Na ktoré trojuholníky sa vzťahuje Pytagorova veta? Pytagorova veta: pozadie, dôkazy, príklady praktického použitia

Keď ste sa prvýkrát začali učiť o odmocninách a ako riešiť iracionálne rovnice (rovnice obsahujúce neznámu pod znamienkom odmocniny), pravdepodobne ste o nich dostali prvú predstavu. praktické využitie. Schopnosť extrahovať druhú odmocninu z čísel je tiež potrebná na riešenie problémov s aplikáciou Pytagorovej vety. Táto veta spája dĺžky strán ľubovoľného pravouhlého trojuholníka.

Dĺžky ramien pravouhlého trojuholníka (tie dve strany, ktoré sa zbiehajú v pravom uhle) označíme písmenami a a označíme dĺžku prepony (najdlhšia strana trojuholníka, ktorá sa nachádza oproti pravému uhla). listom. Potom sú príslušné dĺžky spojené nasledujúcim vzťahom:

Táto rovnica vám umožňuje nájsť dĺžku strany pravouhlého trojuholníka v prípade, že je známa dĺžka jeho ďalších dvoch strán. Okrem toho umožňuje určiť, či je uvažovaný trojuholník pravouhlý, za predpokladu, že sú vopred známe dĺžky všetkých troch strán.

Riešenie problémov pomocou Pytagorovej vety

Na upevnenie materiálu vyriešime nasledujúce úlohy pre aplikáciu Pytagorovej vety.

Takže dané:

Dĺžka jednej z nôh je 48, prepona je 80.
Dĺžka nohy je 84, prepona je 91.

Poďme k riešeniu:

a) Nahradením údajov do vyššie uvedenej rovnice získate nasledujúce výsledky:

48 2 + b 2 = 80 2

2304 + b 2 = 6400

b 2 = 4096

b= 64 resp b = -64

Keďže dĺžku strany trojuholníka nemožno vyjadriť záporným číslom, druhá možnosť sa automaticky zahodí.

Odpoveď na prvý obrázok: b = 64.

b) Dĺžka ramena druhého trojuholníka sa zistí rovnakým spôsobom:

84 2 + b 2 = 91 2

7056 + b 2 = 8281

b 2 = 1225

b= 35 resp b = -35

Rovnako ako v predchádzajúcom prípade sa negatívny roztok zahodí.

Odpoveď na druhý obrázok: b = 35

Je nám dané:

Dĺžky menších strán trojuholníka sú 45 a 55 a väčšie sú 75.
Dĺžky menších strán trojuholníka sú 28 a 45, väčšie sú 53.

Riešime problém:

a) Je potrebné skontrolovať, či sa súčet druhých mocnín dĺžok menších strán daného trojuholníka rovná druhej mocnine dĺžky väčšieho:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Preto prvý trojuholník nie je pravouhlý.

b) Vykoná sa rovnaká operácia:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Preto je druhý trojuholník pravouhlý.

Najprv nájdime dĺžku najväčšieho segmentu tvoreného bodmi so súradnicami (-2, -3) a (5, -2). Na to používame známy vzorec na zistenie vzdialenosti medzi bodmi v pravouhlom súradnicovom systéme:

Podobne nájdeme dĺžku segmentu uzavretého medzi bodmi so súradnicami (-2, -3) a (2, 1):

Nakoniec určíme dĺžku úseku medzi bodmi so súradnicami (2, 1) a (5, -2):

Keďže existuje rovnosť:

potom je príslušný trojuholník pravouhlý.

Môžeme teda sformulovať odpoveď na úlohu: keďže súčet druhých mocnín strán s najkratšou dĺžkou sa rovná štvorcu strany s najdlhšou dĺžkou, body sú vrcholy pravouhlého trojuholníka.

Základňa (umiestnená striktne horizontálne), zárubňa (umiestnená striktne vertikálne) a kábel (natiahnutý diagonálne) tvoria pravouhlý trojuholník, na zistenie dĺžky kábla možno použiť Pytagorovu vetu:

Dĺžka kábla teda bude približne 3,6 metra.

Dané: vzdialenosť z bodu R do bodu P (noha trojuholníka) je 24, z bodu R do bodu Q (hypotenúza) - 26.

Takže pomáhame Vityovi vyriešiť problém. Keďže strany trojuholníka znázornené na obrázku majú tvoriť pravouhlý trojuholník, na zistenie dĺžky tretej strany môžete použiť Pytagorovu vetu:

Takže šírka jazierka je 10 metrov.

Sergej Valerijevič

Pytagorova veta: Súčet plôch štvorcov podoprených nohami ( a a b), sa rovná ploche štvorca postaveného na prepone ( c).

Geometrické zloženie:

Pôvodne bola teoréma formulovaná takto:

Algebraická formulácia:

To znamená, že označuje dĺžku prepony trojuholníka c, a dĺžky nôh cez a a b :

a 2 + b 2 = c 2

Obe formulácie vety sú ekvivalentné, ale druhá formulácia je elementárnejšia, nevyžaduje pojem plochy. To znamená, že druhé tvrdenie možno overiť bez toho, aby sme vedeli čokoľvek o ploche a meraním iba dĺžok strán pravouhlého trojuholníka.

Inverzná Pytagorova veta:

Dôkaz

Na tento moment Vo vedeckej literatúre je zaznamenaných 367 dôkazov tejto vety. Pravdepodobne je Pytagorova veta jedinou vetou s takým pôsobivým počtom dôkazov. Takáto rozmanitosť sa dá vysvetliť iba základným významom vety pre geometriu.

Samozrejme, koncepčne sa dajú všetky rozdeliť do malého počtu tried. Najznámejšie z nich: dôkazy plošnou metódou, axiomatické a exotické dôkazy (napríklad pomocou diferenciálnych rovníc).

Cez podobné trojuholníky

Nasledujúci dôkaz algebraickej formulácie je najjednoduchší z dôkazov zostavených priamo z axióm. Najmä nepoužíva pojem oblasť postavy.

Nechať byť ABC existuje pravouhlý trojuholník C. Nakreslíme výšku od C a jeho základňu označíme H. Trojuholník ACH podobný trojuholníku ABC v dvoch rohoch. Rovnako aj trojuholník CBH podobný ABC. Predstavenie notácie

dostaneme

Čo je ekvivalentné

Pridávame, dostávame

Plošné dôkazy

Nasledujúce dôkazy, napriek ich zjavnej jednoduchosti, nie sú vôbec také jednoduché. Všetky využívajú vlastnosti oblasti, ktorej dôkaz je zložitejší ako dôkaz samotnej Pytagorovej vety.

Dôkaz prostredníctvom ekvivalencie

Usporiadajte štyri rovnaké pravouhlé trojuholníky, ako je znázornené na obrázku 1.
Štvoruholník so stranami c je štvorec, pretože súčet dvoch ostré rohy 90° a rovný uhol je 180°.
Plocha celej postavy sa na jednej strane rovná ploche štvorca so stranou (a + b) a na druhej strane súčtu plôch štyroch trojuholníkov a dvoch vnútorných štvorcov.

Q.E.D.

Dôkaz prostredníctvom ekvivalencie

Elegantný dôkaz permutácie

Príklad jedného z týchto dôkazov je znázornený na obrázku vpravo, kde štvorec postavený na prepone je premenený permutáciou na dva štvorce postavené na nohách.

Euklidov dôkaz

Kresba pre Euklidov dôkaz

Ilustrácia pre Euklidov dôkaz

Zvážte kresbu vľavo. Na ňom sme postavili štvorce na stranách pravouhlého trojuholníka a nakreslili lúč s z vrcholu pravého uhla C kolmo na preponu AB, rozrezal štvorec ABIK postavený na prepone na dva obdĺžniky - BHJI a HAKJ, resp. Ukazuje sa, že plochy týchto obdĺžnikov sú presne rovnaké ako plochy štvorcov postavených na zodpovedajúcich nohách.

Pokúsme sa dokázať, že plocha štvorca DECA sa rovná ploche obdĺžnika AHJK Na tento účel použijeme pomocné pozorovanie: Plocha trojuholníka s rovnakou výškou a základňou, ako je daná obdĺžnik sa rovná polovici plochy daného obdĺžnika. Je to dôsledok definovania plochy trojuholníka ako polovice súčinu základne a výšky. Z tohto pozorovania vyplýva, že plocha trojuholníka ACK sa rovná ploche trojuholníka AHK (nezobrazené), čo sa zase rovná polovici plochy obdĺžnika AHJK.

Dokážme teraz, že plocha trojuholníka ACK sa tiež rovná polovici plochy štvorca DECA. Jediná vec, ktorú je potrebné urobiť, je dokázať rovnosť trojuholníkov ACK a BDA (pretože plocha trojuholníka BDA sa rovná polovici plochy štvorca podľa vyššie uvedenej vlastnosti). Táto rovnosť je zrejmá, trojuholníky sú rovnaké v dvoch stranách a uhol medzi nimi. Totiž - AB=AK,AD=AC - rovnosť uhlov CAK a BAD sa dá ľahko dokázať metódou pohybu: otočme trojuholník CAK o 90° proti smeru hodinových ručičiek, potom je zrejmé, že zodpovedajúce strany dvoch uvažovaných trojuholníkov sa bude zhodovať (vzhľadom na skutočnosť, že uhol vo vrchole štvorca je 90°).

Argument o rovnosti plôch štvorca BCFG a obdĺžnika BHJI je úplne analogický.

Dokázali sme teda, že plocha štvorca postaveného na prepone je súčtom plôch štvorcov postavených na nohách. Myšlienka tohto dôkazu je ďalej ilustrovaná animáciou vyššie.

Dôkaz Leonarda da Vinciho

Hlavnými prvkami dôkazu sú symetria a pohyb.

Zvážte výkres, ako je zrejmé zo symetrie, segmentu Cja rozoberá štvorec ABHJ na dve rovnaké časti (pretože trojuholníky ABC a JHja sú si v stavebníctve rovné). Použitím otočenia o 90 stupňov proti smeru hodinových ručičiek vidíme rovnosť tieňovaných čísel CAJja a GDAB . Teraz je jasné, že plocha nami zatienenej postavy sa rovná súčtu polovice plôch štvorcov postavených na nohách a plochy pôvodného trojuholníka. Na druhej strane sa rovná polovici plochy štvorca postaveného na prepone plus plocha pôvodného trojuholníka. Posledný krok dokazovania je ponechaný na čitateľa.

Dôkaz infinitezimálnou metódou

Nasledujúci dôkaz pomocou diferenciálnych rovníc sa často pripisuje slávnemu anglickému matematikovi Hardymu, ktorý žil v prvej polovici 20. storočia.

Berúc do úvahy výkres zobrazený na obrázku a pozorovanie zmeny strany a, môžeme napísať nasledujúci vzťah pre infinitezimálne prírastky strán s a a(pomocou podobných trojuholníkov):

Dôkaz infinitezimálnou metódou

Pomocou metódy separácie premenných nájdeme

Všeobecnejší výraz pre zmenu prepony v prípade prírastkov oboch nôh

Integráciou tejto rovnice a použitím počiatočných podmienok dostaneme

c 2 = a 2 + b 2 + konštanta.

Tak sa dostávame k želanej odpovedi

c 2 = a 2 + b 2 .

Je ľahké vidieť, že kvadratická závislosť v konečnom vzorci sa objavuje v dôsledku lineárnej úmernosti medzi stranami trojuholníka a prírastkami, zatiaľ čo súčet je spôsobený nezávislými príspevkami prírastku rôznych častí.

Jednoduchší dôkaz možno získať, ak predpokladáme, že jedna z nôh nezaznamená prírastok (v tomto prípade noha b). Potom pre integračnú konštantu dostaneme

Variácie a zovšeobecnenia

Ak sú namiesto štvorcov na nohách skonštruované iné podobné obrazce, potom platí nasledujúce zovšeobecnenie Pytagorovej vety: V pravouhlom trojuholníku sa súčet plôch podobných figúrok postavených na nohách rovná ploche figúry postavenej na prepone. Najmä:
- Súčet plôch pravidelných trojuholníkov postavených na nohách sa rovná ploche pravidelného trojuholníka postaveného na prepone.
- Súčet plôch polkruhov postavených na nohách (ako na priemere) sa rovná ploche polkruhu postaveného na prepone. Tento príklad sa používa na dokázanie vlastností postáv ohraničených oblúkmi dvoch kružníc a nesúcich názov hippokratická lunula.

Príbeh

Chu-pei 500 – 200 pred Kristom. Vľavo je nápis: súčet druhých mocnín dĺžok výšky a základne je štvorec dĺžky prepony.

Staroveká čínska kniha Chu-pei hovorí o pytagorejskom trojuholníku so stranami 3, 4 a 5: V tej istej knihe je navrhnutý výkres, ktorý sa zhoduje s jedným z výkresov hinduistickej geometrie Baskhary.

Kantor (najväčší nemecký historik matematiky) verí, že rovnosť 3 ² + 4 ² = 5 ² poznali už Egypťania okolo roku 2300 pred Kristom. e., za čias kráľa Amenemheta I. (podľa papyrusu 6619 Berlínskeho múzea). Podľa Cantora harpedonapty alebo „struny“ stavali pravé uhly pomocou pravouhlých trojuholníkov so stranami 3, 4 a 5.

Je veľmi ľahké reprodukovať ich spôsob konštrukcie. Vezmite lano dlhé 12 m a priviažte ho k nemu pozdĺž farebného pruhu vo vzdialenosti 3 m. z jedného konca a 4 metre od druhého. Medzi stranami s dĺžkou 3 a 4 metre bude uzavretý pravý uhol. Harpedonaptom by sa dalo namietať, že ich spôsob stavby sa stáva zbytočným, ak sa použije napríklad drevený štvorec, ktorý používajú všetci tesári. Skutočne sú známe egyptské kresby, na ktorých sa takýto nástroj nachádza, napríklad kresby zobrazujúce stolársku dielňu.

O Pytagorovej vete sa medzi Babylončanmi vie o niečo viac. V jednom texte siahajúcom do doby Hammurabiho, t.j. do roku 2000 pred Kristom. e. je uvedený približný výpočet prepony pravouhlého trojuholníka. Z toho môžeme usúdiť, že v Mezopotámii boli schopní vykonávať výpočty s pravouhlými trojuholníkmi, aspoň v niektorých prípadoch. Na jednej strane na základe súčasnej úrovne vedomostí o egyptskej a babylonskej matematike a na druhej strane na základe kritického štúdia gréckych prameňov dospel Van der Waerden (holandský matematik) k tomuto záveru:

Literatúra

V ruštine

Skopets Z. A. Geometrické miniatúry. M., 1990
Yelensky Sh. Po stopách Pytagora. M., 1961
Van der Waerden B. L. Prebúdzajúca sa veda. Matematika starovekého Egypta, Babylonu a Grécka. M., 1959
Glazer G.I. História matematiky v škole. M., 1982
W. Litzman, "Pytagorova veta" M., 1960.
- Stránka o Pytagorovej vete s veľkým množstvom dôkazov, materiál je prevzatý z knihy W. Litzmana, veľké množstvo kresieb je prezentovaných ako samostatné grafické súbory.
Pytagorova veta a Pytagorova trojitá kapitola z knihy D. V. Anosova „Pohľad na matematiku a niečo z nej“
O Pytagorovej vete a metódach jej dôkazu G. Glaser, akademik Ruskej akadémie vzdelávania v Moskve

V angličtine

Pytagorova veta vo WolframMathWorld
Cut-The-Knot, časť o Pytagorovej vete, asi 70 dôkazov a rozsiahle dodatočné informácie (angl.)

Nadácia Wikimedia. 2010.

Rôzne spôsoby, ako dokázať Pytagorovu vetu

žiak 9. triedy „A“.

MOU stredná škola №8

vedúci:

učiteľ matematiky,

MOU stredná škola №8

čl. Nové Vianoce

Krasnodarské územie.

čl. Nové Vianoce

ANOTÁCIA.

Pytagorova veta sa právom považuje za najdôležitejšiu v priebehu geometrie a zaslúži si zvýšenú pozornosť. Je základom riešenia mnohých geometrických úloh, základom pre štúdium teoretického a praktického kurzu geometrie v budúcnosti. Veta je obklopená najbohatším historickým materiálom súvisiacim s jej vzhľadom a metódami dokazovania. Štúdium histórie vývoja geometrie vštepuje lásku k tomuto predmetu, prispieva k rozvoju kognitívneho záujmu, všeobecnej kultúry a kreativity a tiež rozvíja výskumné zručnosti.

Výsledkom rešeršnej činnosti bol splnený cieľ práce, ktorým je doplnenie a zovšeobecnenie poznatkov o dôkaze Pytagorovej vety. Podarilo sa nájsť a skontrolovať rôznymi spôsobmi dôkazy a prehĺbenie vedomostí o danej téme presahujúce stránky školskej učebnice.

Zozbieraný materiál ešte viac presviedča, že Pytagorova veta je veľkou vetou geometrie a má veľký teoretický a praktický význam.

Úvod. Historické pozadie 5 Hlavná časť 8

3. Záver 19

4. Použitá literatúra 20
1. ÚVOD. ODKAZ NA HISTÓRIU.

Podstatou pravdy je, že je pre nás navždy,

Keď aspoň raz v jej vhľade uvidíme svetlo,

A Pytagorova veta po toľkých rokoch

Pre nás, ako aj pre neho, je to nespochybniteľné, bezúhonné.

Na oslavu dali bohom Pytagoras sľub:

Za dotyk nekonečnej múdrosti,

Zabil sto býkov, vďaka večným;

Potom obeti predniesol modlitby a chvály.

Odvtedy býci, keď zacítia, tlačia,

Čo vedie ľudí opäť k novej pravde,

Zúrivo revú, takže niet moču na počúvanie,

Taký Pytagoras v nich naveky vyvolával hrôzu.

Býci, bezmocní odolať novej pravde,

čo zostáva? - Len zavri oči, reve, tras sa.

Nie je známe, ako Pytagoras dokázal svoju vetu. Isté je, že ho objavil pod silným vplyvom egyptskej vedy. špeciálny prípad Pytagorovu vetu - vlastnosti trojuholníka so stranami 3, 4 a 5 - poznali stavitelia pyramíd dávno pred narodením Pytagorasa, pričom on sám sa viac ako 20 rokov učil u egyptských kňazov. Existuje legenda, ktorá hovorí, že Pythagoras, keď dokázal svoju slávnu vetu, obetoval bohom býka a podľa iných zdrojov dokonca 100 býkov. To je však v rozpore s informáciami o morálnych a náboženských názoroch Pytagora. V literárnych prameňoch sa možno dočítať, že „zakázal dokonca zvieratá zabíjať a ešte viac ich kŕmiť, pretože zvieratá majú dušu ako my“. Pytagoras jedol iba med, chlieb, zeleninu a občas aj ryby. V súvislosti s tým všetkým možno považovať za vierohodnejší nasledujúci zápis: „... a keď aj zistil, že v pravouhlom trojuholníku prepona zodpovedá nohám, obetoval býka z pšeničného cesta.“

Obľúbenosť Pytagorovej vety je taká veľká, že jej dôkazy nájdeme aj v beletrii, napríklad v príbehu slávneho anglického spisovateľa Huxleyho „Mladý Archimedes“. Rovnaký dôkaz, ale pre konkrétny prípad rovnoramenného pravouhlého trojuholníka, je uvedený v Platónovom dialógu Meno.

Rozprávkový domček.

„Ďaleko, ďaleko, kde nelietajú ani lietadlá, je krajina geometrie. V tejto nezvyčajnej krajine bolo jedno úžasné mesto - mesto Teorem. Jedného dňa prišlo do tohto mesta krásne dievča menom Hypotenuse. Pokúšala sa získať izbu, ale kdekoľvek sa prihlásila, všade ju odmietli. Nakoniec sa priblížila k vratkému domu a zaklopala. Otvoril ju muž, ktorý si hovoril Pravý Uhol, a pozval preponu, aby s ním bývala. Prepona zostala v dome, kde býval Right Angle a jeho dvaja malí synovia menom Katet. Odvtedy sa život v Right Angle House zmenil novým spôsobom. Prepona zasadila kvety do okna a rozprestrela červené ruže v predzáhradke. Dom mal podobu pravouhlého trojuholníka. Obom nohám sa Hypotenuse veľmi páčila a požiadali ju, aby zostala navždy v ich dome. Po večeroch sa táto priateľská rodina stretáva pri rodinnom stole. Niekedy sa Right Angle hrá so svojimi deťmi na schovávačku. Najčastejšie musí hľadať a prepona sa skrýva tak šikovne, že môže byť veľmi ťažké ju nájsť. Raz počas hry si Right Angle všimol zaujímavú vlastnosť: ak sa mu podarí nájsť nohy, potom nie je ťažké nájsť preponu. Pravý Uhol teda používa tento vzor, musím povedať, že veľmi úspešne. Pytagorova veta je založená na vlastnosti tohto pravouhlého trojuholníka.

(Z knihy A. Okuneva „Ďakujem za lekciu, deti“).

Hravá formulácia vety:

Ak dostaneme trojuholník

A navyše s pravým uhlom,

To je druhá mocnina prepony

Vždy ľahko nájdeme:

Staviame nohy do štvorca,

Nájdeme súčet stupňov -

A ešte takýmto jednoduchým spôsobom

K výsledku prídeme.

Pri štúdiu algebry a začiatkov rozboru a geometrie v 10. ročníku som sa presvedčil, že okrem metódy dokazovania Pytagorovej vety uvažovanej v 8. ročníku existujú aj iné spôsoby jej dokazovania. Predkladám vám ich na zváženie.
2. HLAVNÁ ČASŤ.

Veta. Štvorec v pravouhlom trojuholníku

Prepona sa rovná súčtu štvorcov nôh.

1 SPÔSOB.

Pomocou vlastností plôch mnohouholníkov vytvoríme pozoruhodný vzťah medzi preponou a ramenami pravouhlého trojuholníka.

Dôkaz.

a, v a preponu s(obr. 1, a).

Dokážme to c²=a²+b².

Dôkaz.

Trojuholník dotvoríme na štvorec so stranou a + b ako je znázornené na obr. 1b. Plocha S tohto štvorca je (a + b)². Na druhej strane je tento štvorec tvorený štyrmi rovnakými pravouhlými trojuholníkmi, z ktorých každý má plochu ½ priem a štvorec so stranou s, tak S = 4 * ½ av + s² = 2av + s².

teda

(a + b)² = 2 av + s²,

c²=a²+b².

Veta bola dokázaná.
2 WAY.

Po preštudovaní témy „Podobné trojuholníky“ som zistil, že podobnosť trojuholníkov môžete aplikovať na dôkaz Pytagorovej vety. Konkrétne som použil tvrdenie, že rameno pravouhlého trojuholníka je stredná hodnota úmerná pre preponu a segment prepony uzavretý medzi ramenom a výškou nakreslenou od vrcholu pravého uhla.

Uvažujme pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C, CD je výška (obr. 2). Dokážme to AC² + JZ² = AB² .

Dôkaz.

Na základe tvrdenia o ramene pravouhlého trojuholníka:

AC = , CB = .

Odmocníme a pridáme výsledné rovnosti:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), kde AD + DB = AB, potom

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

Dôkaz je hotový.
3 WAY.

Definíciu kosínusu ostrého uhla pravouhlého trojuholníka možno aplikovať na dôkaz Pytagorovej vety. Zvážte Obr. 3.

dôkaz:

Nech ABC je daný pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C. Narysujme výšku CD z vrcholu pravého uhla C.

Podľa definície kosínusu uhla:

cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. Preto AB * AD = AC²

podobne,

cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.

Preto AB * BD \u003d BC².

Pridaním výsledných rovností člen po člene a všimneme si, že AD + DВ = AB, dostaneme:

AC² + slnko² \u003d AB (AD + DB) \u003d AB²

Dôkaz je hotový.
4 WAY.

Po preštudovaní témy „Pomery medzi stranami a uhlami pravouhlého trojuholníka“ si myslím, že Pytagorova veta sa dá dokázať aj iným spôsobom.

Zvážte pravouhlý trojuholník s nohami a, v a preponu s. (obr. 4).

Dokážme to c²=a²+b².

Dôkaz.

hriech B= a/c ; cos B= a/s , potom kvadratúrou výsledných rovnosti dostaneme:

hriech² B= v²/s²; cos² AT\u003d a² / s².

Ich sčítaním dostaneme:

hriech² AT+ cos² B= v² / s² + a² / s², kde sin² AT+ cos² B=1,

1 \u003d (v² + a²) / s², teda

c² = a² + b².

Dôkaz je hotový.

5 WAY.

Tento dôkaz je založený na rozrezaní štvorcov postavených na nohách (obr. 5) a naskladaní výsledných častí na štvorec postavený na prepone.

6 WAY.

Pre dôkaz na katéte slnko budova BCD ABC(obr. 6). Vieme, že plochy podobných útvarov súvisia ako štvorce ich podobných lineárnych rozmerov:

Odčítaním druhej od prvej rovnosti dostaneme

c2 = a2 + b2.

Dôkaz je hotový.

7 WAY.

Dané(obr. 7):

ABS,= 90° , Slnko= a, AC=b, AB = c.

dokázať:c2 = a2 +b2.

Dôkaz.

Nechajte nohu b a. Pokračujme v segmente SW za bod AT a postavte trojuholník bmd tak, že body M a ALE ležal na jednej strane priamky CD a okrem toho, B.D.=b, BDM= 90°, DM= a, teda bmd= ABC na dvoch stranách a uhol medzi nimi. Body A a M spojiť po segmentoch AM. Máme MUDr CD a AC CD, znamená rovný AC rovnobežne s priamkou MUDr. Ako MUDr< АС, potom rovno CD a AM nie sú paralelné. preto AMDC- pravouhlý lichobežník.

V pravouhlých trojuholníkoch ABC a bmd 1 + 2 = 90° a 3 + 4 = 90°, ale keďže = =, potom 3 + 2 = 90°; potom AVM= 180° - 90° = 90°. Ukázalo sa, že lichobežník AMDC rozdelené na tri neprekrývajúce sa pravouhlé trojuholníky, potom podľa plošných axióm

(a+b)(a+b)

Vydelením všetkých členov nerovnosti dostaneme

ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,

c2 = a2 + b2.

Dôkaz je hotový.

8 SPÔSOB.

Táto metóda je založená na prepone a nohách pravouhlého trojuholníka ABC. Zostaví zodpovedajúce štvorce a dokáže, že štvorec postavený na prepone sa rovná súčtu štvorcov postavených na nohách (obr. 8).

Dôkaz.

1) DBC= FBA= 90°;

DBC+ ABC= FBA+ abc, znamená, FBC= DBA.

teda FBC=ABD(na dve strany a uhol medzi nimi).

2) , kde AL DE, keďže BD je spoločný základ, DL- Celková výška.

3) , keďže FB je základ, AB- celková výška.

5) Podobne to možno dokázať

6) Pridaním termínu po termíne dostaneme:

, BC2 = AB2 + AC2 . Dôkaz je hotový.

9 SPÔSOB.

Dôkaz.

1) Nechajte ABDE- štvorec (obr. 9), ktorého strana sa rovná prepone pravouhlého trojuholníka ABC (AB= c, BC = a, AC =b).

2) Nechajte DK pred Kr a DK = slnko, keďže 1 + 2 = 90° (ako ostré uhly pravouhlého trojuholníka), 3 + 2 = 90° (ako uhol štvorca), AB= BD(strany námestia).

znamená, ABC= BDK(podľa prepony a ostrého uhla).

3) Nechajte EL DC, AM EL. Dá sa ľahko dokázať, že ABC = BDK = DEL = EAM (s nohami a a b). Potom KS= CM= ML= LK= a -b.

4) SKB= 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),s2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

Dôkaz je hotový.

10 WAY.

Dôkaz je možné vykonať na postave, žartovne nazývanej „pytagorejské nohavice“ (obr. 10). Jeho myšlienkou je premeniť štvorce postavené na nohách na rovnaké trojuholníky, ktoré spolu tvoria štvorec prepony.

ABC posun, ako ukazuje šípka, a zaujme pozíciu KDN. Zvyšok postavy AKDCB rovná ploche štvorca AKDC- je to rovnobežník AKNB.

Vytvoril model rovnobežníka AKNB. Rovnobežník posúvame tak, ako je načrtnuté v obsahu práce. Aby sme ukázali transformáciu rovnobežníka na rovnaký trojuholník, pred očami študentov odrežeme trojuholník na modeli a posunieme ho nadol. Takže plocha námestia AKDC sa rovná ploche obdĺžnika. Podobne prevedieme plochu štvorca na plochu obdĺžnika.

Urobme premenu na štvorec postavený na nohe a(Obr. 11, a):

a) štvorec sa zmení na rovnobežník rovnakej veľkosti (obr. 11.6):

b) rovnobežník sa otočí o štvrť otáčky (obr. 12):

c) rovnobežník sa zmení na rovnako veľký obdĺžnik (obr. 13): 11 SPÔSOB.

dôkaz:

PCL- rovné (obr. 14);

KLOA= ACPF= ACED= a2;

LGBO= CVMR =CBNQ= b 2;

AKGB= AKLO+LGBO= c2;

c2 = a2 + b2.

Koniec dôkazu .

12 WAY.

Ryža. 15 ilustruje ďalší originálny dôkaz Pytagorovej vety.

Tu: trojuholník ABC s pravým uhlom C; úsečka bf kolmý SW a jemu rovný segment BE kolmý AB a jemu rovný segment AD kolmý AC a rovný jemu; bodov F, C,D patrí do jednej priamky; štvoruholníky ADFB a ACBE sú si rovní, pretože ABF = ECB; trojuholníky ADF a ACE sú si rovní; od oboch rovnakých štvoruholníkov odčítame pre ne spoločný trojuholník abc, dostaneme

, c2 = a2 + b2.

Dôkaz je hotový.

13 SPÔSOB.

Plocha tohto pravouhlého trojuholníka sa na jednej strane rovná , s inou, ,

3. ZÁVER

Výsledkom rešeršnej činnosti bol splnený cieľ práce, ktorým je doplnenie a zovšeobecnenie poznatkov o dôkaze Pytagorovej vety. Bolo možné nájsť a zvážiť rôzne spôsoby dokazovania a prehĺbenie vedomostí o danej téme presahovaním stránok školskej učebnice.

Materiál, ktorý som zhromaždil, je ešte presvedčivejší, že Pytagorova veta je veľkou vetou geometrie a má veľký teoretický a praktický význam. Na záver by som chcel povedať: dôvodom popularity Pytagorovej vety o trojici je krása, jednoduchosť a význam!

4. POUŽITÁ LITERATÚRA.

1. Zábavná algebra. . Moskva "Nauka", 1978.

2. Týždenná výchovno-metodická príloha novín „Prvý september“, 24/2001.

3. Geometria 7-9. atď.

4. Geometria 7-9. atď.

Uistite sa, že trojuholník, ktorý ste dostali, je pravouhlý, pretože Pytagorova veta platí len pre pravouhlé trojuholníky. V pravouhlých trojuholníkoch má jeden z troch uhlov vždy 90 stupňov.

Pravý uhol v pravouhlom trojuholníku je označený štvorcom namiesto krivky, ktorá predstavuje nepravé uhly.

Označte strany trojuholníka. Označte nohy ako "a" a "b" (nohy sú strany pretínajúce sa v pravom uhle) a preponu ako "c" (prepona je najväčšia strana pravouhlého trojuholníka, ktorá leží oproti pravému uhlu).

Určite, ktorú stranu trojuholníka chcete nájsť. Pytagorova veta vám umožňuje nájsť ľubovoľnú stranu pravouhlého trojuholníka (ak sú známe ďalšie dve strany). Určte, ktorú stranu (a, b, c) treba nájsť.

Napríklad, ak je prepona rovná 5 a noha je rovná 3. V tomto prípade musíte nájsť druhú vetvu. K tomuto príkladu sa vrátime neskôr.
Ak sú ďalšie dve strany neznáme, je potrebné nájsť dĺžku jednej z neznámych strán, aby bolo možné aplikovať Pytagorovu vetu. Na to použite základné goniometrické funkcie (ak je vám daná hodnota jedného z nepravých uhlov).

Vo vzorci a 2 + b 2 \u003d c 2 nahraďte hodnoty, ktoré vám boli pridelené (alebo hodnoty, ktoré ste našli). Pamätajte, že a a b sú nohy a c je prepona.

V našom príklade napíšte: 3² + b² = 5².

Štvorte každú známu stranu. Alebo nechajte stupne - čísla môžete odmocniť neskôr.

V našom príklade napíšte: 9 + b² = 25.

Izolujte neznámu stranu na jednej strane rovnice. Za týmto účelom preneste známe hodnoty na druhú stranu rovnice. Ak nájdete preponu, tak v Pytagorovej vete je už izolovaná na jednej strane rovnice (takže netreba nič robiť).

V našom príklade presuňte 9 na pravá strana rovnice na izoláciu neznámej b². Dostanete b² = 16.

Vezmite druhú odmocninu oboch strán rovnice potom, čo je neznáma (druhá mocnina) na jednej strane rovnice a priesečník (číslo) na druhej strane.

V našom príklade je b² = 16. Vezmite druhú odmocninu oboch strán rovnice a získajte b = 4. Druhá časť je teda 4.

Použite Pytagorovu vetu Každodenný život pretože sa dá použiť v širokej škále praktických situácií. Aby ste to dosiahli, naučte sa rozpoznávať pravouhlé trojuholníky v každodennom živote - v akejkoľvek situácii, v ktorej sa dva predmety (alebo čiary) pretínajú v pravom uhle a tretí predmet (alebo čiara) spája (diagonálne) vrcholy prvých dvoch predmetov (alebo čiary), môžete použiť Pytagorovu vetu na nájdenie neznámej strany (ak sú ostatné dve strany známe).

Príklad: Daný rebrík opretý o budovu. Spodná časť schodiska je 5 metrov od základne steny. Vrchná časť schodisko sa nachádza 20 metrov od zeme (po stene). Aká je dĺžka rebríka?
- „5 metrov od základne steny“ znamená, že a = 5; „je 20 metrov od zeme“ znamená, že b = 20 (to znamená, že máte dve nohy pravouhlého trojuholníka, pretože stena budovy a povrch Zeme sa pretínajú v pravých uhloch). Dĺžka rebríka je dĺžka prepony, ktorá nie je známa.
  - a² + b² = c²
  - (5)² + (20)² = c²
  - 25 + 400 = c²
  - 425 = c²
  - c = √425
  - c = 20,6. Približná dĺžka schodiska je teda 20,6 metra.

Pytagorova veta

Osud iných viet a problémov je zvláštny... Ako sa dá vysvetliť napríklad taká výnimočná pozornosť matematikov a matematikov Pytagorovej vete? Prečo sa mnohí z nich neuspokojili s už známymi dôkazmi, ale našli si svoje, čím sa počet dôkazov zvýšil na niekoľko stoviek za dvadsaťpäť porovnateľne pozorovateľných storočí?
Pokiaľ ide o Pytagorovu vetu, nezvyčajné začína jej názvom. Verí sa, že to v žiadnom prípade nebol Pytagoras, kto ho prvýkrát sformuloval. Je tiež pochybné, že jej dal dôkaz. Ak je Pytagoras skutočná osoba (niektorí o tom dokonca pochybujú!), potom s najväčšou pravdepodobnosťou žil v 6.-5. pred Kr e. Sám nič nenapísal, nazval sa filozofom, čo v jeho chápaní znamenalo „ašpirovať na múdrosť“, založil Pytagorovu úniu, ktorej členovia sa zaoberali hudbou, gymnastikou, matematikou, fyzikou a astronómiou. Zrejme bol aj skvelým rečníkom, o čom svedčí aj nasledujúca legenda týkajúca sa jeho pobytu v meste Krotón: načrtol povinnosti mladých mužov, že starší v meste žiadali, aby ich nenechali bez vyučovania. V tomto druhom prejave poukázal na zákonnosť a čistotu mravov, ako na základy rodiny; v ďalších dvoch sa venoval deťom a ženám. Dôsledkom posledného prejavu, v ktorom obzvlášť odsúdil luxus, bolo, že do Hérinho chrámu boli doručené tisíce vzácnych šiat, pretože ani jedna žena sa už v nich neodvážila ukázať na ulici ... “Napriek tomu späť v druhom storočí nášho letopočtu, teda po 700 rokoch, žili a pracovali úplne skutočných ľudí, vynikajúci vedci, ktorí boli jednoznačne ovplyvnení pytagorejskou úniou a s veľkým rešpektom k tomu, čo podľa legendy Pytagoras vytvoril.
Je tiež nepochybné, že záujem o vetu je spôsobený jednak skutočnosťou, že zaujíma jedno z centrálnych miest v matematike, ako aj spokojnosťou autorov dôkazov, ktorí prekonali ťažkosti, o ktorých rímsky básnik Quintus Horace Flaccus , ktorý žil pred naším letopočtom, dobre povedal: „Je ťažké vyjadriť všeobecne známe fakty“ .
Spočiatku teorém stanovil vzťah medzi plochami štvorcov postavených na prepone a nohami pravouhlého trojuholníka:
.
Algebraická formulácia:
V pravouhlom trojuholníku sa druhá mocnina dĺžky prepony rovná súčtu druhých mocnín dĺžok nôh.
To znamená, že označuje dĺžku prepony trojuholníka cez c a dĺžky nôh cez a a b: a 2 + b 2 \u003d c 2. Obe formulácie vety sú ekvivalentné, ale druhá formulácia je elementárnejšia, nevyžaduje pojem plochy. To znamená, že druhé tvrdenie možno overiť bez toho, aby sme vedeli čokoľvek o ploche a meraním iba dĺžok strán pravouhlého trojuholníka.
Inverzná Pytagorova veta. Pre ľubovoľnú trojicu kladných čísel a, b a c také, že
a 2 + b 2 = c 2, existuje pravouhlý trojuholník s nohami a a b a preponou c.

Dôkaz

V súčasnosti je vo vedeckej literatúre zaznamenaných 367 dôkazov tejto vety. Pravdepodobne je Pytagorova veta jedinou vetou s takým pôsobivým počtom dôkazov. Takáto rozmanitosť sa dá vysvetliť iba základným významom vety pre geometriu.
Samozrejme, koncepčne sa dajú všetky rozdeliť do malého počtu tried. Najznámejšie z nich: dôkazy plošnou metódou, axiomatické a exotické dôkazy (napríklad pomocou diferenciálnych rovníc).

Cez podobné trojuholníky

Nasledujúci dôkaz algebraickej formulácie je najjednoduchší z dôkazov zostavených priamo z axióm. Najmä nepoužíva koncept plochy postavy.
Nech ABC je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C. Narysujte výšku z C a označte jeho základňu H. Trojuholník ACH je podobný trojuholníku ABC v dvoch uhloch.
Podobne trojuholník CBH je podobný ABC. Predstavenie notácie

dostaneme

Čo je ekvivalentné

Pridávame, dostávame

alebo

Plošné dôkazy

Dôkaz prostredníctvom ekvivalencie

1. Usporiadajte štyri rovnaké pravouhlé trojuholníky, ako je znázornené na obrázku.
2. Štvoruholník so stranami c je štvorec, pretože súčet dvoch ostrých uhlov je 90° a priameho uhla je 180°.
3. Plocha celého obrazca sa rovná na jednej strane ploche štvorca so stranou (a + b) a na druhej strane súčtu plôch štyroch trojuholníkov a vnútorný štvorec.

Q.E.D.

Dôkaz prostredníctvom ekvivalencie

Príklad jedného z týchto dôkazov je znázornený na obrázku vpravo, kde štvorec postavený na prepone je premenený permutáciou na dva štvorce postavené na nohách.

Euklidov dôkaz

Myšlienka Euklidovho dôkazu je nasledovná: skúsme dokázať, že polovica plochy štvorca postaveného na prepone sa rovná súčtu polovičných plôch štvorcov postavených na nohách a potom plôch veľké a dva malé štvorce sú rovnaké. Zvážte kresbu vľavo. Na ňom sme postavili štvorce na stranách pravouhlého trojuholníka a nakreslili lúč s z vrcholu pravého uhla C kolmo na preponu AB, rozrezal štvorec ABIK postavený na prepone na dva obdĺžniky - BHJI a HAKJ, resp. Ukazuje sa, že plochy týchto obdĺžnikov sú presne rovnaké ako plochy štvorcov postavených na zodpovedajúcich nohách. Pokúsme sa dokázať, že plocha štvorca DECA sa rovná ploche obdĺžnika AHJK Na tento účel použijeme pomocné pozorovanie: Plocha trojuholníka s rovnakou výškou a základňou, ako je daná obdĺžnik sa rovná polovici plochy daného obdĺžnika. Je to dôsledok definovania plochy trojuholníka ako polovice súčinu základne a výšky. Z tohto pozorovania vyplýva, že plocha trojuholníka ACK sa rovná ploche trojuholníka AHK (nezobrazené), čo sa zase rovná polovici plochy obdĺžnika AHJK. Dokážme teraz, že plocha trojuholníka ACK sa tiež rovná polovici plochy štvorca DECA. Jediná vec, ktorú je potrebné urobiť, je dokázať rovnosť trojuholníkov ACK a BDA (pretože plocha trojuholníka BDA sa rovná polovici plochy štvorca podľa vyššie uvedenej vlastnosti). Táto rovnosť je zrejmá, trojuholníky sú rovnaké v dvoch stranách a uhol medzi nimi. Totiž - AB=AK,AD=AC - rovnosť uhlov CAK a BAD sa dá ľahko dokázať metódou pohybu: otočme trojuholník CAK o 90° proti smeru hodinových ručičiek, potom je zrejmé, že zodpovedajúce strany dvoch uvažovaných trojuholníkov sa bude zhodovať (vzhľadom na skutočnosť, že uhol vo vrchole štvorca je 90°). Argument o rovnosti plôch štvorca BCFG a obdĺžnika BHJI je úplne analogický. Dokázali sme teda, že plocha štvorca postaveného na prepone je súčtom plôch štvorcov postavených na nohách.

Dôkaz Leonarda da Vinciho

Hlavnými prvkami dôkazu sú symetria a pohyb.

Zoberme si výkres, ako je zrejmé zo symetrie, segment CI rozreže štvorec ABHJ na dve rovnaké časti (keďže trojuholníky ABC a JHI sú v konštrukcii rovnaké). Použitím otočenia o 90 stupňov proti smeru hodinových ručičiek vidíme rovnosť tieňovaných čísel CAJI a GDAB. Teraz je jasné, že plocha nami zatienenej postavy sa rovná súčtu polovice plôch štvorcov postavených na nohách a plochy pôvodného trojuholníka. Na druhej strane sa rovná polovici plochy štvorca postaveného na prepone plus plocha pôvodného trojuholníka. Posledný krok dokazovania je ponechaný na čitateľa.