Tulajdonságok

• A háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást, amelyet középpontnak neveznek, és ez a pont két részre osztja 2:1 arányban, felülről számolva.
• Egy háromszöget három medián hat egyenlő területű háromszögre oszt.
• A háromszög hosszabb oldala a kisebb mediánnak felel meg.
• A mediánokat alkotó vektorokból háromszöget készíthet.
• Affin transzformációkkal a medián a mediánba kerül.
• A háromszög mediánja két egyenlő részre osztja.

Képletek

• Az oldalak szerinti medián képlete (a Stewart-tételből származtatva, vagy paralelogrammává kiegészítve, és az oldalak négyzeteinek összegének és az átlók négyzetösszegének paralelogrammában szereplő egyenlőség felhasználásával):

, ahol m c a c oldal mediánja; a, b, c egy háromszög oldalai, így egy tetszőleges háromszög mediánjainak négyzetösszege mindig 4/3-szor kisebb, mint az oldalai négyzetösszege.

• Oldalképlet mediánban kifejezve:

, ahol a háromszög megfelelő oldalainak mediánjai a háromszög oldalai.

Ha két medián merőleges, akkor azon oldalak négyzeteinek összege, amelyekre leesik, a harmadik oldal négyzetének ötszöröse.

Mnemonikus szabály

medián majom,
akinek éles szeme van
ugorj közvetlenül a közepére
oldala a tetejéhez,
hol van most.

Megjegyzések

Lásd még

Linkek

Wikimédia Alapítvány. 2010 .

Nézze meg, mi a "háromszög mediánja" más szótárakban:

Medián: A háromszög mediánja a planimetriában, a háromszög csúcsát a szemközti oldal közepével összekötő szakasz a statisztikában, a medián az a sokaságérték, amely a rangsorolt ​​adatsort kettéosztja Medián (statisztika) ... . .. Wikipédia

Medián: A háromszög mediánja a planimetriában, a háromszög csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz Medián (statisztika) kvantilis 0,5 Medián (nyom) a jobb és bal közé húzott nyom középvonala... Wikipédia

Háromszög és mediánjai. A háromszög mediánja a háromszög belsejében lévő szakasz, amely összeköti a háromszög csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával, valamint egy egyenes, amely ezt a szakaszt tartalmazza. Tartalom 1 Tulajdonságok 2 Képletek ... Wikipédia

Egy egyenes, amely összeköti a háromszög csúcsát az alapja felezőpontjával. Az orosz nyelvben használatba vett idegen szavak teljes szótára. Popov M., 1907. medián (lat. mediana medium) 1) geol. egy szakasz, amely egy háromszög csúcsát köti össze ... ... Orosz nyelv idegen szavak szótára

Medián (a latin mediana középszóból) a geometriában, egy szakasz, amely a háromszög egyik csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával köti össze. Három M. háromszög metszi egymást egy pontban, amelyet néha a háromszög "súlypontjának" neveznek, így ... Nagy szovjet enciklopédia

Egy háromszög (vagy a háromszögön belüli szakasza) egyenese, amely összeköti a háromszög csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával. Három M. háromszög metszi egymást egy pontban, a paradicsomot a háromszög súlypontjának, súlypontjának, vagy ... ... Matematikai Enciklopédia

- (lat. mediana középről) a háromszög csúcsát a szemközti oldal közepével összekötő szakasz ... Nagy enciklopédikus szótár

MEDIAN, mediánok, nők. (lat. mediana, lit. közép). 1. Egy háromszög csúcsától a szemközti oldal közepéig húzott egyenes (mat.). 2. A statisztikában sok adatból álló sorozat esetén olyan mennyiség, amelynek az a tulajdonsága, hogy az adatok száma, ... ... Ushakov magyarázó szótára

MEDIA, s, nő Matematikában: olyan egyenes szakasz, amely a háromszög csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával köti össze. Ozhegov magyarázó szótára. S.I. Ozhegov, N. Yu. Shvedova. 1949 1992... Ozhegov magyarázó szótára

KÖZÉP (a lat. mediana közép), egy szakasz, amely összeköti a háromszög csúcsát a szemközti oldal közepével ... enciklopédikus szótár

A háromszög mediánja a magassághoz hasonlóan grafikus paraméterként szolgál, amely meghatározza a teljes háromszöget, oldalainak és szögeinek értékét. Három érték: mediánok, magasságok és felezők – ez olyan, mint egy vonalkód a terméken, a mi feladatunk csak az, hogy meg tudjuk számolni.

Meghatározás

A medián az a szakasz, amely összeköti a szemközti oldal magasságát és felezőpontját. Egy háromszögnek három csúcsa van, tehát három mediánja. A mediánok nem mindig egyeznek a magasságokkal vagy a felezőkkel. Leggyakrabban ezek különálló szegmensek.

Medián tulajdonságok

• Az alaphoz húzott egyenlő szárú háromszög mediánja egybeesik a magassággal és a felezővel. Egy egyenlő oldalú háromszögben minden medián egybeesik a felezőkkel és a magasságokkal.
• A háromszög minden mediánja egy pontban metszi egymást.
• A medián a háromszöget két egyenlő háromszögre, a három mediánt pedig 6 egyenlő háromszögre osztja.

Az egyenlő területek olyan háromszögek, amelyek területe egyenlő.

Rizs. 1. Három medián 6 egyenlő háromszöget alkot.

• A mediánok metszéspontja felülről számolva 2:1 arányban osztja el őket.
• A derékszögű háromszög befogójához húzott medián a befogó fele.

Feladatok

Mindezek a tulajdonságok könnyen megjegyezhetők, a gyakorlatban könnyen rögzíthetők. A téma jobb megértése érdekében több problémát is megoldunk:

• Egy derékszögű háromszögben ismertek a lábak, amelyek egyenlők a=3 és b=4 értékkel. Keresse meg a c hipotenuszra húzott m medián értékét.

Rizs. 2. Rajz a feladathoz.

Ahhoz, hogy megtaláljuk a medián értékét, meg kell találnunk a hipotenuszt, mivel a középponthoz húzott medián ennek a fele. Hipoténusz a Pitagorasz-tételen keresztül: $$a^2+b^2=c^2$$

$$c=\sqrt(a^2+b^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$

Keresse meg a medián értékét: $$m=(c\over2)=(5\over2)=2.5$$ - a kapott szám a medián értéke.

A háromszög medián értékei nem egyenlőek. Ezért pontosan el kell képzelni, hogy milyen értéket kell találni.

• Egy háromszögben ismertek az oldalak értékei: a=7; b=8; c=9. Keresse meg a medián értékét a b oldalra lefelé.

Rizs. 3. Rajz a feladathoz.

A probléma megoldásához a három képlet egyikét kell használnia a háromszög oldalai mentén mért medián meghatározásához:

$$m^2 =(1\over2)*(a^2+c^2-b^2)$$

Amint láthatja, itt a legfontosabb, hogy emlékezzen a zárójelben lévő együtthatóra és az oldalak értékeinek jeleire. A jelekre a legkönnyebb megjegyezni – mindig azt az oldalt kell levonni, amelyre a medián le van engedve. Esetünkben ez a b, de lehet bármilyen más is.

Helyettesítse be az értékeket a képletbe, és keresse meg a medián értéket: $$m=\sqrt((1\over2)*(a^2+c^2-b^2))$$

$$m=\sqrt((1\over2)*(49+81-64))=\sqrt(33)$$ - hagyja meg az eredményt gyökérként.

• Egy egyenlő szárú háromszögben az alaphoz húzott medián 8, maga az alap pedig 6. Ez a medián a maradék kettővel együtt 6 háromszögre osztja a háromszöget. Keresse meg mindegyik területét.

A mediánok a háromszöget hat egyenlő részre osztják. Ez azt jelenti, hogy a kis háromszögek területei egyenlőek lesznek egymással. Elég megkeresni a nagyobb területét, és elosztani 6-tal.

Adott az alaphoz húzott medián, egy egyenlő szárú háromszögben ez a felező és a magasság. Tehát a háromszögnek van alapja és magassága. Megtalálhatja a területet.

$$S=(1\over2)*6*8=24$$

Minden kis háromszög területe: $$(24\over6)=4$$

Mit tanultunk?

Megtudtuk, mi a medián. Meghatároztuk a medián tulajdonságait, és megoldást találtunk a tipikus problémákra. Megbeszéltük az alapvető hibákat, és kitaláltuk, hogyan lehet gyorsan és egyszerűen megjegyezni a képletet a háromszög oldalain keresztüli medián megtalálásához.

Téma kvíz

Cikk értékelése

Átlagos értékelés: 4.7. Összes értékelés: 84.

Háromszög medián egy olyan szakasz, amely egy háromszög csúcsát köti össze ennek a háromszögnek a szemközti oldalának felezőpontjával.

Háromszög medián tulajdonságai

1. A medián a háromszöget két azonos területű háromszögre osztja.

2. Egy háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást, ami felülről számolva mindegyiket 2:1 arányban osztja el. Ezt a pontot nevezzük a háromszög súlypontjának (centroid).

3. Az egész háromszöget a mediánjaival hat egyenlő háromszögre osztjuk.

Az oldalra húzott medián hossza: ( doc paralelogrammára építve, és a paralelogrammában az oldalak négyzetösszegének és az átlók négyzetösszegének kétszeresének egyenlőségét használva )

T1. A háromszög három mediánja egy M pontban metszi egymást, amely a háromszög csúcsaiból számolva mindegyiket 2:1 arányban osztja el. Adott: ∆ ABC, SS 1, AA 1, BB 1 - mediánok
∆ABC. Bizonyítsuk be: és

D-be: Legyen M az ABC háromszög CC 1 , AA 1 mediánjainak metszéspontja. Megjegyzés A 2 - az AM szegmens közepe és C 2 - a CM szegmens közepe. Ekkor A 2 C 2 a háromszög középvonala AMS. Eszközök, A 2 C 2|| AC

és A 2 C 2 \u003d 0,5 * AC. TÓL TŐL 1 DE 1 az ABC háromszög középvonala. Tehát A 1 TÓL TŐL 1 || AC és A 1 TÓL TŐL 1 \u003d 0,5 * AC.

négyszög A 2 C 1 A 1 C 2- paralelogramma, mivel szemközti oldalai A 1 TÓL TŐL 1 És A 2 C 2 egyenlő és párhuzamos. Következésképpen, A 2 M = MA 1 És C 2 M = KISASSZONY 1 . Ez azt jelenti, hogy a pontok A 2És M osztjuk a mediánt AA 2 három egyenlő részre, azaz AM = 2MA 2. Hasonlóképpen CM = 2MC 1 . Tehát két medián metszéspontjának M pontja AA 2És CC2 Az ABC háromszög mindegyiket a háromszög csúcsaitól számítva 2:1 arányban osztja el. Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy az AA 1 és BB 1 mediánok metszéspontja a háromszög csúcsaiból számolva mindegyiket 2:1 arányban osztja el.

Az AA 1 mediánon egy ilyen pont az M pont, tehát a pont Més van az AA 1 és a BB 1 mediánok metszéspontja.

Ily módon n

T2. Bizonyítsuk be, hogy a súlypontot a háromszög csúcsaival összekötő szakaszok három egyenlő részre osztják. Adott: ∆ABC , a mediánjai.

Bizonyít: S AMB =S BMC =S-AMC.Bizonyíték. BAN BEN, közös bennük. mivel bázisuk egyenlő és a felülről húzott magasság M, közös bennük. Azután

Hasonló módon bebizonyosodik, hogy S AMB = S AMC . Ily módon S AMB = S AMC = S CMB .n

Háromszög felezőpontja A háromszög felezőivel kapcsolatos tételek. Képletek a felezők megtalálásához

Szögfelező Olyan sugár, amely egy szög csúcsából indul ki, és a szöget két egyenlő szögre osztja.

A szögfelező a szögen belüli azon pontok helye, amelyek egyenlő távolságra vannak a szög oldalaitól.

Tulajdonságok

1. Felezőtétel: Egy háromszög belső szögének felezője osztja a szemközti oldalt a két szomszédos oldal arányával egyenlő arányban.

2. A háromszög belső szögeinek felezőpontjai egy pontban metszik egymást - a középpontban - a háromszögbe írt kör középpontjában.

3. Ha egy háromszögben két felező egyenlő, akkor a háromszög egyenlő szárú (Steiner-Lemus tétel).

Felezőszög hosszának kiszámítása

l c - a c oldalra húzott felezőszög hossza,

a,b,c - háromszög oldalai az A,B,C csúcsokhoz képest,

p - a háromszög fél kerülete,

a l ,b l - azon szakaszok hossza, amelyekre az l c felező osztja a c oldalt,

α,β,γ - a háromszög belső szögei az A,B,C csúcsokban,

h c - a háromszög magassága, leengedve a c oldalra.

terület módszere.

A módszer jellemzői. A névből az következik, hogy ennek a módszernek a fő célja a terület. Számos ábra esetében, például egy háromszög esetében, a területet egészen egyszerűen az ábra elemeinek különféle kombinációival fejezzük ki (háromszög). Ezért egy technika nagyon hatékony, ha egy adott ábra területének különböző kifejezéseit hasonlítjuk össze. Ebben az esetben az ábra ismert és kívánt elemeit tartalmazó egyenlet keletkezik, amelynek feloldásával meghatározzuk az ismeretlent. Itt mutatkozik meg a területmódszer fő jellemzője - geometriai feladatból algebraivá „csinál”, mindent egy egyenlet (és néha egyenletrendszer) megoldására redukálva.

1) Összehasonlítási módszer: sok azonos ábrájú S képlethez kapcsolódik

2) S arány módszer: az alábbi referenciafeladatok alapján:

Ceva tétele

Legyenek az A",B",C" pontok a háromszög BC,CA,AB egyenesein. Az AA",BB",CC" egyenesek akkor és csak akkor metszik egymást egy pontban

Bizonyíték.

Jelölje a szakaszok metszéspontjával és . Emeljük a merőlegeseket a C és A pontból a BB 1 egyenesre addig, amíg a K, illetve L pontokban nem metszik azt (lásd az ábrát).

Mivel a és a háromszögeknek közös oldaluk van, ezért területük az ehhez az oldalhoz húzott magasságokhoz kapcsolódik, azaz. AL és CK:

Az utolsó egyenlőség igaz, mivel a és derékszögű háromszögek hegyesszögükben hasonlóak.

Hasonlóképpen kapjuk És

Szorozzuk meg ezt a három egyenlőséget:

Q.E.D.

Megjegyzés. A háromszög csúcsát a szemközti oldalon lévő ponttal vagy annak folytatásával összekötő szakaszt (vagy szakasz folytatását) ceviana-nak nevezzük.

Tétel (inverz Ceva-tétel). Legyenek az A",B",C" pontok az ABC háromszög BC,CA és AB oldalain.

Ezután az AA", BB", CC" szakaszok egy pontban metszik egymást.

Menelaosz tétele

Menelaosz tétele. Legyen egy egyenes metszéspontja az ABC háromszögben, ahol C 1 a metszéspontja az AB oldallal, A 1 a metszéspontja a BC oldallal, és B 1 a metszéspontja az AC oldal kiterjesztésével. Azután

Bizonyíték . Rajzolj egy egyenest a C ponton keresztül, párhuzamosan az AB-vel. Jelölje K-val a metszéspontját a B 1 C 1 egyenessel.

Az AC 1 B 1 és CKB 1 háromszögek hasonlóak (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1, ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Következésképpen,

A BC 1 A 1 és CKA 1 háromszögek is hasonlóak (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). Eszközök,

Minden egyenlőségből kifejezzük a CK-t:

Ahol Q.E.D.

Tétel (Menelaus inverz tétele). Legyen adott az ABC háromszög. Legyen a C 1 pont az AB oldalon, az A 1 pont a BC oldalon, a B 1 pont pedig az AC oldal meghosszabbításán, és a kapcsolat

Ekkor az A 1 , B 1 és C 1 pontok ugyanazon az egyenesen fekszenek.

A háromszög olyan sokszög, amelynek három oldala van, vagy egy zárt szaggatott vonal három láncszemmel, vagy egy olyan alakzat, amelyet három olyan szegmens alkot, amelyek három pontot kötnek össze, amelyek nem egy egyenesen helyezkednek el (lásd 1. ábra).

Az abc háromszög alapelemei

Csúcsok – A, B és C pont;

A felek – a csúcsokat összekötő a = BC, b = AC és c = AB szakaszok;

sarkok – α , β, γ három oldalpár alkotja. A sarkokat gyakran ugyanúgy jelölik, mint a csúcsokat, A, B és C betűkkel.

A háromszög oldalai által alkotott és annak belsejében fekvő szöget belső szögnek nevezzük, a vele szomszédos szöget pedig a háromszög szomszédos szöge (2, 534. o.).

A háromszög magasságai, mediánjai, felezői és középvonalai

A háromszög fő elemein kívül más szegmenseket is figyelembe veszünk, amelyek érdekes tulajdonságokkal rendelkeznek: magasságok, mediánok, felezők és középvonalak.

Magasság

Egy háromszög magassága a háromszög csúcsaiból a szemközti oldalakra ejtett merőlegesek.

A magasság felépítéséhez tegye a következőket:

1) rajzoljon egy egyenest, amely a háromszög egyik oldalát tartalmazza (ha a magasságot egy tompa háromszög hegyesszögének csúcsából húzzuk);

2) a húzott egyenessel szemben fekvő csúcsból húzzon egy szakaszt egy pontból erre az egyenesre, és 90 fokos szöget zár be vele.

A magasság metszéspontját a háromszög oldalával nevezzük magasságú alap (lásd 2. ábra).

A háromszög magassági tulajdonságai

Egy derékszögű háromszögben a derékszög csúcsából húzott magasság két, az eredeti háromszöghöz hasonló háromszögre osztja.

Egy hegyesszögű háromszögben a két magassága hasonló háromszögeket vág le belőle.

Ha a háromszög hegyes, akkor a magasságok összes alapja a háromszög oldalaihoz tartozik, tompa háromszög esetén pedig két magasság esik az oldalak kiterjesztésére.

Egy hegyesszögű háromszögben három magasság metszi egymást egy pontban, és ezt a pontot nevezzük ortocentrum háromszög.

Középső

mediánok(a latin mediana - "közép") - ezek a szakaszok, amelyek összekötik a háromszög csúcsait a szemközti oldalak felezőpontjaival (lásd 3. ábra).

A medián felépítéséhez tegye a következőket:

1) keresse meg az oldal közepét;

2) kösd össze egy szegmenssel a pontot, amely a háromszög oldalának közepe, a szemközti csúcsgal.

Háromszög medián tulajdonságai

A medián a háromszöget két azonos területű háromszögre osztja.

A háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást, ami felülről számolva mindegyiket 2:1 arányban osztja el. Ezt a pontot hívják gravitáció középpontja háromszög.

Az egész háromszöget a mediánjai hat egyenlő háromszögre osztják.

Felezővonal

felezők(a lat. bis - kétszer "és seko - I cut" -ból) hívja a háromszög belsejébe zárt egyenesek szakaszait, amelyek felezik annak sarkait (lásd 4. ábra).

Egy felezőszög megszerkesztéséhez a következő lépéseket kell végrehajtania:

1) a szög csúcsából kilépő és azt két egyenlő részre osztó sugarat szerkeszteni (szögfelező);

2) keresse meg a háromszög és a szemközti szög felezőjének metszéspontját;

3) válasszon ki egy szakaszt, amely összeköti a háromszög csúcsát a szemközti oldal metszéspontjával.

Háromszög felező tulajdonságai

A háromszög szögfelezője osztja a szemközti oldalt a két szomszédos oldal arányával egyenlő arányban.

A háromszög belső szögeinek felezőpontjai egy pontban metszik egymást. Ezt a pontot a beírt kör középpontjának nevezzük.

A belső és a külső sarok felezőpontja merőleges.

Ha a háromszög külső szögének felezője metszi a szemközti oldal folytatását, akkor ADBD=ACBC.

A háromszög egyik belső és két külső szögének felezőszögei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög három körének egyikének középpontja.

Egy háromszög két belső és egy külső szögének felezőpontja ugyanazon az egyenesen fekszik, ha a külső szög felezője nem párhuzamos a háromszög szemközti oldalával.

Ha egy háromszög külső szögeinek felezőpontjai nem párhuzamosak a szemközti oldalakkal, akkor alapjaik ugyanazon az egyenesen vannak.

Az Ön adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi szabályzatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk Önt egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és üzenetek küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésekre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha részt vesz egy nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló ösztönzőben, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Feltárás harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Abban az esetben, ha ez szükséges - a törvénynek, a bírósági végzésnek, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén működő állami szervek nyilvános megkeresései vagy kérései alapján - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen közzététel biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célok miatt szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk az érintett harmadik fél jogutódjának.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, ellopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

Személyes adatainak megőrzése vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági gyakorlatokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.