V tomto článku budeme analyzovať celočíselné delenie so zvyškom. Začnime všeobecným princípom delenia celých čísel zvyškom, sformulujme a dokážme vetu o deliteľnosti celých čísel so zvyškom, vystopujme súvislosti medzi dividendou, deliteľom, čiastočným podielom a zvyškom. Ďalej oznámime pravidlá, podľa ktorých sa vykonáva delenie celých čísel so zvyškom, a zvážime uplatnenie týchto pravidiel pri riešení príkladov. Potom sa naučíme, ako skontrolovať výsledok delenia celých čísel zvyškom.

Navigácia na stránke.

Všeobecná myšlienka delenia celých čísel so zvyškom

Delenie celých čísel so zvyškom budeme považovať za zovšeobecnenie delenia so zvyškom prirodzených čísel. Je to spôsobené tým, že prirodzené čísla sú súčasťou celých čísel.

Začnime pojmami a zápisom, ktoré sú použité v popise.

Analogicky s delením prirodzených čísel so zvyškom predpokladáme, že výsledkom delenia so zvyškom dvoch celých čísel a a b (b sa nerovná nule) sú dve celé čísla c a d . Volajú sa čísla a a b deliteľné A rozdeľovač respektíve číslo d je zvyšok z delenia a číslom b a nazýva sa celé číslo c neúplné súkromné(alebo jednoducho súkromné ak je zvyšok nula).

Dohodnime sa, že zvyšok je nezáporné celé číslo a jeho hodnota nepresahuje b, teda (s podobnými reťazcami nerovníc sme sa stretli, keď sme hovorili o porovnávaní troch alebo viacerých celých čísel).

Ak je číslo c parciálnym podielom a číslo d je zvyšok po delení celého čísla a celým číslom b, potom túto skutočnosť stručne zapíšeme ako rovnosť tvaru a:b=c (zostáva d) .

Všimnite si, že keď je celé číslo a delené celým číslom b, zvyšok môže byť nula. V tomto prípade hovoríme, že a je deliteľné b bez stopy(alebo úplne). Delenie celých čísel bez zvyšku je teda špeciálnym prípadom delenia celých čísel so zvyškom.

Za zmienku tiež stojí, že pri delení nuly nejakým celým číslom sa vždy zaoberáme delením bezo zvyšku, pretože v tomto prípade bude kvocient rovný nule (pozri časť o teórii delenia nuly celým číslom) a zvyšok bude tiež rovný nule.

Rozhodli sme sa pre terminológiu a zápis, teraz poďme zistiť význam delenia celých čísel so zvyškom.

Zmysel môže mať aj delenie záporného celého čísla a kladným celým číslom b. Ak to chcete urobiť, zvážte záporné celé číslo ako dlh. Predstavme si takúto situáciu. Dlh, ktorý tvorí položky, musí splatiť b ľudí, ktorí prispejú rovnakým dielom. Absolútna hodnota neúplného kvocientu c v tomto prípade určí výšku dlhu každého z týchto ľudí a zvyšok d ukáže, koľko položiek zostane po splatení dlhu. Vezmime si príklad. Povedzme, že 2 ľudia dlhujú 7 jabĺk. Ak predpokladáme, že každý z nich dlhuje 4 jablká, tak po zaplatení dlhu im ostane 1 jablko. Tejto situácii zodpovedá rovnosť (−7):2=−4 (zostáva 1) .

Delenie so zvyškom ľubovoľného celého čísla a záporným celým číslom, nebudeme pripisovať žiadny význam, ale ponecháme mu právo existovať.

Veta o deliteľnosti pre celé čísla so zvyškom

Keď sme hovorili o delení prirodzených čísel zvyškom, zistili sme, že delenec a, deliteľ b, parciálny kvocient c a zvyšok d súvisia rovnosťou a=b c+d. Celé čísla a, b, c a d zdieľajú rovnaký vzťah. Toto spojenie je potvrdené nasledujúcim teorém o deliteľnosti so zvyškom.

Veta.

Akékoľvek celé číslo a môže byť reprezentované jedinečným spôsobom prostredníctvom celého čísla a nenulového čísla b v tvare a=b q+r , kde q a r sú nejaké celé čísla a .

Dôkaz.

Najprv dokážme možnosť reprezentovať a=b·q+r .

Ak sú celé čísla a a b také, že a je rovnomerne deliteľné b, potom podľa definície existuje celé číslo q také, že a=b q . V tomto prípade platí rovnosť a=b q+r pre r=0.

Teraz budeme predpokladať, že b je kladné celé číslo. Celé číslo q volíme tak, že súčin b·q nepresahuje číslo a a súčin b·(q+1) je už väčší ako a . To znamená, že q vezmeme také, že nerovnosti b q

Zostáva dokázať možnosť reprezentácie a=b q+r pre záporné b .

Pretože modul čísla b je v tomto prípade kladné číslo, potom existuje reprezentácia pre , kde q 1 je nejaké celé číslo a r je celé číslo, ktoré spĺňa podmienky . Potom za predpokladu q=−q 1 dostaneme požadované zobrazenie a=b q+r pre záporné b .

Obraciame sa na dôkaz jedinečnosti.

Predpokladajme, že okrem zobrazenia a=b q+r, q a r sú celé čísla a , existuje ďalšie zobrazenie a=b q 1 + r 1 , kde q 1 a r 1 sú nejaké celé čísla a q 1 ≠ q a .

Po odčítaní ľavej a pravej časti prvej rovnosti, respektíve ľavej a pravej časti druhej rovnosti, dostaneme 0=b (q−q 1)+r−r 1 , čo je ekvivalent rovnosti r− r 1 =b (q 1 − q) . Potom rovnosť formy , a vzhľadom na vlastnosti modulu čísla - a rovnosti .

Z podmienok a môžeme usúdiť, že . Keďže q a q 1 sú celé čísla a q≠q 1 , potom z toho vyvodíme, že . Zo získaných nerovností a z toho vyplýva, že rovnosť formy podľa nášho predpokladu nemožné. Preto neexistuje iná reprezentácia čísla a okrem a=b·q+r .

Vzťahy medzi dividendou, deliteľom, čiastočným podielom a zvyškom

Rovnosť a=b c+d vám umožňuje nájsť neznámu dividendu a, ak je známy deliteľ b, parciálny kvocient c a zvyšok d. Zvážte príklad.

Príklad.

Čomu sa rovná dividenda, ak jej delením celým číslom −21 vznikne neúplný kvocient 5 a zvyšok 12?

Riešenie.

Dividendu a musíme vypočítať, keď poznáme deliteľa b=−21 , parciálny kvocient c=5 a zvyšok d=12 . Prejdením na rovnosť a=b c+d dostaneme a=(−21) 5+12 . Pozorovaním najprv vykonáme násobenie celých čísel −21 a 5 podľa pravidla o násobení celých čísel s rôznymi znamienkami, potom vykonáme sčítanie celých čísel s rôznymi znamienkami: (−21) 5+12=−105+12 =-93 .

odpoveď:

−93 .

Vzťahy medzi dividendou, deliteľom, parciálnym kvocientom a zvyškom sú vyjadrené aj rovnosťami v tvare b=(a−d):c , c=(a−d):ba d=a−b·c . Tieto rovnosti nám umožňujú vypočítať deliteľa, parciálny kvocient a zvyšok. Často potrebujeme nájsť zvyšok delenia celého čísla a celým číslom b, keď poznáme dividendu, deliteľa a čiastočný kvocient pomocou vzorca d=a−b·c . Aby sme sa vyhli ďalším otázkam, rozoberieme si príklad výpočtu zvyšku.

Príklad.

Nájdite zvyšok po delení celého čísla −19 celým číslom 3, ak je známy parciálny kvocient −7.

Riešenie.

Na výpočet zvyšku delenia použijeme vzorec v tvare d=a−b·c . Z podmienky máme všetky potrebné údaje a=−19 , b=3 , c=−7 . Dostaneme d=a−b c=−19−3 (−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (rozdiel −19−(−21) sme vypočítali pravidlom odčítania záporu celé číslo).

odpoveď:

Delenie so zvyškom kladných celých čísel, príklady

Ako sme už viackrát poznamenali, kladné celé čísla sú prirodzené čísla. Preto sa delenie so zvyškom kladných celých čísel vykonáva podľa všetkých pravidiel pre delenie so zvyškom prirodzených čísel. Je veľmi dôležité, aby bolo možné jednoducho vykonávať delenie zvyškom prirodzených čísel, pretože to je základom delenia nielen kladných celých čísel, ale aj základom všetkých pravidiel delenia zvyškom ľubovoľných celých čísel.

Z nášho pohľadu je najvýhodnejšie vykonať delenie stĺpcom, táto metóda umožňuje získať aj neúplný kvocient (alebo len kvocient) aj zvyšok. Uvažujme o príklade delenia so zvyškom kladných celých čísel.

Príklad.

Vykonajte rozdelenie so zvyškom 14671 na 54 .

Riešenie.

Vykonajte rozdelenie týchto kladných celých čísel stĺpcom:

Neúplný kvocient sa ukázal byť 271 a zvyšok je 37.

odpoveď:

14 671:54=271 (zvyšok 37) .

Pravidlo delenia so zvyškom kladného celého čísla záporným celým číslom, príklady

Sformulujme pravidlo, ktoré vám umožní vykonať delenie so zvyškom kladného celého čísla záporným celým číslom.

Parciálny podiel delenia kladného celého čísla a záporným celým číslom b je opakom parciálneho podielu delenia a modulom b a zvyšok delenia a číslom b je zvyškom delenia číslom .

Z tohto pravidla vyplýva, že neúplný podiel delenia kladného celého čísla záporným celým číslom je kladné celé číslo.

Prerobme vyjadrené pravidlo na algoritmus na delenie so zvyškom kladného celého čísla záporným celým číslom:

• Modul deliteľa vydelíme modulom deliča, dostaneme neúplný podiel a zvyšok. (Ak sa v tomto prípade zvyšok rovná nule, potom sa pôvodné čísla rozdelia bez zvyšku a podľa pravidla na delenie celých čísel s opačnými znamienkami sa požadovaný kvocient rovná číslu opačnému k podielu z rozdelenie modulov.)
• Zapíšeme číslo opačné k prijatému neúplnému kvocientu a zvyšok. Tieto čísla sú požadovaným kvocientom a zvyškom delenia pôvodného kladného celého čísla záporným celým číslom.

Uveďme príklad použitia algoritmu na delenie kladného celého čísla záporným celým číslom.

Príklad.

Vydeľte zvyškom kladného celého čísla 17 záporným celým číslom −5 .

Riešenie.

Použime deliaci algoritmus so zvyškom kladného celého čísla záporným celým číslom.

Delenie

Opačné číslo 3 je -3. Požadovaný parciálny kvocient delenia 17 číslom -5 je teda -3 a zvyšok je 2.

odpoveď:

17 :(-5)=-3 (zvyšok 2).

Príklad.

Rozdeliť 45 x -15.

Riešenie.

Moduly dividendy a deliteľa sú 45 a 15. Číslo 45 je bezo zvyšku deliteľné 15, pričom kvocient je 3. Preto je kladné celé číslo 45 bezo zvyšku deliteľné záporným celým číslom −15, pričom podiel sa rovná číslu opačnému k 3, teda −3. Skutočne, podľa pravidla delenia celých čísel s rôznymi znamienkami máme .

odpoveď:

45:(−15)=−3 .

Delenie so zvyškom záporného celého čísla kladným celým číslom, príklady

Formulujme pravidlo delenia so zvyškom záporného celého čísla kladným celým číslom.

Ak chcete získať neúplný kvocient c z delenia záporného celého čísla a kladným celým číslom b, musíte vziať číslo opačné k neúplnému kvocientu z delenia modulov pôvodných čísel a odpočítať od neho jeden, potom sa vypočíta zvyšok d. pomocou vzorca d=a−b c .

Z tohto pravidla delenia so zvyškom vyplýva, že neúplný podiel delenia záporného celého čísla kladným celým číslom je záporné celé číslo.

Z vyjadreného pravidla vyplýva algoritmus delenia so zvyškom záporného celého čísla a kladným celým číslom b:

• Nájdeme moduly dividendy a deliteľa.
• Modul deliteľa vydelíme modulom deliča, dostaneme neúplný podiel a zvyšok. (Ak je zvyšok nula, potom sú pôvodné celé čísla deliteľné bez zvyšku a požadovaný podiel sa rovná číslu opačnému k podielu z delenia modulov.)
• Zapíšeme si číslo opačné k prijatému neúplnému podielu a odčítame od neho číslo 1. Vypočítané číslo je požadovaný parciálny podiel c z delenia pôvodného záporného celého čísla kladným celým číslom.

Analyzujme riešenie príkladu, v ktorom použijeme algoritmus písomného delenia so zvyškom.

Príklad.

Nájdite čiastočný kvocient a zvyšok záporného celého čísla −17 delené kladným celým číslom 5 .

Riešenie.

Modul deliteľa -17 je 17 a modul deliča 5 je 5.

Delenie 17 x 5, dostaneme neúplný kvocient 3 a zvyšok 2.

Opakom 3 je −3 . Odčítajte jednu od −3: −3−1=−4 . Takže požadovaný neúplný kvocient je -4.

Zostáva vypočítať zvyšok. V našom príklade a=−17 , b=5 , c=−4 , potom d=a−b c=−17−5 (−4)= −17−(−20)=−17+20=3 .

Čiastočný kvocient záporného celého čísla −17 delený kladným celým číslom 5 je teda −4 a zvyšok je 3.

odpoveď:

(-17):5=-4 (zvyšok 3).

Príklad.

Vydeľte záporné celé číslo −1 404 kladným celým číslom 26 .

Riešenie.

Delený modul je 1404, deliaci modul je 26.

Vydeľte 1404 číslom 26 v stĺpci:

Pretože modul deliteľa bol vydelený modulom deliča bez zvyšku, pôvodné celé čísla sa delia bezo zvyšku a požadovaný kvocient sa rovná číslu opačnému k 54, teda −54.

odpoveď:

(−1 404):26=−54 .

Pravidlo delenia so zvyškom záporných celých čísel, príklady

Sformulujme pravidlo delenia so zvyškom záporných celých čísel.

Ak chcete získať neúplný podiel c z delenia záporného celého čísla a záporným celým číslom b, musíte vypočítať neúplný kvocient z delenia modulov pôvodných čísel a pridať k nemu jednu, potom vypočítajte zvyšok d pomocou vzorca d =a−b c .

Z tohto pravidla vyplýva, že neúplný kvocient delenia záporných celých čísel je kladné celé číslo.

Prepíšme vyjadrené pravidlo vo forme algoritmu na delenie záporných celých čísel:

• Nájdeme moduly dividendy a deliteľa.
• Modul deliteľa vydelíme modulom deliča, dostaneme neúplný podiel a zvyšok. (Ak je zvyšok nula, potom sú pôvodné celé čísla deliteľné bez zvyšku a požadovaný kvocient sa rovná podielu delenia modulu deliteľa modulom deliteľa.)
• K výslednému neúplnému kvocientu pridáme jednu, toto číslo je požadovaný neúplný kvocient z delenia pôvodných záporných celých čísel.
• Zvyšok vypočítajte pomocou vzorca d=a−b·c .

Zvážte použitie algoritmu na delenie záporných celých čísel pri riešení príkladu.

Príklad.

Nájdite čiastočný kvocient a zvyšok záporného celého čísla −17 delené záporným celým číslom −5.

Riešenie.

Použijeme príslušný algoritmus delenia so zvyškom.

Delený modul je 17 , deliaci modul je 5 .

divízie 17 krát 5 dáva neúplný kvocient 3 a zvyšok 2.

K neúplnému kvocientu 3 pripočítame jednotku: 3+1=4. Preto požadovaný neúplný kvocient delenia −17 číslom −5 je 4.

Zostáva vypočítať zvyšok. V tomto príklade a=−17, b=−5, c=4, potom d=a−b c=−17−(−5) 4= −17−(−20)=−17+20=3.

Čiastočný kvocient záporného celého čísla −17 delený záporným celým číslom −5 je 4 a zvyšok je 3.

odpoveď:

(-17):(-5)=4 (zvyšok 3).

Kontrola výsledku delenia celých čísel zvyškom

Po vykonaní delenia celých čísel zvyškom je užitočné skontrolovať výsledok. Overenie sa vykonáva v dvoch etapách. V prvej fáze sa skontroluje, či zvyšok d je nezáporné číslo a skontroluje sa aj podmienka. Ak sú splnené všetky podmienky prvej fázy overovania, môžete prejsť do druhej fázy overovania, inak možno tvrdiť, že pri delení zvyškom sa niekde stala chyba. V druhej fáze sa kontroluje platnosť rovnosti a=b·c+d. Ak je táto rovnosť pravdivá, delenie so zvyškom bolo vykonané správne, inak sa niekde stala chyba.

Uvažujme o riešeniach príkladov, v ktorých sa kontroluje výsledok delenia celých čísel so zvyškom.

Príklad.

Pri delení čísla -521 číslom -12 bol čiastočný kvocient 44 a zvyšok 7, skontrolujte výsledok.

Riešenie. −2 pre b=−3, c=7, d=1. Máme b c+d=-3 7+1=-21+1=-20. Rovnosť a=b c+d je teda nesprávna (v našom príklade a=−19 ).

Preto bolo rozdelenie so zvyškom vykonané nesprávne.

Článok analyzuje koncept delenia celých čísel so zvyškom. Ukážeme vetu o deliteľnosti celých čísel so zvyškom a pozrieme sa na súvislosti medzi deliteľmi a deliteľmi, neúplnými kvocientmi a zvyškami. Zvážte pravidlá, keď sa vykonáva delenie celých čísel so zvyškami, po podrobnom preskúmaní s príkladmi. Na konci riešenia vykonáme kontrolu.

Všeobecné chápanie delenia celých čísel so zvyškami

Delenie celých čísel so zvyškom sa považuje za zovšeobecnené delenie so zvyškom prirodzených čísel. Deje sa tak preto, lebo prirodzené čísla sú zložkou celých čísel.

Delenie so zvyškom ľubovoľného čísla hovorí, že celé číslo a je deliteľné číslom b , ktoré je odlišné od nuly. Ak b = 0, delenie so zvyškom sa nevykoná.

Rovnako ako delenie prirodzených čísel so zvyškom sa vykonáva delenie celých čísel a a b, pričom b sa líši od nuly, pomocou c a d. V tomto prípade sa a a b nazývajú dividenda a deliteľ a d je zvyšok delenia, c je celé číslo alebo čiastočný kvocient.

Ak predpokladáme, že zvyšok je nezáporné celé číslo, potom jeho hodnota nie je väčšia ako modul čísla b. Zapíšme to takto: 0 ≤ d ≤ b . Tento reťazec nerovností sa používa pri porovnávaní 3 alebo viacerých čísel.

Ak c je neúplný kvocient, potom d je zvyšok delenia celého čísla a číslom b, môžete stručne opraviť: a: b \u003d c (zostáva d).

Zvyšok pri delení čísel a b je možná nula, potom hovoria, že a je delené b úplne, teda bezo zvyšku. Za osobitný prípad delenia sa považuje delenie bezo zvyšku.

Ak vydelíme nulu nejakým číslom, dostaneme nulu. Zvyšok delenia bude tiež nulový. To možno vidieť z teórie delenia nuly celým číslom.

Teraz zvážte význam delenia celých čísel so zvyškom.

Je známe, že kladné celé čísla sú prirodzené, potom pri delení zvyškom získame rovnaký význam ako pri delení prirodzených čísel zvyškom.

Delenie záporného celého čísla a kladným celým číslom b dáva zmysel. Pozrime sa na príklad. Predstavte si situáciu, že máme dlžobu položiek vo výške a, ktorú potrebuje splatiť b ľudí. Aby to bolo možné, každý musí prispieť rovnakým dielom. Pre určenie výšky dlhu pre každého je potrebné venovať pozornosť hodnote súkromných c. Zvyšok d znamená, že je známy počet položiek po splatení dlhov.

Vezmime si príklad s jablkami. Ak 2 ľudia potrebujú 7 jabĺk. Ak spočítame, že každý musí vrátiť 4 jablká, po úplnom započítaní mu ostane 1 jablko. Zapíšme to ako rovnosť: (− 7) : 2 = − 4 (о с t. 1) .

Delenie ľubovoľného čísla a celým číslom nemá zmysel, ale je to možné.

Veta o deliteľnosti pre celé čísla so zvyškom

Zistili sme, že a je dividenda, potom b je deliteľ, c je čiastočný kvocient a d je zvyšok. Sú vzájomne prepojené. Tento vzťah ukážeme pomocou rovnosti a = b · c + d . Vzťah medzi nimi charakterizuje veta o deliteľnosti so zvyškom.

Veta

Akékoľvek celé číslo môže byť reprezentované iba ako celé číslo a nenulové číslo b týmto spôsobom: a = b · q + r , kde q a r sú nejaké celé čísla. Tu máme 0 ≤ r ≤ b .

Dokážme možnosť existencie a = b · q + r .

Dôkaz

Ak existujú dve čísla a a b a a je bezo zvyšku deliteľné číslom b, potom z definície vyplýva, že existuje číslo q, že rovnosť a = b · q bude platiť. Potom možno považovať rovnosť za pravdivú: a = b q + r pre r = 0.

Potom je potrebné vziať q také, ktoré je dané nerovnicou b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Máme, že hodnota výrazu a − b · q je väčšia ako nula a nie väčšia ako hodnota čísla b, z toho vyplýva, že r = a − b · q . Dostaneme, že číslo a možno znázorniť ako a = b · q + r.

Teraz musíme zvážiť možnosť reprezentácie a = b · q + r pre záporné hodnoty b.

Modul čísla sa ukáže ako kladný, potom dostaneme a = b q 1 + r, kde hodnota q 1 je nejaké celé číslo, r je celé číslo, ktoré vyhovuje podmienke 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Dôkaz jedinečnosti

Predpokladajme, že a = b q + r , q a r sú celé čísla s podmienkou 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 A r1 sú nejaké čísla kde q 1 ≠ q, 0 ≤ r1< b .

Keď nerovnosť odpočítame od ľavej a pravej strany, dostaneme 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 , čo je ekvivalentné r - r 1 = b · q 1 - q . Keďže je modul použitý, dostaneme rovnosť r - r 1 = b · q 1 - q.

Daná podmienka hovorí, že 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q A q 1- celé a q ≠ q 1, potom q 1 - q ≥ 1 . Z toho vyplýva, že b · q 1 - q ≥ b . Výsledné nerovnosti r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Z toho vyplýva, že číslo a nie je možné znázorniť iným spôsobom, len nie takýmto zápisom a = b · q + r.

Vzťah medzi dividendou, deliteľom, čiastočným podielom a zvyškom

Pomocou rovnosti a \u003d b c + d môžete nájsť neznámu dividendu a, keď je deliteľ b známy s neúplným podielom c a zvyškom d.

Príklad 1

Určte dividendu, ak pri delení dostaneme - 21, neúplný podiel 5 a zvyšok 12.

Riešenie

Je potrebné vypočítať dividendu a so známym deliteľom b = − 21, neúplným kvocientom c = 5 a zvyškom d = 12. Musíme sa odvolávať na rovnosť a = b c + d, odtiaľ dostaneme a = (− 21) 5 + 12. V závislosti od poradia operácií vynásobíme - 21 5, potom dostaneme (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93.

odpoveď: - 93 .

Vzťah medzi deliteľom a čiastočným kvocientom a zvyškom možno vyjadriť pomocou rovnosti: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b a d = a − b · c . S ich pomocou vieme vypočítať deliteľa, parciálny kvocient a zvyšok. To sa scvrkáva na neustále hľadanie zvyšku delenia celého čísla a číslom b so známym deliteľom, deliteľom a čiastočným kvocientom. Použije sa vzorec d = a − b · c. Zvážme riešenie podrobne.

Príklad 2

Nájdite zvyšok po delení celého čísla - 19 celým číslom 3 so známym neúplným kvocientom rovným - 7 .

Riešenie

Na výpočet zvyšku delenia použijeme vzorec v tvare d = a − b c . Podľa podmienky sú dostupné všetky údaje a = − 19 , b = 3 , c = − 7 . Odtiaľ dostaneme d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (rozdiel - 19 - (- 21)... Tento príklad je vypočítaný pravidlom odčítania celé záporné číslo.

odpoveď: 2 .

Všetky kladné celé čísla sú prirodzené. Z toho vyplýva, že delenie sa vykonáva podľa všetkých pravidiel delenia so zvyškom prirodzených čísel. Rýchlosť delenia zvyškom prirodzených čísel je dôležitá, keďže na nej nie je založené len delenie kladných čísel, ale aj pravidlá delenia ľubovoľných celých čísel.

Najpohodlnejšou metódou delenia je stĺpec, pretože je jednoduchšie a rýchlejšie získať neúplný alebo len podiel so zvyškom. Pozrime sa na riešenie podrobnejšie.

Príklad 3

Vydeľte 14671 číslom 54 .

Riešenie

Toto rozdelenie sa musí vykonať v stĺpci:

To znamená, že neúplný kvocient sa rovná 271 a zvyšok je 37.

odpoveď: 14671: 54 = 271. (zvyšok 37)

Pravidlo delenia so zvyškom kladného celého čísla záporným celým číslom, príklady

Na delenie so zvyškom kladného čísla záporným celým číslom je potrebné sformulovať pravidlo.

Definícia 1

Neúplný podiel delenia kladného celého čísla a záporným celým číslom b dáva číslo, ktoré je opačné ako neúplný podiel delenia modulov čísel a číslom b. Potom je zvyšok zvyškom, keď a je delené b.

Z toho vyplýva, že neúplný podiel delenia kladného celého čísla záporným celým číslom sa považuje za kladné celé číslo.

Dostaneme algoritmus:

• vydelíme modul deliteľa modulom deliča, potom dostaneme neúplný kvocient a
• zvyšok;
• zapíšte si opačné číslo.

Uvažujme o príklade algoritmu na delenie kladného celého čísla záporným celým číslom.

Príklad 4

Vykonajte rozdelenie so zvyškom 17 na 5.

Riešenie

Aplikujme deliaci algoritmus so zvyškom kladného celého čísla záporným celým číslom. Je potrebné rozdeliť 17 na - 5 modulo. Odtiaľto dostaneme, že neúplný kvocient je 3 a zvyšok je 2.

Požadované číslo dostaneme vydelením 17 - 5 \u003d - 3 so zvyškom rovným 2.

odpoveď: 17: (− 5) = − 3 (zostávajúce 2).

Príklad 5

Rozdeľte 45 na -15 .

Riešenie

Je potrebné rozdeliť čísla modulo. Číslo 45 vydelíme 15, dostaneme podiel 3 bezo zvyšku. Takže číslo 45 je bezo zvyšku deliteľné 15. V odpovedi dostaneme - 3, keďže rozdelenie bolo vykonané modulo.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

odpoveď: 45: (− 15) = − 3 .

Formulácia deliaceho pravidla so zvyškom je nasledovná.

Definícia 2

Ak chcete získať neúplný kvocient c pri delení záporného celého čísla   a kladným b, musíte použiť opak tohto čísla a odpočítať od neho 1, potom sa zvyšok d vypočíta podľa vzorca: d = a − b · c.

Na základe pravidla môžeme usúdiť, že pri delení dostaneme nezáporné celé číslo. Pre presnosť riešenia sa používa algoritmus na delenie a b so zvyškom:

• nájsť moduly dividendy a deliteľa;
• rozdeliť modulo;
• napíš opak daného čísla a odčítaj 1 ;
• použite vzorec pre zvyšok d = a − b c .

Uvažujme o príklade riešenia, kde je tento algoritmus aplikovaný.

Príklad 6

Nájdite neúplný podiel a zvyšok delenia - 17 x 5.

Riešenie

Dané čísla delíme modulo. Dostaneme, že pri delení je podiel 3 a zvyšok je 2. Keďže sme dostali 3 , opak je 3 . Je potrebné odpočítať 1.

− 3 − 1 = − 4 .

Požadovaná hodnota sa rovná -4.

Na výpočet zvyšku potrebujete a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , potom d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3.

To znamená, že neúplný podiel delenia je číslo - 4 so zvyškom rovným 3.

odpoveď:(− 17) : 5 = − 4 (zostávajúce 3).

Príklad 7

Vydeľte záporné celé číslo - 1404 kladným číslom 26 .

Riešenie

Je potrebné rozdeliť podľa stĺpca a podľa modulu.

Dostali sme delenie modulov čísel bezo zvyšku. To znamená, že delenie sa vykonáva bezo zvyšku a požadovaný kvocient = - 54.

odpoveď: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Pravidlo delenia so zvyškom záporných celých čísel, príklady

Je potrebné sformulovať pravidlo delenia so zvyškom celých záporných čísel.

Definícia 3

Aby sme získali neúplný kvocient z delenia záporného celého čísla a záporným celým číslom b, je potrebné vykonať modulo výpočty, po ktorých pripočítame 1, potom môžeme vypočítať pomocou vzorca d = a − b · c.

Z toho vyplýva, že neúplný kvocient delenia záporných celých čísel bude kladné číslo.

Toto pravidlo formulujeme vo forme algoritmu:

• nájsť moduly dividendy a deliteľa;
• vydeľte modul deliteľa modulom deliča, aby ste získali neúplný kvocient s
• zvyšok;
• pridanie 1 k neúplnému kvocientu;
• výpočet zvyšku na základe vzorca d = a − b c .

Pozrime sa na tento algoritmus na príklade.

Príklad 8

Nájdite neúplný podiel a zvyšok pri delení -17 číslom -5.

Riešenie

Pre správnosť riešenia aplikujeme algoritmus delenia so zvyškom. Najprv rozdeľte čísla modulo. Odtiaľto dostaneme, že neúplný kvocient \u003d 3 a zvyšok je 2. Podľa pravidla je potrebné pripočítať neúplný podiel a 1. Dostaneme, že 3 + 1 = 4. Odtiaľto dostaneme, že neúplný kvocient z delenia daných čísel je 4.

Na výpočet zvyšku použijeme vzorec. Podľa podmienky máme, že a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, potom pomocou vzorca dostaneme d \u003d a - b c \u003d - 17 - (-5) 4 \u003d - 17 - (- 20) = - 17 + 20 = 3. Požadovaná odpoveď, teda zvyšok, je 3 a neúplný kvocient je 4.

odpoveď:(− 17): (− 5) = 4 (zostávajúce 3).

Kontrola výsledku delenia celých čísel zvyškom

Po vykonaní delenia čísel zvyškom je potrebné vykonať kontrolu. Táto kontrola zahŕňa 2 fázy. Najprv sa skontroluje zvyšok d na nezápornosť, podmienka 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Pozrime sa na príklady.

Príklad 9

Vyrábaná divízia - 521 x - 12. Podiel je 44, zvyšok je 7. Spustite kontrolu.

Riešenie

Keďže zvyšok je kladné číslo, jeho hodnota je menšia ako modul deliteľa. Deliteľ je -12, takže jeho modul je 12. Môžete prejsť na ďalší kontrolný bod.

Podľa podmienky máme, že a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7 . Odtiaľ vypočítame b c + d , kde b c + d = − 12 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 . Z toho vyplýva, že rovnosť je pravdivá. Kontrola prebehla.

Príklad 10

Kontrolné delenie (− 17) : 5 = − 3 (zostávajúce − 2). Je rovnosť pravdivá?

Riešenie

Význam prvej etapy je, že je potrebné skontrolovať delenie celých čísel so zvyškom. To ukazuje, že akcia bola vykonaná nesprávne, pretože je daný zvyšok rovný - 2. Zvyšok nie je záporné číslo.

Máme, že druhá podmienka je splnená, ale pre tento prípad nepostačuje.

odpoveď: Nie

Príklad 11

Číslo - 19 delené - 3 . Čiastočný podiel je 7 a zvyšok je 1. Skontrolujte, či je tento výpočet správny.

Riešenie

Vzhľadom na zvyšok 1. Je pozitívny. Hodnota je menšia ako modul oddeľovača, čo znamená, že sa vykoná prvý stupeň. Prejdime k druhej fáze.

Vypočítajme hodnotu výrazu b · c + d . Podľa podmienky máme, že b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, preto nahradením číselných hodnôt dostaneme b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. Z toho vyplýva, že nie je splnená rovnosť a = b · c + d, pretože podmienka je daná a = - 19 .

To znamená, že rozdelenie bolo vykonané s chybou.

odpoveď: Nie

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Zvážte jednoduchý príklad:
15:5=3
V tomto príklade sme prirodzené číslo rozdelili 15 úplne 3, žiadny zvyšok.

Niekedy sa prirodzené číslo nedá úplne rozdeliť. Zvážte napríklad problém:
V skrini bolo 16 hračiek. V skupine bolo päť detí. Každé dieťa si zobralo rovnaký počet hračiek. Koľko hračiek má každé dieťa?

Riešenie:
Vydeľte číslo 16 číslom 5 stĺpcom a získajte:

Vieme, že 16 krát 5 nie je deliteľné. Najbližšie menšie číslo, ktoré je deliteľné 5, je 15 so zvyškom 1. Číslo 15 môžeme napísať ako 5⋅3. V dôsledku toho (16 - dividenda, 5 - deliteľ, 3 - čiastočný kvocient, 1 - zvyšok). Mám vzorec rozdelenie so zvyškomčo sa dá urobiť overenie riešenia.

a= b⋅ c+ d
a - deliteľný
b - delič,
c - neúplný kvocient,
d - zvyšok.

Odpoveď: Každé dieťa si vezme 3 hračky a jedna hračka zostane.

Zvyšok divízie

Zvyšok musí byť vždy menší ako deliteľ.

Ak je pri delení zvyšok nula, potom je dividenda deliteľná. úplne alebo žiadny zvyšok na deliteľa.

Ak je pri delení zvyšok väčší ako deliteľ, znamená to, že nájdené číslo nie je najväčšie. Existuje väčšie číslo, ktoré rozdelí dividendu a zvyšok bude menší ako deliteľ.

Otázky na tému „Rozdelenie so zvyškom“:
Môže byť zvyšok väčší ako deliteľ?
odpoveď: nie.

Môže sa zvyšok rovnať deliteľovi?
odpoveď: nie.

Ako nájsť dividendu podľa neúplného kvocientu, deliteľa a zvyšku?
Odpoveď: dosadíme hodnoty neúplného kvocientu, deliteľa a zvyšku do vzorca a nájdeme dividendu. Vzorec:
a=b⋅c+d

Príklad č. 1:
Vykonajte rozdelenie so zvyškom a skontrolujte: a) 258:7 b) 1873:8

Riešenie:
a) Rozdeľte do stĺpca:

258 - deliteľné,
7 - delič,
36 - neúplný podiel,
6 - zvyšok. Zvyšok menší ako deliteľ 6<7.

7⋅36+6=252+6=258

b) Rozdeľte do stĺpca:

1873 - deliteľné,
8 - delič,
234 - neúplný podiel,
1 je zvyšok. Zvyšok menší ako deliteľ 1<8.

Dosaďte do vzorca a skontrolujte, či sme príklad vyriešili správne:
8⋅234+1=1872+1=1873

Príklad č. 2:
Aké zvyšky získame pri delení prirodzených čísel: a) 3 b) 8?

odpoveď:
a) Zvyšok je menší ako deliteľ, teda menší ako 3. V našom prípade môže byť zvyšok 0, 1 alebo 2.
b) Zvyšok je menší ako deliteľ, teda menší ako 8. V našom prípade môže byť zvyšok 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 alebo 7.

Príklad č. 3:
Aký najväčší zvyšok možno získať delením prirodzených čísel: a) 9 b) 15?

odpoveď:
a) Zvyšok je menší ako deliteľ, teda menší ako 9. Musíme však uviesť najväčší zvyšok. Teda číslo najbližšie k deliteľovi. Toto číslo je 8.
b) Zvyšok je menší ako deliteľ, teda menší ako 15. Musíme však uviesť najväčší zvyšok. Teda číslo najbližšie k deliteľovi. Toto číslo je 14.

Príklad č. 4:
Nájdite dividendu: a) a: 6 \u003d 3 (odpor. 4) b) c: 24 \u003d 4 (odpor. 11)

Riešenie:
a) Riešte pomocou vzorca:
a=b⋅c+d
(a je dividenda, b je deliteľ, c je čiastočný podiel, d je zvyšok.)
a:6=3(zvyš.4)
(a je delenec, 6 je deliteľ, 3 je neúplný podiel, 4 je zvyšok.) Dosaďte čísla vo vzorci:
a=6⋅3+4=22
Odpoveď: a=22

b) Riešte pomocou vzorca:
a=b⋅c+d
(a je dividenda, b je deliteľ, c je čiastočný podiel, d je zvyšok.)
s:24=4(zvyš.11)
(c je delenec, 24 je deliteľ, 4 je neúplný podiel, 11 je zvyšok.) Dosaďte čísla vo vzorci:
c=24⋅4+11=107
Odpoveď: s=107

Úloha:

Drôt 4m. musí byť narezaný na kúsky 13 cm. Koľko týchto kúskov bude?

Riešenie:
Najprv musíte previesť metre na centimetre.
4 m = 400 cm.
Môžete rozdeliť podľa stĺpca alebo vo vašej mysli dostaneme:
400:13=30 (zvyšok 10)
Skontrolujme to:
13⋅30+10=390+10=400

Odpoveď: Vyjde 30 kusov a zostane 10 cm drôtu.

Znaky deliteľnosti čísel- ide o pravidlá, ktoré umožňujú bez delenia pomerne rýchlo zistiť, či je toto číslo bezo zvyšku deliteľné daným číslom.
Niektorí z znaky deliteľnosti celkom jednoduché, niektoré ťažšie. Na tejto stránke nájdete znaky deliteľnosti prvočísel, ako napríklad 2, 3, 5, 7, 11, ako aj znaky deliteľnosti zložených čísel, ako napríklad 6 alebo 12.
Dúfam, že tieto informácie budú pre vás užitočné.
Príjemné učenie!

Znak deliteľnosti 2

Toto je jeden z najjednoduchších znakov deliteľnosti. Znie to takto: ak sa záznam prirodzeného čísla končí párnou číslicou, potom je párny (bez zvyšku delený 2) a ak záznam čísla končí nepárnou číslicou, potom je toto číslo nepárne.
Inými slovami, ak je posledná číslica čísla 2 , 4 , 6 , 8 alebo 0 - číslo je deliteľné 2, ak nie, tak nie je deliteľné
Napríklad čísla: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 sú deliteľné 2, pretože sú párne.
A čísla: 23 5 , 137 , 2303
nie sú deliteľné 2, pretože sú nepárne.

Znak deliteľnosti 3

Tento znak deliteľnosti má úplne iné pravidlá: ak je súčet číslic čísla deliteľný 3, potom je číslo deliteľné aj 3; Ak súčet číslic čísla nie je deliteľný 3, potom číslo nie je deliteľné 3.
Takže, aby ste pochopili, či je číslo deliteľné 3, stačí sčítať čísla, ktoré ho tvoria.
Vyzerá to takto: 3987 a 141 sú delené 3, pretože v prvom prípade 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - deliteľné bezo zvyšku 3), a v druhom 1+4+1= 6 (6:3=2 - tiež deliteľné 3 bezo zvyšku).
Ale čísla: 235 a 566 nie sú deliteľné 3, pretože 2+3+5= 10 a 5+6+6= 17 (a vieme, že ani 10, ani 17 nemožno bezo zvyšku deliť 3).

Deliteľnosť 4 znamienkami

Tento test deliteľnosti bude zložitejší. Ak posledné 2 číslice čísla tvoria číslo, ktoré je deliteľné 4 alebo je to 00, potom je číslo deliteľné 4, inak toto číslo nie je bezo zvyšku deliteľné 4.
Napríklad: 1 00 a 3 64 sú deliteľné 4, pretože v prvom prípade číslo končí na 00 a v druhom 64 , ktorý je zase deliteľný 4 bezo zvyšku (64:4=16)
Čísla 3 57 a 8 86 nie sú deliteľné 4, pretože ani jedno 57 ani jedno 86 nie sú deliteľné 4, a preto nezodpovedajú tomuto kritériu deliteľnosti.

Znak deliteľnosti 5

A opäť tu máme pomerne jednoduchý znak deliteľnosti: ak sa záznam prirodzeného čísla končí číslicou 0 alebo 5, potom je toto číslo deliteľné bezo zvyšku 5. Ak sa záznam čísla končí inou číslicou, potom číslo bez zvyšku nie je deliteľné 5.
To znamená, že akékoľvek čísla končiace číslicami 0 A 5 , napríklad 1235 5 a 43 0 , spadajú pod pravidlo a sú deliteľné 5.
A napríklad 1549 3 a 56 4 nekončia 5 alebo 0, čo znamená, že nemôžu byť deliteľné 5 bezo zvyšku.

Znak deliteľnosti 6

Pred nami je zložené číslo 6, ktoré je súčinom čísel 2 a 3. Zložený je teda aj znak deliteľnosti číslom 6: aby bolo číslo deliteľné číslom 6, musí zodpovedať dvom znakom deliteľnosti. zároveň: znak deliteľnosti 2 a znak deliteľnosti 3. Zároveň si všimnite, že také zložené číslo ako 4 má individuálny znak deliteľnosti, pretože je samo o sebe súčinom čísla 2 . Ale späť k testu deliteľnosti 6.
Čísla 138 a 474 sú párne a zodpovedajú znamienkam deliteľnosti 3 (1+3+8=12, 12:3=4 a 4+7+4=15, 15:3=5), čo znamená, že sú deliteľné 6. Ale 123 a 447, hoci sú deliteľné 3 (1+2+3=6, 6:3=2 a 4+4+7=15, 15:3=5), ale sú nepárne, a preto nezodpovedajú kritériu deliteľnosti 2, a preto nezodpovedajú kritériu deliteľnosti 6.

Znak deliteľnosti 7

Toto kritérium deliteľnosti je zložitejšie: číslo je deliteľné 7, ak je výsledok odčítania zdvojenej poslednej číslice od počtu desiatok tohto čísla deliteľný 7 alebo rovný 0.
Znie to dosť zmätočne, no v praxi je to jednoduché. Presvedčte sa sami: číslo 95 9 je deliteľné 7, pretože 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 je bezo zvyšku deliteľné 7). Okrem toho, ak sú ťažkosti s číslom získaným počas transformácií (kvôli jeho veľkosti je ťažké pochopiť, či je deliteľné 7 alebo nie, potom tento postup môže pokračovať toľkokrát, koľkokrát uznáte za vhodné).
Napríklad, 45 5 a 4580 1 majú znaky deliteľnosti 7. V prvom prípade je všetko celkom jednoduché: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. V druhom prípade urobíme toto: 4580 -2*1=4580-2=4578. Je pre nás ťažké pochopiť, či 457 8 x 7, takže postup zopakujeme: 457 -2*8=457-16=441. A opäť použijeme znamienko deliteľnosti, keďže máme pred sebou ešte trojciferné číslo 44 1. Takže, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, t.j. 42 je deliteľné číslom 7 bezo zvyšku, čo znamená, že číslo 45801 je tiež deliteľné číslom 7.
A tu sú čísla 11 1 a 34 5 nie je deliteľné 7, pretože 11 -2*1=11-2=9 (9 nie je rovnomerne deliteľné 7) a 34 -2*5=34-10=24 (24 nie je rovnomerne deliteľné 7).

Znak deliteľnosti 8

Znak deliteľnosti 8 znie takto: ak posledné 3 číslice tvoria číslo, ktoré je deliteľné 8, alebo je 000, potom je dané číslo deliteľné 8.
Čísla 1 000 alebo 1 088 sú deliteľné 8: prvý končí na 000 , druhy 88 :8=11 (deliteľné 8 bezo zvyšku).
A tu sú čísla 1 100 alebo 4 757 nie sú deliteľné 8, pretože čísla 100 A 757 nie sú bezo zvyšku deliteľné 8.

Znak deliteľnosti 9

Tento znak deliteľnosti je podobný znaku deliteľnosti 3: ak je súčet číslic čísla deliteľný 9, potom je číslo deliteľné aj 9; Ak súčet číslic čísla nie je deliteľný 9, potom číslo nie je deliteľné 9.
Napríklad: 3987 a 144 sú deliteľné 9, pretože v prvom prípade 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - deliteľné bezo zvyšku 9) a v druhom 1+4+4= 9 (9:9=1 - tiež deliteľné bezo zvyšku 9).
Čísla: 235 a 141 však nie sú deliteľné 9, pretože 2+3+5= 10 a 1+4+1= 6 (a vieme, že ani 10, ani 6 nemožno bezo zvyšku deliť 9).

Znaky deliteľnosti 10, 100, 1000 a inými bitovými jednotkami

Tieto kritériá deliteľnosti som skombinoval, pretože sa dajú opísať rovnakým spôsobom: číslo je deliteľné jednotkou bitu, ak počet núl na konci čísla je väčší alebo rovný počtu núl v danej bitovej jednotke.
Inými slovami, napríklad máme čísla ako toto: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . všetky sú deliteľné 1 0 ; 46400 a 867 000 sú tiež deliteľné 1 00 ; a iba jeden z nich - 867 000 deliteľné 1 000 .
Akékoľvek čísla, ktoré končia nulami menšími ako bitová jednotka, nie sú deliteľné touto bitovou jednotkou, napríklad 600 30 a 7 93 nezdieľať 1 00 .

Znak deliteľnosti 11

Aby ste zistili, či je číslo deliteľné 11, musíte získať rozdiel medzi súčtom párnych a nepárnych číslic tohto čísla. Ak sa tento rozdiel rovná 0 alebo je deliteľný 11 bezo zvyšku, potom samotné číslo je bezo zvyšku deliteľné 11.
Aby to bolo jasnejšie, navrhujem zvážiť príklady: 2 35 4 je deliteľné 11, pretože ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 je tiež deliteľné 11, pretože ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
A tu je 1 1 1 alebo 4 35 4 nie je deliteľné 11, pretože v prvom prípade dostaneme (1 + 1) - 1 =1 a v druhom ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Znak deliteľnosti 12

Číslo 12 je zložené. Jeho znakom deliteľnosti je súlad so znakmi deliteľnosti 3 a 4 súčasne.
Napríklad 300 a 636 zodpovedajú znamienkam deliteľnosti 4 (posledné 2 číslice sú nuly alebo deliteľné 4), ako aj znamienkam deliteľnosti 3 (súčet číslic a prvého a druhého čísla sú delené 3). ), a preto sú bezo zvyšku deliteľné 12.
Ale 200 alebo 630 nie sú deliteľné 12, pretože v prvom prípade číslo zodpovedá iba znamienku deliteľnosti 4 av druhom - iba znamienku deliteľnosti 3. Ale nie obom znamienkam súčasne.

Znak deliteľnosti 13

Znakom deliteľnosti 13 je, že ak je počet desiatok čísla, pripočítaný k jednotkám tohto čísla vynásobeným 4, násobkom 13 alebo rovným 0, potom je samotné číslo deliteľné 13.
Vezmite si napríklad 70 2. Takže 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 je rovnomerne deliteľné 13), takže 70 2 je deliteľné 13 bezo zvyšku. Ďalším príkladom je číslo 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. Číslo 130 je bezo zvyšku deliteľné 13, čo znamená, že dané číslo zodpovedá znamienku deliteľnosti 13.
Ak vezmeme čísla 12 5 resp 21 2, potom dostaneme 12 +4*5=32 a 21 +4*2=29 a ani 32, ani 29 nie sú bezo zvyšku deliteľné 13, čo znamená, že dané čísla nie sú bezo zvyšku deliteľné 13.

Deliteľnosť čísel

Ako je zrejmé z vyššie uvedeného, ​​možno predpokladať, že ktorékoľvek z prirodzených čísel môže byť spárované s vlastným individuálnym znakom deliteľnosti alebo "zloženým" znakom, ak je číslo násobkom niekoľkých rôznych čísel. Ale ako ukazuje prax, v podstate čím väčšie číslo, tým zložitejšia je jeho vlastnosť. Čas strávený kontrolou kritéria deliteľnosti môže byť rovnaký alebo dlhší ako samotné delenie. Preto zvyčajne používame najjednoduchšie testy deliteľnosti.