A határértékek megoldásának módszerei. Bizonytalanságok: A függvény növekedési sorrendje

A függvény deriváltja nem esik messzire, és a L'Hospital szabályai esetén pontosan oda esik, ahol az eredeti függvény esik. Ez a körülmény segít feltárni a 0/0 vagy ∞/∞ formájú bizonytalanságokat és néhány más, a számítás során felmerülő bizonytalanságot. határ két végtelenül kicsi vagy végtelenül nagy függvény aránya. A számítást nagyban leegyszerűsíti ez a szabály (valójában két szabály és megjegyzések ezekhez):

Amint a fenti képlet mutatja, két végtelenül kicsi vagy végtelenül nagy függvény arányhatárának kiszámításakor két függvény arányának határa helyettesíthető azok arányának határával. származékaiés így egy bizonyos eredményt kap.

Térjünk át a L'Hopital szabályainak pontosabb megfogalmazására.

L'Hopital szabálya két végtelenül kicsi érték határának esetére. Hagyjuk a függvényeket f(x) és g(x a. És pont a ponton a a függvény deriváltja g(x) nem egyenlő nullával ( g"(x a egyenlőek egymással és egyenlők nullával:

.

L'Hôpital szabálya két végtelenül nagy mennyiség határának esetére. Hagyjuk a függvényeket f(x) és g(x) származékai vannak (vagyis differenciálhatóak) a pont valamely szomszédságában a. És pont a ponton a lehetnek származékaik, vagy nem. Ráadásul a pont környékén a függvény deriváltja g(x) nem egyenlő nullával ( g"(x)≠0 ) és ezeknek a függvényeknek a határértékei, mivel x a függvény értékéhez igazodik a pontban a egyenlőek egymással és egyenlőek a végtelennel:

.

Ekkor ezen függvények arányának határa megegyezik származékaik arányának határával:

Más szóval, 0/0 vagy ∞/∞ alakú bizonytalanságok esetén két függvény arányának határa megegyezik származékaik arányának határával, ha ez utóbbi létezik (véges, azaz egyenlő bizonyos szám, vagy végtelen, azaz egyenlő a végtelennel).

Megjegyzések.

1. A L'Hopital szabályai a függvényekre is érvényesek f(x) és g(x) nincsenek meghatározva itt x = a.

2. Ha a függvények deriváltjainak arányának korlátjának számításakor f(x) és g(x) ismét 0/0 vagy ∞/∞ formájú bizonytalansághoz jutunk, akkor a L'Hopital szabályait ismételten (legalább kétszer) kell alkalmazni.

3. A L'Hopital-szabályok akkor is érvényesek, ha az (x) függvény argumentuma nem véges számra irányul. a, és a végtelenségig ( x → ∞).

Más típusú bizonytalanságok is redukálhatók a 0/0 és ∞/∞ típusú bizonytalanságokra.

A "nulla osztva nullával" és a "végtelen osztva a végtelennel" típusú bizonytalanságok közzététele

1. példa

x=2 0/0 alakú határozatlansághoz vezet. Ezért az egyes függvények deriváltját és kapjuk

A számlálóban a polinom deriváltját, a nevezőben pedig - komplex logaritmikus függvény deriváltja. Az utolsó egyenlőségjel előtt a szokásos határ, az x helyett kettős számmal helyettesítve.

2. példa Számítsa ki két függvény arányának határát a L'Hospital szabály segítségével:

Megoldás. Behelyettesítés egy adott értékfüggvénybe x

3. példa Számítsa ki két függvény arányának határát a L'Hospital szabály segítségével:

Megoldás. Behelyettesítés egy adott értékfüggvénybe x=0 0/0 formájú határozatlansághoz vezet. Ezért kiszámítjuk a számlálóban és a nevezőben lévő függvények deriváltjait, és megkapjuk:

4. példa Kiszámítja

Megoldás. Ha a plusz végtelennel egyenlő x értékét behelyettesítjük egy adott függvénybe, az ∞/∞ alakú határozatlansághoz vezet. Ezért alkalmazzuk a L'Hopital szabályát:

Megjegyzés. Térjünk át azokra a példákra, amelyekben az L'Hopital-szabályt kétszer kell alkalmazni, vagyis el kell jutni a második származékok arányának határához, mivel az első deriváltak arányának határa a forma bizonytalansága. 0/0 vagy ∞/∞.

A "nulla szorozva a végtelennel" formájú bizonytalanságok közzététele

12. példa. Kiszámítja

.

Megoldás. Kapunk

Ez a példa a trigonometrikus azonosságot használja.

A "nulla a nulla hatványa", a "végtelen a nulla hatványa" és az "egy a végtelen hatványa" típusú bizonytalanságok közzététele

Az alak bizonytalanságait, vagy általában 0/0 vagy ∞/∞ alakra redukálják az alak függvényének logaritmusával

A kifejezés határának kiszámításához a logaritmikus azonosságot kell használni, amelynek speciális esete a logaritmus tulajdonsága .

A logaritmikus azonosság és a függvény folytonossági tulajdonságának felhasználásával (a határ előjelének túllépéséhez) a határértéket a következőképpen kell kiszámítani:

Külön meg kell találni a kifejezés határát a kitevőben és a buildben e a talált fokig.

13. példa

Megoldás. Kapunk

.

.

14. példa Számítsa ki a L'Hopital-szabály segítségével

Megoldás. Kapunk

Számítsa ki a kifejezés határát a kitevőben!

.

.

15. példa Számítsa ki a L'Hopital-szabály segítségével

Nagyon gyakran sokan csodálkoznak azon, hogy miért lehetetlen a nullával való osztást használni? Ebben a cikkben részletesen bemutatjuk, honnan származik ez a szabály, és milyen műveleteket lehet végrehajtani nullával.

Kapcsolatban áll

A nullát az egyik legérdekesebb számnak nevezhetjük. Ennek a számnak nincs értelme, ürességet jelent a szó legigazibb értelmében. Ha azonban bármelyik számjegy mellé nullát tesz, akkor ennek a számjegynek az értéke többszöröse lesz.

A szám önmagában nagyon titokzatos. Az ókori maja emberek használták. A maják számára a nulla a "kezdetet" jelentette, és a naptári napok visszaszámlálása is nulláról indult.

Nagyon érdekes tény, hogy a nulla és a bizonytalanság jele hasonló volt számukra. Ezzel a maják azt akarták megmutatni, hogy a nulla azonos jel, mint a bizonytalanság. Európában a nulla megjelölése viszonylag nemrég jelent meg.

Emellett sokan ismerik a nullához kapcsolódó tilalmat. Bárki ezt mondja nem osztható nullával. Ezt mondják a tanárok az iskolában, és a gyerekek általában szót fogadnak. Általában a gyerekeket vagy egyszerűen nem érdekli, hogy ezt tudják, vagy tudják, mi történik, ha egy fontos tilalom hallatán azonnal megkérdezik: „Miért nem lehet nullával osztani?”. De amikor idősebb leszel, felébred az érdeklődés, és többet akarsz tudni egy ilyen tilalom okairól. Vannak azonban ésszerű bizonyítékok.

Műveletek nullával

Először meg kell határoznia, hogy milyen műveleteket lehet végrehajtani nullával. Létezik többféle tevékenység:

• Kiegészítés;
• Szorzás;
• Kivonás;
• Osztás (nulla szám szerint);
• Hatványozás.

Fontos! Ha az összeadás során bármely számhoz nullát adunk, akkor ez a szám ugyanaz marad, és nem változtatja meg a számértékét. Ugyanez történik, ha bármely számból kivonunk nullát.

A szorzással és osztással a dolgok egy kicsit másképp állnak. Ha egy tetszőleges számot megszorozzuk nullával, akkor a szorzat is nullává válik.

Vegyünk egy példát:

Kiegészítésként írjuk ezt:

Összesen öt nulla van hozzáadva, így kiderül

Próbáljunk meg szorozni egyet nullával. Az eredmény is nulla lesz.

A nullát el lehet osztani bármely más számmal, amely nem egyenlő vele. Ebben az esetben kiderül, aminek az értéke is nulla lesz. Ugyanez a szabály vonatkozik a negatív számokra is. Ha a nullát elosztod egy negatív számmal, akkor nullát kapsz.

Tetszőleges számot emelhetsz nulla teljesítményre. Ebben az esetben 1-et kap. Fontos megjegyezni, hogy a "nulla a nulla hatványhoz" kifejezés teljesen értelmetlen. Ha megpróbálja nullát emelni bármely hatványra, akkor nullát kap. Példa:

Használjuk a szorzási szabályt, 0-t kapunk.

Lehetséges-e nullával osztani

Tehát elérkeztünk a fő kérdéshez. Lehetséges-e nullával osztaniáltalában? És miért lehetetlen egy számot nullával osztani, tekintve, hogy minden más nullával végzett művelet teljes mértékben létezik és érvényes? A kérdés megválaszolásához a felsőbb matematikához kell fordulnia.

Kezdjük a fogalom meghatározásával, mi az a nulla? Az iskolai tanárok azt állítják, hogy a nulla semmi. Üresség. Azaz, ha azt mondod, hogy 0 tollad van, az azt jelenti, hogy egyáltalán nincs tollad.

A felsőbb matematikában a "nulla" fogalma tágabb. Egyáltalán nem azt jelenti, hogy üres. Itt a nullát bizonytalanságnak nevezzük, mert ha kicsit kutakodunk, kiderül, hogy ha nullát elosztunk nullával, akkor bármilyen más számot kaphatunk, ami nem feltétlenül nulla.

Tudod, hogy azok az egyszerű aritmetikai műveletek, amelyeket az iskolában tanultál, nem annyira egyenlőek egymás között? A legalapvetőbb lépések a következők összeadás és szorzás.

A matematikusok számára a "" és a "kivonás" fogalma nem létezik. Tegyük fel: ha ötből kivonunk hármat, akkor kettő marad. Így néz ki a kivonás. A matematikusok azonban így írnák:

Így kiderül, hogy az ismeretlen különbség egy bizonyos szám, amelyet hozzá kell adni 3-hoz, hogy 5-öt kapjunk. Vagyis nem kell semmit kivonni, csak találni kell egy megfelelő számot. Ez a szabály az összeadásra vonatkozik.

Kicsit más a helyzet vele szorzási és osztási szabályok. Ismeretes, hogy a nullával való szorzás nulla eredményhez vezet. Például, ha 3:0=x, akkor ha megfordítja a rekordot, akkor 3*x=0 lesz. A 0-val megszorzott szám pedig nullát ad a szorzatban. Kiderült, hogy nem létezik olyan szám, amely a nullától eltérő értéket adna a nullával rendelkező szorzatban. Ez azt jelenti, hogy a nullával való osztás értelmetlen, vagyis megfelel a szabályunknak.

De mi történik, ha megpróbálod elosztani a nullát önmagával? Vegyük x-et valamilyen határozatlan számnak. Kiderül, hogy a 0 * x \u003d 0 egyenlet. Meg lehet oldani.

Ha x helyett nullát próbálunk venni, 0:0=0-t kapunk. Logikusnak tűnik? De ha megpróbálunk x helyett bármilyen más számot felvenni, például 1-et, akkor 0:0=1 lesz a vége. Ugyanez a helyzet lesz, ha bármilyen más számot és dugja be az egyenletbe.

Ebben az esetben kiderül, hogy bármilyen más számot is vehetünk tényezőnek. Az eredmény végtelen számú különböző szám lesz. Néha ennek ellenére van értelme a 0-val való osztásnak a felsőbb matematikában, de akkor általában van egy feltétel, ami miatt mégis kiválaszthatunk egy megfelelő számot. Ezt a műveletet "bizonytalansági feltárásnak" nevezik. A közönséges aritmetikában a nullával való osztás ismét elveszti értelmét, mivel nem választhatunk ki egyetlen számot sem a halmazból.

Fontos! A nullát nem lehet nullával osztani.

Nulla és végtelen

A végtelen nagyon gyakori a felsőbb matematikában. Mivel egyszerűen nem fontos, hogy az iskolások tudják, hogy vannak még matematikai műveletek a végtelennel, a tanárok nem tudják megfelelően elmagyarázni a gyerekeknek, miért lehetetlen nullával osztani.

Az alapvető matematikai titkokat a hallgatók csak az intézet első évében kezdik el tanulni. A felsőbb matematika számos olyan feladatot kínál, amelyekre nincs megoldás. A leghíresebb problémák a végtelennel kapcsolatos problémák. Ezzel meg lehet oldani matematikai elemzés.

A végtelenbe is lehet jelentkezni elemi matematikai műveletek:összeadás, szorzás egy számmal. A kivonást és az osztást is gyakran használják, de végül mégis két egyszerű műveletből állnak.

De mi lesz ha megpróbálod:

• Szorozzuk meg a végtelent nullával. Elméletileg, ha bármilyen számot megpróbálunk megszorozni nullával, akkor nullát kapunk. De a végtelen a számok határozatlan halmaza. Mivel ebből a halmazból nem tudunk egy számot kiválasztani, a ∞*0 kifejezésnek nincs megoldása, és teljesen értelmetlen.
• Nulla osztva a végtelennel. Ez ugyanaz a történet, mint fent. Nem választhatunk egy számot, ami azt jelenti, hogy nem tudjuk, mivel osszuk el. A kifejezésnek nincs értelme.

Fontos! A végtelen egy kicsit más, mint a bizonytalanság! A végtelen a bizonytalanság egy fajtája.

Most próbáljuk meg elosztani a végtelent nullával. Úgy tűnik, hogy bizonytalanságnak kell lennie. De ha megpróbáljuk az osztást szorzással helyettesíteni, nagyon határozott választ kapunk.

Például: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Így derül ki matematikai paradoxon.

Miért nem lehet nullával osztani?

Gondolatkísérlet, próbálja meg nullával osztani

Következtetés

Tehát most már tudjuk, hogy a nulla szinte minden műveletnek alá van vetve, amelyet vele hajtanak végre, kivéve egyet. Nem lehet nullával osztani csak azért, mert az eredmény bizonytalan. Megtanultuk a nulla és a végtelen működését is. Az ilyen intézkedések eredménye bizonytalanság lesz.

A 0 szám egyfajta határként ábrázolható, amely elválasztja a valós számok világát a képzeletbeli vagy negatív számoktól. A kétértelmű helyzet miatt sok ilyen számértékű művelet nem engedelmeskedik a matematikai logikának. Ennek kiváló példája a nullával való osztás lehetetlensége. És a megengedett aritmetikai műveletek nullával végrehajthatók az általánosan elfogadott definíciók segítségével.

A nulla története

A nulla a referenciapont minden szabványos számrendszerben. Az európaiak viszonylag új keletűek a számok használata, de az ókori India bölcsei ezer évig nullát használtak, mielőtt az üres számot rendszeresen használták az európai matematikusok. Már az indiánok előtt is a nulla kötelező érték volt a maja számrendszerben. Ez az amerikai nép a duodecimális rendszert használta, és minden hónap első napját nullával kezdték. Érdekes módon a majáknál a „nulla” jele teljesen egybeesett a „végtelen” jelével. Így az ókori maják arra a következtetésre jutottak, hogy ezek a mennyiségek azonosak és megismerhetetlenek.

Matematikai műveletek nullával

A nullával végzett szabványos matematikai műveletek néhány szabályra redukálhatók.

Összeadás: ha egy tetszőleges számhoz nullát adunk, akkor az nem változtatja meg az értékét (0+x=x).

Kivonás: bármely számból nullát kivonva a kivont értéke változatlan marad (x-0=x).

Szorzás: bármely szám 0-val szorozva 0-t ad a szorzatban (a*0=0).

Osztás: A nulla bármely nem nulla számmal osztható. Ebben az esetben egy ilyen tört értéke 0. A nullával való osztás pedig tilos.

Hatványozás. Ez a művelet tetszőleges számmal végrehajtható. A nulla hatványára emelt tetszőleges szám 1-et ad (x 0 =1).

Bármely hatvány nullája egyenlő 0-val (0 a \u003d 0).

Ebben az esetben azonnal ellentmondás keletkezik: a 0 0 kifejezésnek nincs értelme.

A matematika paradoxonai

Azt, hogy a nullával való osztás lehetetlen, sokan tudják az iskolából. De valamiért nem lehet megmagyarázni egy ilyen tilalom okát. Valóban, miért nem létezik a nullával osztás formula, de más műveletek ezzel a számmal teljesen ésszerűek és lehetségesek? Erre a kérdésre a választ matematikusok adják.

Az a helyzet, hogy a szokásos számtani műveletek, amelyeket az iskolások általános osztályban tanulnak, valójában korántsem olyan egyenlőek, mint gondolnánk. A számokkal végzett összes egyszerű művelet kettőre redukálható: összeadásra és szorzásra. Ezek a műveletek a szám fogalmának lényegét képezik, a többi művelet pedig e kettő használatán alapul.

Összeadás és szorzás

Vegyünk egy szabványos kivonási példát: 10-2=8. Az iskolában egyszerűen úgy tartják: ha tíz tárgyból kettőt elvesznek, nyolc marad. De a matematikusok egészen másképp nézik ezt a műveletet. Végül is nincs olyan művelet, mint a kivonás. Ez a példa másképpen is felírható: x+2=10. A matematikusok számára az ismeretlen különbség egyszerűen az a szám, amelyet kettőhöz kell hozzáadni, hogy nyolc legyen. És itt nincs szükség kivonásra, csak találni kell egy megfelelő számértéket.

A szorzást és az osztást ugyanúgy kezeljük. A 12:4=3 példában érthető, hogy nyolc tárgy két egyenlő halomra való felosztásáról beszélünk. De a valóságban ez csak egy fordított képlet a 3x4 \u003d 12 írására. Az ilyen felosztási példákat végtelenül lehet adni.

Példák 0-val való osztásra

Itt válik kissé világossá, hogy miért lehetetlen nullával osztani. A nullával való szorzásnak és osztásnak megvannak a maga szabályai. Ennek a mennyiségnek az osztásonkénti összes példája 6:0=x formában fogalmazható meg. De ez a 6 * x = 0 kifejezés fordított kifejezése. De, mint tudod, bármely szám 0-val szorozva csak 0-t ad a szorzatban. Ez a tulajdonság a nulla érték fogalmának velejárója.

Kiderült, hogy ilyen szám, amit 0-val megszorozva bármilyen kézzelfogható értéket ad, nem létezik, vagyis ennek a problémának nincs megoldása. Nem kell félni egy ilyen választól, ez természetes válasz az ilyen típusú problémákra. Csak 6:0-nak nincs értelme, és nem magyaráz semmit. Röviden, ez a kifejezés a halhatatlan „nincs nullával osztás” kifejezéssel magyarázható.

Van 0:0 művelet? Valóban, ha a 0-val való szorzás törvényes, osztható-e nulla nullával? Végül is egy 0x5=0 alakú egyenlet teljesen törvényes. Az 5-ös szám helyett 0-t tehet, ettől nem változik a szorzat.

Valóban, 0x0=0. De még mindig nem lehet 0-val osztani. Mint mondtuk, az osztás csak a szorzás inverze. Így, ha a példában 0x5=0, meg kell határozni a második tényezőt, akkor 0x0=5-öt kapunk. Vagy 10. Vagy a végtelen. A végtelen elosztása nullával – hogy tetszik?

De ha bármilyen szám belefér a kifejezésbe, akkor annak nincs értelme, nem választhatunk egyet végtelen számhalmazból. És ha igen, az azt jelenti, hogy a 0:0 kifejezésnek nincs értelme. Kiderült, hogy magát a nullát sem lehet nullával osztani.

felsőbb matematika

A nullával való osztás fejfájást okoz a középiskolai matematikának. A műszaki egyetemeken tanult matematikai elemzés kissé kibővíti a megoldás nélküli problémák fogalmát. Például a már ismert 0:0 kifejezéshez újak kerülnek hozzáadásra, amelyeknek nincs megoldása az iskolai matematika kurzusokban:

• végtelen osztva a végtelennel: ∞:∞;
• végtelen mínusz végtelen: ∞−∞;
• végtelen hatványra emelt egység: 1 ∞ ;
• végtelen 0-val szorozva: ∞*0;
• néhány másik.

Az ilyen kifejezéseket elemi módszerekkel nem lehet megoldani. De a magasabb matematika, hála számos hasonló példa további lehetőségeinek, végső megoldásokat ad. Ez különösen nyilvánvaló a problémák határelméletből való mérlegelésében.

Bizonytalanság közzététele

A határértékek elméletében a 0 értéket egy feltételes, infinitezimális változóval helyettesítjük. És azokat a kifejezéseket, amelyekben a nullával való osztást a kívánt érték helyettesítésekor kapjuk, átváltjuk. Az alábbiakban egy szabványos példa látható a határérték kiterjesztésére a szokásos algebrai transzformációkkal:

Amint a példában is látható, egy tört egyszerű redukálása hozzáadja annak értékét egy teljesen racionális válaszhoz.

Ha figyelembe vesszük a trigonometrikus függvények határait, azok kifejezései általában az első figyelemre méltó határig redukálódnak. Ha figyelembe vesszük azokat a határértékeket, amelyekben a nevező 0-ra megy, amikor a határt helyettesítjük, akkor a második figyelemre méltó határértéket használjuk.

L'Hopital módszer

Egyes esetekben a kifejezések határértékei helyettesíthetők származékaik határértékével. Guillaume Lopital - francia matematikus, a francia matematikai elemzési iskola alapítója. Bebizonyította, hogy a kifejezések határai egyenlőek e kifejezések származékainak határaival. A matematikai jelölésben a szabálya a következő.

A fő elemi funkciókat rendeztük.

Ha bonyolultabb formájú függvényekre térünk át, biztosan találkozunk olyan kifejezésekkel, amelyek értéke nincs definiálva. Az ilyen kifejezéseket ún bizonytalanságok.

Soroljunk fel mindent a bizonytalanságok főbb típusai: nulla osztva nullával (0:0), végtelen osztva a végtelennel, nulla szor a végtelennel, a végtelen mínusz a végtelen, egy a végtelen hatványára, nulla a nulla hatványa, a végtelen a nulla hatványa.

MINDEN MÁS KIFEJEZÉS NEM BIZONYTALANSÁG, ÉS TELJESEN KONKRÉT VÉGES VAGY VÉGTELEN ÉRTÉKET VEGYEN.

Bizonytalanságok feltárása lehetővé tesz:

• a függvény típusának egyszerűsítése (kifejezés átalakítása rövidített szorzási képletekkel, trigonometrikus képletekkel, szorzás konjugált kifejezésekkel, utólagos redukcióval stb.);
• figyelemre méltó korlátok alkalmazása;
• a L'Hospital szabályának alkalmazása;
• az infinitezimális kifejezések ekvivalensével való helyettesítése (ekvivalens infinitezimálisok táblázatának használata).

Csoportosítjuk a bizonytalanságokat bizonytalansági táblázat. Minden bizonytalanságtípushoz megfeleltetjük annak feltárásának módját (a határmegállapítás módszerét).

Ez a táblázat az alapvető elemi függvények határértékeinek táblázatával együtt lesz a fő eszköze a határértékek megtalálásához.

Mondjunk néhány példát, amikor az érték behelyettesítése után azonnal mindent megkapunk, és nem merül fel bizonytalanság.

Példa.

Számítsa ki a határértéket

Megoldás.

Az értéket helyettesítjük:

És azonnal választ kaptunk.

Válasz:

Példa.

Számítsa ki a határértéket

Megoldás.

Az x=0 értéket behelyettesítjük exponenciális hatványfüggvényünk alapjába:

Vagyis a határt át lehet írni mint

Most pedig vessünk egy pillantást az indexre. Ez egy teljesítmény funkció. Térjünk rá a negatív kitevővel rendelkező hatványfüggvények határértékeinek táblázatára. Innentől már megvan és , ezért írhatunk .

Ez alapján a határunkat így írhatjuk fel:

Ismét rátérünk a határértékek táblázatára, de az egynél nagyobb bázisú exponenciális függvényekre, amelyekből a következőt kapjuk:

Válasz:

Nézzünk példákat részletes megoldásokkal a kétértelműségek feltárása kifejezések átalakításával.

Nagyon gyakran a határjel alatti kifejezést kissé át kell alakítani, hogy megszabaduljunk a kétértelműségektől.

Példa.

Számítsa ki a határértéket

Megoldás.

Az értéket helyettesítjük:

Eljött a bizonytalanság. A megoldási mód kiválasztásához a bizonytalanságok táblázatát nézzük. Próbáljuk meg leegyszerűsíteni a kifejezést.

Válasz:

Példa.

Számítsa ki a határértéket

Megoldás.

Az értéket helyettesítjük:

Eljött a bizonytalanság (0:0). Megvizsgáljuk a bizonytalanságok táblázatát a megoldási mód kiválasztásához, és megpróbáljuk leegyszerűsíteni a kifejezést. A számlálót és a nevezőt is megszorozzuk a nevezőhöz konjugált kifejezéssel.

A nevezőre az adjungált kifejezés az

A nevezőt megszoroztuk, hogy a rövidített szorzási képletet - a négyzetek különbségét - alkalmazhassuk, majd csökkentsük a kapott kifejezést.

A sorozatos átalakulások után a bizonytalanság megszűnt.

Válasz:

MEGJEGYZÉS: az ilyen korlátokra jellemző a konjugált kifejezésekkel történő szorzás módszere, ezért nyugodtan használd.

Példa.

Számítsa ki a határértéket

Megoldás.

Az értéket helyettesítjük:

Eljött a bizonytalanság. Megvizsgáljuk a bizonytalanságok táblázatát a megoldási mód kiválasztásához, és megpróbáljuk leegyszerűsíteni a kifejezést. Mivel a számláló és a nevező is eltűnik x=1-nél, ha ezek a kifejezések csökkenthetők (x-1), akkor a bizonytalanság eltűnik.

Tényezőzzük a számlálót:

Tényezőzzük a nevezőt:

Korlátunk a következő formában lesz:

Az átalakulás után kiderült a bizonytalanság.

Válasz:

Tekintsük a határértékeket a hatványkifejezések végtelenségénél. Ha az exponenciális kifejezés kitevői pozitívak, akkor a végtelen határértéke végtelen. Ráadásul a fő értéknek van a legnagyobb foka, a többit el lehet dobni.

Példa.

Példa.

Ha a határjel alatti kifejezés egy tört, és mind a számláló, mind a nevező hatványkifejezések (m a számláló hatványa, n pedig a nevező hatványa), akkor ha a végtelen alak bizonytalan. ebben az esetben a végtelenségig bizonytalanság derül ki osztás és számláló és nevező által

Példa.

Számítsa ki a határértéket