itthon > Egészség > elektrosztatikus dipólus. elektrosztatikus mező

elektrosztatikus dipólus. elektrosztatikus mező

Az óra célja: adja meg az elektromos térerő fogalmát és annak meghatározását a mező bármely pontján.

Az óra céljai:

  • az elektromos térerősség fogalmának kialakítása; adja meg a feszültségvonalak fogalmát és az elektromos tér grafikus ábrázolását;
  • tanítsa meg a diákokat az E \u003d kq / r 2 képlet alkalmazására a feszültség kiszámításának egyszerű problémáinak megoldásában.

Az elektromos tér az anyag egy speciális formája, amelynek létezése csak a működése alapján ítélhető meg. Kísérletileg bebizonyosodott, hogy kétféle töltés létezik, amelyek körül erővonalakkal jellemezhető elektromos mezők vannak.

Grafikusan ábrázolva a mezőt, emlékezni kell arra, hogy az elektromos térerősség vonalai:

  1. ne metsszék egymást sehol;
  2. kezdete pozitív töltésen van (vagy a végtelenben) és vége negatív töltésen (vagy végtelenben), azaz nyitott vonalak;
  3. töltések között sehol sem szakad meg.

1. ábra

Pozitív töltési erővonalak:


2. ábra

Negatív töltési erővonalak:


3. ábra

Hasonló kölcsönható töltések erővonalai:


4. ábra

Ellentétes kölcsönhatású töltések erővonalai:


5. ábra

Az elektromos tér teljesítményjellemzője az intenzitás, amelyet E betűvel jelölünk és mértékegységei ill. A feszültség vektormennyiség, mivel a Coulomb-erőnek az egységnyi pozitív töltés értékéhez viszonyított aránya határozza meg

A Coulomb-törvény és az erőképlet transzformációja eredményeként a térerősség függ attól a távolságtól, amelyen egy adott töltéshez viszonyítva meghatározzuk.

ahol: k– arányossági együttható, melynek értéke az elektromos töltés mértékegységeinek megválasztásától függ.

Az SI rendszerben N m 2 / Cl 2,

ahol ε 0 egy elektromos állandó, amely egyenlő 8,85 10 -12 C 2 /N m 2 -vel;

q az elektromos töltés (C);

r a töltés és az intenzitás meghatározásának pontja közötti távolság.

A feszültségvektor iránya egybeesik a Coulomb-erő irányával.

Az olyan elektromos teret, amelynek erőssége a tér minden pontjában azonos, homogénnek nevezzük. A tér korlátozott tartományában az elektromos tér megközelítőleg egységesnek tekinthető, ha a térerősség ezen a tartományon belül jelentéktelen mértékben változik.

Több kölcsönható töltés teljes térereje megegyezik az erővektorok geometriai összegével, ami a mezők szuperpozíciójának elve:

Tekintsünk több esetet a feszültség meghatározására.

1. Hagyja, hogy két ellentétes töltés kölcsönhatásba lépjen. Egy pont pozitív töltést helyezünk közéjük, ekkor két intenzitásvektor hat ugyanabba az irányba:

A mezők szuperpozíciójának elve szerint a teljes térerősség egy adott pontban egyenlő az E 31 és E 32 erővektorok geometriai összegével.

Egy adott pontban a feszültséget a következő képlet határozza meg:

E \u003d kq 1 / x 2 + kq 2 / (r - x) 2

ahol: r az első és a második töltés közötti távolság;

x az első és a ponttöltés közötti távolság.


6. ábra

2. Tekintsük azt az esetet, amikor meg kell találni az intenzitást a második töltéstől a távolságra lévő pontban. Ha figyelembe vesszük, hogy az első töltés tere nagyobb, mint a második töltés mezeje, akkor az intenzitás a mező adott pontjában megegyezik az E 31 és E 32 intenzitás közötti geometriai különbséggel.

A feszültség képlete egy adott ponton a következő:

E \u003d kq1 / (r + a) 2 - kq 2 / a 2

ahol: r a kölcsönható töltések közötti távolság;

a a második és a ponttöltés közötti távolság.


7. ábra

3. Tekintsünk egy példát, amikor meg kell határozni a térerősséget bizonyos távolságban mind az első, mind a második töltéstől, ebben az esetben r távolságra az első és b távolságra a második töltéstől. Mivel az azonos nevű töltések taszítják és a töltésekkel ellentétben vonzanak, egy pontból két feszültségvektorunk van, ezek összeadásához a paralelogramma ellentétes sarkára alkalmazhatjuk a módszert, amely a teljes feszültségvektor lesz. A vektorok algebrai összegét a Pitagorasz-tételből találjuk meg:

E \u003d (E 31 2 + E 32 2) 1/2

Következésképpen:

E \u003d ((kq 1 / r 2) 2 + (kq 2 / b 2) 2) 1/2


8. ábra

Ebből a munkából az következik, hogy a tér bármely pontjában az intenzitás meghatározható a kölcsönhatásban lévő töltések nagyságának, az egyes töltések és az adott pont közötti távolság és az elektromos állandó ismeretében.

4. A téma rögzítése.

Ellenőrző munka.

1. számú lehetőség.

1. Folytassa a mondatot: „az elektrosztatika...

2. Folytassa a mondatot: az elektromos tér ....

3. Hogyan irányulnak ennek a töltésnek az erővonalai?

4. Határozza meg a töltések jeleit:

Otthoni feladatok:

1. Két q 1 = +3 10 -7 C és q 2 = -2 10 -7 C töltés vákuumban van egymástól 0,2 m távolságra. Határozzuk meg a térerősséget a töltéseket összekötő egyenesen található C pontban, a q 2 töltéstől jobbra 0,05 m távolságra.

2. A tér egy pontján 3 10 -4 N erő hat 5 10 -9 C töltésre. Határozza meg a térerősséget ezen a ponton, és határozza meg a teret létrehozó töltés nagyságát, ha a pont 0,1 m-re van tőle.

Mint tudják, az elektromos feszültségnek saját mértékkel kell rendelkeznie, amely kezdetben megfelel annak az értéknek, amelyet egy adott elektromos eszköz táplálására számítanak ki. Ennek a tápfeszültségnek a túllépése vagy csökkentése negatívan befolyásolja az elektromos berendezéseket, egészen a teljes meghibásodásig. Mi a feszültség? Ez az elektromos potenciál különbsége. Vagyis ha a könnyebb érthetőség kedvéért vízzel hasonlítjuk össze, akkor ez megközelítőleg megfelel a nyomásnak. A tudomány szerint az elektromos feszültség egy fizikai mennyiség, amely megmutatja, hogy az áram milyen munkát végez egy adott területen, amikor egységnyi töltés áthalad ezen a területen.

A feszültség legáltalánosabb képlete az, amelyben három alapvető elektromos mennyiség van, nevezetesen maga a feszültség, az áramerősség és az ellenállás. Nos, ez a képlet Ohm törvényeként ismert (az elektromos feszültség, a potenciálkülönbség meghatározása).

Ez a képlet a következőképpen hangzik - az elektromos feszültség egyenlő az áramerősség és az ellenállás szorzatával. Hadd emlékeztesselek arra, hogy az elektrotechnikában a különféle fizikai mennyiségekhez saját mértékegységeik vannak. A feszültségmérés mértékegysége "Volt" (a jelenséget felfedező Alessandro Volta tudós tiszteletére). Az áram mértékegysége "Amper", az ellenállás pedig "Ohm". Ennek eredményeként - az 1 voltos elektromos feszültség egyenlő lesz 1 amper-szor 1 ohm-mal.

Ezenkívül a második leggyakrabban használt feszültségképlet az, amelyben ugyanez a feszültség megtalálható az elektromos teljesítmény és az áramerősség ismeretében.

Ez a képlet a következőképpen hangzik - az elektromos feszültség egyenlő a teljesítmény és az áramerősség arányával (a feszültség meghatározásához el kell osztani a teljesítményt az áramerősséggel). Magát a teljesítményt úgy találjuk meg, hogy az áramot megszorozzuk a feszültséggel. Nos, az áramerősség meghatározásához el kell osztani a teljesítményt a feszültséggel. Minden rendkívül egyszerű. Az elektromos teljesítmény mértékegysége "Watt". Tehát 1 volt egyenlő 1 watt osztva 1 amperrel.

Nos, most adok egy tudományosabb képletet az elektromos feszültségre, amely "munkát" és "töltést" tartalmaz.

Ez a képlet az elektromos töltés mozgatása érdekében végzett munka arányát mutatja. A gyakorlatban valószínűleg nem lesz szükség erre a képletre. A leggyakoribb az, amelyik tartalmazza az áramot, az ellenállást és a teljesítményt (vagyis az első két képletet). De szeretném figyelmeztetni, hogy ez csak az aktív ellenállásokra lesz igaz. Vagyis ha számításokat végeznek olyan elektromos áramkörre, amelynek ellenállása hagyományos ellenállások, fűtőtestek (nikróm spirállal), izzólámpák stb. formájában van, akkor a fenti képlet működik. Reaktancia alkalmazása esetén (induktivitás vagy kapacitás jelenléte az áramkörben) más feszültségképletre lesz szükség, amely figyelembe veszi a feszültségfrekvenciát, induktivitást, kapacitást is.

P.S. Az Ohm-törvény képlete alapvető, ebből fakad, hogy mindig talál egy ismeretlen mennyiséget a két ismert mennyiség közül (áram, feszültség, ellenállás). A gyakorlatban az Ohm-törvényt nagyon gyakran alkalmazzák, ezért egyszerűen szükséges, hogy minden villanyszerelő és elektronikai szakember fejből tudja.

A távolról ható erőket néha térerőknek is nevezik. Ha feltölt egy tárgyat, az elektromos mezőt hoz létre – egy megváltozott jellemzőkkel rendelkező területet, amely körülveszi. Az elektromos tér zónájába esett önkényes töltés erői hatásának lesz kitéve. Ezeket az erőket befolyásolja a tárgy töltésének mértéke és a távolság.

Erők és töltések

Tegyük fel, hogy van valamilyen Q kezdeti elektromos töltés, amely elektromos teret hoz létre. Ennek a térnek az erősségét a közvetlen közelében lévő elektromos töltés méri. Ezt az elektromos töltést teszttöltésnek nevezzük, mivel teszttöltésként szolgál a feszültség meghatározásánál, és túl kicsi ahhoz, hogy befolyásolja a keletkezett elektromos mezőt.

A vezérlő elektromos töltést q-nak nevezik, és van valamilyen mennyiségi értéke. Elektromos térbe helyezve F vonzó vagy taszító erők hatásának van kitéve.

A latin betűvel jelzett elektromos térerősség képleteE, matematikai jelölésként szolgál:

Az erőt newtonban (N), a töltést coulombban (C) mérik. Ennek megfelelően egy egységet használnak a feszültséghez - N / C.

A gyakorlatban a homogén EP másik gyakran használt mértékegysége a V/m. Ez a képlet következménye:

Vagyis E függ az elektromos tér feszültségétől (a két pontja közötti potenciálkülönbségtől) és a távolságtól.

Függ-e az intenzitás az elektromos töltés mennyiségi értékétől? A képletből látható, hogy q növekedése E csökkenését vonja maga után. De Coulomb törvénye szerint a nagyobb töltés nagyobb elektromos erőt is jelent. Például az elektromos töltés kétszeres növekedése az F kétszeres növekedését okozza. Ezért a feszültségben nem lesz változás.

Fontos! Az elektromos tér intenzitását nem befolyásolja a teszttöltés mennyiségi mutatója.

Hogyan irányul az elektromos térvektor

Egy vektormennyiséghez két jellemzőt kell alkalmazni: a mennyiségi értéket és az irányt. A kezdeti töltést felé irányuló vagy ellentétes irányú erő befolyásolja. A megbízható irány megválasztását a töltési tábla határozza meg. Annak a kérdésnek a megoldására, hogy a feszültségvonalak melyik irányba irányulnak, a pozitív elektromos töltésre ható F erő irányát vettük.

Fontos! Az elektromos töltés által létrehozott térerősség vonalai a "plusz" jelű töltéstől a "mínusz" előjelű töltés felé irányulnak. Ha elképzel egy tetszőleges pozitív kezdeti töltést, akkor a vonalak minden irányban kijönnek belőle. Negatív töltés esetén éppen ellenkezőleg, minden környező oldalról erővonalak jelentkeznek.

Az elektromos tér vektormennyiségeinek vizuális megjelenítése erővonalak segítségével történik. A szimulált EP minta végtelen számú sorból állhat, amelyek meghatározott szabályok szerint helyezkednek el, a lehető legtöbb információt adva az EP természetéről.

Az erővonalak rajzolásának szabályai:

  1. A nagyobb elektromos töltések a legerősebb elektromos mezővel rendelkeznek. Egy sematikus rajzon ez a vonalak gyakoriságának növelésével mutatható ki;
  2. A tárgy felületével való kapcsolódási területeken a vonalak mindig arra merőlegesek. Szabályos és szabálytalan alakú tárgyak felületén soha nincs vele párhuzamos elektromos erő. Ha létezne ilyen erő, akkor a felületen lévő bármilyen többlettöltés elkezdene mozogni, és elektromos áram lépne fel a tárgyon belül, ami a statikus elektromosság esetében soha nem történik meg;
  3. Egy tárgy felületének elhagyásakor az erő irányt változtathat más töltések EP hatására;
  4. Az elektromos vezetékek nem keresztezhetik egymást. Ha a tér valamely pontján metszik egymást, akkor ezen a ponton két EP-nek kell lennie saját egyéni irányukkal. Ez lehetetlen feltétel, hiszen az EP minden helyéhez megvan a maga intenzitása és iránya.

A kondenzátor erővonalai merőlegesek a lemezekre, de a széleken domborúvá válnak. Ez az EP homogenitásának megsértését jelzi.

A pozitív elektromos töltés feltételének figyelembevételével meg lehet határozni az elektromos térerősség vektorának irányát. Ez a vektor az elektromos töltésre ható erőre irányul plusz előjellel. Olyan helyzetekben, amikor az elektromos teret több elektromos töltés hozza létre, a vektort a vizsgált töltésre kifejtett erők geometriai összegzése eredményeként találjuk meg.

Ugyanakkor az elektromos térerősség vonalain az elektromos tér hatászónájában lévő vonalak halmazát kell érteni, amelyekhez az E vektorok tetszőleges pontban érintik.

Ha egy EP két vagy több töltetből jön létre, vonalak jelennek meg a konfigurációjuk körül. Az ilyen konstrukciók nehézkesek, és számítógépes grafika segítségével hajtják végre. Gyakorlati feladatok megoldásánál a kapott elektromos térerősség vektort használjuk adott pontokra.

A Coulomb-törvény meghatározza az elektromos erőt:

F = (K x q x Q)/r², ahol:

  • F a két elektromos töltés közötti vonal mentén ható elektromos erő;
  • K - arányossági állandó;
  • q és Q a töltések mennyiségi értékei (C);
  • r a köztük lévő távolság.

Az állandó arányosság az arányból adódik:

K = 1/(4π x ε).

Az állandó értéke attól függ, hogy a töltések milyen közegben helyezkednek el (permittivitás).

Ezután F \u003d 1 / (4π x ε) x (q x Q) / r².

A törvény a természeti környezetben működik. Az elméleti számításhoz kezdetben azt feltételezzük, hogy az elektromos töltések szabad térben (vákuumban) vannak. Ekkor ε = 8,85 x 10 (a -12. hatványra), és K = 1/(4π x ε) = 9 x 10 (a 9. hatványra).

Fontos! Az olyan helyzeteket leíró képletek, ahol gömbszimmetria van (a legtöbb esetben), 4π-t tartalmaznak. Ha van hengeres szimmetria, akkor 2π jelenik meg.

A feszültségi modulus kiszámításához be kell cserélnie a Coulomb-törvény matematikai kifejezését az E képletébe:

E \u003d F / q \u003d 1 / (4π x ε) x (q x Q) / (r² x q) \u003d 1 / (4π x ε) x Q / r²,

ahol Q az EF-t létrehozó kezdeti töltés.

Az elektromos tér intenzitásának meghatározásához egy adott ponton egy próbatöltést kell elhelyezni ezen a ponton, meg kell határozni a távolságot és kiszámítani az E-t a képlet segítségével.

Fordított négyzettörvény

A Coulomb-törvény képletében az elektromos töltések távolsága 1/r²-ként jelenik meg az egyenletben. Ezért a fordított négyzettörvény alkalmazása igazságos lesz. Egy másik jól ismert ilyen törvény a Newton-féle gravitációs törvény.

Ez a kifejezés azt szemlélteti, hogy egy változó megváltoztatása hogyan befolyásolhatja a másikat. A törvény matematikai jelölése:

E1/E2 = r2²/r1².

A térerősség értéke a kiválasztott pont helyétől függ, értéke a töltéstől való távolsággal csökken. Ha két különböző ponton vesszük az elektromos tér intenzitását, akkor ezek mennyiségi értékeinek aránya fordítottan arányos a távolság négyzeteivel.

Az elektromos térerősség gyakorlati körülmények közötti mérésére speciális eszközök állnak rendelkezésre, például a VX 0100 teszter.

Videó

Meghatározás

Feszültség vektor az elektromos tér teljesítményjellemzője. A mező egy pontján az intenzitás megegyezik azzal az erővel, amellyel a mező a meghatározott pontban elhelyezett egységnyi pozitív töltésre hat, miközben az erő iránya és az intenzitás megegyezik. A feszültség matematikai definíciója a következő:

ahol az az erő, amellyel az elektromos tér egy rögzített, „próba”, q ponttöltésre hat, amely a tér figyelembe vett pontjában van elhelyezve. Ugyanakkor úgy ítélik meg, hogy a „próba” díj elég kicsi ahhoz, hogy ne torzítsa a vizsgált mezőt.

Ha a mező elektrosztatikus, akkor annak intenzitása nem függ az időtől.

Ha az elektromos tér egyenletes, akkor erőssége a tér minden pontján azonos.

Grafikusan az elektromos mezőket erővonalak segítségével ábrázolhatjuk. Az erővonalak (feszültségvonalak) olyan vonalak, amelyek érintői minden pontban egybeesnek a mező ezen pontjában lévő intenzitásvektor irányával.

Az elektromos térerősségek szuperpozíciójának elve

Ha a mezőt több elektromos tér hozza létre, akkor a kapott tér erőssége megegyezik az egyes mezők erősségének vektorösszegével:

Tegyük fel, hogy a mezőt ponttöltések rendszere hozza létre és ezek eloszlása ​​folytonos, akkor a kapott intenzitást a következőképpen kapjuk meg:

a (3) kifejezésbe való integráció a díjelosztás teljes területén történik.

Térerősség dielektrikumban

A dielektrikumban a térerősség egyenlő a szabad töltések által létrehozott és kötött (polarizációs töltések) térerősségek vektorösszegével:

Abban az esetben, ha a szabad töltéseket körülvevő anyag homogén és izotróp dielektrikum, akkor az intenzitás egyenlő:

ahol az anyag relatív permittivitása a mező vizsgált pontjában. Az (5) kifejezés azt jelenti, hogy adott töltéseloszlás mellett az elektrosztatikus tér erőssége egy homogén izotróp dielektrikumban szorzóval kisebb, mint vákuumban.

Ponttöltés térerőssége

A q ponttöltés térereje:

ahol F / m (SI rendszer) - elektromos állandó.

A feszültség és a potenciál kapcsolata

Általános esetben az elektromos térerősség a potenciálhoz kapcsolódik:

ahol a skaláris potenciál és a vektorpotenciál.

Stacionárius mezők esetén a (7) kifejezést a következő képletre alakítjuk:

Elektromos térerősség mértékegységei

Az elektromos térerősség alapvető mértékegysége az SI rendszerben: [E]=V/m(N/C)

Példák problémamegoldásra

Példa

A feladat. Mekkora az elektromos térerősség-vektor modulusa a sugárvektor által meghatározott pontban (méterben), ha az elektromos tér pozitív ponttöltést (q=1C) hoz létre, amely az XOY síkban fekszik, és helyzete határozza meg a sugárvektort? (méterben)?

Megoldás. A ponttöltést létrehozó elektrosztatikus mező feszültségmodulusát a következő képlet határozza meg:

r a távolság a teret létrehozó töltéstől addig a pontig, ahol a mezőt keressük.

Az (1.2) képletből következik, hogy a modulus egyenlő:

Ha behelyettesítjük (1.1)-ben a kiindulási adatokat és a kapott r távolságot, akkor a következőt kapjuk:

Válasz.

Példa

A feladat.Írjon egy kifejezést a térerősségre egy pontban, amelyet a sugár - vektor határoz meg, ha a teret a V térfogaton sűrűséggel eloszló töltés hozza létre.

ELEKTROMOS ELŐFORRÁS

Alapképletek

 Elektromos térerősség

E=F/K,

ahol F pontszerű pozitív töltésre ható erő K a mező adott pontján elhelyezve.

 Ponttöltésre ható erő K elektromos térbe helyezve,

F=KE.

E elektromos mező:

a) tetszőleges felületen keresztül S, inhomogén mezőbe helyezve,

Vagy
,

ahol  az intenzitásvektor közötti szög Eés normális n felületi elemhez; d S- felületelem területe; E n- a feszültségvektor vetítése a normálra;

b) egyenletes elektromos térbe helyezett sík felületen keresztül,

F E =ES cos.

 Feszültségvektor áramlása E zárt felületen keresztül

,

ahol az integráció a teljes felületen történik.

 Ostrogradsky-Gauss tétel. Feszültség Vector Flow E bármely zárt felületen keresztül, amely töltéseket zár be K l , K 2 , . . ., K n ,

,

ahol - zárt felületbe zárt töltések algebrai összege; P - díjak száma.

 A ponttöltés által létrehozott elektromos tér intenzitása K a távolságon r a töltéstől

.

A sugarú fémgömb által keltett elektromos tér erőssége R, töltetet hordozó K, távolságban r a gömb közepétől:

a) a gömb belsejében (r<.R)

b) egy gömb felületén (r=R)

;

c) a szférán kívül (r>R)

.

 Az elektromos mezők szuperpozíciójának (szuperpozíciójának) elve, amely szerint az intenzitás E a két (vagy több) ponttöltés által létrehozott térerő egyenlő a hozzáadott mezők erősségének vektoros (geometriai) összegével:

E=E 1 +E 2 +...+E n .

Két erősségű elektromos tér esetén E 1 És E 2 szilárdsági vektor modulusa

ahol  a vektorok közötti szög E 1 És E 2 .

 Egy végtelenül hosszú, egyenletes töltésű menet (vagy henger) által távolról létrehozott mező intenzitása r tengelyétől

, ahol  a lineáris töltéssűrűség.

A lineáris töltéssűrűség a menet mentén eloszló töltés és a menet (henger) hosszának arányával egyenlő:

 a végtelen, egyenletes töltésű sík által létrehozott mező intenzitása,

ahol  a felületi töltéssűrűség.

A felületi töltéssűrűség egy olyan érték, amely megegyezik a felületen elosztott töltés és a felület területének arányával:

.

 Két párhuzamos, végtelen egyenletesen és ellentétes töltésű sík által létrehozott mező intenzitása, azonos felületi töltéssűrűség modulussal (lapos kondenzátor tere)

.

A fenti képlet egy lapos kondenzátor lapjai közötti térerősség kiszámítására (a középső részén) csak akkor érvényes, ha a lemezek közötti távolság sokkal kisebb, mint a kondenzátorlapok lineáris mérete.

 Elektromos elmozdulás D feszültséggel járnak együtt E elektromos térarány

D= 0 E.

Ez az összefüggés csak izotróp dielektrikumokra érvényes.

 Az elektromos elmozdulásvektor áramlását az elektromos térerősség-vektor áramlásához hasonlóan fejezzük ki:

a) egyenletes mező esetén a sík felületen áthaladó áramlás

;

b) inhomogén mező és tetszőleges felület esetén

,

ahol D n - vektor vetítés D a felületi elem normáljának irányába, amelynek területe egyenlő d-vel S.

 Ostrogradsky-Gauss tétel. Elektromos elmozdulásvektor fluxus bármely zárt felületen, amely töltéseket zár be K 1 ,K 2 , ...,K n ,

,

ahol P- zárt felületbe zárt töltetek száma (saját jelzéssel).

 Az elektromos térerősség vektor cirkulációja egy olyan érték, amely számszerűen megegyezik egypontos pozitív töltés zárt hurok mentén történő mozgatásával. A keringést a zárt hurkú integrál fejezi ki
, ahol E l - az E intenzitásvektor vetülete a kontúr adott pontjában az ugyanabban a pontban lévő kontúr érintőjének irányára.

Elektrosztatikus tér esetén az intenzitásvektor körforgása nulla:

.

Példák problémamegoldásra

P
példa 1. Az elektromos mezőt két ponttöltés hozza létre: K 1 =30 nC és K 2 = –10 nC. Távolság d töltések között 20 cm Határozzuk meg az elektromos térerősséget egy távoli pontban r 1 \u003d 15 cm-re az elsőtől és egy távolságra r 2 =10 cm-re a második töltésektől.

Megoldás. Az elektromos mezők szuperpozíciójának elve szerint minden töltés egy mezőt hoz létre, függetlenül attól, hogy más töltések jelen vannak a térben. Ezért feszültség E A kívánt pont elektromos mezője az erősségek vektorösszegeként található E 1 És E 2 az egyes díjak által külön-külön létrehozott mezők: E=E 1 +E 2 .

A vákuumban az első és a második töltés által létrehozott elektromos tér erőssége megegyezik

(1)

Vektor E 1 (14.1. ábra) a töltés felőli térvonal mentén irányul K 1 , a töltés óta K 1 >0; vektor E 2 szintén az erővonal mentén, de a töltés felé irányul K 2 , mivel K 2 <0.

Vektor modulus E találd meg a koszinusz törvényével:

ahol a  szög megtalálható az oldalakkal rendelkező háromszögből r 1 , r 2 És d:

.

Ebben az esetben a nehézkes jelölések elkerülése érdekében a cos értékét külön számítjuk ki. Ezzel a képlettel azt találjuk

Kifejezések helyettesítése E 1 És E 2 és az (1) képletekkel a (2) egyenlőségbe és az 1/(4) közös tényezőt 0 ) a gyökérjelre azt kapjuk

.

 értékeinek behelyettesítése , 0 , K 1 , K 2 , r 1 -, r 2 és  az utolsó képletbe és számításokat végezve azt találjuk

2. példa Az elektromos teret két párhuzamos végtelen töltött sík hozza létre, amelyek felületi töltéssűrűsége  1 \u003d 0,4 μC / m 2 és  2 \u003d 0,1 μC / m 2. Határozzuk meg az ezen töltött síkok által létrehozott elektromos tér erősségét!

R
megoldás. A szuperpozíció elve szerint az egyes töltött síkok által külön-külön létrehozott mezők egymásra kerülnek, minden töltött sík elektromos teret hoz létre, függetlenül attól, hogy van-e másik töltött sík (14.2. ábra).

Az első és a második sík által létrehozott homogén elektromos mezők erősségei megegyeznek:

;
.

A síkok az összes teret három részre osztják: I, II és III. Amint az ábrán látható, az első és a harmadik tartományban mindkét tér elektromos erővonala azonos irányba mutat, és ebből következően az összes mező erősségei. E (ÉN)És E(III) az első és a harmadik tartományban egyenlőek egymással, és egyenlők az első és a második sík által létrehozott térerősségek összegével: E (ÉN) =E(III) = E 1 +E 2 , vagy

E (ÉN) =E (III) =
.

A második tartományban (a síkok között) a mezők elektromos erővonalai ellentétes irányúak, és ezért a térerősség E (II) egyenlő az első és a második sík által létrehozott térerősségek különbségével: E (II) =|E 1 -E 2 | , vagy

.

Az adatokat behelyettesítve és a számításokat elvégezve azt kapjuk

E (ÉN) =E (III) =28,3 kV/m=17 kV/m.

A teljes mező erővonalainak eloszlásának képe az 1. ábrán látható. 14.3.

3. példa. A lapos légkondenzátor lapjain töltés található K=10 nC. Terület S a kondenzátor minden lemeze 100 cm 2 Határozza meg az erőt F, amellyel a lemezeket vonzzák. Feltételezzük, hogy a lemezek közötti mező egyenletes.

Megoldás. Díj K az egyik lemez a kondenzátor másik lemezének töltése által létrehozott mezőben van. Ezért az első töltésre erő hat (14.4. ábra)

F=E 1 K,(1)

ahol E 1 - az egyik lemez töltése által létrehozott térerősség. De
ahol  a lemez felületi töltéssűrűsége.

Az (1) képlet figyelembe véve a for kifejezést E 1 formát ölti majd

F=K 2 /(2 0 S).

A mennyiségek értékeinek helyettesítése K,  0 És S ebbe a képletbe és elvégezve a számításokat, azt kapjuk

F=565 uN.

4. példa Az elektromos teret egy végtelen sík hozza létre, amelynek felületi sűrűsége  = 400 nC/m 2 , és egy végtelen egyenes menet, amelynek lineáris sűrűsége =100 nC/m. Távolról r\u003d A menettől 10 cm-re van egy ponttöltés K=10 nC. Határozza meg a töltésre ható erőt, annak irányát, ha a töltés és a menet a töltési síkkal párhuzamos síkban van!

Megoldás. A mezőbe helyezett töltésre ható erő

F=EQ, (1)

ahol E - K.

Határozzuk meg a feszültséget E a feladat feltételének megfelelően egy végtelen töltött sík és egy végtelen töltött szál által létrehozott mező. A végtelen töltött sík által létrehozott mező egyenletes, intenzitása bármely ponton

. (2)

A végtelen töltött vonal által létrehozott mező nem egyenletes. Intenzitása a távolságtól függ, és a képlet határozza meg


. (3)

Az elektromos terek szuperpozíciójának elve szerint a térerősség azon a ponton, ahol a töltés van K, egyenlő az intenzitások vektorösszegével E 1 És E 2 (14.5. ábra): E=E 1 +E 2 . Mivel a vektorok E 1 És E 2 akkor egymásra merőlegesen

.

Kifejezések helyettesítése E 1 És E 2 a (2) és (3) képletet ebbe az egyenlőségbe kapjuk

,

vagy
.

Most találjuk meg az erőt F, a töltésre hatva, a kifejezést helyettesítve E az (1) képletbe:

. (4)

A mennyiségek értékeinek helyettesítése K,  0 , , ,  és r a (4) képletbe és számításokat végezve azt találjuk

F= 289 µN.

Kényszer irány F, pozitív töltésre hatva K, egybeesik az intenzitásvektor irányával E mezőket. Irány ugyanaz a vektor E a töltött síkkal bezárt  szög adja. ábrából 14.5 ebből következik

, ahol
.

 értékeinek helyettesítése, r,  és  ebbe a kifejezésbe és kiszámolva kapjuk

5. példa ponttöltés K\u003d 25 nC egy sugarú egyenes végtelen henger által létrehozott mezőben van R= 1 cm, egyenletesen töltve =2 μC/m 2 felületi sűrűséggel. Határozza meg a henger tengelyétől bizonyos távolságra elhelyezett töltetre ható erőt! r=10 cm.

Megoldás. Vádon cselekvő kényszer K, a terepen található,

F=QE,(1)

ahol E - térerősség azon a ponton, ahol a töltés található K.

Mint ismeretes, egy végtelenül hosszú egyenletes töltésű henger térerőssége

E=/(2 0 r), (2)

ahol  a lineáris töltéssűrűség.

Fejezzük ki a lineáris sűrűséget  a felületi sűrűséggel . Ehhez válasszon ki egy hosszúságú hengerelemet lés kifejezze rajta a vádat K 1 két út:

K 1 = S=2 Rlés Q 1 = l.

Ezeknek az egyenlőségeknek a megfelelő részeit egyenlővé téve -t kapunk l=2 Rl. Lerövidítése után l talál =2 R. Ezt szem előtt tartva a (2) képlet felveszi a formát E=R/( 0 r). Ezt a kifejezést helyettesítve E az (1) képletben megtaláljuk a kívánt erőt:

F=QR/( 0 r).(3)

Mivel RÉs r arányként szerepelnek a képletben, akkor bármilyen, de csak azonos mértékegységben kifejezhetők.

A (3) képlet segítségével végzett számítások elvégzése után azt találjuk

F\u003d 2510 -9 210 -6 10 -2 / (8,8510 -12 1010 -2)H==56510-6 H=565μH.

Kényszer irány F egybeesik a feszültségvektor irányával E, az utóbbi pedig a szimmetria miatt (a henger végtelenül hosszú) a hengerre merőlegesen irányul.

6. példa Az elektromos teret egy vékony, végtelenül hosszú menet hozza létre, egyenletesen töltve =30 nC/m lineáris sűrűséggel. Távolról de\u003d 20 cm-re a menettől van egy sík, kerek terület, amelynek sugara van r\u003d 1 cm. Határozza meg a feszültségvektor ezen a területen áthaladó áramlását, ha síkja  \u003d 30 ° -os szöget zár be a terület közepén áthaladó feszültségvonallal.

Megoldás. A töltött izzószál által végtelenül egyenletesen létrehozott mező inhomogén. Az intenzitásvektor fluxusát ebben az esetben az integrál fejezi ki

, (1)

ahol E n - vektor vetítés E normálra n a helyszín felszínére dS. Az integrációt a telek teljes felületén hajtják végre, amelyet feszültségvonalak szabnak át.

P
kivetítés E Pábrán látható módon a feszültségvektor egyenlő. 14,6,

E P =E cos,

ahol  a vektor iránya és a normál közötti szög n. Ezt szem előtt tartva az (1) képlet felveszi a formát

.

Mivel a felület felületének méretei kicsik a menet távolságához képest (r<E nagyon kevés. abszolút értékben és irányban változik a webhelyen belül, ami lehetővé teszi az integráljel alatti értékek cseréjét Eés cos átlagértékeiket<E> és és vegyük ki őket az integráljelből:

Integrálással és cserével<E> és hozzávetőleges értékeik E Aés cos A , a lelőhely felezőpontjára számolva megkapjuk

F E =E A kötözősaláta A S= r 2 E A cos A . (2)

feszültség E A képlettel számítjuk ki E A=/(2 0 a). Tól től

rizs. 14,6 követi a cos A=cos(/2 - )=bűn.

Adott a kifejezés E Aés cos A egyenlőség (2.) formát ölt

.

Az adatokat az utolsó képletbe behelyettesítve és számításokat végezve azt találjuk

F E= 424 mV.m.

Példa 7 . Két koncentrikus vezető gömb sugarakkal R 1 =6 cm és R 2 = 10 cm-es hordozható töltet ill K 1 =l nC és K 2 = -0,5 nC. Találd meg a feszültséget E mezők a gömbök középpontjától távol eső pontokon r 1 = 5 cm, r 2 = 9 cm r 3 = 15 cm. Grafikon létrehozása E(r).

R
megoldás. Ne feledje, hogy azok a pontok, ahol meg akarja találni az elektromos térerősséget, három területen találhatók (14.7. ábra): I. terület ( r<R 1 ), II. régió ( R 1 <r 2 <R 2 ), III. régió ( r 3 >R 2 ).

1. A feszültség meghatározása E 1 régióban gömbfelületet rajzolok S 1 sugár r 1 és használja az Ostrogradsky-Gauss tételt. Mivel az I. tartományon belül nincsenek töltések, így a feltüntetett tétel szerint az egyenlőséget kapjuk

, (1)

ahol E n az elektromos térerősség normál összetevője.

A szimmetria okán a normál komponens E n egyenlőnek kell lennie magával a feszültséggel, és állandónak kell lennie a gömb minden pontjában, azaz. En=E 1 = const. Ezért az integráljelből kivehető. Az (1) egyenlőség formáját ölti

.

Mivel egy gömb területe nem nulla, akkor

E 1 =0,

azaz a feltételt kielégítő minden ponton a térerősséget r 1 <.R 1 , egyenlő lesz nullával.

2. A II. tartományban egy sugarú gömbfelületet rajzolunk r 2 . Mivel ezen a felületen belül töltés van K 1 , akkor az Ostrogradsky-Gauss tétel szerint felírhatjuk az egyenlőséget

. (2)

Mivel E n =E 2 =const, akkor a szimmetriafeltételek arra utalnak

, vagy ES 2 =K 1 / 0 ,

E 2 =K 1 /( 0 S 2 ).

Ha itt helyettesítjük a gömb területére vonatkozó kifejezést, azt kapjuk

E 2 =K/(4
). (3)

3. A III. tartományban egy sugarú gömbfelületet rajzolunk r 3 . Ez a felület lefedi a teljes töltést K 1 +K 2 . Ezért ehhez az Ostrogradszkij-Gauss tétel alapján felírt egyenlet alakja lesz

.

Így az első két esetben alkalmazott rendelkezéseket felhasználva azt találjuk

Ügyeljünk arra, hogy a (3) és (4) egyenlőség megfelelő részei adják az elektromos térerő mértékegységét;

Minden mennyiséget SI egységben fejezünk ki ( K 1 \u003d 10 -9 C, K 2 = –0,510 -9 C, r 1 =0,09 m, r 2 =15 m , l/(4 0 )=910 9 m/F), és végezze el a számításokat:


4. Készítsünk grafikont E(r).BAN BEN I. terület ( r 1 1 ) feszültség E=0. A II (R 1 r<.R 2 ) feszültség E 2 (r) törvény szerint változik l/r 2 . Azon a ponton r=R 1 feszültség E 2 (R 1 )=Q 1 /(4 0 R )=2500 V/m A ponton r=R 1 (r hajlamos R 1 bal) E 2 (R 2 )=Q 1 /(4 0 R )=900V/m. A III. régióban ( r>R 2 )E 3 (r) törvény szerint változik 1/ r 2 , és azon a ponton r=R 2 (r hajlamos R 2 jobb oldalon) E 3 (R 2 ) =(K 1 –|Q 2 |)/(4 0 R )=450 V/m. Tehát a funkció E(r) pontokon r=R 1 És r=R 2 szünetet szenved. függőségi grafikon E(r) ábrán látható. 14.8.

Feladatok

Ponttöltések térerőssége

14.1. Határozza meg a feszültséget E ponttöltés által generált elektromos tér K=10 nC távolságban r\u003d 10 cm-re tőle. Dielektrikum - olaj.

14.2. Távolság d két ponttöltés között K 1 =+8 nC és K 2 \u003d -5,3 nC egyenlő 40 cm. Számítsa ki az intenzitást E mező félúton a töltések között. Mekkora az intenzitás, ha a második töltés pozitív?

14.3. K 1 =10 nC és K 2 = –20 nC, távolságban található d=20 cm távolságra. Határozza meg a feszültséget E mező az első töltéstől távolabbi ponton r 1 \u003d 30 cm és a másodiktól a r 2 =50 cm.

14.4. Távolság d két pont pozitív töltés között K 1 =9KÉs K 2 \u003d Q egyenlő 8 cm. Milyen r távolságra van az első töltéstől az a pont, ahol az intenzitás E a töltésmező nulla? Hol lenne ez a pont, ha a második töltés negatív lenne?

14.5. Két pontos díj K 1 =2KÉs K 2 = –K távol vannak d egymástól. Határozza meg egy pont helyzetét az ezeken a töltéseken átmenő egyenesen, az intenzitást! E mezők, amelyekben egyenlő nullával,

14.6. Kétpontos töltés által létrehozott elektromos mező K 1 =40 nC és K 2 = –10 nC, távolságban található d=10 cm távolságra. Határozza meg a feszültséget E mező az első töltéstől távolabbi ponton r 1 \u003d 12 cm és a másodiktól a r 2 = 6 cm.

A gyűrűn és a gömbön eloszló töltés térerőssége

14.7. Vékony gyűrű sugárral R\u003d 8 cm egyenletesen eloszló töltést hordoz lineáris sűrűséggel  \u003d 10 nC/m. Mi a feszültség E elektromos tér olyan pontban, amely egyenlő távolságra van a gyűrű minden pontjától távol r\u003d 10 cm?

14.8. A félgömb egyenletes eloszlású töltést hordoz =1,nC/m 2 felületi sűrűséggel. Találd meg a feszültséget E elektromos tér a félgömb geometriai középpontjában.

14.9. Sugárú fémgömbön R\u003d 10 cm egy díj K=l nC. Határozza meg a feszültséget E elektromos mező a következő pontokban: 1) távolságban r 1 =8 cm-re a gömb közepétől; 2) a felületén; 3) távolról r 2 =15 cm-re a gömb közepétől. Nyomtatási függőségi grafikon E tól től r.

14.10. Két koncentrikus fém töltésű gömb sugarakkal R 1 =6cm és R 2 \u003d 10 cm-es töltések, ill K 1 =1 nC és K 2 = – 0,5 nC. Találd meg a feszültséget E pont mezők. a gömbök középpontjától bizonyos távolságokra elhelyezve r 1 = 5 cm, r 2 = 9 cm, r 3 \u003d 15 cm Telekfüggőség E(r).

Töltött vonal térerőssége

14.11. Egy nagyon hosszú, vékony, egyenes huzal a teljes hosszában egyenletesen elosztva hordoz töltést. Számítsa ki a lineáris töltéssűrűséget , ha az intenzitás E mezők a távolban de\u003d 0,5 m-re a vezetéktől a közepétől 200 V / m.

14.12. Távolság d két egymással párhuzamos hosszú vékony huzal között 16 cm A vezetékek egyenletesen töltődnek ellentétes töltésekkel lineáris sűrűségű ||=^150. µC/m. Mi a feszültség E mezők egy távoli ponton r\u003d 10 cm-re az első és a második vezetéktől is?

14.13. Egyenes fémrúd átmérője d= 5 cm és hosszú l\u003d 4 m egyenletesen eloszló töltést hordoz a felületén K=500 nC. Határozza meg a feszültséget E mező a rúd közepével távolabbi pontban de=1 cm a felületétől.

14.14. Végtelenül hosszú, vékony falú fémcső sugárral R\u003d 2 cm egyenletesen eloszlatott töltést hordoz a felületen ( \u003d 1 nC / m 2). Határozza meg a feszültséget E mezők a cső tengelyétől távol eső pontokon r 1 \u003d l cm, r 2 \u003d 3 cm Telekfüggőség E(r).


Azt is ajánljuk