Na ktoré trojuholníky pôsobí Pytagorova veta? Pytagorova veta: pozadie, dôkazy, príklady praktického použitia

Keď ste sa prvýkrát začali učiť odmocniny a ako riešiť iracionálne rovnice (rovnice obsahujúce neznámu pod znamienkom odmocniny), pravdepodobne ste o nich dostali prvú predstavu. praktické využitie... Schopnosť extrahovať druhú odmocninu z čísel je tiež potrebná na riešenie problémov pri aplikácii Pytagorovej vety. Táto veta spája dĺžky strán ľubovoľného pravouhlého trojuholníka.

Dĺžky ramien pravouhlého trojuholníka (tých dvoch strán, ktoré sa zbiehajú v pravom uhle) označíme písmenami a a dĺžku prepony (najdlhšiu stranu trojuholníka oproti pravému uhla) označíme list. Potom sú príslušné dĺžky spojené nasledujúcim vzťahom:

Táto rovnica vám umožňuje nájsť dĺžku strany pravouhlého trojuholníka v prípade, že je známa dĺžka jeho ďalších dvoch strán. Okrem toho vám umožňuje určiť, či je posudzovaný trojuholník pravouhlý, za predpokladu, že sú vopred známe dĺžky všetkých troch strán.

Riešenie úloh pomocou Pytagorovej vety

Na konsolidáciu materiálu vyriešime nasledujúce úlohy o aplikácii Pytagorovej vety.

Takže vzhľadom na to:

Dĺžka jednej z nôh je 48, prepona je 80.
Dĺžka nohy je 84, prepona je 91.

Začnime riešiť:

a) Nahradením údajov do vyššie uvedenej rovnice sa získajú tieto výsledky:

48 2 + b 2 = 80 2

2304 + b 2 = 6400

b 2 = 4096

b= 64 resp b = -64

Keďže dĺžka strany trojuholníka nemôže byť vyjadrená ako záporné číslo, druhá možnosť sa automaticky zahodí.

Odpoveď na prvý obrázok: b = 64.

b) Dĺžka ramena druhého trojuholníka sa zistí rovnakým spôsobom:

84 2 + b 2 = 91 2

7056 + b 2 = 8281

b 2 = 1225

b= 35 resp b = -35

Rovnako ako v predchádzajúcom prípade sa zamietavé rozhodnutie ruší.

Odpoveď na druhý obrázok: b = 35

Je nám dané:

Dĺžky menších strán trojuholníka sú 45 a 55 a väčšie sú 75.
Dĺžky menších strán trojuholníka sú 28 a 45 a väčšie sú 53.

Riešime problém:

a) Je potrebné skontrolovať, či sa súčet druhých mocnín dĺžok menších strán daného trojuholníka rovná druhej mocnine dĺžky väčšieho:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Preto prvý trojuholník nie je pravouhlý.

b) Vykoná sa rovnaká operácia:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Preto je druhý trojuholník pravouhlý.

Najprv nájdite dĺžku najväčšieho segmentu tvoreného bodmi so súradnicami (-2, -3) a (5, -2). Na to používame známy vzorec na zistenie vzdialenosti medzi bodmi v pravouhlom súradnicovom systéme:

Podobne nájdeme dĺžku segmentu uzavretého medzi bodmi so súradnicami (-2, -3) a (2, 1):

Nakoniec určíme dĺžku úseku medzi bodmi so súradnicami (2, 1) a (5, -2):

Keďže platí rovnosť:

potom je príslušný trojuholník pravouhlý.

Môžeme teda sformulovať odpoveď na úlohu: keďže súčet druhých mocnín strán s najkratšou dĺžkou sa rovná štvorcu strany s najväčšou dĺžkou, body sú vrcholy pravouhlého trojuholníka.

Základňa (umiestnená striktne horizontálne), zárubňa (umiestnená striktne vertikálne) a kábel (predĺžený diagonálne) tvoria pravouhlý trojuholník, na zistenie dĺžky kábla možno použiť Pytagorovu vetu:

Dĺžka kábla bude teda približne 3,6 metra.

Dané: vzdialenosť od bodu R k bodu P (noha trojuholníka) je 24, od bodu R k bodu Q (hypotenúza) - 26.

Takže pomáhame Vityovi vyriešiť problém. Keďže strany trojuholníka znázornené na obrázku majú tvoriť pravouhlý trojuholník, na zistenie dĺžky tretej strany možno použiť Pytagorovu vetu:

Takže šírka jazierka je 10 metrov.

Sergej Valerijevič

Pytagorova veta: Súčet plôch štvorcov spočívajúcich na nohách ( a a b) sa rovná ploche štvorca postaveného na prepone ( c).

Geometrické zloženie:

Pôvodne bola veta formulovaná takto:

Algebraická formulácia:

Teda označenie dĺžky prepony trojuholníka o c, a dĺžky nôh cez a a b :

a 2 + b 2 = c 2

Obe tvrdenia vety sú ekvivalentné, ale druhé tvrdenie je elementárnejšie, nevyžaduje pojem plochy. To znamená, že druhé tvrdenie je možné skontrolovať bez toho, aby sme vedeli čokoľvek o ploche a meraním iba dĺžok strán pravouhlého trojuholníka.

Opačná Pytagorova veta:

Dôkaz

Zapnuté tento moment vo vedeckej literatúre bolo zaznamenaných 367 dôkazov tejto vety. Pravdepodobne je Pytagorova veta jedinou vetou s takým pôsobivým počtom dôkazov. Túto rozmanitosť možno vysvetliť iba základným významom vety pre geometriu.

Samozrejme, koncepčne všetky možno rozdeliť do malého počtu tried. Najznámejšie z nich: dôkazy plošnou metódou, axiomatické a exotické dôkazy (napríklad pomocou diferenciálnych rovníc).

Cez podobné trojuholníky

Nasledujúci dôkaz algebraickej formulácie je najjednoduchší z dôkazov vytvorených priamo z axióm. Najmä nepoužíva koncept plochy postavy.

Nechať byť ABC existuje pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C... Nakreslíme výšku od C a jeho základňu označíme H... Trojuholník ACH ako trojuholník ABC v dvoch rohoch. Podobne trojuholník CBH je podobný ABC... Predstavenie notácie

dostaneme

Čo je ekvivalent

Pridávame, dostávame

Plochy dôkaz

Nižšie uvedené dôkazy, napriek ich zjavnej jednoduchosti, nie sú vôbec také jednoduché. Všetky využívajú vlastnosti plochy, ktorých dôkaz je náročnejší ako dôkaz samotnej Pytagorovej vety.

Rovnaký dôkaz komplementarity

Umiestnite štyri rovnaké pravouhlé trojuholníky, ako je znázornené na obrázku 1.
Štvoruholník so stranami c je štvorec, pretože súčet dvoch ostré rohy 90 ° a uhol rozloženia je 180 °.
Plocha celého obrázku je na jednej strane plocha štvorca so stranami (a + b) a na druhej strane súčet plôch štyroch trojuholníkov a dvoch vnútorných štvorcov.

Q.E.D.

Dôkaz prostredníctvom škálovania

Elegantný dôkaz permutáciou

Príklad jedného z takýchto dôkazov je znázornený na obrázku vpravo, kde štvorec postavený na prepone sa permutáciou premení na dva štvorce postavené na nohách.

Euklidov dôkaz

Kresba pre Euklidov dôkaz

Ilustrácia pre Euklidov dôkaz

Zvážte kresbu vľavo. Na ňom sme postavili štvorce po stranách pravouhlého trojuholníka a nakreslili lúč s z vrcholu pravého uhla C kolmo na preponu AB, rozreže štvorec ABIK postavený na prepone na dva obdĺžniky - BHJI. a HAKJ, resp. Ukazuje sa, že plochy týchto obdĺžnikov sú presne rovnaké ako plochy štvorcov postavených na zodpovedajúcich nohách.

Pokúsme sa dokázať, že plocha štvorca DECA sa rovná ploche obdĺžnika AHJK Na to použijeme pomocné pozorovanie: Plocha trojuholníka s rovnakou výškou a základňou ako tento obdĺžnik je rovnaká do polovice plochy daného obdĺžnika. Je to dôsledok definície plochy trojuholníka ako polovice súčinu základne a výšky. Z tohto pozorovania vyplýva, že plocha trojuholníka ACK sa rovná ploche trojuholníka AHK (na obrázku nie je znázornená), čo sa zase rovná polovici plochy obdĺžnika AHJK. .

Dokážme teraz, že plocha trojuholníka ACK sa tiež rovná polovici plochy štvorca DECA. Jediná vec, ktorú je potrebné urobiť, je dokázať rovnosť trojuholníkov ACK a BDA (pretože plocha trojuholníka BDA sa rovná polovici plochy štvorca podľa vyššie uvedenej vlastnosti). Rovnosť je zrejmá, trojuholníky sú rovnaké na dvoch stranách a uhol medzi nimi. Totiž - AB = AK, AD = AC - rovnosť uhlov CAK a BAD sa dá ľahko dokázať metódou pohybu: trojuholník CAK otočíme o 90° proti smeru hodinových ručičiek, potom je zrejmé, že zodpovedajúce strany dvoch trojuholníkov uvažovaný sa bude zhodovať (keďže uhol na vrchole štvorca je 90 °).

Úvaha o rovnosti plôch štvorca BCFG a obdĺžnika BHJI je úplne analogická.

Takto sme dokázali, že plocha štvorca postaveného na prepone je súčtom plôch štvorcov postavených na nohách. Myšlienka tohto dôkazu je ďalej ilustrovaná animáciou vyššie.

Dôkaz Leonarda da Vinciho

Hlavnými prvkami dôkazu sú symetria a pohyb.

Zvážte výkres, ako je vidieť zo symetrie, segment Cja rozreže štvorec ABHJ na dve rovnaké časti (pretože trojuholníky ABC a JHja sú si konštrukciou rovné). Otočením o 90 stupňov proti smeru hodinových ručičiek vidíme rovnosť tieňovaných tvarov CAJja a GDAB ... Teraz je jasné, že plocha tieňovaného obrázku sa rovná súčtu polovíc plôch štvorcov postavených na nohách a plochy pôvodného trojuholníka. Na druhej strane sa rovná polovici plochy štvorca postaveného na prepone plus plocha pôvodného trojuholníka. Posledný krok dokazovania je ponechaný na čitateľa.

Dôkaz metódou infinitezimálu

Nasledujúci dôkaz pomocou diferenciálnych rovníc sa často pripisuje slávnemu anglickému matematikovi Hardymu, ktorý žil v prvej polovici 20. storočia.

Pri pohľade na výkres zobrazený na obrázku a pozorovaní zmeny strany a, môžeme napísať nasledujúci vzťah pre nekonečne malé prírastky strán s a a(pomocou podobnosti trojuholníkov):

Dôkaz metódou infinitezimálu

Pomocou metódy oddeľovania premenných nájdeme

Všeobecnejší výraz pre zmenu prepony v prípade prírastkov oboch nôh

Integráciou tejto rovnice a použitím počiatočných podmienok dostaneme

c 2 = a 2 + b 2 + konštanta.

Tak sa dostávame k želanej odpovedi

c 2 = a 2 + b 2 .

Ako je ľahké vidieť, kvadratická závislosť v konečnom vzorci sa objavuje v dôsledku lineárnej úmernosti medzi stranami trojuholníka a prírastkami, zatiaľ čo súčet súvisí s nezávislými príspevkami prírastkov rôznych častí.

Jednoduchší dôkaz možno získať, ak predpokladáme, že jedna z nôh nezaznamená prírastok (v tomto prípade noha b). Potom získame pre konštantu integrácie

Variácie a zovšeobecnenia

Ak namiesto štvorcov postavíme na nohách iné podobné obrazce, potom platí nasledujúce zovšeobecnenie Pytagorovej vety: V pravouhlom trojuholníku sa súčet plôch podobných figúr postavených na nohách rovná ploche figúry postavenej na prepone. Konkrétne:
- Súčet plôch pravidelných trojuholníkov postavených na nohách sa rovná ploche pravidelného trojuholníka postaveného na prepone.
- Súčet plôch polkruhov postavených na nohách (ako v priemere) sa rovná ploche polkruhu postaveného na prepone. Tento príklad sa používa na preukázanie vlastností postáv ohraničených oblúkmi dvoch kružníc a nesúcich názov hippokratické lunuly.

História

Chu-pei 500-200 pred Kristom. Ľavý nápis: súčet druhých mocnín dĺžok výšky a základne je druhou mocninou dĺžky prepony.

Staroveká čínska kniha Chu-Pei hovorí o pytagorejskom trojuholníku so stranami 3, 4 a 5: V tej istej knihe je navrhnutý výkres, ktorý sa zhoduje s jedným z výkresov hinduistickej geometrie Bashara.

Cantor (najväčší nemecký historik matematiky) verí, že rovnosť 3 ² + 4 ² = 5 ² poznali Egypťania už okolo roku 2300 pred Kristom. e., za čias kráľa Amenemhata I. (podľa papyrusu 6619 Berlínskeho múzea). Podľa Cantora harpedonapty alebo „ťahače lana“ stavali pravé uhly pomocou pravouhlých trojuholníkov so stranami 3, 4 a 5.

Je veľmi jednoduché reprodukovať ich spôsob stavby. Vezmite lano dlhé 12 m a priviažte ho k nemu pozdĺž farebného pruhu vo vzdialenosti 3 m. z jedného konca a 4 metre od druhého. Pravý uhol bude uzavretý medzi stranami dlhými 3 a 4 metre. Harpedonapti by mohli namietať, že ich spôsob stavby sa stáva zbytočným, ak použijete napríklad drevený štvorec, ktorý používajú všetci tesári. Skutočne sú známe egyptské kresby, na ktorých sa takýto nástroj nachádza, napríklad kresby zobrazujúce stolársku dielňu.

O niečo viac je známe o babylonskej Pytagorovej vete. V jednom texte siahajúcom do doby Hammurabiho, teda do roku 2000 pred Kristom. pred Kristom je uvedený približný výpočet prepony pravouhlého trojuholníka. Z toho môžeme usúdiť, že v Mezopotámii vedeli vykonávať výpočty s pravouhlými trojuholníkmi, aspoň v niektorých prípadoch. Na jednej strane na základe súčasnej úrovne vedomostí o egyptskej a babylonskej matematike a na druhej strane na základe kritického štúdia gréckych prameňov dospel Van der Waerden (holandský matematik) k tomuto záveru:

Literatúra

V ruštine

Skopets Z.A. Geometrické miniatúry. M., 1990
Yelensky Sch. Po stopách Pytagora. M., 1961
Van der Waerden B.L. Prebúdzajúca sa veda. Matematika starovekého Egypta, Babylonu a Grécka. M., 1959
Glazer G.I. História matematiky v škole. M., 1982
V. Litzman, "Pytagorova veta" M., 1960.
- Stránka o Pytagorovej vete s veľkým počtom dôkazov, materiál je prevzatý z knihy V. Litzmana, veľké množstvo kresieb je prezentovaných vo forme samostatných grafických súborov.
Pytagorova veta a Pytagorova trojica kapitolu z knihy DV Anosova „Pohľad na matematiku a niečo z nej“
O Pytagorovej vete a metódach jej dôkazu G. Glazer, akademik Ruskej akadémie vzdelávania v Moskve

V angličtine

Pytagorova veta vo WolframMathWorld
Cut-The-Knot, časť o Pytagorovej vete, asi 70 dôkazov a množstvo ďalších informácií

Nadácia Wikimedia. 2010.

Rôzne spôsoby, ako dokázať Pytagorovu vetu

žiak 9. ročníka "A"

MOU SOSH №8

vedúci:

učiteľ matematiky,

MOU SOSH №8

čl. Novorozhdestvenskaja

Krasnodarské územie.

čl. Novorozhdestvenskaja

ANOTÁCIA.

Pytagorova veta sa právom považuje za najdôležitejšiu v priebehu geometrie a zaslúži si veľkú pozornosť. Je základom riešenia mnohých geometrických úloh, základom pre štúdium teoretického a praktického kurzu geometrie v budúcnosti. Veta je obklopená najbohatším historickým materiálom súvisiacim s jej vzhľadom a metódami dokazovania. Štúdium histórie vývoja geometrie vštepuje lásku k tomuto predmetu, prispieva k rozvoju kognitívneho záujmu, všeobecnej kultúry a kreativity a tiež rozvíja výskumné zručnosti.

Výsledkom rešeršnej činnosti bol splnený cieľ práce, ktorý spočíval v doplnení a zovšeobecnení poznatkov o dôkaze Pytagorovej vety. Podarilo sa mi nájsť a zvážiť rôzne cesty dokazovať a prehlbovať vedomosti o danej téme, presahujúce stránky školskej učebnice.

Zozbieraný materiál ešte viac presviedča, že Pytagorova veta je veľkou vetou geometrie, má veľký teoretický a praktický význam.

Úvod. Historické pozadie 5 Hlavná časť 8

3. Záver 19

4. Použitá literatúra 20
1. ÚVOD. HISTORICKÁ ODKAZ.

Podstatou pravdy je, že je navždy pre nás,

Keď aspoň raz uvidíme svetlo v jej vhľade,

A Pytagorova veta po toľkých rokoch

Pre nás, ako aj pre neho, je to nespochybniteľné, bezchybné.

Na oslavu Pytagoras sľúbil bohom:

Za to, že si sa dotkol nekonečnej múdrosti,

Zabil sto býkov, vďaka večným;

Po ňom obeti predniesol modlitby a chvály.

Odvtedy býci, keď zacítia, tlačia,

Že stopa opäť vedie ľudí k novej pravde,

Zúrivo revú, takže niet moču na počúvanie,

Taký Pytagoras im naveky vnukol hrôzu.

Býci, bezmocní odolať novej pravde,

Čo zostáva? - Len zavrieť oči, revať, triasť sa.

Nie je známe, akým spôsobom Pytagoras dokázal svoju vetu. Isté je len to, že ho objavil pod silným vplyvom egyptskej vedy. Špeciálny prípad Pytagorove vety – vlastnosti trojuholníka so stranami 3, 4 a 5 – poznali stavitelia pyramíd dávno pred narodením Pytagorasa, no on sám študoval viac ako 20 rokov u egyptských kňazov. Zachovala sa legenda, ktorá hovorí, že Pytagoras, keď dokázal svoju slávnu vetu, obetoval bohom býka a podľa iných zdrojov dokonca 100 býkov. To je však v rozpore s informáciami o morálnych a náboženských názoroch Pytagorasa. V literárnych prameňoch sa dočítate, že „zakázal dokonca zabíjať zvieratá a ešte viac ich kŕmiť, pretože zvieratá majú dušu ako my“. Pytagoras jedol len med, chlieb, zeleninu a občas ryby. V súvislosti s tým všetkým možno považovať za vierohodnejší nasledujúci záznam: „... a keď aj zistil, že v pravouhlom trojuholníku má prepona korešpondenciu s nohami, obetoval býka z pšeničného cesta.“

Obľúbenosť Pytagorovej vety je taká veľká, že jej dôkazy nájdeme aj v beletrii, napríklad v príbehu slávneho anglického spisovateľa Huxleyho „Mladý Archimedes“. Rovnaký dôkaz, ale pre konkrétny prípad rovnoramenného pravouhlého trojuholníka, je uvedený v Platónovom dialógu Menon.

Rozprávka "Dom".

„Ďaleko, ďaleko, kde nelietajú ani lietadlá, je krajina geometrie. V tejto nezvyčajnej krajine bolo jedno úžasné mesto - mesto Theorem. Raz do tohto mesta prišlo krásne dievča menom Hypotenuza. Skúšala si prenajať izbu, ale kamkoľvek sa obrátila, všade ju odmietali. Nakoniec odišla do vratkého domu a zaklopala. Otvoril ju muž, ktorý si hovoril Pravý Uhol, a pozval Hypotenuse, aby s ním bývala. Prepona zostala v dome, kde býval Right Angle a jeho dvaja malí synovia menom Cathety. Odvtedy sa život v Dome pravého uhla zmenil novým spôsobom. Prepona zasadila do okna kvety a do predzáhradky červené ruže. Dom nadobudol tvar pravouhlého trojuholníka. Obom nohám sa Hypotenuse veľmi páčila a požiadali ju, aby zostala navždy v ich dome. Vo večerných hodinách sa táto priateľská rodina stretáva pri rodinnom stole. Niekedy sa Right Angle hrá so svojimi deťmi na schovávačku. Najčastejšie musí hľadať a Hypotenuse sa skrýva tak šikovne, že môže byť veľmi ťažké ju nájsť. Raz počas hry si Right Angle všimol zaujímavú vlastnosť: ak sa mu podarí nájsť nohy, potom nie je ťažké nájsť preponu. Pravý Uhol teda používa tento vzor, musím povedať, že veľmi úspešne. Pytagorova veta je založená na vlastnosti tohto pravouhlého trojuholníka."

(Z knihy A. Okuneva „Ďakujem za lekciu, deti“).

Hravá formulácia vety:

Ak dostaneme trojuholník

A navyše s pravým uhlom,

Potom štvorec prepony

Vždy ľahko nájdeme:

Postavíme nohy do štvorca,

Nájdeme súčet stupňov -

A ešte takýmto jednoduchým spôsobom

K výsledku prídeme.

Študovaním algebry a začiatkov rozboru a geometrie v 10. ročníku som sa presvedčil, že okrem metódy dokazovania Pytagorovej vety uvažovanej v 8. ročníku existujú aj iné spôsoby dokazovania. Predkladám vám ich na posúdenie.
2. HLAVNÁ ČASŤ.

Veta. V pravouhlom trojuholníku štvorec

prepona sa rovná súčtu štvorcov nôh.

1 METÓDA.

Pomocou vlastností plôch mnohouholníkov vytvoríme pozoruhodný vzťah medzi preponou a nohami pravouhlého trojuholníka.

Dôkaz.

a, v a preponu s(obr. 1, a).

Dokážme to c² = a² + b².

Dôkaz.

Dotvorme trojuholník na štvorec so stranou a + b ako je znázornené na obr. 1, b. Plocha S tohto štvorca sa rovná (a + b) ². Na druhej strane sa tento štvorec skladá zo štyroch rovnakých pravouhlých trojuholníkov, každý s plochou ½ au a štvorec so stranou s, preto S = 4 * ½ av + s² = 2av + s².

teda

(a + b) ² = 2 av + s²,

c² = a² + b².

Veta je dokázaná.
2 SPÔSOB.

Po preštudovaní témy "Podobné trojuholníky" som zistil, že je možné aplikovať podobnosť trojuholníkov na dôkaz Pytagorovej vety. Konkrétne som použil tvrdenie, že rameno pravouhlého trojuholníka je proporcionálny priemer pre preponu a segment prepony uzavretý medzi ramenom a výškou nakreslenou z vrcholu pravého uhla.

Uvažujme pravouhlý trojuholník s pravým uhlom С, С– výška (obr. 2). Dokážme to AS² + CB² = AB² .

Dôkaz.

Na základe tvrdenia o ramene pravouhlého trojuholníka:

AC =, SV =.

Odmocnime a pripočítajme výsledné rovnosti:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), kde AD + DB = AB, potom

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

Dôkaz je kompletný.
3 SPÔSOB.

Definíciu kosínusu ostrého uhla pravouhlého trojuholníka možno aplikovať na dôkaz Pytagorovej vety. Zvážte obr. 3.

dôkaz:

Nech ABC je daný pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C. Z vrcholu pravého uhla C nakreslite výšku CD.

Podľa definície kosínusu uhla:

cos A = AD / AC = AC / AB. Preto AB * AD = AC²

podobne,

cos B = BD / BC = BC / AB.

Preto AB * BD = BC².

Pridaním získaných rovností člen po člene a poznamenaním, že AD + DB = AB, dostaneme:

AS² + slnko² = AB (AD + DB) = AB²

Dôkaz je kompletný.
4 SPÔSOB.

Po preštudovaní témy „Vzťahy medzi stranami a uhlami pravouhlého trojuholníka“ si myslím, že Pytagorovu vetu je možné dokázať aj iným spôsobom.

Zvážte pravouhlý trojuholník s nohami a, v a preponu s... (obr. 4).

Dokážme to c² = a² + b².

Dôkaz.

hriech B = a / c ; cos B = a / s , potom kvadratúrou získaných rovnosti dostaneme:

hriech² B =в² / с²; cos² V= a² / c².

Keď ich spočítame, dostaneme:

hriech² V+ cos² B = b² / c² + a² / c², kde sin² V+ cos² B = 1,

1 = (b² + a²) / c²

c² = a² + b².

Dôkaz je kompletný.

5 METÓDA.

Tento dôkaz je založený na rozrezaní štvorcov postavených na nohách (obr. 5) a položení výsledných dielov na štvorec postavený na prepone.

6 METÓDA.

Pre dôkaz na nohe slnko stavať BCD ABC(obr. 6). Vieme, že plochy takýchto útvarov sú spojené ako štvorce ich podobných lineárnych rozmerov:

Odčítaním druhej rovnosti od prvej dostaneme

c2 = a2 + b2.

Dôkaz je kompletný.

7 METÓDA.

Dané(obr. 7):

ABC,= 90 ° , Slnko= a, AC =b, AB = c.

dokázať:c2 = a2 +b2.

Dôkaz.

Nechajte nohu b a. Pokračujme v segmente SV za bod V a postavte trojuholník BMD tak, že body M a A ležal na jednej strane priamky CD a okrem toho, BD =b, BDM= 90°, DM= a, teda BMD= ABC na oboch stranách a rohu medzi nimi. Body A a M spojiť po segmentoch AM. Máme MUDr CD a AC CD, znamená rovný AS rovnobežne s priamkou MUDr. Pretože MUDr< АС, potom rovno CD a AM nie paralelne. v dôsledku toho AMDC - pravouhlý lichobežník.

V pravouhlých trojuholníkoch ABC a BMD 1 + 2 = 90 ° a 3 + 4 = 90 °, ale keďže = =, potom 3 + 2 = 90 °; potom AVM= 180 ° - 90 ° = 90 °. Ukázalo sa, že lichobežník AMDC je rozdelená na tri neprekrývajúce sa pravouhlé trojuholníky, potom podľa axióm oblastí

(a + b) (a + b)

Vydelením všetkých členov nerovnosti dostaneme

ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,

c2 = a2 + b2.

Dôkaz je kompletný.

8 METÓDA.

Táto metóda je založená na prepone a nohách pravouhlého trojuholníka. ABC. Zostrojí zodpovedajúce štvorce a dokáže, že štvorec postavený na prepone sa rovná súčtu štvorcov postavených na nohách (obr. 8).

Dôkaz.

1) DBC= FBA= 90°;

DBC + ABC= FBA + ABC, znamená, FBC = DBA.

teda FBC=ABD(na oboch stranách a rohu medzi nimi).

2) , kde AL DE, keďže BD je spoločný základ, DL - Celková výška.

3) , keďže FB je základ, AB- Celková výška.

5) Podobne to možno dokázať

6) Pridaním termínu po termíne dostaneme:

, BC2 = AB2 + AC2 . Dôkaz je kompletný.

9 METÓDA.

Dôkaz.

1) Nechajte ABDE- štvorec (obr. 9), ktorého strana sa rovná prepone pravouhlého trojuholníka ABC (AB= s, BC = a, AC =b).

2) Nechajte DK BC a DK = BC, pretože 1 + 2 = 90 ° (ako ostré rohy pravouhlého trojuholníka), 3 + 2 = 90 ° (ako roh štvorca), AB= BD(strany námestia).

znamená, ABC= BDK(podľa prepony a ostrého uhla).

3) Nechajte EL DK, AM EL. Môžete ľahko dokázať, že ABC = BDK = DEL = EAM (s nohami a a b). Potom KS= CM= ML= LK= a -b.

4) SKB = 4S + SKLMC= 2ab+ (a - b),s2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

Dôkaz je kompletný.

10 METÓDA.

Dôkaz môže byť nakreslený na postave žartovne nazývanej „pytagorejské nohavice“ (obr. 10). Jeho myšlienkou je premeniť štvorce postavené na nohách na rovnaké trojuholníky, ktoré spolu tvoria štvorec prepony.

ABC pohneme sa, ako ukazuje šípka, a zaujme pozíciu KDN. Zvyšok postavy AKDCB rovnaká plocha štvorca AKDC - toto je rovnobežník AKNB.

Vyrobený paralelogramový model AKNB... Rovnobežník posúvame tak, ako je načrtnuté v obsahu práce. Aby sme ukázali transformáciu rovnobežníka na rovnoplošný trojuholník, pred očami študentov odrežeme trojuholník na modeli a posunieme ho nadol. Teda plocha námestia AKDC ukázalo sa, že sa rovná ploche obdĺžnika. Podobne preveďte plochu štvorca na plochu obdĺžnika.

Urobme premenu na štvorec postavený na nohe a(Obr. 11, a):

a) štvorec sa zmení na rovnobežník s rovnakou plochou (obr. 11.6):

b) rovnobežník sa otočí o štvrť otáčky (obr. 12):

c) rovnobežník sa zmení na rovnako veľký obdĺžnik (obr. 13): 11 METÓDA.

dôkaz:

PCL - priamka (obr. 14);

KLOA= ACPF= ACED= a2;

LGBO= SVMR =CBNQ= b 2;

AKGB= AKLO +LGBO= c2;

c2 = a2 + b2.

Dôkaz sa skončil .

12 METÓDA.

Ryža. 15 ilustruje ďalší originálny dôkaz Pytagorovej vety.

Tu: trojuholník ABC s pravým uhlom C; oddiele Bf kolmý SV a rovná sa mu, segmentu BE kolmý AB a rovná sa mu, segmentu AD kolmý AS a rovný jemu; bodov F, C,D patrí do jednej priamky; štvoruholníky ADFB a ACBE sú si rovní, keďže ABF = ECB; trojuholníky ADF a ACE rovnaké oblasti; odpočítajte od oboch rovnako veľkých štvoruholníkov pre nich spoločný trojuholník ABC, dostať

, c2 = a2 + b2.

Dôkaz je kompletný.

13 METÓDA.

Plocha tohto pravouhlého trojuholníka sa na jednej strane rovná , s inou, ,

3. ZÁVER.

Výsledkom rešeršnej činnosti bol splnený cieľ práce, ktorý spočíval v doplnení a zovšeobecnení poznatkov o dôkaze Pytagorovej vety. Podarilo sa mi nájsť a zvážiť rôzne spôsoby, ako to dokázať a prehĺbiť vedomosti o danej téme, presahujúce stránky školskej učebnice.

Materiál, ktorý som zhromaždil, nás ďalej presviedča, že Pytagorova veta je veľká geometria, má obrovský teoretický a praktický význam. Na záver by som chcel povedať: dôvodom popularity Pytagorovej trojitej vety je krása, jednoduchosť a význam!

4. POUŽITÉ LITERATÚRY.

1. Zábavná algebra. ... Moskva "Veda", 1978.

2. Týždenná výchovno-metodická príloha novín „1. september“, 24/2001.

3. Geometria 7-9. atď.

4. Geometria 7-9. atď.

Uistite sa, že trojuholník, ktorý ste dostali, je pravouhlý, pretože Pytagorova veta platí len pre pravouhlé trojuholníky. V pravouhlých trojuholníkoch má jeden z troch uhlov vždy 90 stupňov.

Pravý uhol v pravouhlom trojuholníku je označený štvorcovou ikonou, nie krivkou, čo je šikmý uhol.

Pridajte pokyny pre strany trojuholníka. Označte nohy ako "a" a "b" (nohy - strany sa pretínajú v pravom uhle) a preponu ako "c" (prepona - najväčšia strana pravouhlého trojuholníka ležiaca oproti pravému uhlu).

Určite, ktorú stranu trojuholníka chcete nájsť. Pytagorova veta vám umožňuje nájsť akúkoľvek stranu pravouhlého trojuholníka (ak sú známe ďalšie dve strany). Určite, ktorú stranu (a, b, c) potrebujete nájsť.

Napríklad za predpokladu, že prepona sa rovná 5 a noha sa rovná 3. V tomto prípade musíte nájsť druhú vetvu. K tomuto príkladu sa vrátime neskôr.
Ak sú ďalšie dve strany neznáme, je potrebné nájsť dĺžku jednej z neznámych strán, aby bolo možné aplikovať Pytagorovu vetu. Na to použite základné goniometrické funkcie (ak je vám daná hodnota jedného zo šikmých uhlov).

Nahraďte vo vzorci a 2 + b 2 = c 2 hodnoty, ktoré zadáte (alebo hodnoty, ktoré ste našli). Pamätajte, že a a b sú nohy a c je prepona.

V našom príklade napíšte: 3² + b² = 5².

Vyrovnajte každú stranu, ktorú poznáte. Alebo nechajte stupne - čísla môžete odmocniť neskôr.

V našom príklade napíšte: 9 + b² = 25.

Izolujte neznámu stranu na jednej strane rovnice. Za týmto účelom preneste známe hodnoty na druhú stranu rovnice. Ak nájdete preponu, tak v Pytagorovej vete je už izolovaná na jednej strane rovnice (takže netreba nič robiť).

V našom príklade preneste 9 na pravá strana rovnice na izoláciu neznámej b². Dostanete b² = 16.

Extrahujte druhú odmocninu oboch strán rovnice potom, čo je na jednej strane rovnice neznáma (druhá mocnina) a na druhej strane priesečník (číslo).

V našom príklade je b² = 16. Vezmite druhú odmocninu oboch strán rovnice a získajte b = 4. Takže druhá časť je 4.

Použite Pytagorovu vetu Každodenný život pretože sa dá použiť v širokej škále praktických situácií. Aby ste to dosiahli, naučte sa rozpoznávať pravouhlé trojuholníky v každodennom živote - v každej situácii, v ktorej sa dva predmety (alebo čiary) pretínajú v pravom uhle a tretí predmet (alebo čiara) spája (diagonálne) vrcholy prvých dvoch predmetov. (alebo čiary), môžete použiť Pytagorovu vetu na nájdenie neznámej strany (ak sú ostatné dve strany známe).

Príklad: dané schodisko opreté o budovu. Spodná časť schodiska je 5 metrov od základne steny. Vrchná časť schodisko je 20 metrov od zeme (po stene). Aké dlhé sú schody?
- „5 metrov od základne steny“ znamená, že a = 5; „Je 20 metrov od zeme“ znamená, že b = 20 (to znamená, že máte dve nohy pravouhlého trojuholníka, pretože stena budovy a povrch Zeme sa pretínajú v pravých uhloch). Dĺžka rebríka je dĺžka prepony, ktorá nie je známa.
  - a² + b² = c²
  - (5) ² + (20) ² = c²
  - 25 + 400 = c²
  - 425 = c²
  - c = √425
  - s = 20,6. Približná dĺžka schodiska je teda 20,6 metra.

Pytagorova veta

Osud iných viet a problémov je zvláštny... Ako sa dá vysvetliť napríklad taká výnimočná pozornosť matematikov a amatérov matematiky Pytagorovej vete? Prečo sa mnohí z nich neuspokojili s už známymi dôkazmi, ale našli si svoje vlastné, čím sa množstvo dôkazov zvýšilo na niekoľko stoviek počas dvadsiatich piatich porovnateľne predvídateľných storočí?
Pokiaľ ide o Pytagorovu vetu, nezvyčajné začína jej názvom. Predpokladá sa, že Pytagoras nebol prvý, kto ho sformuloval. Za pochybné sa považuje aj to, že jej poskytol dôkaz. Ak je Pythagoras skutočnou osobou (niektorí o tom dokonca pochybujú!), Potom žil s najväčšou pravdepodobnosťou v 6.-5. BC NS. Sám nič nenapísal, nazval sa filozofom, čo v jeho chápaní znamenalo „usilovať sa o múdrosť“, založil Pytagorovu úniu, ktorej členovia sa zaoberali hudbou, gymnastikou, matematikou, fyzikou a astronómiou. Zrejme bol aj výborným rečníkom, o čom svedčí aj nasledujúca legenda súvisiaca s jeho pobytom v meste Crotone: „Prvé vystúpenie Pytagorasa pred ľudom v Crotone sa začalo prejavom k mladým mužom, v ktorom bol tzv. prísne, no zároveň tak fascinujúco načrtnuté povinnosti mladých mužov, že starší v meste žiadali, aby ich nenechali bez poučenia. V tomto druhom prejave poukázal na zákonnosť a čistotu mravov ako základov rodiny; v ďalších dvoch sa venoval deťom a ženám. Dôsledkom posledného prejavu, v ktorom obzvlášť odsúdil luxus, bolo, že do Hérinho chrámu boli doručené tisíce vzácnych šiat, pretože žiadna žena sa už v nich neodvážila ukázať na ulici... “Napriek tomu ani v v druhom storočí nášho letopočtu, teda po 700 rokoch, celkom žili a pracovali skutočných ľudí, vynikajúci vedci, zjavne pod vplyvom pytagorejskej únie a s veľkým rešpektom k tomu, čo podľa legendy Pytagoras vytvoril.
Niet pochýb o tom, že záujem o vetu je spôsobený aj tým, že zaujíma jedno z ústredných miest v matematike, a spokojnosťou autorov dôkazov, ktorí prekonali ťažkosti, o ktorých rímsky básnik Quintus Horace Flaccus ktorý žil pred naším letopočtom, dobre hovoril: "Je ťažké vyjadriť všeobecne známe fakty." ...
Pôvodne teorém stanovil vzťah medzi plochami štvorcov postavených na prepone a ramenách pravouhlého trojuholníka:
.
Algebraická formulácia:
V pravouhlom trojuholníku sa druhá mocnina dĺžky prepony rovná súčtu druhých mocnín dĺžok nôh.
To znamená, že označuje dĺžku prepony trojuholníka cez c a dĺžky ramien cez a a b: a 2 + b 2 = c 2. Obe tvrdenia vety sú ekvivalentné, ale druhé tvrdenie je elementárnejšie, nevyžaduje pojem plochy. To znamená, že druhé tvrdenie je možné skontrolovať bez toho, aby sme vedeli čokoľvek o ploche a meraním iba dĺžok strán pravouhlého trojuholníka.
Konverzná Pythagorova veta. Pre ľubovoľnú trojicu kladných čísel a, b a c také, že
a 2 + b 2 = c 2, existuje pravouhlý trojuholník s nohami a a b a preponou c.

Dôkaz

V súčasnosti je vo vedeckej literatúre zaznamenaných 367 dôkazov tejto vety. Pravdepodobne je Pytagorova veta jedinou vetou s takým pôsobivým počtom dôkazov. Túto rozmanitosť možno vysvetliť iba základným významom vety pre geometriu.
Samozrejme, koncepčne všetky možno rozdeliť do malého počtu tried. Najznámejšie z nich: dôkazy plošnou metódou, axiomatické a exotické dôkazy (napríklad pomocou diferenciálnych rovníc).

Cez podobné trojuholníky

Nasledujúci dôkaz algebraickej formulácie je najjednoduchší z dôkazov vytvorených priamo z axióm. Najmä nepoužíva koncept plochy postavy.
Nech ABC je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C. Z C nakreslite výšku a označte jeho základňu H. Trojuholník ACH je v dvoch uhloch podobný trojuholníku ABC.
Podobne trojuholník CBH je podobný ABC. Predstavenie notácie

dostaneme

Čo je ekvivalent

Pridávame, dostávame

alebo

Plochy dôkaz

Rovnaký dôkaz komplementarity

1. Umiestnite štyri rovnaké pravouhlé trojuholníky, ako je znázornené na obrázku.
2. Štvoruholník so stranami c je štvorec, pretože súčet dvoch ostrých uhlov je 90° a rozložený uhol je 180°.
3. Plocha celého obrazca je na jednej strane plocha štvorca so stranami (a + b) a na druhej strane súčet plôch štyroch trojuholníkov a vnútorného štvorca .

Q.E.D.

Dôkaz prostredníctvom škálovania

Príklad jedného z takýchto dôkazov je znázornený na obrázku vpravo, kde štvorec postavený na prepone sa permutáciou premení na dva štvorce postavené na nohách.

Euklidov dôkaz

Myšlienka Euklidovho dôkazu je nasledovná: skúsme dokázať, že polovica plochy štvorca postaveného na prepone sa rovná súčtu polovíc plôch štvorcov postavených na nohách a potom plôch z veľkých a dvoch malých štvorcov sú rovnaké. Zvážte kresbu vľavo. Na ňom sme postavili štvorce po stranách pravouhlého trojuholníka a nakreslili lúč s z vrcholu pravého uhla C kolmo na preponu AB, rozreže štvorec ABIK postavený na prepone na dva obdĺžniky - BHJI. a HAKJ, resp. Ukazuje sa, že plochy týchto obdĺžnikov sú presne rovnaké ako plochy štvorcov postavených na zodpovedajúcich nohách. Pokúsme sa dokázať, že plocha štvorca DECA sa rovná ploche obdĺžnika AHJK Na to použijeme pomocné pozorovanie: Plocha trojuholníka s rovnakou výškou a základňou ako tento obdĺžnik je rovnaká do polovice plochy daného obdĺžnika. Je to dôsledok definície plochy trojuholníka ako polovice súčinu základne a výšky. Z tohto pozorovania vyplýva, že plocha trojuholníka ACK sa rovná ploche trojuholníka AHK (na obrázku nie je znázornená), čo sa zase rovná polovici plochy obdĺžnika AHJK. . Dokážme teraz, že plocha trojuholníka ACK sa tiež rovná polovici plochy štvorca DECA. Jediná vec, ktorú je potrebné urobiť, je dokázať rovnosť trojuholníkov ACK a BDA (pretože plocha trojuholníka BDA sa rovná polovici plochy štvorca podľa vyššie uvedenej vlastnosti). Rovnosť je zrejmá, trojuholníky sú rovnaké na dvoch stranách a uhol medzi nimi. Totiž - AB = AK, AD = AC - rovnosť uhlov CAK a BAD sa dá ľahko dokázať metódou pohybu: trojuholník CAK otočíme o 90° proti smeru hodinových ručičiek, potom je zrejmé, že zodpovedajúce strany dvoch trojuholníkov uvažovaný sa bude zhodovať (keďže uhol na vrchole štvorca je 90 °). Úvaha o rovnosti plôch štvorca BCFG a obdĺžnika BHJI je úplne analogická. Takto sme dokázali, že plocha štvorca postaveného na prepone je súčtom plôch štvorcov postavených na nohách.

Dôkaz Leonarda da Vinciho

Hlavnými prvkami dôkazu sú symetria a pohyb.

Zoberme si výkres, ako je zrejmé zo symetrie, segment CI rozreže štvorec ABHJ na dve rovnaké časti (keďže trojuholníky ABC a JHI sú v konštrukcii rovnaké). Použitím otočenia o 90 stupňov proti smeru hodinových ručičiek vidíme, že tieňované čísla CAJI a GDAB sú rovnaké. Teraz je jasné, že plocha tieňovaného obrázku sa rovná súčtu polovíc plôch štvorcov postavených na nohách a plochy pôvodného trojuholníka. Na druhej strane sa rovná polovici plochy štvorca postaveného na prepone plus plocha pôvodného trojuholníka. Posledný krok dokazovania je ponechaný na čitateľa.