.j. AL a CK:

Posledná rovnosť je pravdivá, pretože pravouhlé trojuholníky a sú podobné v ostrom uhle.

Podobne dostaneme A

Vynásobme tieto tri rovnosti:

Q.E.D.

Komentujte. Úsečka (alebo pokračovanie úsečky) spájajúca vrchol trojuholníka s bodom ležiacim na opačnej strane alebo jeho pokračovaním sa nazýva ceviana.

Veta (inverzná Ceva veta). Nech body A",B",C" ležia na stranách BC,CA a AB trojuholníka ABC. Nech platí vzťah

Potom sa segmenty AA", BB", CC" pretínajú v jednom bode.

Menelaova veta

Menelaova veta. Nech priamka pretína trojuholník ABC, kde C 1 je jej priesečník so stranou AB, A 1 jej priesečník so stranou BC a B 1 jej priesečník s predĺžením strany AC. Potom

Dôkaz . Nakreslite čiaru cez bod C rovnobežnú s AB. Označme K jej priesečník s priamkou B 1 C 1 .

Trojuholníky AC 1 B 1 a CKB 1 sú podobné (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1, ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). v dôsledku toho

Trojuholníky BC 1 A 1 a CKA 1 sú tiež podobné (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). znamená,

Z každej rovnosti vyjadrujeme CK:

Kde Q.E.D.

Veta (inverzná Menelaova veta). Nech je daný trojuholník ABC. Nech bod C 1 leží na strane AB, bod A 1 leží na strane BC a bod B 1 leží na predĺžení strany AC a vzťah

Potom body A 1 , B 1 a C 1 ležia na tej istej priamke.

Trojuholník je mnohouholník s tromi stranami alebo uzavretá prerušovaná čiara s tromi článkami alebo obrazec tvorený tromi segmentmi spájajúcimi tri body, ktoré neležia na jednej priamke (pozri obr. 1).

Základné prvky trojuholníka abc

Vrcholy – body A, B a C;

strany – segmenty a = BC, b = AC a c = AB spájajúce vrcholy;

rohy – α , β, γ tvorené tromi pármi strán. Rohy sú často označené rovnakým spôsobom ako vrcholy, písmenami A, B a C.

Uhol, ktorý zvierajú strany trojuholníka a leží v jeho vnútri, sa nazýva vnútorný uhol a uhol k nemu susediaci je priľahlý uhol trojuholníka (2, s. 534).

Výšky, stredy, osy a stredy trojuholníka

Okrem hlavných prvkov v trojuholníku sa berú do úvahy aj ďalšie segmenty, ktoré majú zaujímavé vlastnosti: výšky, mediány, osy a stredové čiary.

Výška

Výšky trojuholníka sú kolmice spadnuté z vrcholov trojuholníka na opačné strany.

Ak chcete vytvoriť výšku, postupujte takto:

1) nakreslite priamku obsahujúcu jednu zo strán trojuholníka (ak je výška nakreslená od vrcholu ostrého uhla v tupom trojuholníku);

2) z vrcholu ležiaceho oproti nakreslenej čiare nakreslite úsečku z bodu do tejto čiary a zvierajte s ňou uhol 90 stupňov.

Priesečník nadmorskej výšky so stranou trojuholníka sa nazýva výškový základ (pozri obr. 2).

Vlastnosti výšky trojuholníka

V pravouhlom trojuholníku ho výška nakreslená od vrcholu pravého uhla rozdeľuje na dva trojuholníky podobné pôvodnému trojuholníku.

V ostrom trojuholníku jeho dve výšky z neho odrežú podobné trojuholníky.

Ak je trojuholník ostrý, potom všetky základne výšok patria stranám trojuholníka a pri tupom trojuholníku pripadajú dve výšky na predĺženie strán.

Tri výšky v ostrom trojuholníku sa pretínajú v jednom bode a tento bod sa nazýva ortocentrum trojuholník.

Medián

mediány(z latinského mediana - "stred") - sú to segmenty spájajúce vrcholy trojuholníka so stredmi protiľahlých strán (pozri obr. 3).

Ak chcete vytvoriť medián, postupujte takto:

1) nájdite stred strany;

2) bod, ktorý je stredom strany trojuholníka, s opačným vrcholom spojíme úsečkou.

Stredové vlastnosti trojuholníka

Medián rozdeľuje trojuholník na dva trojuholníky rovnakej oblasti.

Stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý rozdeľuje každý z nich v pomere 2:1, počítajúc zhora. Tento bod sa nazýva ťažisko trojuholník.

Celý trojuholník je rozdelený stredom na šesť rovnakých trojuholníkov.

Bisector

osy(z lat. bis - dvakrát "a seko - strihám) nazývame segmenty priamych čiar uzavretých vo vnútri trojuholníka, ktoré pretínajú jeho rohy (pozri obr. 4).

Ak chcete vytvoriť os, musíte vykonať nasledujúce kroky:

1) zostrojte lúč vychádzajúci z vrcholu uhla a rozdeľujúci ho na dve rovnaké časti (sektor uhla);

2) nájdite priesečník osi uhla trojuholníka s opačnou stranou;

3) vyberte segment spájajúci vrchol trojuholníka s priesečníkom na opačnej strane.

Vlastnosti osy trojuholníka

Osa uhla trojuholníka rozdeľuje opačnú stranu v pomere, ktorý sa rovná pomeru dvoch susedných strán.

Osy vnútorných uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Tento bod sa nazýva stred vpísanej kružnice.

Osy vnútorných a vonkajších rohov sú kolmé.

Ak os vonkajšieho uhla trojuholníka pretína pokračovanie opačnej strany, potom ADBD=ACBC.

Osy jedného vnútorného a dvoch vonkajších uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Tento bod je stredom jednej z troch kružníc tohto trojuholníka.

Základny osi dvoch vnútorných a jedného vonkajšieho uhla trojuholníka ležia na tej istej priamke, ak osi vonkajšieho uhla nie je rovnobežná s opačnou stranou trojuholníka.

Ak osy vonkajších uhlov trojuholníka nie sú rovnobežné s opačnými stranami, potom ich základne ležia na rovnakej priamke.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušného nástupcu tretej strany.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.