Hogyan találjuk meg a vektor koordinátáit. Vektor hosszának meghatározása koordinátákkal A képlet, amellyel a vektor hosszát megtaláljuk
Szabványos definíció: "A vektor egy irányított vonalszakasz." Általában ez a határ a végzett ember vektorismeretének. Kinek van szüksége valamiféle "irányított szegmensekre"?
De valójában mik is azok a vektorok, és miért azok?
Időjárás előrejelzés. "Északnyugati szél, sebessége 18 méter másodpercenként." Egyetértek, a szél iránya (honnan fúj) és sebességének modulja (azaz az abszolút értéke) is számít.
Azokat a mennyiségeket, amelyeknek nincs irányuk, skalároknak nevezzük. Tömeg, munka, elektromos töltés nem irányul sehova. Csak numerikus érték jellemzi őket - „hány kilogramm” vagy „hány joule”.
Azokat a fizikai mennyiségeket, amelyeknek nemcsak abszolút értékük, hanem irányuk is van, vektormennyiségeknek nevezzük.
Sebesség, erő, gyorsulás - vektorok. Számukra az a fontos, hogy "mennyit" és az, hogy "hol". Például a szabadesés gyorsulása a Föld felszíne felé irányul, értéke 9,8 m/s 2. A lendület, az elektromos térerősség, a mágneses tér indukciója is vektormennyiség.
Emlékszel, hogy a fizikai mennyiségeket latin vagy görög betűkkel jelöljük. A betű feletti nyíl azt jelzi, hogy a mennyiség vektor:
Íme egy másik példa.
Az autó A-ból B-be halad. A végeredmény az A pontból B pontba való mozgás, azaz egy vektor általi mozgás 
.
Most már világos, hogy miért egy vektor irányított szegmens. Figyelem, a vektor vége ott van, ahol a nyíl van. Vektor hossza e szakasz hosszának nevezzük. Kijelölve: ill
Eddig skaláris mennyiségekkel dolgoztunk, az aritmetika és az elemi algebra szabályai szerint. A vektorok új fogalom. Ez a matematikai objektumok másik osztálya. Megvannak a maguk szabályai.
Valamikor nem is tudtunk a számokról. A velük való ismerkedés elemi osztályokban kezdődött. Kiderült, hogy a számok összehasonlíthatók egymással, összeadhatók, kivonhatók, szorozhatók és oszthatók. Megtudtuk, hogy van egy szám és egy nulla.
Most megismerjük a vektorokat.
A "nagyobb, mint" és a "kisebb, mint" fogalmak nem léteznek vektorokra - elvégre irányuk eltérő lehet. Csak a vektorok hosszát lehet összehasonlítani.
De a vektorok egyenlőségének fogalma az.
Egyenlő azonos hosszúságú és irányú vektorok. Ez azt jelenti, hogy a vektor önmagával párhuzamosan a sík bármely pontjára mozgatható.
egyetlen vektornak nevezzük, amelynek hossza 1 . Nulla - egy vektor, amelynek hossza egyenlő nullával, vagyis a kezdete egybeesik a végével.
A legkényelmesebb a téglalap alakú koordinátarendszerben dolgozó vektorokkal dolgozni - abban, amelyben függvénygrafikonokat rajzolunk. A koordinátarendszer minden pontja két számnak felel meg - az x és y koordinátáknak, az abszcisszának és az ordinátának.
A vektort két koordináta is megadja:
Itt a vektor koordinátái zárójelben vannak - x-ben és y-ban.
Könnyű megtalálni őket: a vektor végének koordinátája mínusz a kezdetének koordinátája.
Ha a vektor koordinátái adottak, akkor a hosszát a képlet határozza meg
Vektor kiegészítés
A vektorok hozzáadásának két módja van.
egy . paralelogramma szabály. Az és vektorok összeadásához mindkettő origóját ugyanabba a pontba helyezzük. Befejezzük a paralelogrammát, és ugyanabból a pontból rajzoljuk meg a paralelogramma átlóját. Ez lesz a vektorok és az összege.
Emlékszel a hattyúról, a rákról és a csukáról szóló mesére? Nagyon igyekeztek, de soha nem mozdították el a szekeret. Hiszen az általuk a kocsira kifejtett erők vektorösszege nullával egyenlő.
2. A vektorok hozzáadásának második módja a háromszögszabály. Vegyük ugyanazokat a vektorokat és . A második elejét hozzáadjuk az első vektor végéhez. Most kössük össze az első elejét és a második végét. Ez a vektorok és az összege.
Ugyanezen szabály szerint több vektort is hozzáadhat. Egyenként rögzítjük őket, majd összekötjük az első elejét az utolsó végével.
Képzelje el, hogy A pontból B pontba, B-ből C-be, C-ből D-be, majd E-be, majd F-be megy. Ezen akciók végeredménye egy lépés A-ból F-be.
Ha vektorokat adunk hozzá:
Vektoros kivonás
A vektor a vektorral ellentétes irányban irányul. A és vektorok hossza egyenlő.
Most már világos, hogy mi a vektorok kivonása. A és a vektorok különbsége a vektor és a vektor összege.
Szorozza meg a vektort egy számmal
Ha megszorozunk egy vektort k számmal, akkor olyan vektort kapunk, amelynek hossza k-szor különbözik a hossztól. Egyirányú a vektorral, ha k nagyobb nullánál, és ellentétes irányú, ha k kisebb, mint nulla.
Vektorok pontszorzata
A vektorok nem csak számokkal, hanem egymással is szorozhatók.
A vektorok skaláris szorzata a vektorok hosszának és a közöttük lévő szög koszinuszának a szorzata.
Figyelem - megszoroztunk két vektort, és kaptunk egy skalárt, azaz egy számot. Például a fizikában a mechanikai munka egyenlő két vektor skaláris szorzatával - az erő és az elmozdulás:
Ha a vektorok merőlegesek, akkor pontszorzatuk nulla.
És így fejeződik ki a skaláris szorzat a vektorok koordinátáival és:
A skaláris szorzat képletéből megtalálhatja a vektorok közötti szöget:
Ez a képlet különösen kényelmes a sztereometriában. Például a USE profil 14. feladatában a matematikában meg kell találni a metsző egyenesek vagy az egyenes és a sík közötti szöget. A 14. feladatot gyakran többször gyorsabban oldják meg, mint a klasszikust.
A matematika iskolai tantervében csak a vektorok skaláris szorzatát tanulmányozzák.
Kiderül, hogy a skaláron kívül van vektorszorzat is, amikor két vektor szorzata eredményeként vektort kapunk. Aki sikeres vizsgát tesz fizikából, tudja, mi a Lorentz-erő és az Ampère-erő. Ezen erők meghatározására szolgáló képletek pontosan vektorszorzatokat tartalmaznak.
A vektorok nagyon hasznos matematikai eszközök. Erről az első tanfolyamon meg fog győződni.
Ebben a cikkben Ön és én egy "varázspálca" megbeszélését kezdjük, amely lehetővé teszi, hogy sok geometriai problémát egyszerű aritmetikára redukáljon. Ez a „pálca” nagyban megkönnyítheti az életét, különösen akkor, ha bizonytalannak érzi magát a térbeli alakzatok, metszetek stb. építésében. Mindez bizonyos képzelőerőt és gyakorlati készségeket igényel. A módszer, amelyet itt kezdünk megvizsgálni, lehetővé teszi, hogy szinte teljesen elvonatkoztassunk mindenféle geometriai konstrukciótól és érveléstől. A módszer az ún "koordináta módszer". Ebben a cikkben a következő kérdéseket vizsgáljuk meg:
- Koordináta sík
- Pontok és vektorok a síkon
- Vektor felépítése két pontból
- Vektor hossza (két pont távolsága).
- Középpont koordináták
- A vektorok pontszorzata
- Szög két vektor között
Gondolom, már sejtette, miért hívják így a koordináta-módszert? Igaz, hogy ilyen nevet kapott, hiszen nem geometriai objektumokkal, hanem azok numerikus jellemzőivel (koordinátáival) operál. Maga a transzformáció pedig, amely lehetővé teszi a geometriáról az algebrára való átállást, egy koordinátarendszer bevezetéséből áll. Ha az eredeti ábra lapos volt, akkor a koordináták kétdimenziósak, ha pedig az ábra háromdimenziós, akkor a koordináták háromdimenziósak. Ebben a cikkben csak a kétdimenziós esetet vesszük figyelembe. A cikk fő célja pedig az, hogy megtanítsa Önt a koordináta-módszer néhány alapvető technikájának használatára (ezek néha hasznosnak bizonyulnak az egységes államvizsga B részének planimetriás problémáinak megoldásakor). A következő két rész ebben a témában a C2 probléma (a sztereometria probléma) megoldási módszereinek tárgyalását szolgálja.
Hol lenne logikus a koordináta-módszer tárgyalását kezdeni? Valószínűleg a koordinátarendszer fogalmával. Emlékezz, amikor először találkoztál vele. Nekem úgy tűnik, hogy 7. osztályban, amikor például egy lineáris függvény létezéséről tanultál. Hadd emlékeztesselek arra, hogy pontról pontra építetted fel. Emlékszel? Kiválasztott egy tetszőleges számot, behelyettesítette a képletbe, és így számolt. Például ha, akkor, ha, akkor stb. Mit kapott ennek eredményeként? És pontokat kapott koordinátákkal: és. Ezután rajzoltál egy „keresztet” (koordináta-rendszer), választottál rá egy léptéket (hány cella lesz egyetlen szegmensben), és megjelölted rajta a kapott pontokat, amelyeket azután egy egyenes vonallal összekapcsoltál. vonal a függvény grafikonja.
Van néhány dolog, amit kicsit részletesebben el kell magyarázni:
1. Kényelmi okokból egyetlen szegmenst választ ki, hogy minden szépen és kompaktan elférjen a képen
2. Feltételezzük, hogy a tengely balról jobbra, a tengely pedig alulról felfelé halad
3. Derékszögben metszik egymást, metszéspontjukat origónak nevezzük. Betűvel van jelölve.
4. Egy pont koordinátájának rögzítésében például a bal oldalon zárójelben a pont tengely menti koordinátája, jobb oldalon pedig a tengely mentén található. Különösen egyszerűen azt jelenti, hogy a lényeg
5. A koordinátatengely bármely pontjának beállításához meg kell adni a koordinátáit (2 szám).
6. A tengely bármely pontjára,
7. A tengely bármely pontjára,
8. A tengelyt x-tengelynek nevezzük
9. A tengelyt y-tengelynek nevezzük
Most tegyük meg veled a következő lépést: jelölj meg két pontot. Kösd össze ezt a két pontot egy vonallal. És tegyük úgy a nyilat, mintha pontról pontra rajzolnánk egy szakaszt: vagyis irányítottá tesszük a szakaszunkat!
Emlékszel, mi a másik neve egy irányított szegmensnek? Így van, vektornak hívják!
Így ha egy pontot összekötünk egy ponttal, és a kezdet az A pont, a vége pedig a B pont, akkor vektort kapunk. Te is csináltad ezt az építkezést 8. osztályban, emlékszel?
Kiderült, hogy a vektorokat, akárcsak a pontokat, két számmal jelölhetjük: ezeket a számokat a vektor koordinátáinak nevezzük. Kérdés: Ön szerint elég, ha ismerjük a vektor kezdetének és végének koordinátáit, hogy megtaláljuk a koordinátáit? Kiderült, hogy igen! És nagyon egyszerű megtenni:
Így, mivel a vektorban a pont a kezdet és a vége, a vektornak a következő koordinátái vannak:
Például ha, akkor a vektor koordinátái
Most tegyük meg az ellenkezőjét, keressük meg a vektor koordinátáit. Min kell ehhez változtatnunk? Igen, fel kell cserélni az elejét és a végét: most a vektor eleje egy pontban lesz, a vége pedig egy pontban. Akkor:
Nézd meg alaposan, mi a különbség a vektorok és? Az egyetlen különbség a koordinátákban lévő jelek. Ellentétesek. Ezt a tényt így írják:
Néha, ha nincs konkrétan megjelölve, hogy melyik pont a vektor eleje, és melyik a vége, akkor a vektorokat nem két nagybetűvel, hanem egy kisbetűvel jelöljük, például: stb.
Most egy kicsit gyakorlatés keresse meg a következő vektorok koordinátáit:
Vizsgálat:
Most oldja meg a problémát egy kicsit nehezebben:
Egy vektoros tórusz egy ponton on-cha-törmelékkel rendelkezik co-or-di-on-you-val. Find-di-te abs-cis-su pontok.
Mindez meglehetősen prózai: Legyen a pont koordinátái. Akkor
A rendszert úgy állítottam össze, hogy meghatároztam, mik egy vektor koordinátái. Ekkor a pontnak vannak koordinátái. Minket az abszcissza érdekel. Akkor
Válasz:
Mit lehet még csinálni a vektorokkal? Igen, szinte minden ugyanaz, mint a közönséges számoknál (kivéve, hogy osztani nem lehet, de szorozni kétféleképpen lehet, az egyikről itt egy kicsit később beszélünk)
- A vektorok egymásra rakhatók
- A vektorok kivonhatók egymásból
- A vektorok szorozhatók (vagy oszthatók) tetszőleges nem nulla számmal
- A vektorok szorozhatók egymással
Mindezek a műveletek meglehetősen vizuális geometriai ábrázolással rendelkeznek. Például az összeadás és kivonás háromszög (vagy paralelogramma) szabálya:
Egy vektor megnyúlik, zsugorodik vagy irányt változtat, ha számmal szorozzuk vagy osztjuk:
Itt azonban az a kérdés fog érdekelni, hogy mi történik a koordinátákkal.
1. Két vektor összeadásánál (kivonásánál) elemenként adjuk össze (kivonjuk) azok koordinátáit. Azaz:
2. Ha egy vektort megszorozunk (osztunk) egy számmal, akkor az összes koordinátáját megszorozzuk (osztjuk) ezzel a számmal:
Például:
· Find-di-a ko-or-di-nat századtól-ra összege.
Először keressük meg az egyes vektorok koordinátáit. Mindkettőnek ugyanaz az eredete – a kiindulási pont. A végük különböző. Akkor, . Most kiszámoljuk a vektor koordinátáit Ekkor a kapott vektor koordinátáinak összege egyenlő.
Válasz:
Most oldja meg saját maga a következő problémát:
· Keresse meg a vektor koordinátáinak összegét
Ellenőrizzük:
Tekintsük most a következő problémát: két pontunk van a koordinátasíkon. Hogyan lehet megtalálni a távolságot köztük? Legyen az első pont, és a második. A köztük lévő távolságot jelöljük . Az érthetőség kedvéért készítsük el a következő rajzot:
Mit tettem? Először összekötöttem a pontokat, és a pontból a tengellyel párhuzamos egyenest, valamint a pontból a tengellyel párhuzamos egyenest húztam. Egy ponton keresztezik egymást, és csodálatos alakot alkottak? Miért csodálatos? Igen, te és én szinte mindent tudunk a derékszögű háromszögről. Nos, a Pitagorasz-tétel, az biztos. A kívánt szakasz ennek a háromszögnek a befogója, a szakaszok pedig a lábak. Melyek a pont koordinátái? Igen, könnyen megtalálhatóak a képről: Mivel a szakaszok párhuzamosak a tengellyel, illetve a hosszuk is könnyen megtalálható: ha a szakaszok hosszát rendre átmenően jelöljük, akkor
Most használjuk a Pitagorasz-tételt. Ismerjük a lábak hosszát, megtaláljuk a hipotenúzát:
Így a két pont távolsága a koordinátáktól való különbségek négyzetes összege. Vagy - a két pont közötti távolság az őket összekötő szakasz hossza. Könnyen belátható, hogy a pontok közötti távolság nem függ az iránytól. Akkor:
Ebből három következtetést vonunk le:
Gyakoroljunk egy kicsit a két pont távolságának kiszámításában:
Például ha, akkor a és közötti távolság az
Vagy menjünk másként: keressük meg a vektor koordinátáit
És keresse meg a vektor hosszát:
Amint látja, ugyanaz!
Most gyakorolj egy kicsit egyedül:
Feladat: keresse meg a megadott pontok közötti távolságot:
Ellenőrizzük:
Íme néhány további probléma ugyanarra a képletre vonatkozóan, bár ezek kissé eltérően hangzanak:
1. Find-di-te a szemhéj-to-ra hosszának négyzetét.
2. Nai-di-te négyzet a szemhéj hossza-ra
Gondolom könnyen kezeled őket? Ellenőrizzük:
1. És ez a figyelmesség kedvéért) Korábban már megtaláltuk a vektorok koordinátáit: . Ekkor a vektornak vannak koordinátái. A hosszának négyzete a következő lesz:
2. Keresse meg a vektor koordinátáit!
Ekkor a hosszának négyzete az
Semmi bonyolult, igaz? Egyszerű aritmetika, semmi több.
Az alábbi rejtvények nem sorolhatók egyértelműen be, inkább az általános műveltségre és az egyszerű képek rajzolásának képességére szolgálnak.
1. Keresse meg a szög szinuszát a klo-on-vágásból, kösse össze az n-edik pontot az abszcissza tengellyel.
és
Hogy fogjuk itt csinálni? Meg kell találni a szinuszát a szög és a tengely között. És hol kereshetjük a szinust? Így van, derékszögű háromszögben. Tehát mit kell tennünk? Építsd meg ezt a háromszöget!
Mivel a pont koordinátái és, akkor a szakasz egyenlő, és a szakasz. Meg kell találnunk a szög szinuszát. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a szinusz tehát az ellenkező láb és a hipotenusz aránya
Mit kell tennünk? Keresse meg a hipotenuszt. Ezt kétféleképpen teheti meg: a Pitagorasz-tétellel (a lábak ismertek!), vagy a két pont távolságának képletével (valójában megegyezik az első módszerrel!). Én a második utat választom:
Válasz:
A következő feladat még könnyebbnek tűnik számodra. Ő - a pont koordinátáin.
2. feladat. A ponttól kezdve a per-pen-di-ku-lar az abs-ciss tengelyre süllyed. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.
Készítsünk rajzot:
A merőleges alapja az a pont, ahol az x tengelyt (tengelyt) metszi, számomra ez egy pont. Az ábrán látható, hogy vannak koordinátái: . Érdekel minket az abszcissza – vagyis az „X” komponens. Ő egyenlő.
Válasz: .
3. feladat. Az előző feladat feltételei szerint keresse meg a ponttól a koordinátatengelyek távolságának összegét!
A feladat általában elemi, ha tudja, mekkora a távolság egy ponttól a tengelyekig. Tudod? Remélem, de mégis emlékeztetlek:
Tehát a kicsit magasabban elhelyezkedő rajzomon már ábrázoltam egy ilyen merőlegest? Milyen tengelyről van szó? a tengelyhez. És akkor mekkora a hossza? Ő egyenlő. Most rajzoljon egy merőlegest a tengelyre, és keresse meg a hosszát. Egyenlő lesz, nem? Ekkor az összegük egyenlő.
Válasz: .
4. feladat. A 2. feladat feltételei között keresse meg az x tengely körüli pontra szimmetrikus pont ordinátáját.
Azt hiszem, intuitívan érted, mi a szimmetria? Nagyon sok tárgyon van: sok épület, asztal, sík, sok geometriai forma: golyó, henger, négyzet, rombusz stb. Nagyjából a szimmetria a következőképpen érthető: egy figura kettőből (vagy többből) áll. egyforma felek. Ezt a szimmetriát axiálisnak nevezzük. Akkor mi az a tengely? Pontosan ez az a vonal, amely mentén a figurát viszonylagosan egyforma felére lehet „vágni” (ezen a képen a szimmetriatengely egyenes):
Most pedig térjünk vissza a feladatunkhoz. Tudjuk, hogy a tengelyre szimmetrikus pontot keresünk. Ekkor ez a tengely a szimmetriatengely. Tehát meg kell jelölnünk egy pontot úgy, hogy a tengely két egyenlő részre vágja a szakaszt. Próbáljon meg megjelölni egy ilyen pontot. Hasonlítsa össze most az én megoldásommal:
Te is ezt tetted? Jó! A talált ponton az ordináta érdekel bennünket. Ő egyenlő
Válasz:
Most egy másodperc gondolkodás után mondja meg, mekkora lesz az A pontra szimmetrikus pont abszcissza az y tengely körül? Mi a válaszod? Helyes válasz: .
Általában a szabály így írható fel:
Az x tengely körüli pontra szimmetrikus pont koordinátái:
Az y tengely körüli pontra szimmetrikus pontnak vannak koordinátái:
Nos, most már tényleg ijesztő. egy feladat: Keresse meg egy pontra szimmetrikus pont koordinátáit az origóhoz képest. Először gondold meg magad, aztán nézd meg a rajzomat!
Válasz:
Most paralelogramma probléma:
5. feladat: A pontok ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Find-dee-te vagy-dee-on-tu pontok.
Ezt a problémát kétféleképpen oldhatja meg: logikával és koordináta módszerrel. Először a koordináta módszert alkalmazom, majd elmondom, hogyan dönthetsz másként.
Teljesen világos, hogy a pont abszcisszája egyenlő. (a pontból az x tengelyre húzott merőlegesen fekszik). Meg kell találnunk az ordinátát. Használjuk ki, hogy az ábránk paralelogramma, ami azt jelenti. Határozza meg a szakasz hosszát a két pont közötti távolság képletével:
Leengedjük a pontot a tengellyel összekötő merőlegest. A metszéspontot egy betű jelöli.
A szakasz hossza egyenlő. (keresse meg a problémát saját maga, ahol ezt a pillanatot tárgyaltuk), akkor a Pitagorasz-tétel segítségével megkeressük a szakasz hosszát:
A szakasz hossza pontosan megegyezik az ordinátájával.
Válasz: .
Egy másik megoldás (csak adok egy képet, ami illusztrálja)
A megoldás előrehaladása:
1. Költeni
2. Keresse meg a pont koordinátáit és hosszát
3. Bizonyítsd be.
Másik vágási hossz probléma:
A pontok:-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Keresse meg a középvonal hosszát, par-ral-lel-noy.
Emlékszel, mi a háromszög középvonala? Akkor számodra ez a feladat elemi. Ha nem emlékszik, akkor emlékeztetni fogom: a háromszög középvonala egy olyan egyenes, amely a szemközti oldalak felezőpontjait köti össze. Párhuzamos az alappal, és egyenlő annak felével.
Az alap egy szegmens. Korábban meg kellett keresnünk a hosszát, egyenlő. Ekkor a középvonal hossza fele olyan hosszú és egyenlő.
Válasz: .
Megjegyzés: Ezt a problémát más módon is meg lehet oldani, erre egy kicsit később térünk ki.
Addig is íme néhány feladat, gyakorolj rajtuk, elég egyszerűek, de segítenek a koordináta módszerrel „megtölteni a kezed”!
1. A pontok megjelennek-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Keresse meg a középvonalának hosszát.
2. Pontok és yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Find-dee-te vagy-dee-on-tu pontok.
3. Keresse meg a hosszt a vágástól, kösse össze a második pontot és
4. Keresse meg-di-te a vörös-shen-noy fi-gu-ry területét a ko-or-di-nat-noy síkon.
5. A na-cha-le ko-or-di-nat középpontú kör áthalad egy ponton. Find-de-te rá-di-bajuszát.
6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, írja le-san-noy közel a derékszögű-no-ka, a valami-ro-go tops-shi-ny-ja együtt vagy - di-na-te társ-tól-válasz-de
Megoldások:
1. Ismeretes, hogy a trapéz középvonala egyenlő az alapjai összegének felével. Az alap egyenlő, de az alap. Akkor
Válasz:
2. A probléma megoldásának legegyszerűbb módja, ha ezt észrevesszük (parallelogram szabály). Számítsa ki a vektorok koordinátáit, és nem nehéz: . Vektorok hozzáadásakor a koordináták összeadódnak. Aztán vannak koordináták. A pontnak ugyanazok a koordinátái, mivel a vektor eleje egy koordinátákkal rendelkező pont. Érdekel minket az ordináta. Ő egyenlő.
Válasz:
3. Azonnal cselekszünk a két pont távolságának képlete szerint:
Válasz:
4. Nézze meg a képet, és mondja meg, melyik két figura közé van „beszorítva” az árnyékolt terület? Két négyzet között van elhelyezve. Ezután a kívánt szám területe egyenlő a nagy négyzet területével, mínusz a kicsi területével. A kis négyzet oldala a pontokat összekötő szakasz, hossza pedig az
Ekkor a kis négyzet területe
Ugyanezt tesszük egy nagy négyzettel is: oldala a pontokat összekötő szakasz, hossza pedig egyenlő
Ekkor a nagy négyzet területe
A kívánt ábra területét a következő képlet határozza meg:
Válasz:
5. Ha a kör középpontja az origó, és átmegy egy ponton, akkor a sugara pontosan megegyezik a szakasz hosszával (rajzoljon, és megérti, hogy ez miért nyilvánvaló). Keresse meg ennek a szakasznak a hosszát:
Válasz:
6. Ismeretes, hogy egy téglalapra körülírt kör sugara egyenlő az átlójának felével. Határozzuk meg a két átló bármelyikének hosszát (elvégre egy téglalapban egyenlők!)
Válasz:
Nos, sikerült mindent? Nem volt olyan nehéz kitalálni, igaz? Itt csak egy szabály van - képes legyen vizuális képet készíteni, és egyszerűen „elolvasni” az összes adatot.
Nagyon kevés van hátra. Szó szerint van még két dolog, amit szeretnék megvitatni.
Próbáljuk meg megoldani ezt az egyszerű problémát. Legyen két pont és adott. Keresse meg a szakasz közepének koordinátáit. A probléma megoldása a következő: legyen a pont a kívánt közepe, akkor megvannak a koordinátái:
Azaz: a szakasz közepének koordinátái = a szakasz végének megfelelő koordinátáinak számtani átlaga.
Ez a szabály nagyon egyszerű, és általában nem okoz nehézséget a tanulóknak. Lássuk, milyen problémák esetén és hogyan használják:
1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-edik pont és
2. A pontok yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Find-di-te or-di-na-tu pontok re-re-se-che-niya az ő dia-go-on-lei.
3. Keresse meg-di-te abs-cis-su a kör középpontját, írja le-san-noy közel a téglalap-no-ka, a tops-shi-van valami-ro-go co-or-di- na-te társ-tól-vet-stvenno-but.
Megoldások:
1. Az első feladat csak egy klasszikus. Azonnal cselekszünk a szakasz felezőpontjának meghatározásával. Vannak koordinátái. Az ordináta egyenlő.
Válasz:
2. Könnyen belátható, hogy az adott négyszög paralelogramma (akár rombusz!). Ezt saját maga is bebizonyíthatja, ha kiszámítja az oldalak hosszát, és összehasonlítja azokat egymással. Mit kell tudni a paralelogrammáról? Átlóit a metszéspont kettévágja! Aha! Tehát mi az átlók metszéspontja? Ez bármelyik átló közepe! Különösen az átlót fogom választani. Ekkor a pontnak vannak koordinátái.A pont ordinátája egyenlő.
Válasz:
3. Mi a téglalapra körülírt kör középpontja? Egybeesik átlóinak metszéspontjával. Mit kell tudni a téglalap átlóiról? Egyenlőek, és a metszéspontot fel kell osztani. A feladat az előzőre csökkent. Vegyük például az átlót. Ekkor ha a körülírt kör középpontja, akkor a közepe. Koordinátákat keresek: Az abszcissza egyenlő.
Válasz:
Most gyakorolj egy kicsit egyedül, csak az egyes problémákra adom a választ, hogy ellenőrizd magad.
1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, írja le-san-noy a háromszög-no-ka közelében, a valaki-ro-go tetején ko-or-di -no misterek vannak
2. Keresse meg-di-te vagy-di-na-tu a kör középpontját, írja le a san-noy-t a háromszög közelében-no-ka, a csúcsokat-shi-van valami-ro-go koordinátáink
3. Milyen ra-di-y-sa legyen egy olyan kör, amelynek egy pontjában a középpontja úgy érinti az absz-ciss tengelyt?
4. Keresse meg-di-te vagy-di-on-e ponton a tengely újbóli kereséséhez és a kivágásból, csatlakoztassa a nya-yu-edik pontot és
Válaszok:
Minden sikerült? Nagyon remélem! Most - az utolsó lökés. Most legyen különösen óvatos. Az az anyag, amelyet most elmagyarázok, nem csak a B. rész egyszerű koordináta-módszer-problémáira vonatkozik, hanem a C2 feladatban is megtalálható.
Melyik ígéretemet nem tartottam még be? Emlékszel, milyen vektorokra vonatkozó műveleteket ígértem bevezetni, és melyeket vezettem be végül? Biztos, hogy nem felejtettem el semmit? Elfelejtettem! Elfelejtettem elmagyarázni, mit jelent a vektorok szorzása.
Kétféleképpen lehet vektort vektorral szorozni. A választott módszertől függően eltérő jellegű objektumokat kapunk:
A vektorszorzat meglehetősen trükkös. Hogyan kell csinálni és miért van rá szükség, a következő cikkben megbeszéljük Önnel. És ebben a skalárszorzatra fogunk összpontosítani.
Már kétféle módon tudjuk kiszámítani:
Ahogy sejtette, az eredménynek ugyanannak kell lennie! Tehát először nézzük az első utat:
Pont szorzat koordinátákkal
Keresse meg: - a ponttermék közös jelölését
A számítás képlete a következő:
Azaz a pontszorzat = a vektorok koordinátáinak szorzatainak összege!
Példa:
Find-dee-te
Megoldás:
Keresse meg az egyes vektorok koordinátáit:
A skaláris szorzatot a következő képlettel számítjuk ki:
Válasz:
Látod, semmi bonyolult!
Nos, most próbáld ki magad:
Find-di-te skalár-noe pro-ve-de-nie századtól árokig és
Sikerült? Talán észrevett egy kis trükköt? Nézzük meg:
Vektor koordináták, mint az előző feladatban! Válasz: .
A koordinátán kívül van egy másik módszer a skaláris szorzat kiszámítására, nevezetesen a vektorok hosszán és a köztük lévő szög koszinuszán keresztül:
A és vektorok közötti szöget jelöli.
Vagyis a skaláris szorzat egyenlő a vektorok hosszának és a köztük lévő szög koszinuszának szorzatával.
Miért kell ez a második képlet, ha megvan az első, ami sokkal egyszerűbb, legalább nincs benne koszinusz. És szükségünk van rá, hogy az első és a második képletből következtetni tudjunk arra, hogyan találjuk meg a vektorok közötti szöget!
Akkor emlékezzünk a vektor hosszának képletére!
Aztán ha beillesztem ezeket az adatokat a pontszorzat képletébe, a következőt kapom:
De a másik oldalon:
Szóval mi van? Most van egy képletünk a két vektor közötti szög kiszámításához! Néha a rövidség kedvéért így is írják:
Vagyis a vektorok közötti szög kiszámításának algoritmusa a következő:
- A koordinátákon keresztül kiszámítjuk a skaláris szorzatot
- Keresse meg a vektorok hosszát és szorozza meg őket!
- Az 1. pont eredményét osszuk el a 2. pont eredményével
Gyakoroljunk példákkal:
1. Keresse meg a szemhéjak közötti szöget-ra-mi és. Válaszát fokokban adja meg.
2. Az előző feladat feltételei szerint keresse meg a vektorok közötti koszinust!
Tegyük ezt: segítek megoldani az első problémát, a másodikat pedig próbáld meg magad! Egyetértek? Akkor kezdjük!
1. Ezek a vektorok régi barátaink. Már figyelembe vettük a skalárszorzatukat, és egyenlő volt. Koordinátáik: , . Ezután megtaláljuk a hosszukat:
Ezután keressük a koszinuszokat a vektorok között:
Mekkora a szög koszinusza? Ez itt a sarok.
Válasz:
Nos, most oldja meg maga a második problémát, majd hasonlítsa össze! Csak egy nagyon rövid megoldást adok:
2. vannak koordinátái, vannak koordinátái.
Legyen az és vektorok közötti szög, akkor
Válasz:
Megjegyzendő, hogy a vizsgadolgozat B részében a közvetlenül a vektorokon végzett feladatok és a koordináták módszere meglehetősen ritka. A C2 feladatok túlnyomó többsége azonban könnyen megoldható egy koordinátarendszer bevezetésével. Tehát ezt a cikket tekintheti alapnak, amely alapján meglehetősen trükkös konstrukciókat készítünk, amelyekre összetett problémák megoldásához lesz szükségünk.
KOORDINÁTÁK ÉS VEKTOROK. KÖZÉPFOKÚ
Te és én folytatjuk a koordináták módszerének tanulmányozását. Az utolsó részben számos fontos képletet vezettünk le, amelyek lehetővé teszik:
- Keresse meg a vektor koordinátáit
- Határozza meg a vektor hosszát (vagyis: két pont távolságát)
- Vektorok összeadása, kivonása. Szorozd meg őket egy valós számmal
- Keresse meg egy szakasz felezőpontját
- Számítsa ki a vektorok pontszorzatát!
- Keresse meg a vektorok közötti szöget
Természetesen a teljes koordináta-módszer nem fér bele ebbe a 6 pontba. Olyan tudomány alapját képezi, mint az analitikus geometria, amellyel az egyetemen fog megismerkedni. Csak egy olyan alapot akarok építeni, amely lehetővé teszi, hogy egyetlen állapotban oldja meg a problémákat. vizsga. A B rész feladatait itt találtuk ki a Most itt az ideje minőségileg új szintre lépni! Ez a cikk azoknak a C2 problémáknak a megoldásának módszerével foglalkozik, amelyekben ésszerű lenne a koordináta módszerre váltani. Ezt az ésszerűséget az határozza meg, hogy mit kell megtalálni a problémában, és milyen számadatokat adunk meg. Tehát a koordináta módszert használnám, ha a kérdések a következők:
- Keresse meg a két sík közötti szöget
- Keresse meg az egyenes és a sík közötti szöget
- Keresse meg a két vonal közötti szöget
- Keresse meg egy pont és egy sík távolságát
- Keresse meg egy pont és egy egyenes távolságát
- Keresse meg az egyenes és a sík távolságát
- Keresse meg a távolságot két vonal között
Ha a feladat feltételében megadott szám egy forgástest (golyó, henger, kúp ...)
A koordináta-módszerhez megfelelő számadatok:
- kocka alakú
- Piramis (háromszög, négyszög, hatszögletű)
Tapasztalataim szerint is nem célszerű a koordináta módszert használni:
- A szakaszok területeinek megkeresése
- Testek térfogatának számítása
Mindazonáltal azonnal meg kell jegyezni, hogy a gyakorlatban meglehetősen ritka három „kedvezőtlen” helyzet a koordináta-módszer számára. A legtöbb feladatban megmentőd lehet, főleg, ha nem vagy túl erős a háromdimenziós konstrukciókban (amelyek néha meglehetősen bonyolultak).
Mik azok a számok, amelyeket fent felsoroltam? Már nem laposak, például négyzet, háromszög, kör, hanem terjedelmesek! Ennek megfelelően nem kétdimenziós, hanem háromdimenziós koordinátarendszerrel kell foglalkoznunk. Meglehetősen könnyen megépíthető: az abszcisszán és az ordinátákon kívül bemutatunk még egy tengelyt, az applikációs tengelyt. Az ábra sematikusan mutatja relatív helyzetüket:
Mindegyik egymásra merőleges, egy pontban metszik egymást, amit origónak nevezünk. Az abszcissza tengelyt, mint korábban, az ordinátatengelyt - és a bevezetett alkalmazási tengelyt - jelöljük.
Ha korábban a sík minden pontját két szám jellemezte - az abszcissza és az ordináta, akkor a tér minden pontját már három szám írja le - az abszcissza, az ordináta, az applikáta. Például:
Ennek megfelelően a pont abszcisszája egyenlő, az ordináta , az applikáció pedig .
Néha egy pont abszcisszáját a pont abszcissza tengelyre való vetületének is nevezik, az ordináta a pont vetülete az ordináta tengelyére, az applikáció pedig a pont vetülete az applikációs tengelyre. Ennek megfelelően, ha egy pont adott, akkor egy pont koordinátákkal:
egy pont síkra vetítésének nevezzük
egy pont síkra vetítésének nevezzük
Felmerül a természetes kérdés: érvényes-e a térben a kétdimenziós esetre levezetett összes képlet? A válasz: igen, igazak, és ugyanolyan megjelenésűek. Egy apró részletre. Azt hiszem, már sejtette, melyik. Minden képlethez hozzá kell adnunk még egy, az alkalmazási tengelyért felelős kifejezést. Ugyanis.
1. Ha két pontot adunk: , akkor:
- Vektor koordináták:
- Két pont közötti távolság (vagy vektorhossz)
- A szakasz közepén vannak koordináták
2. Ha két vektor adott: és, akkor:
- Ponttermékük a következő:
- A vektorok közötti szög koszinusza:
A tér azonban nem ilyen egyszerű. Mint érti, egy további koordináta hozzáadása jelentős változatosságot eredményez az ebben a térben "élő" alakok spektrumában. A további narrációhoz pedig be kell vezetnem az egyenes vonal néhány, durván szólva "általánosítását". Ez az "általánosítás" egy sík lesz. Mit tudsz a repülőről? Próbálj meg válaszolni arra a kérdésre, hogy mi az a repülőgép? Nagyon nehéz megmondani. Azonban mindannyian intuitív módon elképzeljük, hogyan néz ki:
Nagyjából ez egyfajta végtelen „levél” az űrbe. A "végtelen"-et úgy kell érteni, hogy a sík minden irányba kiterjed, vagyis területe egyenlő a végtelennel. Ez az "ujjakon" lévő magyarázat azonban a legcsekélyebb fogalmat sem ad a sík szerkezetéről. És érdeklődni fogunk iránta.
Emlékezzünk a geometria egyik alapvető axiómájára:
- Egy egyenes egy síkon két különböző ponton halad át, ráadásul csak egyen:
Vagy analógja a térben:
Természetesen emlékszel, hogyan kell két adott pontból levezetni az egyenes egyenletét, ez egyáltalán nem nehéz: ha az első pontnak vannak koordinátái: és a másodiknak, akkor az egyenes egyenlete a következő lesz:
Ezen mentél keresztül 7. osztályban. A térben az egyenes egyenlete így néz ki: legyen két pontunk koordinátáival: , akkor a rajtuk áthaladó egyenes egyenlete a következő alakú:
Például egy vonal pontokon halad át:
Hogyan kell ezt érteni? Ezt a következőképpen kell érteni: egy pont akkor fekszik egy egyenesen, ha a koordinátái kielégítik a következő rendszert:
Minket nem nagyon fog érdekelni az egyenes egyenlete, de oda kell figyelnünk az egyenes irányítóvektorának nagyon fontos fogalmára. - bármely nem nulla vektor, amely egy adott egyenesen vagy azzal párhuzamosan fekszik.
Például mindkét vektor egy egyenes irányvektora. Legyen egy egyenesen fekvő pont, és legyen az irányító vektora. Ekkor az egyenes egyenlete a következő formában írható fel:
Még egyszer mondom, nem nagyon fog érdekelni az egyenes egyenlete, de nagyon fontos, hogy emlékezzen, mi is az irányvektor! Újra: ez BÁRMELY nem nulla vektor, amely egy egyenesen fekszik, vagy azzal párhuzamos.
Visszavonás sík hárompontos egyenlete már nem annyira triviális, és általában nem foglalkozik vele egy középiskolai tanfolyam. De hiába! Ez a technika létfontosságú, amikor a koordináta módszert alkalmazzuk összetett problémák megoldására. Feltételezem azonban, hogy tele vagy valami új megtanulására? Sőt, lenyűgözheti tanárát az egyetemen, amikor kiderül, hogy már tudja, hogyan kell használni azt a technikát, amelyet általában az analitikus geometria során tanulnak. Tehát kezdjük.
A sík egyenlete nem különbözik túlságosan a síkon lévő egyenes egyenletétől, nevezetesen a következő alakja van:
néhány szám (nem mindegyik nulla), hanem változók, például: stb. Mint látható, a sík egyenlete nem nagyon különbözik az egyenes egyenletétől (lineáris függvény). Emlékszel azonban, mit vitatkoztunk veled? Azt mondtuk, hogy ha van három olyan pontunk, amely nem egy egyenesen fekszik, akkor a sík egyenlete egyértelműen visszaáll belőlük. De hogyan? Megpróbálom elmagyarázni neked.
Mivel a sík egyenlet:
És a pontok ehhez a síkhoz tartoznak, akkor az egyes pontok koordinátáit a sík egyenletébe behelyettesítve a helyes azonosságot kell kapnunk:
Így három egyenletet kell megoldani már ismeretlenekkel! Dilemma! Ezt azonban mindig feltételezhetjük (ehhez el kell osztanunk). Így három egyenletet kapunk három ismeretlennel:
Egy ilyen rendszert azonban nem fogunk megoldani, hanem kiírjuk az ebből következő rejtélyes kifejezést:
Három adott ponton áthaladó sík egyenlete
\[\bal| (\begin(tömb)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(tömb)) \jobbra| = 0\]
Állj meg! Mi ez még? Valami nagyon szokatlan modul! Az Ön előtt látható objektumnak azonban semmi köze a modulhoz. Ezt az objektumot harmadrendű determinánsnak nevezzük. Mostantól, amikor a koordináták módszerével foglalkozik egy síkon, gyakran pont ezekkel a meghatározókkal fog találkozni. Mi az a harmadrendű determináns? Furcsa módon ez csak egy szám. Meg kell érteni, hogy milyen konkrét számot fogunk összehasonlítani a determinánssal.
Először írjuk le a harmadrendű determinánst általánosabb formában:
Hol van néhány szám. Ezenkívül az első index alatt a sorszámot, az indexen pedig az oszlop számát értjük. Például azt jelenti, hogy az adott szám a második sor és a harmadik oszlop metszéspontjában van. Tegyük fel a következő kérdést: hogyan fogunk pontosan kiszámítani egy ilyen determinánst? Vagyis milyen konkrét számmal fogjuk összehasonlítani? Pontosan a harmadik rend determinánsára létezik egy heurisztikus (vizuális) háromszögszabály, amely így néz ki:
- A főátló elemeinek szorzata (balról fentről jobbra lent) az első háromszöget alkotó elemek szorzata a főátlóra "merőlegesen" a második háromszöget alkotó elemek szorzata a főátlóra "merőlegesen" átlós
- A másodlagos átló elemeinek szorzata (a jobb felső sarokból a bal alsóba) az első háromszöget alkotó elemek szorzata a másodlagos átló "merőleges" elemeinek szorzata a második háromszöget alkotó elemek szorzata "merőleges" a másodlagos átlóról
- Ekkor a determináns egyenlő az és lépésben kapott értékek különbségével
Ha mindezt számokkal írjuk, akkor a következő kifejezést kapjuk:
Ebben a formában azonban nem kell memorizálnia a számítási módszert, elég, ha a háromszögeket a fejében tartja, és maga az ötlet, hogy mit adnak hozzá, és mit vonnak ki belőle).
Illusztráljuk a háromszög módszert egy példával:
1. Számítsa ki a determinánst:
Gondoljuk át, mit adunk hozzá és mit vonunk ki:
A "plusz" jelzéssel járó kifejezések:
Ez a főátló: az elemek szorzata az
Az első háromszög, "merőleges a főátlóra: az elemek szorzata:
A második háromszög, amely a főátlóra merőleges: az elemek szorzata:
Három számot adunk hozzá:
Olyan kifejezések, amelyek "mínuszos"
Ez egy oldalátló: az elemek szorzata az
Az első háromszög, amely merőleges a másodlagos átlóra: az elemek szorzata:
A második háromszög, amely merőleges a másodlagos átlóra: az elemek szorzata:
Három számot adunk hozzá:
Már csak annyit kell tenni, hogy a plusz tagok összegéből kivonjuk a mínusz tagok összegét:
Ily módon
Mint látható, a harmadrendű determinánsok számításában nincs semmi bonyolult és természetfeletti. Egyszerűen fontos, hogy emlékezzen a háromszögekre, és ne kövess el számtani hibákat. Most próbáld kiszámolni magad:
Ellenőrizzük:
- Az első háromszög, amely merőleges a főátlóra:
- A második háromszög, amely merőleges a főátlóra:
- A plusz feltételek összege:
- Az oldalátlóra merőleges első háromszög:
- A második háromszög, amely merőleges az oldalátlóra:
- A mínuszos tagok összege:
- A plusz kifejezések összege mínusz a mínusz kifejezések összege:
Íme még néhány meghatározó tényező, számolja ki saját maga az értékeket, és hasonlítsa össze a válaszokkal:
Válaszok:
Nos, minden egyezett? Remek, akkor mehet tovább! Ha nehézségek adódnak, akkor a következőt tanácsolom: az interneten egy csomó program található a determináns online kiszámítására. Csak ki kell találnia a saját meghatározóját, ki kell számítania, majd össze kell hasonlítania azzal, amit a program számol. És így tovább, amíg az eredmények el nem kezdenek egyezni. Biztos vagyok benne, hogy ez a pillanat nem fog sokáig várni!
Most térjünk vissza a determinánshoz, amit akkor írtam le, amikor egy három adott ponton áthaladó sík egyenletéről beszéltem:
Csak annyit kell tennie, hogy közvetlenül kiszámítja az értékét (háromszög módszerrel), és az eredményt nullára kell állítani. Természetesen, mivel ezek változók, kapsz valamilyen kifejezést, ami tőlük függ. Ez a kifejezés lesz az egyenlete annak a síknak, amely átmegy három megadott ponton, amelyek nem egy egyenesen fekszenek!
Illusztráljuk ezt egy egyszerű példával:
1. Szerkessze meg a pontokon átmenő sík egyenletét!
Összeállítunk egy meghatározót erre a három pontra:
Egyszerűsítés:
Most közvetlenül kiszámítjuk a háromszögek szabálya szerint:
\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(tömb)) \ right| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right \cdot 5 \cdot 6 - )\]
Így a pontokon áthaladó sík egyenlete:
Most próbáljon meg egyedül megoldani egy problémát, majd megbeszéljük:
2. Határozza meg a pontokon áthaladó sík egyenletét!
Nos, most beszéljük meg a megoldást:
Meghatározót teszünk:
És számítsd ki az értékét:
Ekkor a sík egyenlete a következőképpen alakul:
Vagy csökkentve a következőt kapjuk:
Most két feladat az önkontrollhoz:
- Szerkesszük meg a három ponton áthaladó sík egyenletét:
Válaszok:
Minden egyezett? Ismét, ha vannak bizonyos nehézségek, akkor a tanácsom a következő: vegyen ki három pontot a fejéből (nagy valószínűséggel nem fognak egy egyenesen feküdni), építsen rájuk egy síkot. És akkor ellenőrizze magát online. Például az oldalon:
Determinánsok segítségével azonban nem csak a sík egyenletét fogjuk megszerkeszteni. Ne feledje, mondtam, hogy a vektorok esetében nem csak a pontszorzat van meghatározva. Van vektor, valamint vegyes termék is. És ha két vektor skaláris szorzata egy szám lesz, akkor két vektor vektorszorzata egy vektor lesz, és ez a vektor merőleges lesz az adott vektorokra:
Ezenkívül a modulusa egyenlő lesz a vektorokra épített paralelogramma területével és. Erre a vektorra szükségünk lesz egy pont és egy egyenes közötti távolság kiszámításához. Hogyan számíthatjuk ki a vektorok keresztszorzatát, és adottak-e a koordinátáik? A harmadik rend meghatározója ismét segítségünkre van. Mielőtt azonban rátérnék a keresztszorzat kiszámításának algoritmusára, egy kis lírai kitérőt kell tennem.
Ez az eltérés a bázisvektorokra vonatkozik.
Sematikusan az ábrán láthatók:
Szerinted miért hívják alapnak? A tény az, hogy :
Vagy a képen:
A képlet érvényessége nyilvánvaló, mert:
vektor termék
Most elkezdhetem bemutatni a keresztterméket:
Két vektor vektorszorzata egy olyan vektor, amelyet a következő szabály szerint számítanak ki:
Most mondjunk néhány példát a keresztszorzat kiszámítására:
1. példa: Keresse meg a vektorok keresztszorzatát:
Megoldás: Teszek egy meghatározót:
És kiszámolom:
Most, a bázisvektorokon keresztüli írásból, visszatérek a szokásos vektorjelöléshez:
Ilyen módon:
Most próbáld.
Kész? Ellenőrizzük:
És hagyományosan kettő irányítandó feladatok:
- Keresse meg a következő vektorok keresztszorzatát:
- Keresse meg a következő vektorok keresztszorzatát:
Válaszok:
Három vektor vegyes szorzata
Az utolsó konstrukció, amelyre szükségem van, három vektor vegyes szorzata. Ez, mint a skalár, egy szám. Kétféleképpen lehet kiszámítani. - a determinánson keresztül, - a vegyes terméken keresztül.
Tegyük fel, hogy három vektorunk van:
Ekkor három vektor vegyes szorzata, amelyet jelöl, a következőképpen számítható ki:
1. - azaz a vegyes szorzat egy vektor skalárszorzata és két másik vektor vektorszorzata
Például három vektor vegyes szorzata:
Próbáld meg kiszámolni magad a vektorszorzat segítségével, és győződjön meg arról, hogy az eredmények egyeznek!
És ismét - két példa egy független megoldásra:
Válaszok:
A koordinátarendszer kiválasztása
Nos, most már rendelkezünk minden szükséges alapismerettel ahhoz, hogy megoldjuk a geometriai összetett sztereometrikus problémákat. Mielőtt azonban közvetlenül a példákhoz és a megoldásukra szolgáló algoritmusokhoz kezdenék, úgy gondolom, hogy hasznos lesz elidőzni a következő kérdésen: hogyan pontosan válasszon koordinátarendszert egy adott ábrához. Hiszen a koordináta-rendszer és a térbeli ábra egymáshoz viszonyított helyzetének megválasztása határozza meg végső soron, hogy a számítások mennyire lesznek nehézkesek.
Emlékeztetjük, hogy ebben a részben a következő számadatokat vesszük figyelembe:
- kocka alakú
- Egyenes prizma (háromszög, hatszögletű…)
- Piramis (háromszög, négyszög)
- Tetraéder (ugyanaz, mint a háromszög alakú piramis)
Téglatesthez vagy kockához a következő konstrukciót ajánlom:
Vagyis „a sarokba” helyezem a figurát. A kocka és a doboz nagyon jó figurák. Számukra mindig könnyen megtalálhatja csúcsainak koordinátáit. Például, ha (amint a képen látható)
akkor a csúcskoordináták:
Természetesen erre nem kell emlékeznie, de érdemes megjegyezni, hogyan kell a legjobban elhelyezni egy kockát vagy egy téglalap alakú dobozt.
egyenes prizma
A prizma károsabb figura. Különféleképpen rendezheti el a térben. Azonban szerintem a következő a legjobb megoldás:
Háromszög prizma:
Vagyis a háromszög egyik oldalát teljesen a tengelyre helyezzük, és az egyik csúcs egybeesik az origóval.
Hatszögletű prizma:
Vagyis az egyik csúcs egybeesik az origóval, és az egyik oldal a tengelyen fekszik.
Négyszögletű és hatszögletű piramis:
A kockához hasonló helyzet: az alap két oldalát a koordinátatengelyekkel kombináljuk, az egyik csúcsot az origóval kombináljuk. Az egyetlen apró nehézség a pont koordinátáinak kiszámítása lesz.
Hatszögletű piramis esetén ugyanaz, mint hatszögletű prizmánál. A fő feladat ismét a csúcs koordinátáinak megtalálása lesz.
Tetraéder (háromszög alakú piramis)
A helyzet nagyon hasonló ahhoz, amit a háromszögprizmánál adtam: az egyik csúcs egybeesik az origóval, az egyik oldal a koordinátatengelyen fekszik.
Nos, most végre közel vagyunk a problémák megoldásához. Abból, amit a cikk elején mondtam, a következő következtetést vonhatja le: a legtöbb C2 probléma 2 kategóriába sorolható: a szöggel és a távolsággal kapcsolatos problémák. Először is megvizsgáljuk a szög megtalálásának problémáit. Ezeket viszont a következő kategóriákra osztják (a bonyolultság növekedésével):
Problémák a sarkok megtalálásakor
- Két egyenes közötti szög meghatározása
- Két sík közötti szög meghatározása
Tekintsük ezeket a problémákat egymás után: kezdjük azzal, hogy keressük meg két egyenes közötti szöget. Ugyan már, emlékszel, megoldottunk már hasonló példákat? Emlékszel, mert volt már valami hasonló... Szöget kerestünk két vektor között. Emlékeztetlek, ha két vektort adunk meg: és, akkor a köztük lévő szöget a relációból találjuk meg:
Most van egy célunk - megtalálni a szöget két egyenes között. Térjünk rá a "lapos képre":
Hány szöget kapunk, ha két egyenes metszi egymást? Már dolgok. Igaz, csak kettő nem egyenlő, míg mások függőlegesek (és ezért egybeesnek velük). Tehát milyen szögben tekintsük két egyenes közötti szöget: vagy? Itt a szabály: két egyenes közötti szög mindig nem nagyobb, mint fok. Vagyis két szögből mindig a legkisebb fokszámú szöget választjuk. Vagyis ezen a képen a két vonal közötti szög egyenlő. Annak érdekében, hogy ne fáradjon minden alkalommal a két szög közül a legkisebb megtalálásával, ravasz matematikusok javasolták a modul használatát. Így a két egyenes közötti szöget a következő képlet határozza meg:
Figyelmes olvasóként fel kellett volna tennie a kérdést: valójában honnan is vesszük ezeket a számokat, amelyekre szükségünk van egy szög koszinuszának kiszámításához? Válasz: a vonalak irányvektoraiból vesszük őket! Így a két vonal közötti szög meghatározásának algoritmusa a következő:
- Az 1-es formulát alkalmazzuk.
Vagy részletesebben:
- Az első egyenes irányvektorának koordinátáit keressük
- A második egyenes irányvektorának koordinátáit keressük
- Számítsd ki a skalárszorzatuk modulusát!
- Az első vektor hosszát keressük
- A második vektor hosszát keressük
- Szorozzuk meg a 4. pont eredményét az 5. pont eredményével
- A 3. pont eredményét elosztjuk a 6. pont eredményével. Megkapjuk az egyenesek közötti szög koszinuszát
- Ha ez az eredmény lehetővé teszi a szög pontos kiszámítását, akkor azt keressük
- Ellenkező esetben az arckoszinuson keresztül írunk
Nos, itt az ideje, hogy rátérjünk a feladatokra: az első kettő megoldását mutatom be részletesen, egy másik megoldását röviden bemutatom, és csak az utolsó két feladatra adok választ. minden számítást végezzen el helyettük.
Feladatok:
1. A jobb oldali tet-ra-ed-re mezőben keresse meg a tet-ra-ed-ra és a me-di-a-noy bo-ko-how oldal közötti szöget.
2. A jobb oldali hat szén-pi-ra-mi-de-ben a száz-ro-na-os-no-va-niya valahogy egyenlő, és az oldalsó bordák egyenlőek, keresse meg az egyenes közötti szöget vonalak és.
3. A jobb oldali négy-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy összes élének hossza egyenlő egymással. Keresse meg az egyenesek közötti szöget, és ha from-re-zok - you-so-hogy adott pi-ra-mi-dy, a pont se-re-di-on a bo-ko- th bordája
4. A kocka élén a-me-che-tól egy pontig úgy, hogy Find-di-te az egyenesek és az egyenesek közötti szöget
5. Pont - se-re-di-a kocka élein Nai-di-te az egyenesek közötti szöget és.
Nem véletlenül raktam ebbe a sorrendbe a feladatokat. Bár még nem volt ideje elkezdeni navigálni a koordináta-módszerben, én magam elemzem a „legproblémásabb” ábrákat, és hagyom, hogy a legegyszerűbb kockával foglalkozzon! Fokozatosan meg kell tanulni az összes figurával dolgozni, témáról témára növelem a feladatok bonyolultságát.
Kezdjük a problémák megoldásával:
1. Rajzolj egy tetraédert, helyezd el a koordinátarendszerben, ahogy korábban javasoltam. Mivel a tetraéder szabályos, ezért minden lapja (beleértve az alapot is) szabályos háromszög. Mivel nincs megadva az oldal hossza, egyenlőnek vehetem. Azt hiszem, megérted, hogy a szög nem igazán függ attól, hogy a tetraéderünk mennyire lesz "megnyúlva"?. A magasságot és a mediánt is megrajzolom a tetraéderben. Útközben lerajzolom az alapját (nekünk is jól fog jönni).
Meg kell találnom a szöget és között. Mit tudunk? Csak a pont koordinátáját ismerjük. Tehát meg kell találnunk a pontok több koordinátáját. Most azt gondoljuk: a pont egy háromszög magasságának (vagy felezőjének vagy mediánjának) metszéspontja. A pont egy emelkedett pont. A pont a szakasz felezőpontja. Aztán végül meg kell találnunk: a pontok koordinátáit: .
Kezdjük a legegyszerűbbel: pont koordinátákkal. Nézze meg az ábrát: Jól látható, hogy egy pont alkalmazása egyenlő nullával (a pont egy síkon fekszik). Az ordinátája egyenlő (mert ez a medián). Nehezebb megtalálni az abszcisszáját. Ez azonban könnyen megtehető a Pitagorasz-tétel alapján: Tekintsünk egy háromszöget. A befogója egyenlő, és az egyik lába egyenlő Ekkor:
Végül nálunk van:
Most keressük meg a pont koordinátáit. Nyilvánvaló, hogy alkalmazása ismét nulla, ordinátája pedig megegyezik egy pontéval, azaz. Keressük meg az abszcisszáját. Ez meglehetősen triviálisan történik, ha valaki emlékszik rá egyenlő oldalú háromszög magasságait elosztjuk a metszésponttal az arányban felülről számolva. Mivel:, akkor a pont kívánt abszcisszája, amely megegyezik a szakasz hosszával, egyenlő:. Így a pont koordinátái:
Keressük meg a pont koordinátáit. Nyilvánvaló, hogy abszcisszája és ordinátája egybeesik a pont abszcisszájával és ordinátájával. És a rátét egyenlő a szegmens hosszával. - ez a háromszög egyik lába. A háromszög hipotenusza egy szegmens - egy láb. Az általam félkövérrel kiemelt okok alapján keresi:
A pont a szakasz felezőpontja. Ezután emlékeznünk kell a szegmens közepének koordinátáinak képletére:
Ennyi, most megkereshetjük az irányvektorok koordinátáit:
Nos, minden készen áll: az összes adatot behelyettesítjük a képletbe:
Ily módon
Válasz:
Nem kell félnie az ilyen "szörnyű" válaszoktól: C2 problémák esetén ez általános gyakorlat. Inkább meglepne a "szép" válasz ebben a részben. Továbbá, ahogy megjegyezted, gyakorlatilag nem folyamodtam máshoz, mint a Pitagorasz-tételhez és az egyenlő oldalú háromszög magasságának tulajdonságához. Vagyis a sztereometriai probléma megoldásához a legminimálisabb sztereometriát használtam. Az ebből származó nyereséget meglehetősen nehézkes számítások részben "kioltják". De elég algoritmikusak!
2. Rajzolj egy szabályos hatszögletű piramist a koordinátarendszerrel és annak alapjával együtt:
Meg kell találnunk az és a vonalak közötti szöget. Így feladatunk a pontok koordinátáinak megtalálására redukálódik: . A kis rajzból megkeressük az utolsó három koordinátáját, a pont koordinátáján keresztül pedig a csúcs koordinátáját. Sok a munka, de el kell kezdeni!
a) Koordináta: jól látható, hogy az applikációja és az ordinátája nulla. Keressük meg az abszcisszát. Ehhez vegyünk egy derékszögű háromszöget. Sajnos benne csak a hipotenuzát ismerjük, ami egyenlő. Megpróbáljuk megtalálni a lábat (mert egyértelmű, hogy a láb hosszának kétszerese adja meg a pont abszcisszáját). Hogyan kereshetjük őt? Emlékezzünk vissza, milyen alakunk van a piramis alján? Ez egy szabályos hatszög. Mit jelent? Ez azt jelenti, hogy minden oldal és minden szög egyenlő. Találnunk kell egy ilyen sarkot. Bármilyen ötletet? Sok ötlet van, de van egy képlet:
Egy szabályos n-szög szögeinek összege az .
Így egy szabályos hatszög szögeinek összege fok. Ekkor mindegyik szög egyenlő:
Nézzük újra a képet. Nyilvánvaló, hogy a szakasz a szög felezője. Ekkor a szög fok. Akkor:
Akkor hol.
Tehát vannak koordinátái
b) Most könnyen megtaláljuk a pont koordinátáját: .
c) Keresse meg a pont koordinátáit! Mivel az abszcisszán egybeesik a szakasz hosszával, egyenlő. Az ordináta megtalálása sem túl nehéz: ha a pontokat és és jelöljük az egyenes metszéspontját, mondjuk for. (csináld magad egyszerű konstrukció). Ekkor tehát a B pont ordinátája egyenlő a szakaszok hosszának összegével. Nézzük újra a háromszöget. Akkor
Majd mivel Akkor a pontnak vannak koordinátái
d) Most keresse meg a pont koordinátáit. Tekintsünk egy téglalapot, és bizonyítsuk be, hogy így a pont koordinátái:
e) Meg kell találni a csúcs koordinátáit. Nyilvánvaló, hogy abszcisszája és ordinátája egybeesik a pont abszcisszájával és ordinátájával. Keressünk egy alkalmazást. Azóta. Tekintsünk egy derékszögű háromszöget. A probléma feltétele szerint az oldalsó él. Ez az én háromszögem hipotenusza. Ekkor a piramis magassága a láb.
Ekkor a pontnak vannak koordinátái:
Ennyi, megvannak az összes számomra érdekes pont koordinátái. Az egyenesek irányítóvektorainak koordinátáit keresem:
A következő vektorok közötti szöget keressük:
Válasz:
A feladat megoldása során ismét nem alkalmaztam kifinomult trükköket, kivéve a szabályos n-szög szögösszegének képletét, valamint a derékszögű háromszög koszinuszának és szinuszának meghatározását.
3. Mivel a gúla éleinek hosszát ismét nem adjuk meg, ezeket eggyel egyenlőnek fogom tekinteni. Így, mivel MINDEN él, és nem csak az oldalsó, egyenlő egymással, akkor a piramis és én alján egy négyzet fekszik, és az oldallapok szabályos háromszögek. Ábrázoljunk egy ilyen piramist, valamint az alapját egy síkon, megjelölve a feladat szövegében megadott összes adatot:
A és közötti szöget keressük. Nagyon rövid számításokat fogok végezni, amikor pontok koordinátáit keresem. "Dekódolni" kell őket:
b) - a szegmens közepe. A koordinátái:
c) Megkeresem a szakasz hosszát a Pitagorasz-tétel segítségével egy háromszögben. Meg fogom találni a Pitagorasz-tétel alapján egy háromszögben.
Koordináták:
d) - a szegmens közepe. A koordinátái a következők
e) Vektor koordináták
f) Vektor koordináták
g) Szög keresése:
A kocka a legegyszerűbb figura. Biztos vagyok benne, hogy egyedül is rájön. A 4. és 5. feladatra a válaszok a következők:
Az egyenes és a sík közötti szög meghatározása
Nos, az egyszerű rejtvények ideje lejárt! Most a példák még nehezebbek lesznek. Az egyenes és a sík közötti szög meghatározásához a következőképpen járunk el:
- Három pont segítségével elkészítjük a sík egyenletét
,
harmadrendű determináns felhasználásával. - Két pont alapján keressük az egyenes irányítóvektorának koordinátáit:
- Az egyenes és a sík közötti szög kiszámításához a következő képletet alkalmazzuk:
Amint látja, ez a képlet nagyon hasonlít ahhoz, amelyet a két egyenes közötti szögek meghatározásához használtunk. A jobb oldal felépítése ugyanaz, a bal oldalon pedig most egy szinust keresünk, és nem koszinust, mint korábban. Nos, egy csúnya művelet került hozzáadásra - a sík egyenletének keresése.
Ne álljunk polcra megoldási példák:
1. Os-no-va-ni-em egyenesen a nyereményem-la-et-xia egyenrangúak vagyunk, de szegények-ren-ny háromszög-becsíp téged azzal a díjjal-egyenlőek vagyunk. Keresse meg az egyenes és a sík közötti szöget
2. Egy téglalap alakú pa-ral-le-le-pi-pe-de-ben Nyugat-Nai-di-te felől az egyenes és a sík közötti szög
3. A jobb oldali hatszén-prizmában minden él egyenlő. Keresse meg az egyenes és a sík közötti szöget.
4. A jobb háromszög alakú pi-ra-mi-de az os-but-va-ni-em-el a borda nyugatáról Nai-di-te szög, az os ob-ra-zo-van -ny síkja -no-va-niya és egyenes-én, áthaladva a bordák se-re-di-nán és
5. A jobb oldali négyszögletű pi-ra-mi-dy összes élének hossza a tetejével egyenlő. Határozza meg az egyenes és a sík közötti szöget, ha a pont se-re-di-a pi-ra-mi-dy bo-ko-in-edik élén van.
Ismét az első két problémát fogom részletesen megoldani, a harmadikat - röviden, az utolsó kettőt pedig meghagyom önöknek. Ezen kívül három- és négyszögpiramisokkal már meg kellett küzdenie, de prizmákkal még nem.
Megoldások:
1. Rajzolj egy prizmát, valamint az alapját. Kombináljuk a koordinátarendszerrel, és jelöljük meg az összes adatot, ami a problémafelvetésben szerepel:
Elnézést kérek az arányok néhány figyelmen kívül hagyásáért, de a probléma megoldásához ez valójában nem olyan fontos. A repülő csak a prizmám "hátsó fala". Elég egyszerűen kitalálni, hogy egy ilyen sík egyenlete a következő:
Ez azonban közvetlenül is megjeleníthető:
Ezen a síkon tetszőleges három pontot választunk: például .
Készítsük el a sík egyenletét:
Gyakorlat az Ön számára: számolja ki ezt a meghatározót. Sikerült? Ekkor a sík egyenlete a következőképpen alakul:
Vagy egyszerűen
Ily módon
A példa megoldásához meg kell találnom az egyenes irányítóvektorának koordinátáit. Mivel a pont egybeesett az origóval, a vektor koordinátái egyszerűen egybeesnek a pont koordinátáival, ehhez először meg kell keresni a pont koordinátáit.
Ehhez vegyünk egy háromszöget. Rajzoljunk egy magasságot (ez egyben medián és egy felező is) felülről. Mivel akkor a pont ordinátája egyenlő. Ahhoz, hogy megtaláljuk ennek a pontnak az abszcisszáját, ki kell számítanunk a szakasz hosszát. A Pitagorasz-tétel alapján a következőket kapjuk:
Ekkor a pontnak vannak koordinátái:
A pont egy ponton "emelkedett":
Ezután a vektor koordinátái:
Válasz:
Mint látható, az ilyen problémák megoldásában nincs alapvetően nehéz feladat. Valójában egy figura, például egy prizma „egyenessége” még egy kicsit leegyszerűsíti a folyamatot. Most pedig térjünk át a következő példára:
2. Rajzolunk egy paralelepipedont, húzunk benne egy síkot és egy egyenest, és külön megrajzoljuk az alsó alapját is:
Először keressük meg a sík egyenletét: A benne fekvő három pont koordinátái:
(az első két koordinátát kézenfekvő módon kapjuk meg, az utolsó koordinátát pedig könnyen megtalálhatjuk a képről a pontból). Ezután összeállítjuk a sík egyenletét:
Kiszámoljuk:
Az irányvektor koordinátáit keressük: Világos, hogy a koordinátái egybeesnek a pont koordinátáival, nem? Hogyan lehet megtalálni a koordinátákat? Ezek a pont koordinátái, az alkalmazási tengely mentén eggyel emelve! . Ezután keressük a kívánt szöget:
Válasz:
3. Rajzolj egy szabályos hatszögletű gúlát, majd rajzolj bele egy síkot és egy egyenest.
Itt még a sík rajzolása is problémás, nem beszélve ennek a feladatnak a megoldásáról, de a koordináta módszer nem számít! Fő előnye a sokoldalúságában rejlik!
A sík három ponton halad át: . Keressük a koordinátáikat:
egy) . Jelenítse meg saját maga az utolsó két pont koordinátáit. Ehhez egy hatszögletű piramis segítségével kell megoldania a feladatot!
2) Megszerkesztjük a sík egyenletét:
Keressük a vektor koordinátáit: . (Lásd újra a háromszög piramis problémát!)
3) Szöget keresünk:
Válasz:
Mint látható, ezekben a feladatokban nincs semmi természetfeletti nehézség. Csak nagyon óvatosnak kell lennie a gyökerekkel. Az utolsó két problémára csak a választ adok:
Mint látható, a feladatok megoldásának technikája mindenhol ugyanaz: a fő feladat a csúcsok koordinátáinak megtalálása és behelyettesítése néhány képletbe. A szögszámításhoz még egy problémacsoportot kell megvizsgálnunk, nevezetesen:
Szögek számítása két sík között
A megoldási algoritmus a következő lesz:
- Három pontra keressük az első sík egyenletét:
- A másik három ponthoz a második sík egyenletét keressük:
- A képletet alkalmazzuk:
Mint látható, a képlet nagyon hasonlít az előző kettőhöz, melynek segítségével egyenesek, illetve egyenes és sík közötti szögeket kerestünk. Tehát nem lesz nehéz emlékezni erre. Ugorjunk rögtön a problémába:
1. A derékszögű háromszög prizma alapján a száz-ro- egyenlő, és az oldallap átmérője egyenlő. Keresse meg a nyeremény síkja és a nyeremény alapjának síkja közötti szöget!
2. A jobb oldali négy-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de-ben valakinek minden éle egyenlő, keresse meg a sík és a Ko-Stu sík közötti szög szinuszát, amely áthalad. a lényeg a per-pen-di-ku-lyar-de egyenesen-my.
3. Szabályos négyszén-prizmában az os-no-va-nia oldalai egyenlőek, az oldalélek egyenlőek. A szélén-én-che-a pontig úgy, hogy. Keresse meg a és a síkok közötti szöget
4. A jobb oldali négyszögű prizmában az alapok oldalai egyenlőek, az oldalélek egyenlőek. Az élén-én-che-egy pontig úgy, hogy Keresse meg a síkok közötti szöget és.
5. Keresse meg a kockában az és a síkok közötti szög együtt-szinuszát
Probléma megoldások:
1. Rajzolok egy szabályos (az alapon - egyenlő oldalú háromszög) háromszög prizmát, és megjelölöm rajta a feladat feltételében megjelenő síkokat:
Meg kell találnunk két sík egyenletét: Az alapegyenletet triviálisan kapjuk meg: három pontra meg lehet adni a megfelelő determinánst, de én azonnal elkészítem az egyenletet:
Most keressük meg az egyenletet A pontnak vannak koordinátái A pont - Mivel - a háromszög mediánja és magassága, a Pitagorasz-tétel segítségével könnyű megtalálni egy háromszögben. Ekkor a pontnak vannak koordinátái: Keressük meg a pont alkalmazását. Ehhez vegyünk egy derékszögű háromszöget
Ekkor a következő koordinátákat kapjuk: Összeállítjuk a sík egyenletét.
Kiszámoljuk a síkok közötti szöget:
Válasz:
2. Rajz készítése:
A legnehezebb megérteni, milyen titokzatos síkról van szó, amely merőlegesen halad át egy ponton. Nos, a lényeg, hogy mi az? A lényeg a figyelmesség! Valóban, a vonal merőleges. A vonal is merőleges. Ekkor az ezen a két egyenesen áthaladó sík merőleges lesz az egyenesre, és mellesleg átmegy a ponton. Ez a sík is áthalad a piramis tetején. Aztán a kívánt gép – És a gép már adott is nekünk. Pontok koordinátáit keressük.
A ponton keresztül megtaláljuk a pont koordinátáját. Egy kis rajzból könnyű kikövetkeztetni, hogy a pont koordinátái a következők lesznek: Mit kell most megtalálni ahhoz, hogy megtaláljuk a piramis csúcsának koordinátáit? Még mindig ki kell számítani a magasságát. Ezt ugyanazzal a Pitagorasz-tétellel tesszük: először bizonyítsuk be ezt (triviálisan az alapnál négyzetet alkotó kis háromszögekből). Azóta a következő feltételekkel rendelkezünk:
Most minden készen áll: csúcskoordináták:
Összeállítjuk a sík egyenletét:
Ön már szakértő a meghatározó tényezők kiszámításában. Könnyen megkapja:
Vagy másképp (ha mindkét részt megszorozzuk kettő gyökével)
Most keressük meg a sík egyenletét:
(Nem felejtetted el, hogyan kapjuk meg a sík egyenletét? Ha nem érted, honnan jött ez a mínusz egy, akkor térj vissza a sík egyenletének meghatározásához! Mindig kiderült, hogy az én repülőgép az origóhoz tartozott!)
Kiszámoljuk a determinánst:
(Észreveheti, hogy a sík egyenlete egybeesett a pontokon áthaladó egyenes egyenletével és! Gondolja át, miért!)
Most kiszámítjuk a szöget:
Meg kell találnunk a szinust:
Válasz:
3. Egy trükkös kérdés: mi az a téglalap alakú prizma, mit gondolsz? Ez csak egy jól ismert paralelepipedon neked! Rajzolj azonnal! Az alapot külön nem is lehet ábrázolni, itt kevés haszna van belőle:
A sík, mint korábban megjegyeztük, egyenletként van felírva:
Most repülőt készítünk
Azonnal összeállítjuk a sík egyenletét:
Szöget keresek
Most a válaszok az utolsó két problémára:
Nos, itt az ideje egy kis szünetet tartani, mert te és én nagyszerűek vagyunk, és nagyszerű munkát végeztünk!
Koordináták és vektorok. Haladó szint
Ebben a cikkben a koordináta-módszerrel megoldható problémák egy másik osztályáról fogunk beszélni: a távolsági feladatokról. Nevezetesen a következő eseteket vesszük figyelembe:
- A ferde vonalak közötti távolság kiszámítása.
A megadott feladatokat a bonyolultságuk növekedésével rendeltem meg. A legegyszerűbb megtalálni pont-sík távolságés a legnehezebb megtalálni metsző vonalak közötti távolság. Bár természetesen semmi sem lehetetlen! Ne halogassuk, és azonnal folytassuk a problémák első osztályának mérlegelését:
Egy pont és egy sík távolságának kiszámítása
Mire van szükségünk a probléma megoldásához?
1. Pontkoordináták
Tehát amint megkapjuk az összes szükséges adatot, alkalmazzuk a képletet:
Már tudnia kell, hogyan építjük fel a sík egyenletét az előző részben elemzett problémákból. Azonnal térjünk az üzletre. A séma a következő: 1, 2 - segítek dönteni, és részletesen, 3, 4 - csak a válasz, te magad hozod meg a döntést és hasonlítsd össze. Elindult!
Feladatok:
1. Adott egy kocka. A kocka élének hossza a Find-di-te távolság a se-re-di-ny-tól a vágástól a laposig
2. Adott a jobb-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe él száz-ro-on az os-no-va-nia egyenlő. Keresse meg azokat a távolságokat egy ponttól egy síkig, ahol - se-re-di-az éleken.
3. A jobb háromszög alakú pi-ra-mi-de-ben az os-but-va-ni-em másik éle egyenlő, és egy száz-ro-on os-no-va-niya egyenlő. Keresse meg ezeket a távolságokat a csúcstól a síkig.
4. A jobb oldali hatszén-prizmában minden él egyenlő. Keresse meg ezeket a távolságokat egy ponttól egy síkig.
Megoldások:
1. Rajzolj egy élű kockát, építs fel egy szegmenst és egy síkot, a szegmens közepét jelöld betűvel
.
Először is kezdjük egy egyszerűvel: keressük meg egy pont koordinátáit. Azóta (emlékezz a szakasz közepének koordinátáira!)
Most három ponton állítjuk össze a sík egyenletét
\[\bal| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]
Most kezdhetem keresni a távolságot:
2. Kezdjük újra egy rajzzal, amelyen minden adatot bejelölünk!
Egy piramis esetében hasznos lenne külön megrajzolni az alapját.
Még az a tény sem akadályoz meg, hogy úgy rajzolok, mint egy csirkemancs, hogy könnyen megoldjuk ezt a problémát!
Most már könnyű megtalálni egy pont koordinátáit
Mivel a pont koordinátái
2. Mivel az a pont koordinátái a szakasz közepe, akkor
Könnyen megkereshetjük a síkon további két pont koordinátáit, összeállítjuk a sík egyenletét és leegyszerűsítjük:
\[\bal| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]
Mivel a pont koordinátái: , akkor kiszámítjuk a távolságot:
Válasz (nagyon ritka!):
Nos, megértetted? Számomra úgy tűnik, hogy itt minden ugyanolyan technikai jellegű, mint azokban a példákban, amelyeket az előző részben megvizsgáltunk. Tehát biztos vagyok benne, hogy ha elsajátította ezt az anyagot, akkor nem lesz nehéz megoldania a fennmaradó két problémát. Csak a válaszokat adom:
Egy egyenes és egy sík távolságának kiszámítása
Valójában nincs itt semmi új. Hogyan helyezkedhet el egy egyenes és egy sík egymáshoz képest? Minden lehetőségük megvan: metszeni, vagy egy egyenes párhuzamos a síkkal. Szerinted mekkora az egyenes távolsága attól a síktól, amellyel az adott egyenes metszi? Számomra egyértelmű, hogy egy ilyen távolság nullával egyenlő. Érdektelen eset.
A második eset trükkösebb: itt a távolság már nem nulla. Mivel azonban az egyenes párhuzamos a síkkal, akkor az egyenes minden pontja egyenlő távolságra van ettől a síktól:
Ilyen módon:
Ez pedig azt jelenti, hogy a feladatom az előzőre redukálódott: megkeressük az egyenes bármely pontjának koordinátáit, megkeressük a sík egyenletét, kiszámoljuk a pont és a sík távolságát. Valójában az ilyen feladatok a vizsgán rendkívül ritkák. Egyetlen problémát sikerült találnom, és a benne lévő adatok olyanok voltak, hogy a koordináta módszer nem nagyon volt alkalmazható rá!
Most térjünk át a problémák egy másik, sokkal fontosabb osztályára:
Pont és egyenes távolság kiszámítása
Mire lesz szükségünk?
1. Annak a pontnak a koordinátái, ahonnan a távolságot keressük:
2. Bármely egyenesen fekvő pont koordinátái
3. Az egyenes irányvektor koordinátái
Milyen képletet használjunk?
Mit jelent számodra ennek a törtnek a nevezője, és így világosnak kell lennie: ez az egyenes irányítóvektorának hossza. Itt van egy nagyon trükkös számláló! A kifejezés a vektorok vektorszorzatának modulját (hosszát) jelenti, és Hogyan számítsuk ki a vektorszorzatot, azt a munka előző részében tanulmányoztuk. Frissítse fel tudását, most nagyon hasznos lesz számunkra!
Így a problémák megoldásának algoritmusa a következő lesz:
1. Keressük annak a pontnak a koordinátáit, ahonnan a távolságot keressük:
2. Keressük annak az egyenesnek a koordinátáit, amelyhez a távolságot keressük:
3. Vektor felépítése
4. Megszerkesztjük az egyenes irányvektorát
5. Számítsa ki a keresztszorzatot!
6. Keressük a kapott vektor hosszát:
7. Számítsa ki a távolságot:
Rengeteg munkánk van, és a példák meglehetősen összetettek lesznek! Tehát most összpontosítsd minden figyelmedet!
1. A Dana egy jobb oldali háromszög alakú pi-ra-mi-da, amelynek csúcsa van. Száz-ro-on az os-no-va-niya pi-ra-mi-dy egyenlő, te-so-ta egyenlő. Keresse meg azokat a távolságokat a bo-ko-ik él se-re-di-ny-jétől az egyenesig, ahol a pontok és a bordák és a társ-tól származó se-re-di-ny. -stven-but.
2. A bordák hossza és a derékszögű-no-para-ral-le-le-pi-pe-da rendre egyenlő, és a Find-di-te távolság a top-shi-ny és az egyenes-my között.
3. A jobb oldali hatszén-prizmában a raj minden éle egyenlő - keresse meg azt a távolságot egy ponttól az egyenesig
Megoldások:
1. Készítünk egy ügyes rajzot, amelyen megjelöljük az összes adatot:
Rengeteg dolgunk van számodra! Először szavakkal szeretném leírni, hogy mit fogunk keresni és milyen sorrendben:
1. A pontok koordinátái és
2. Pontkoordináták
3. A pontok koordinátái és
4. A vektorok koordinátái és
5. Keresztszorzatuk
6. Vektor hossza
7. A vektorszorzat hossza
8. Távolság -tól -ig
Nos, sok dolgunk van! Tegyük fel az ingujjunkat!
1. Ahhoz, hogy megtaláljuk a gúla magasságának koordinátáit, ismernünk kell a pont koordinátáit, melynek alkalmazása nulla, az ordináta pedig egyenlő az abszcisszájával. Végül megkaptuk a koordinátákat:
Pont koordinátái
2. - a szegmens közepe
3. - a szegmens közepe
középpont
4. Koordináták
Vektor koordináták
5. Számítsa ki a vektorszorzatot:
6. A vektor hossza: a legegyszerűbb úgy helyettesíteni, hogy a szakasz a háromszög középvonala, ami azt jelenti, hogy egyenlő az alap felével. Szóval azt.
7. Tekintsük a vektorszorzat hosszát:
8. Végül keresse meg a távolságot:
Fú, ennyi! Őszintén megmondom: ezt a problémát hagyományos módszerekkel (konstrukciókon keresztül) sokkal gyorsabban lehetne megoldani. De itt mindent leredukáltam egy kész algoritmusra! Gondolom, hogy a megoldási algoritmus egyértelmű számodra? Ezért arra kérem, hogy a fennmaradó két problémát egyedül oldja meg. Hasonlítsa össze a válaszokat?
Ismétlem: könnyebb (gyorsabb) ezeket a problémákat konstrukciókkal megoldani, nem pedig a koordináta módszerhez folyamodni. Ezt a megoldási módot csak azért mutattam be, hogy megmutassam egy univerzális módszert, amely lehetővé teszi, hogy „ne fejezz be semmit”.
Végül nézzük a problémák utolsó osztályát:
A ferde vonalak közötti távolság kiszámítása
Itt a problémák megoldásának algoritmusa hasonló lesz az előzőhöz. Amink van:
3. Bármely vektor, amely összeköti az első és a második egyenes pontjait:
Hogyan találjuk meg a vonalak közötti távolságot?
A képlet a következő:
A számláló a vegyes szorzat modulja (az előző részben bemutattuk), a nevező pedig ugyanaz, mint az előző képletben (az egyenesek irányítóvektorainak vektorszorzatának modulja, a távolság, amely között mi keres).
emlékeztetni foglak erre
akkor a távolságképlet átírható így:
Osszuk el ezt a determinánst a determinánssal! Bár, hogy őszinte legyek, itt nincs kedvem viccelni! Ez a képlet valójában nagyon nehézkes, és meglehetősen bonyolult számításokhoz vezet. A helyedben csak végső esetben használnám!
Próbáljunk meg néhány problémát megoldani a fenti módszerrel:
1. A derékszögű háromszög prizmában az összes él valahogy egyenlő, keresse meg az egyenesek közötti távolságot és.
2. Adott egy jobb elő alakú háromszög prizma, ha valaki os-no-va-niya minden éle egyenlő a Se-che-tion-val, áthalad a másik bordán és a se-re-di-nu bordák yav-la-et-sya square-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie egyenes-we-mi és között
Én döntök az elsőről, és ez alapján döntsd el te a másodikat!
1. Rajzolok egy prizmát és megjelölöm a vonalakat és
A C pont koordinátái: akkor
Pont koordinátái
Vektor koordináták
Pont koordinátái
Vektor koordináták
Vektor koordináták
\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(tömb))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(tömb))\end(tömb)) \jobbra| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]
A és vektorok közötti keresztszorzatot tekintjük
\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(tömb) )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]
Most nézzük a hosszát:
Válasz:
Most próbálja meg óvatosan végrehajtani a második feladatot. A válasz a következő lesz:.
Koordináták és vektorok. Rövid leírás és alapképletek
A vektor egy irányított szegmens. - a vektor eleje, - a vektor vége.
A vektort vagy jelöli.
Abszolút érték vektor - a vektort képviselő szakasz hossza. Kijelölve mint.
Vektor koordináták:
,
hol vannak a \displaystyle a vektor végei.
A vektorok összege: .
A vektorok szorzata:
A vektorok pontszorzata:
A vektorok skaláris szorzata egyenlő abszolút értékük és a köztük lévő szög koszinuszának szorzatával:
A FELÉPÍTETT 2/3 CIKK CSAK A YOUCLEVER DIÁKOK SZÁMÁRA ÉRHETŐ!
Legyél a YouClever tanulója,
Készüljön fel az OGE-re vagy használja a matematikát "egy csésze kávé havonta" áron,
Továbbá korlátlan hozzáférést kap a "YouClever" tankönyvhöz, a "100gia" képzési programhoz (megoldáskönyv), korlátlan próba USE és OGE, 6000 feladat megoldások elemzésével és egyéb YouClever és 100gia szolgáltatásokkal.
Oxy
O DE OA.
, ahol 
OA 
.
Ily módon 
.
Vegyünk egy példát.
Példa.
Megoldás.
:
Válasz:
Oxyzűrben.
DE OAátlós lesz.
Ebben az esetben (mert OA 
OA 
.
Ily módon vektor hossza 
.
Példa.
Számítsa ki a vektor hosszát 
Megoldás.
, Következésképpen 
Válasz:
Egyenes vonal egy síkon
Általános egyenlet
Ax + By + C ( > 0).
Vektor = (A; B) egy normál vonalvektor.
Vektoros formában: + C = 0, ahol egy egyenes tetszőleges pontjának sugárvektora (4.11. ábra).
Különleges esetek:
1) + C = 0 szerint- a tengellyel párhuzamos egyenes Ökör;
2) Ax+C=0- a tengellyel párhuzamos egyenes Oy;
3) Ax + By = 0- a vonal az origón halad át;
4) y=0- tengely Ökör;
5) x=0- tengely Oy.
Egyenes egyenlete szakaszokban
ahol a, b- a koordinátatengelyeken egyenes vonallal levágott szakaszok mérete.
Egy egyenes normálegyenlete(4.11. ábra)
ahol az egyenessel és a tengellyel normálisan bezárt szög Ökör; p a koordináták kezdőpontja és az egyenes távolsága.
Az egyenes általános egyenletének normál alakba állítása:
Itt van a közvetlen vonal normalizált tényezője; a jelet a jellel szemben választjuk C, ha és önkényesen, ha C=0.
Egy vektor hosszának meghatározása koordináták alapján.
A vektor hosszát jelöli. Emiatt a jelölés miatt a vektor hosszát gyakran a vektor modulusának nevezik.
Kezdjük azzal, hogy a koordináták alapján keressük meg a vektor hosszát a síkon.
Bevezetünk a síkon egy derékszögű derékszögű koordináta-rendszert Oxy. Legyen benne adott egy vektor, és van koordinátája. Kapjunk egy képletet, amely lehetővé teszi a vektor hosszának meghatározását a koordinátákon és a .
Tegye félre a koordináták origójától (a ponttól O) vektor. Jelölje a pont vetületeit DE a koordinátatengelyeken, illetve, és tekintsünk egy átlós téglalapot OA.
A Pitagorasz-tétel értelmében az egyenlőség , ahol . Egy téglalap alakú koordináta-rendszerben lévő vektor koordinátáinak meghatározásából kijelenthetjük, hogy és , valamint konstrukció alapján a hossz OA egyenlő a vektor hosszával, ezért .
Ily módon képlet egy vektor hosszának meghatározásához koordinátáiban a síkon az a forma .
Ha a vektort dekompozícióként ábrázoljuk koordinátavektorokban , akkor a hosszát ugyanezzel a képlettel számítjuk ki , hiszen ebben az esetben a és együtthatók a vektor koordinátái az adott koordinátarendszerben.
Vegyünk egy példát.
Példa.
Keresse meg a vektor hosszát derékszögű koordinátákkal!
Megoldás.
Azonnal alkalmazza a képletet a vektor hosszának koordináták alapján történő meghatározásához :
Válasz:
Most kapunk egy képletet egy vektor hosszának meghatározására koordinátái alapján téglalap alakú koordinátarendszerben Oxyzűrben.
Tegyük félre a vektort az origóból, és jelöljük a pont vetületeit DE a koordinátatengelyeken, valamint . Ezután építhetünk az oldalakra és egy téglalap alakú paralelepipedont, amelyben OAátlós lesz.
Ebben az esetben (mert OA egy téglalap alakú paralelepipedon átlója), honnan . A vektor koordinátáinak meghatározása lehetővé teszi az egyenlőségek és a hossz felírását OA egyenlő a vektor kívánt hosszával, ezért .
Ily módon vektor hossza térben egyenlő a koordinátái négyzetösszegének négyzetgyökével, azaz a képlet alapján található .
Példa.
Számítsa ki a vektor hosszát , ahol a derékszögű koordinátarendszer ortjai vannak.
Megoldás.
Megadjuk egy vektor kiterjesztését az alak koordinátavektoraival , Következésképpen . Ekkor a vektor hosszának koordináták alapján történő meghatározásának képlete szerint .
12. Vektor hossza, szakasz hossza, vektorok közötti szög, vektorok merőlegességének feltétele.
vektor - ez egy irányított szakasz, amely a térben vagy egy síkban összeköt két pontot. A vektorokat általában kis betűkkel vagy kezdő- és végpontokkal jelöljük. Fent általában egy kötőjel.
Például egy pontból irányított vektor A lényegre törő B, jelölhető a ,
Nulla vektor 0 vagy 0 - olyan vektor, amelynek kezdő- és végpontja megegyezik, azaz. A = B. Innen, 0 = – 0 .
A vektor hossza (modulusa).a az azt reprezentáló szakasz hossza AB, jelölése |a | . Különösen | | 0 | = 0.
A vektorokat ún kollineáris ha irányított szakaszaik párhuzamos egyeneseken fekszenek. Kollineáris vektorok a és b vannak kijelölve a || b .
Három vagy több vektort hívunk egysíkú ha egy síkban fekszenek.
Vektorok összeadása. Mivel a vektorok irányította szegmenseket, akkor ezek összeadása elvégezhető mértanilag. (A vektorok algebrai összeadását alább, az "Egység ortogonális vektorok" című bekezdésben ismertetjük). Tegyünk úgy, mintha
a = ABés b = CD,
akkor a vektor __ __
a + b = AB+ CD
két művelet eredménye:
a)párhuzamos átvitel az egyik vektort úgy, hogy kezdőpontja egybeessen a második vektor végpontjával;
b)geometriai kiegészítés, azaz az eredményül kapott vektor összeállítása a rögzített vektor kezdőpontjától a lefordított vektor végpontjáig.
Vektorok kivonása. Ez a művelet az előzőre redukálódik, ha a kivont vektort az ellenkezőre cseréljük: a – b =a + (– b ) .
Az összeadás törvényei.
ÉN. a + b = b + a (V erable jog).
II. (a + b ) + c = a + (b + c ) (Egyesített jog).
III. a + 0 = a .
IV. a + (– a ) = 0 .
Egy vektor számmal való szorzásának törvényei.
ÉN. egy · a = a , 0 · a = 0 , m· 0 = 0 , (– egy) · a = – a .
II. ma = a m,| ma | = | m | · | a | .
III. m(na ) = (m n)a . (Kombinált
szorzás törvénye).
IV. (m+n) a = ma +na , (Elosztó
m(a + b ) = ma + mb . szorzás törvénye).
Vektorok skaláris szorzata. __ __
Szög a nullától eltérő vektorok között ABés CD az a szög, amelyet a vektorok a párhuzamos átvitel során a pontok egybeeséséig alkotnak Aés C. Vektorok pontszorzataa és b egyenlő számnak nevezzük hosszuk szorzata a köztük lévő szög koszinuszával:
Ha az egyik vektor nulla, akkor skaláris szorzata a definíció szerint nulla:
(a , 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .
Ha mindkét vektor nem nulla, akkor a köztük lévő szög koszinuszát a következő képlettel számítjuk ki:
skaláris szorzat ( a, a ) egyenlő | a | 2-t hívják skaláris négyzet. Vektor hossza a és a skalárnégyzete összefügg:
Két vektor pontszorzata:
- pozitívan ha a vektorok közötti szög fűszeres;
- negatív ha a vektorok közötti szög hülye.
Két nem nulla vektor skaláris szorzata akkor nulla és csak akkor, ha a köztük lévő szög megfelelő, pl. amikor ezek a vektorok merőlegesek (ortogonálisak):
A skalárszorzat tulajdonságai. Bármilyen vektorhoz a , időszámításunk előtt és tetszőleges szám m a következő összefüggések érvényesek:
ÉN. (a , b ) = (b, a ) . (Választható törvény)
II. (ma , b ) = m(a , b ) .
III.(a + b , c ) = (a , c ) + (b, c ). (elosztási törvény)
Egység ortogonális vektorok. Bármely téglalap alakú koordinátarendszerben megadhat egységpáronkénti ortogonális vektorokén , j és k koordináta tengelyekhez társítva: én - tengellyel x, j - tengellyel Yés k - tengellyel Z. E meghatározás szerint:
(én , j ) = (én , k ) = (j , k ) = 0,
| én | =| j | =| k | = 1.
Bármilyen vektor a egyedi módon kifejezhető ezekkel a vektorokkal: a = xén + yj+ zk . Az írás másik formája: a = (x, y, z). Itt x, y, z-koordináták vektor a ebben a koordinátarendszerben. Az egységnyi ortogonális vektorok utolsó összefüggésének és tulajdonságainak megfelelően i, j , k két vektor skaláris szorzata eltérően fejezhető ki.
Hadd a = (x, y, z); b = (u, v, w). Akkor ( a , b ) = xi +yv +zw.
Két vektor skaláris szorzata egyenlő a megfelelő koordináták szorzatának összegével.
A vektor hossza (modulusa). a = (x, y, z ) egyenlő:
Ráadásul most már képesek vagyunk rá algebrai vektorokon végzett műveletek, nevezetesen a vektorok összeadása és kivonása elvégezhető koordinátákkal:
egy + b= (x + u , y + v , z + w) ;
a – b= (x–u, y– v, z–w) .
Vektor vektor szorzata. vektoros művészet [a, b ] vektoroka ésb (ebben a sorrendben) vektornak nevezzük:
Van egy másik képlet a vektor hosszára [ a, b ] :
| [ a, b ] | = | a | | b | bűn( a, b ) ,
azaz hossza ( modul ) vektorok keresztszorzataa ésb egyenlő ezen vektorok hosszának (moduljainak) és a köztük lévő szög szinuszának szorzatával. Más szavakkal: vektor hossza (modulusa).[ a, b ] számszerűen megegyezik a vektorokra épített paralelogramma területével a ésb .
Vektor termék tulajdonságai.
ÉN. vektor [ a, b ] merőleges (ortogonális) mindkét vektort a és b .
(Bizonyítsa be, kérem!)
II.[ a , b ] = – [b, a ] .
III. [ ma , b ] = m[a , b ] .
IV. [ a + b , c ] = [ a , c ] + [ b, c ] .
v. [ a , [ időszámításunk előtt ] ] = b (a, c ) – c (a, b ) .
VI. [ [ a , b ] , c ] = b (a, c ) – a (időszámításunk előtt ) .
A kollinearitás szükséges és elégséges feltétele vektorok a = (x, y, z) és b = (u, v, w) :
Szükséges és elégséges feltétele az összehasonlíthatóságnak vektorok a = (x, y, z), b = (u, v, w) és c = (p, q, r) :
PÉLDA Adott vektorok: a = (1, 2, 3) és b = (– 2 , 0 ,4).
Számítsa ki pont- és vektorszorzatukat és szögüket!
e vektorok között.
Megoldás: A megfelelő képletekkel (lásd fent) a következőt kapjuk:
a) skalár szorzat:
(a, b ) = 1 (– 2) + 2 0 + 3 4 = 10;
b). vektor termék:
| " |
Az a → vektor hosszát a → -vel jelöljük. Ez a jelölés hasonló egy szám modulusához, ezért a vektor hosszát a vektor modulusának is nevezik.
Ahhoz, hogy egy vektor hosszát a síkon a koordinátái alapján meg lehessen határozni, egy O x y derékszögű derékszögű koordinátarendszert kell figyelembe venni. Legyen benne valamilyen a → vektor a x koordinátákkal; a y . Bevezetünk egy képletet az a → vektor hosszának (modulusának) meghatározására az a x és a y koordináták alapján.
Tegyük félre az O A → = a → vektort az origóból. Határozzuk meg az A pont megfelelő vetületeit a koordinátatengelyekre, mint A x és A y . Tekintsünk most egy O A x A A y téglalapot, amelynek átlója O A.
A Pitagorasz-tételből az O A 2 = O A x 2 + O A y 2 egyenlőség következik, ahonnan O A = O A x 2 + O A y 2. A derékszögű derékszögű koordináta-rendszerben egy vektor koordinátáinak már ismert definíciójából azt kapjuk, hogy O A x 2 = a x 2 és O A y 2 = a y 2, és szerkesztéssel O A hossza megegyezik a O A → vektor, tehát O A → = O A x 2 + O A y 2.
Ezért kiderül, hogy képlet egy vektor hosszának meghatározásához a → = a x ; a y-nek a megfelelő alakja van: a → = a x 2 + a y 2 .
Ha az a → vektort kiterjesztésként adjuk meg az a → = a x i → + a y j → koordinátavektorokban, akkor a hossza ugyanazzal a képlettel számítható ki a → = a x 2 + a y 2, ebben az esetben az a x és a y együtthatók mint az a vektor koordinátái az adott koordinátarendszerben.
1. példa
Számítsa ki az a → = 7 vektor hosszát; e , derékszögű koordinátarendszerben megadva.
Megoldás
Egy vektor hosszának meghatározásához a vektor hosszának a → = a x 2 + a y 2 koordináták alapján történő meghatározására szolgáló képletet használjuk: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e
Válasz: a → = 49 + e .
Képlet egy vektor hosszának meghatározásához a → = a x ; a y ; a z koordinátái alapján az Oxyz derékszögű koordinátarendszerben a térben, hasonlóan a síkon lévő eset képletéhez (lásd az alábbi ábrát)
Ebben az esetben O A 2 \u003d O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (mivel OA egy téglalap alakú paralelepipedon átlója), ezért O A \u003d O A x 2 + O A y 2 + O A z 2. A vektor koordinátáinak definíciójából a következő egyenlőségeket írhatjuk fel O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , és az OA hossza megegyezik a keresett vektor hosszával, ezért O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .
Ebből következik, hogy az a → = a x vektor hossza; a y ; a z egyenlő a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 -vel.
2. példa
Számítsa ki az a → = 4 i → - 3 j → + 5 k → vektor hosszát, ahol i → , j → , k → a derékszögű koordinátarendszer egységvektorai!
Megoldás
Adott egy a → = 4 i → - 3 j → + 5 k → vektor dekompozíciója, koordinátái a → = 4, -3, 5. A fenti képlet felhasználásával a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 -t kapunk.
Válasz: a → = 5 2 .
Egy vektor hossza kezdő- és végpontjának koordinátáiban
Fent olyan képleteket vezettek le, amelyek lehetővé teszik egy vektor hosszának meghatározását a koordinátái alapján. Eseteket vizsgáltunk síkon és háromdimenziós térben. Ezek segítségével keressük meg a vektor koordinátáit a kezdő- és végpontjainak koordinátái alapján.
Tehát adott pontok adott A (a x; a y) és B (b x; b y) koordinátákkal, ezért az A B → vektornak vannak koordinátái (b x - a x; b y - a y), ami azt jelenti, hogy hossza a következő képlettel határozható meg: A B → = ( b x - a x) 2 + (b y - a y) 2
Ha pedig pontok adott A (a x; a y; a z) és B (b x; b y; b z) koordinátákkal háromdimenziós térben, akkor az A B → vektor hossza a következő képlettel számítható ki.
A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2
3. példa
Határozzuk meg az A B → vektor hosszát, ha téglalap alakú koordinátarendszerben A 1, 3, B-3, 1.
Megoldás
A síkon a kezdő- és végpont koordinátáiból a vektor hosszának meghatározására szolgáló képletet használva a következőt kapjuk: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .
A második megoldás ezeknek a képleteknek az alkalmazását foglalja magában: A B → = (- 3 - 1; 1 - 3) = (- 4; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -
Válasz: A B → = 20 - 2 3 .
4. példa
Határozza meg, hogy az A B → vektor hossza milyen értékek esetén egyenlő 30, ha A (0 , 1 , 2) ; B (5, 2, λ 2).
Megoldás
Először írjuk fel az A B → vektor hosszát a következő képlet szerint: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2
Ezután a kapott kifejezést egyenlővé tesszük 30-al, innen megtaláljuk a kívánt λ-t:
26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 és l és λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .
Válasz: λ 1 \u003d - 2, λ 2 \u003d 2, λ 3 = 0.
Vektor hosszának meghatározása a koszinusz törvényének segítségével
Sajnos egy vektor koordinátáit nem mindig ismerjük a feladatokban, ezért nézzünk más módokat a vektor hosszának meghatározására.
Legyen adott két A B → , A C → vektor hossza és a közöttük lévő szög (vagy a szög koszinusza), és meg kell találni a B C → vagy C B → vektor hosszát. Ebben az esetben használja a koszinusz tételt a △ A B C háromszögben, és számítsa ki a B C oldal hosszát, amely megegyezik a vektor kívánt hosszával.
Tekintsünk egy ilyen esetet a következő példában.
5. példa
Az A B → és A C → vektorok hossza rendre 3, illetve 7, a köztük lévő szög pedig π 3 . Számítsa ki a B C → vektor hosszát!
Megoldás
A B C → vektor hossza ebben az esetben megegyezik a △ A B C háromszög B C oldalának hosszával. A háromszög A B és A C oldalainak hossza a feltételből ismert (ez megegyezik a megfelelő vektorok hosszával), ismert a köztük lévő szög is, így használhatjuk a koszinusz tételt: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B , → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 3 7 cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Így B C → = 37 .
Válasz: B C → = 37 .
Tehát egy vektor hosszának koordináták alapján történő meghatározásához a következő képletek állnak rendelkezésre: a → = a x 2 + a y 2 vagy a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, a kezdő és végpont koordinátái szerint az A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 vagy A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 vektor, bizonyos esetekben a koszinusz tétel kell használni.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
