Ebben a cikkben elemezzük egész osztás maradékkal. Kezdjük az egész számok maradékkal való osztásának általános elvével, fogalmazzunk meg és bizonyítunk egy tételt az egész számok maradékkal való oszthatóságáról, nyomon követjük az osztó, az osztó, a parciális hányados és a maradék közötti összefüggéseket. Ezt követően közöljük azokat a szabályokat, amelyek alapján az egész számok maradékkal való osztása történik, és a példák megoldásánál figyelembe vesszük ezek alkalmazását. Ezt követően megtanuljuk, hogyan ellenőrizzük az egész számok maradékkal való osztásának eredményét.

Oldalnavigáció.

Az egész számok maradékkal való felosztásának általános ötlete

Az egész számok maradékkal való osztását a természetes számok maradékával való osztás általánosításának tekintjük. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a természetes számok az egész számok összetevői.

Kezdjük a leírásban használt kifejezésekkel és jelölésekkel.

A természetes számok maradékkal való osztásával analóg módon feltételezzük, hogy a két a és b maradékból álló osztás eredménye (b nem egyenlő nullával) két c és d egész szám. Az a és b számokat hívják oszthatóés osztó illetve a d szám az maradék attól, hogy a-t elosztjuk b-vel, és a c egész számot hívjuk hiányos privát(vagy egyszerűen magán ha a maradék nulla).

Egyezzünk meg abban, hogy a maradék egy nem negatív egész szám, és értéke nem haladja meg a b-t, azaz (hasonló egyenlőtlenségi láncokkal találkoztunk, amikor három vagy több egész szám összehasonlításáról beszéltünk).

Ha a c szám parciális hányados, és a d egy a egész szám b egész számmal való osztásának maradéka, akkor ezt a tényt röviden a:b=c (maradjon d) alakú egyenlőségként írjuk fel.

Vegye figyelembe, hogy ha egy a egész számot elosztunk egy b egész számmal, a maradék lehet nulla. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a osztható b-vel nyom nélkül(vagy teljesen). Így az egész számok maradék nélküli felosztása az egész számok maradékkal való felosztásának speciális esete.

Érdemes azt is elmondani, hogy a nulla valamilyen egész számmal való osztásakor mindig maradék nélkül kezeljük az osztást, mivel ebben az esetben a hányados nullával lesz egyenlő (lásd a nulla egész számmal való osztásának elméletéről szóló részt), ill. a maradék is egyenlő lesz nullával.

Elhatároztuk a terminológiát és a jelölést, most nézzük meg az egész számok maradékkal való osztásának jelentését.

Az a negatív egész szám elosztása b pozitív egész számmal szintén értelmes lehet. Ehhez tekintsünk egy negatív egész számot adósságnak. Képzeljünk el egy ilyen helyzetet. A tételeket alkotó adósságot b embernek kell visszafizetnie, ugyanakkora hozzájárulással. A c hiányos hányados abszolút értéke ebben az esetben határozza meg ezeknek az embereknek az adósság összegét, a maradék d pedig azt mutatja meg, hogy hány tétel marad az adósság kifizetése után. Vegyünk egy példát. Tegyük fel, hogy 2 ember tartozik 7 almával. Ha feltételezzük, hogy mindegyiküknek 4 almával tartozik, akkor az adósság kifizetése után 1 alma marad. Ez a helyzet a (−7):2=−4 (maradék 1) egyenlőségnek felel meg.

Egy tetszőleges a egész szám maradékával való osztás negatív egész számmal, nem tulajdonítunk jelentést, de meghagyjuk a létezés jogát.

Oszthatósági tétel maradékkal rendelkező egész számokra

Amikor a természetes számok maradékkal való osztásáról beszéltünk, azt találtuk, hogy az a osztó, a b osztó, a c parciális hányados és a d maradék az a=b c+d egyenlőséggel függ össze. Az a , b , c és d egész számok ugyanazt az összefüggést mutatják. Ezt a kapcsolatot a következők igazolják oszthatósági tétel maradékkal.

Tétel.

Bármely a egész szám egyedi módon ábrázolható egy egész számon és egy nullától eltérő b számon keresztül a=b ​​q+r formában, ahol q és r néhány egész szám, és .

Bizonyíték.

Először bizonyítsuk be a=b·q+r ábrázolásának lehetőségét.

Ha az a és b egész számok olyanok, hogy a egyenlően osztható b-vel, akkor definíció szerint létezik olyan q egész szám, amelyre a=b q . Ebben az esetben az a=b q+r egyenlőség teljesül r=0 esetén.

Most feltételezzük, hogy b egy pozitív egész szám. Egy q egész számot úgy választunk, hogy a b·q szorzat ne haladja meg az a számot, és a b·(q+1) szorzat már nagyobb legyen a -nál. Vagyis úgy vesszük q-t, hogy a b q egyenlőtlenségek

Be kell bizonyítani, hogy a=b q+r negatív b esetén lehetséges-e.

Mivel a b szám modulusa ebben az esetben egy pozitív szám, akkor létezik olyan reprezentáció, ahol q 1 valamilyen egész szám, r pedig olyan egész szám, amely teljesíti a feltételeket. Ekkor q=−q 1 -t feltételezve megkapjuk a negatív b esetén szükséges a=b q+r reprezentációt.

Rátérünk az egyediség bizonyítékára.

Tegyük fel, hogy az a=b q+r ábrázoláson kívül q és r egész és , van egy másik a=b q 1 +r 1 reprezentáció, ahol q 1 és r 1 néhány egész szám, és q 1 ≠ q és .

Miután az első egyenlőség bal és jobb oldali részéből kivontuk a második egyenlőség bal és jobb oldali részét, kapjuk a 0=b (q−q 1)+r−r 1 értéket, ami ekvivalens az r− egyenlőséggel. r 1 =b (q 1 − q) . Aztán a forma egyenlősége , valamint a szám modulusának tulajdonságai miatt - és az egyenlőség .

A feltételekből és arra következtethetünk, hogy . Mivel q és q 1 egész számok és q≠q 1 , akkor ebből arra következtethetünk, hogy . A kapott egyenlőtlenségekből és ebből következik, hogy a forma egyenlősége feltételezésünk szerint lehetetlen. Ezért nincs más reprezentációja az a számnak, kivéve az a=b·q+r .

Kapcsolatok osztalék, osztó, parciális hányados és maradék között

Az a=b c+d egyenlőség lehetővé teszi egy ismeretlen a osztó megtalálását, ha ismert a b osztó, a c parciális hányados és a d maradék. Vegyünk egy példát.

Példa.

Mennyi az osztalék, ha a −21 egész számmal való osztásakor 5 nem teljes hányadosa és 12 maradéka lesz?

Megoldás.

Ki kell számolnunk az a osztót, ha ismerjük a b=−21 osztót, a c=5 parciális hányadost és a maradékot d=12 . Az a=b c+d egyenlőségre áttérve a=(−21) 5+12 . Figyelembe véve először a −21 és 5 egész számok szorzását hajtjuk végre a különböző előjelű egészek szorzási szabálya szerint, majd végezzük el a különböző előjelű egészek összeadását: (−21) 5+12=−105+12 =−93 .

Válasz:

−93 .

Az osztó, osztó, parciális hányados és maradék közötti összefüggéseket a b=(a−d):c , c=(a−d):b és d=a−b·c alakú egyenlőségek is kifejezik. Ezek az egyenlőségek lehetővé teszik az osztó, a parciális hányados és a maradék kiszámítását. Gyakran meg kell találnunk egy a egész szám b egész számmal való osztásának maradékát, ha ismert az osztó, az osztó és a parciális hányados, a d=a−b·c képlet segítségével. A további kérdések elkerülése érdekében egy példát elemezünk a maradék kiszámítására.

Példa.

Határozzuk meg a −19 egész szám 3-mal való osztásának maradékát, ha a parciális hányadosról tudjuk, hogy −7.

Megoldás.

Az osztás maradékának kiszámításához egy d=a−b·c képletet használunk. A feltételből minden szükséges adatunk megvan a=−19 , b=3 , c=−7 . d=a−b c=−19−3 (−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (a különbség −19−(−21), amit a negatív kivonásának szabályával számoltunk egész szám ).

Válasz:

Osztás pozitív egész számok maradékával, példák

Amint azt már többször megjegyeztük, a pozitív egész számok természetes számok. Ezért a pozitív egész számok maradékával való osztás a természetes számok maradékával való osztás összes szabálya szerint történik. Nagyon fontos, hogy könnyedén tudjunk osztást végrehajtani a természetes számok maradékával, hiszen ez az alapja nem csak a pozitív egészek osztásának, hanem az összes osztási szabály alapja is a maradék tetszőleges egész számokkal.

A mi szempontunkból a legkényelmesebb az oszloppal való osztást végrehajtani, ezzel a módszerrel nem teljes hányadost (vagy csak hányadost) és maradékot is kaphatunk. Vegyünk egy példát a pozitív egész számok maradékával való osztásra.

Példa.

Végezzen osztást 14671 maradékkal 54-gyel.

Megoldás.

Végezzük el ezeknek a pozitív egész számoknak az oszlopmal való osztását:

A hiányos hányados 271 lett, a maradék pedig 37.

Válasz:

14 671:54=271 (többi 37) .

Pozitív egész szám maradékával negatív egész számmal való osztás szabálya, példák

Fogalmazzuk meg azt a szabályt, amely lehetővé teszi, hogy egy pozitív egész szám maradékával egy negatív egész számmal osztást hajtson végre.

Egy pozitív a pozitív egész szám egy negatív b egész számmal való osztásának parciális hányadosa ellentéte annak a parciális hányadosának, amikor a-t osztjuk b modulusával, és az a-t b-vel osztva a maradék hányadosa a -val való osztásnak.

Ebből a szabályból következik, hogy a pozitív egész szám negatív egész számmal való osztásának hiányos hányadosa egy nem pozitív egész szám.

Alakítsuk át a hangos szabályt egy olyan algoritmussá, amely egy pozitív egész szám maradékával oszt egy negatív egész számmal:

• Az osztó modulusát elosztjuk az osztó modulusával, megkapjuk a hiányos hányadost és a maradékot. (Ha ebben az esetben a maradék nullának bizonyult, akkor az eredeti számokat maradék nélkül osztjuk, és az ellentétes előjelű egészek osztására vonatkozó szabály szerint a kívánt hányados megegyezik a hányadosával ellentétes számmal. a modulok felosztása.)
• Felírjuk a kapott hiányos hányadossal ellentétes számot és a maradékot. Ezek a számok rendre a kívánt hányados, illetve az eredeti pozitív egész szám negatív egész számmal való osztásának maradéka.

Adjunk példát a pozitív egész szám negatív egész számmal való osztására szolgáló algoritmus használatára.

Példa.

Osszuk el a 17 pozitív egész szám maradékával egy negatív egész számmal −5 .

Megoldás.

Használjuk az osztási algoritmust egy pozitív egész szám maradékával egy negatív egész számmal.

Felosztás

A 3 ellentétes száma −3. Így a 17 -5-tel való osztásához szükséges parciális hányados -3, a maradék pedig 2.

Válasz:

17 :(-5)=-3 (többi 2).

Példa.

Feloszt 45 x -15 .

Megoldás.

Az osztalék és az osztó modulja 45, illetve 15. A 45-ös szám maradék nélkül osztható 15-tel, a hányados pedig 3. Ezért a 45 pozitív egész szám maradék nélkül osztható a −15 negatív egész számmal, míg a hányados egyenlő a 3-mal ellentétes számmal, azaz −3. Valóban, a különböző előjelű egész számok osztásának szabálya szerint .

Válasz:

45:(−15)=−3 .

Osztás negatív egész szám maradékával pozitív egész számmal, példák

Fogalmazzuk meg az osztás szabályát egy negatív egész szám maradékával egy pozitív egész számmal.

Ahhoz, hogy egy negatív a negatív egész szám b pozitív egész számmal való elosztásából hiányos c hányadost kapjunk, ki kell venni a hiányos hányadossal ellentétes számot az eredeti számok moduljainak elosztásából, és ki kell vonni belőle egyet, ami után kiszámítjuk a d maradékot. a d=a−b c képlet segítségével.

Ebből a maradékkal való osztás szabályából az következik, hogy a negatív egész szám pozitív egész számmal való osztásának hiányos hányadosa negatív egész szám.

A zöngés szabályból következik az osztási algoritmus egy negatív egész szám maradékával egy pozitív egész számmal b:

• Megtaláljuk az osztó és az osztó moduljait.
• Az osztó modulusát elosztjuk az osztó modulusával, megkapjuk a hiányos hányadost és a maradékot. (Ha a maradék nulla, akkor az eredeti egész számok maradék nélkül oszthatók, és a kívánt hányados megegyezik a modulok elosztásából származó hányadossal ellentétes számmal.)
• Felírjuk a kapott hiányos hányadossal ellentétes számot, és kivonjuk belőle az 1-est. A számított szám az eredeti negatív egész szám pozitív egész számmal való osztásának kívánt c parciális hányadosa.

Elemezzük a példa megoldását, amelyben az írott osztási algoritmust használjuk maradékkal.

Példa.

Határozzuk meg a −17 negatív egész szám parciális hányadosát és maradékát osztva az 5 pozitív egész számmal.

Megoldás.

A −17 osztó modulusa 17, az 5 osztó modulusa pedig 5.

Felosztás Ha 17-tel 5, akkor 3 nem teljes hányadosát és 2 maradékát kapjuk.

3 ellentéte -3 . Vonjunk ki egyet a −3-ból: −3−1=−4 . Tehát a kívánt hiányos hányados −4.

A maradék kiszámítása hátra van. Példánkban a=−17, b=5, c=−4, majd d=a−b c=−17−5 (−4)= −17−(−20)=−17+20=3 .

Így a −17 negatív egész szám és az 5 pozitív egész szám részhányadosa −4, a maradék pedig 3.

Válasz:

(−17):5=−4 (többi 3) ​​.

Példa.

Osszuk el a −1 404 negatív egész számot a 26 pozitív egész számmal.

Megoldás.

Az osztó modulus 1404, az osztó modulus 26.

Oszd el az 1404-et 26-tal egy oszlopban:

Mivel az osztó modulusát maradék nélkül osztottuk az osztó modulusával, az eredeti egész számokat maradék nélkül osztjuk, és a kívánt hányados egyenlő az 54-gyel ellentétes számmal, azaz −54.

Válasz:

(−1 404):26=−54 .

Osztási szabály negatív egész számok maradékával, példák

Fogalmazzuk meg az osztási szabályt a negatív egész számok maradékával.

Ahhoz, hogy egy a negatív egész szám egy negatív b egész számmal való elosztásából hiányos c hányadost kapjunk, ki kell számítanunk a hiányos hányadost az eredeti számok moduljainak elosztásából, és hozzá kell adni egyet, majd ki kell számítani a d maradékot a d képlet segítségével. =a−b c .

Ebből a szabályból az következik, hogy a negatív egész számok felosztásának hiányos hányadosa pozitív egész szám.

Írjuk át a zöngés szabályt negatív egész számok osztására szolgáló algoritmus formájában:

• Megtaláljuk az osztó és az osztó moduljait.
• Az osztó modulusát elosztjuk az osztó modulusával, megkapjuk a hiányos hányadost és a maradékot. (Ha a maradék nulla, akkor az eredeti egész számok maradék nélkül oszthatók, és a kívánt hányados egyenlő az osztható modulusának az osztó modulusával való osztásának hányadosával.)
• A kapott hiányos hányadoshoz hozzáadunk egyet, ez a szám az eredeti negatív egész számok elosztásából származó kívánt hiányos hányados.
• Számítsa ki a maradékot a d=a-b·c képlettel.

Tekintsük a negatív egész számok felosztására szolgáló algoritmus alkalmazását egy példa megoldása során.

Példa.

Határozzuk meg a −17 negatív egész szám parciális hányadosát és maradékát osztva a −5 negatív egész számmal.

Megoldás.

A megfelelő osztási algoritmust használjuk maradékkal.

Az osztó modulus 17 , az osztó modulus 5 .

Osztály 17-szer 5 adja a 3 hiányos hányadosát, a maradék pedig 2-t.

A 3. hiányos hányadoshoz adunk egyet: 3+1=4. Ezért a −17 -5-tel való osztásának kívánt hiányos hányadosa 4.

A maradék kiszámítása hátra van. Ebben a példában a=−17, b=−5, c=4, majd d=a−b c=−17−(−5) 4= −17−(−20)=−17+20=3 .

Tehát a −17 negatív egész szám és a −5 negatív egész szám részhányadosa 4 , a maradék pedig 3 .

Válasz:

(−17):(−5)=4 (többi 3) ​​.

Egész számok maradékkal való osztásának eredményének ellenőrzése

Az egész számok maradékkal való osztása után célszerű ellenőrizni az eredményt. Az ellenőrzés két szakaszban történik. Az első lépésben azt ellenőrizzük, hogy a d maradék nem-negatív szám-e, és a feltételt is. Ha az ellenőrzés első szakaszának minden feltétele teljesül, akkor folytathatja az ellenőrzés második szakaszát, ellenkező esetben vitatható, hogy valahol hiba történt a maradékkal való megosztáskor. A második lépésben az a=b·c+d egyenlőség érvényességét ellenőrizzük. Ha ez az egyenlőség igaz, akkor a maradékkal való osztás helyesen történt, ellenkező esetben valahol hiba történt.

Tekintsük azoknak a példáknak a megoldásait, amelyekben az egész számok maradékkal való felosztásának eredményét ellenőrizzük.

Példa.

A -521 szám -12-vel való osztásakor a részhányados 44, a maradék pedig 7, ellenőrizze az eredményt.

Megoldás. −2, ha b=−3, c=7, d=1. Nekünk van b c+d=−3 7+1=−21+1=−20. Így az a=b c+d egyenlőség hibás (példánkban a=−19 ).

Ezért a maradékkal való felosztást helytelenül hajtották végre.

A cikk az egész számok maradékkal való osztásának fogalmát elemzi. Bebizonyítjuk az egész számok oszthatóságának tételét maradékkal, és megvizsgáljuk az osztható és osztó, a hiányos hányadosok és a maradékok közötti összefüggéseket. Tekintsük az egész számok maradékokkal való felosztásának szabályait, miután részletesen megvizsgáltuk példákkal. A megoldás végén ellenőrzést végzünk.

Az egész számok maradékokkal való felosztásának általános ismerete

Az egész számok maradékkal való osztása a természetes számok maradékával általánosított osztásnak tekinthető. Ez azért van így, mert a természetes számok egész számok alkotóelemei.

Egy tetszőleges szám maradékával való osztás azt mondja, hogy az a egész szám osztható b számmal, amely különbözik nullától. Ha b = 0, akkor nem történik maradékkal való osztás.

Valamint a természetes számok maradékkal való osztása, az a és b egész számok c-vel és d-vel való osztása, ahol b különbözik nullától. Ebben az esetben a-t és b-t osztónak és osztónak nevezzük, d pedig az osztás maradéka, c egész szám vagy részhányados.

Ha feltételezzük, hogy a maradék nemnegatív egész szám, akkor értéke nem nagyobb, mint a b szám modulusa. Írjuk fel így: 0 ≤ d ≤ b . Ezt az egyenlőtlenségi láncot 3 vagy több szám összehasonlításakor használjuk.

Ha c egy hiányos hányados, akkor d egy a egész szám b-vel való osztásának maradéka, akkor röviden javíthatja: a: b \u003d c (marad d).

A maradék az a számok b-vel való osztásakor nulla lehet, akkor azt mondják, hogy a-t teljesen osztják b-vel, azaz maradék nélkül. A maradék nélküli osztás az osztás speciális esetének számít.

Ha a nullát elosztjuk valamilyen számmal, akkor nullát kapunk. Az osztás maradéka is nulla lesz. Ez látható a nulla egész számmal való osztásának elméletéből.

Most nézzük meg az egész számok maradékkal való felosztásának jelentését.

Ismeretes, hogy a pozitív egész számok természetesek, akkor maradékkal osztva ugyanazt a jelentést kapjuk, mint a természetes számok maradékkal való osztásakor.

Az a negatív egész szám elosztása egy pozitív b egész számmal van értelme. Nézzünk egy példát. Képzeljünk el egy olyan helyzetet, amikor a tételes tartozásunk van a összegben, amelyet b embernek vissza kell fizetnie. Ehhez mindenkinek egyformán hozzá kell járulnia. Az egyes tartozás összegének meghatározásához figyelni kell a magánc. A maradék d azt jelzi, hogy a tartozások törlesztése utáni tételek száma ismert.

Vegyünk egy példát az almával. Ha 2 embernek 7 almára van szüksége. Ha úgy számolunk, hogy mindenkinek 4 almát kell visszaadnia, akkor a teljes számítás után 1 alma marad. Ezt írjuk fel egyenlőségként: (− 7) : 2 = − 4 (о с t. 1) .

Egy tetszőleges a szám egész számmal való elosztása értelmetlen, de lehetőségként lehetséges.

Oszthatósági tétel maradékkal rendelkező egész számokra

Megállapítottuk, hogy a az osztó, majd b az osztó, c a parciális hányados, és d a maradék. Összefüggenek egymással. Ezt az összefüggést az a = b · c + d egyenlőséggel fogjuk bemutatni. A köztük lévő kapcsolatot a maradékkal való oszthatósági tétel jellemzi.

Tétel

Bármely egész szám csak egész számmal és egy nem nulla b számmal ábrázolható így: a = b · q + r , ahol q és r néhány egész szám. Itt 0 ≤ r ≤ b .

Bizonyítsuk be a = b · q + r létezésének lehetőségét.

Bizonyíték

Ha két a és b szám van, és a osztható b-vel maradék nélkül, akkor a definícióból következik, hogy van q szám, az a = b · q egyenlőség igaz lesz. Ekkor az egyenlőség igaznak tekinthető: a = b q + r r = 0 esetén.

Ekkor olyan q-t kell venni, hogy a b · q egyenlőtlenség adja meg< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Megvan, hogy az a − b · q kifejezés értéke nagyobb nullánál és nem nagyobb, mint a b szám értéke, ebből következik, hogy r = a − b · q . Azt kapjuk, hogy az a szám a = b · q + r alakban ábrázolható.

Most meg kell fontolnunk annak lehetőségét, hogy a = b · q + r ábrázolását b negatív értékei esetén.

A szám modulusa pozitívnak bizonyul, ekkor a = b q 1 + r-t kapjuk, ahol a q 1 érték valamilyen egész szám, r olyan egész szám, amely megfelel a 0 ≤ r feltételnek.< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Az egyediség bizonyítéka

Tegyük fel, hogy a = b q + r, q és r egész számok, amelyek feltétele 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1és r1 van néhány szám, ahol q 1 ≠ q, 0 ≤ r1< b .

Ha az egyenlőtlenséget kivonjuk a bal és a jobb oldalról, akkor 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 -t kapunk, ami r - r 1 = b · q 1 - q ekvivalens. Mivel a modult használjuk, az r - r 1 = b · q 1 - q egyenlőséget kapjuk.

Az adott feltétel azt mondja, hogy 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qés q 1- egész, és q ≠ q 1, akkor q 1 - q ≥ 1 . Ebből adódik, hogy b · q 1 - q ≥ b . A kapott r - r 1 egyenlőtlenségek< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Ebből következik, hogy az a szám nem ábrázolható más módon, csak az a = b · q + r jelöléssel.

Osztalék, osztó, parciális hányados és maradék kapcsolata

Az a \u003d b c + d egyenlőség segítségével megtalálhatja az ismeretlen a osztót, ha a b osztó ismert c hiányos hányadossal és a maradék d.

1. példa

Határozzuk meg az osztalékot, ha osztásakor - 21-et, egy hiányos hányadost 5-öt és a maradékot 12-t kapunk.

Megoldás

Ki kell számítani az a osztót ismert osztóval b = − 21, hiányos hányadossal c = 5 és maradékkal d = 12. Az a = b c + d egyenlőségre kell hivatkoznunk, innen a = (− 21) 5 + 12 egyenletet kapjuk. A műveleti sorrendtől függően a - 21-et megszorozzuk 5-tel, ami után (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93-at kapunk.

Válasz: - 93 .

Az osztó és a parciális hányados és a maradék közötti összefüggést a b = (a − d) : c , c = (a − d) : b és d = a − b · c egyenlőségekkel fejezhetjük ki. Segítségükkel kiszámolhatjuk az osztót, a parciális hányadost és a maradékot. Ez arra vezet, hogy folyamatosan meg kell találni az a egész szám b-vel való osztásának maradékát ismert osztóval, osztóval és parciális hányadossal. A d = a − b · c képletet alkalmazzuk. Nézzük részletesen a megoldást.

2. példa

Határozzuk meg egy -19 egész szám 3-mal való osztásának maradékát, amelynek ismert hiányos hányadosa egyenlő -7.

Megoldás

Az osztás maradékának kiszámításához egy d = a − b c képletet alkalmazunk. Feltétel szerint minden a = − 19 , b = 3 , c = − 7 adat elérhető. Innen kapjuk a d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (különbség - 19 - (- 21)... Ezt a példát a kivonási szabály, a teljes negatív szám számítja ki.

Válasz: 2 .

Minden pozitív egész szám természetes. Ebből következik, hogy az osztás az összes osztási szabály szerint történik, a természetes számok maradékával. A természetes számok maradékával való osztás sebessége fontos, hiszen ezen nem csak a pozitívak osztása alapul, hanem a tetszőleges egészek osztásának szabályai is.

A legkényelmesebb osztási módszer az oszlop, mivel könnyebben és gyorsabban lehet hiányos vagy csak hányadost kapni a maradékkal. Tekintsük a megoldást részletesebben.

3. példa

Ossza el az 14671-et 54-gyel.

Megoldás

Ezt a felosztást egy oszlopban kell elvégezni:

Vagyis a hiányos hányados 271, a maradék pedig 37.

Válasz: 14671: 54 = 271. (többi 37.)

Pozitív egész szám maradékával negatív egész számmal való osztás szabálya, példák

Egy pozitív szám maradékával egy negatív egész számmal való osztás végrehajtásához meg kell fogalmazni egy szabályt.

1. definíció

Az a pozitív egész szám egy negatív b egész számmal való osztásának hiányos hányadosa olyan számot ad, amely ellentétes az a számok moduljait b-vel osztó hiányos hányadossal. Ekkor a maradék a maradék, ha a-t osztjuk b-vel.

Ebből következik, hogy a pozitív egész szám negatív egész számmal való elosztásának hiányos hányadosa nem pozitív egész számnak tekinthető.

Megkapjuk az algoritmust:

• osztjuk az osztó modulusát az osztó modulusával, akkor hiányos hányadost kapunk és
• maradék;
• írja le az ellenkező számot.

Tekintsük a pozitív egész szám negatív egész számmal való osztására szolgáló algoritmus példáját.

4. példa

Hajtsa végre az osztást a maradék 17 by - 5 - tel .

Megoldás

Alkalmazzuk az osztási algoritmust a pozitív egész szám maradékával egy negatív egész számmal. A 17-et el kell osztani 5-tel modulo. Innen azt kapjuk, hogy a hiányos hányados 3, a maradék pedig 2.

A kívánt számot úgy kapjuk meg, hogy elosztjuk 17-et - 5 \u003d - 3-mal, a maradék 2-vel.

Válasz: 17: (− 5) = − 3 (maradék 2).

5. példa

Oszd el a 45-öt 15-tel.

Megoldás

A számokat modulo kell osztani. A 45-öt elosztjuk 15-tel, maradék nélkül megkapjuk a 3-as hányadost. Tehát a 45-ös szám maradék nélkül osztható 15-tel. A válaszban - 3-at kapunk, mivel a felosztást modulo hajtották végre.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Válasz: 45: (− 15) = − 3 .

A maradékkal való osztási szabály megfogalmazása a következő.

2. definíció

Ahhoz, hogy egy   a negatív egész számot pozitív b-vel osztva hiányos c hányadost kapjunk, ennek a számnak az ellenkezőjét kell alkalmazni, és ki kell vonni belőle 1-et, majd a d maradékot a következő képlettel számítjuk ki: d = a − b · c.

A szabály alapján arra a következtetésre juthatunk, hogy osztáskor nemnegatív egész számot kapunk. A megoldás pontossága érdekében azt az algoritmust használjuk, amely az a-t b-vel osztja maradékkal:

• keresse meg az osztó és az osztó moduljait;
• oszt modulo;
• írd fel a megadott szám ellentétét, és vonj ki 1-et;
• használja a képletet a maradékhoz d = a − b c .

Vegyünk egy példát egy olyan megoldásra, ahol ezt az algoritmust alkalmazzák.

6. példa

Keresse meg a hiányos hányadost és az osztás maradékát - 17 5-tel.

Megoldás

A megadott számokat elosztjuk modulo. Azt kapjuk, hogy osztáskor a hányados 3, a maradék pedig 2. Mivel 3-at kaptunk, az ellenkezője a 3. 1-et kell kivonni.

− 3 − 1 = − 4 .

A kívánt érték egyenlő -4.

A maradék kiszámításához a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , majd d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = szükséges. 3.

Ez azt jelenti, hogy az osztás hiányos hányadosa a - 4, a maradék pedig 3.

Válasz:(− 17) : 5 = − 4 (maradék 3).

7. példa

Osszuk el az 1404 negatív egész számot a pozitív 26-tal.

Megoldás

Oszloppal és modulussal kell osztani.

A számok moduljainak felosztását maradék nélkül megkaptuk. Ez azt jelenti, hogy az osztás maradék nélkül történik, és a kívánt hányados = -54.

Válasz: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Osztási szabály negatív egész számok maradékával, példák

Meg kell fogalmazni egy osztási szabályt a negatív egész számok maradékával.

3. definíció

Ahhoz, hogy egy a negatív egész számot egy b negatív egész számmal elosztva hiányos hányadost kapjunk, modulo számításokat kell végezni, amelyek után adjunk hozzá 1-et, majd a d = a − b · c képlettel számolhatunk.

Ebből következik, hogy a negatív egész számok osztásának hiányos hányadosa pozitív szám lesz.

Ezt a szabályt algoritmus formájában fogalmazzuk meg:

• keresse meg az osztó és az osztó moduljait;
• osztjuk az osztó modulusát az osztó modulusával, hogy hiányos hányadost kapjunk
• maradék;
• 1 hozzáadása a hiányos hányadoshoz;
• a maradék kiszámítása, a d = a − b c képlet alapján.

Tekintsük ezt az algoritmust egy példán keresztül.

8. példa

Határozzuk meg a hiányos hányadost és a maradékot, amikor -17-et osztunk 5-tel.

Megoldás

A megoldás helyessége érdekében a maradékkal való osztás algoritmusát alkalmazzuk. Először osszuk el a számokat modulo. Innen azt kapjuk, hogy a hiányos hányados \u003d 3, a maradék pedig 2. A szabály szerint össze kell adni a hiányos hányadost és az 1-et. Azt kapjuk, hogy 3 + 1 = 4 . Innen azt kapjuk, hogy a megadott számok elosztásából származó hiányos hányados 4.

A maradék kiszámításához a képletet alkalmazzuk. Feltétel szerint a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, akkor a képlet segítségével d \u003d a - b c \u003d - 17 - (-5) 4 \u003d - 17 - (- 20) = -17 + 20 = 3 . A kívánt válasz, vagyis a maradék 3, a hiányos hányados pedig 4.

Válasz:(− 17) : (− 5) = 4 (maradék 3).

Egész számok maradékkal való osztásának eredményének ellenőrzése

A számok maradékkal való osztása után ellenőrzést kell végezni. Ez az ellenőrzés 2 szakaszból áll. Először a d maradékot ellenőrizzük nem-negativitás szempontjából, a feltétel 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Nézzünk példákat.

9. példa

Gyártott részleg - 521 x - 12. A hányados 44, a maradék 7. Futtasson ellenőrzést.

Megoldás

Mivel a maradék egy pozitív szám, értéke kisebb, mint az osztó modulusa. Az osztó -12, tehát a modulusa 12. Továbbléphet a következő ellenőrzőponthoz.

Feltétel szerint a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7 . Innen számítjuk ki a b c + d értéket, ahol b c + d = − 12 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 . Ebből következik, hogy az egyenlőség igaz. Az ellenőrzés sikeres.

10. példa

Ellenőrző osztás (− 17): 5 = − 3 (maradék − 2). Igaz az egyenlőség?

Megoldás

Az első szakasz jelentése az, hogy ellenőrizni kell az egész számok osztását maradékkal. Ez azt mutatja, hogy a műveletet helytelenül hajtották végre, mivel a maradék értéke - 2. A maradék nem negatív szám.

Megállapítottuk, hogy a második feltétel teljesül, de erre az esetre nem elegendő.

Válasz: nem.

11. példa

A -19-es szám osztva -3-mal. A parciális hányados 7, a maradék pedig 1. Ellenőrizze, hogy ez a számítás helyes-e.

Megoldás

Adott a maradék 1. Ő pozitív. Az érték kisebb, mint az osztómodulé, ami azt jelenti, hogy az első szakasz végrehajtásra kerül. Térjünk át a második szakaszra.

Számítsuk ki a b · c + d kifejezés értékét. Feltétel szerint b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, ezért a számértékeket helyettesítve b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. Ebből következik, hogy az a = b · c + d egyenlőség nem teljesül, mivel a feltétel adott a = - 19 .

Ez azt jelenti, hogy a felosztás hibásan történt.

Válasz: nem.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Vegyünk egy egyszerű példát:
15:5=3
Ebben a példában elosztottuk a természetes számot 15-tel teljesen 3, nincs maradék.

Néha egy természetes szám nem osztható teljesen. Vegyük például a problémát:
16 játék volt a szekrényben. Öt gyerek volt a csoportban. Minden gyerek ugyanannyi játékot vett el. Hány játéka van minden gyereknek?

Megoldás:
Osszuk el a 16-ot 5-tel egy oszloppal, és kapjuk:

Tudjuk, hogy 16-szor 5 nem osztható. A legközelebbi kisebb szám, amely osztható 5-tel, 15, a maradék 1. A 15-ös számot felírhatjuk 5⋅3-nak. Ennek eredményeként (16 - osztalék, 5 - osztó, 3 - részleges hányados, 1 - maradék). Kapott képlet osztás maradékkal amit meg lehet tenni megoldás ellenőrzése.

a= b⋅ c+ d
a - osztható
b - elválasztó,
c - nem teljes hányados,
d - maradék.

Válasz: Minden gyerek 3 játékot visz el, és egy játék marad.

A hadosztály maradéka

A maradéknak mindig kisebbnek kell lennie, mint az osztó.

Ha osztásakor a maradék nulla, akkor az osztalék osztható. teljesen vagy osztónként nincs maradék.

Ha osztáskor a maradék nagyobb, mint az osztó, ez azt jelenti, hogy a talált szám nem a legnagyobb. Van egy nagyobb szám, amely elosztja az osztalékot, és a maradék kisebb lesz, mint az osztó.

Kérdések a „Megosztás a maradékkal” témában:
Lehet-e a maradék nagyobb, mint az osztó?
Válasz: nem.

A maradék egyenlő lehet az osztóval?
Válasz: nem.

Hogyan találjuk meg az osztalékot a hiányos hányadossal, osztóval és maradékkal?
Válasz: a hiányos hányados, osztó és maradék értékeit behelyettesítjük a képletbe, és megtaláljuk az osztalékot. Képlet:
a=b⋅c+d

1. példa:
Hajtsa végre az osztást maradékkal, és ellenőrizze: a) 258:7 b) 1873:8

Megoldás:
a) Oszd fel egy oszlopba:

258 - osztható,
7 - elválasztó,
36 - nem teljes hányados,
6 - maradék. A maradék kisebb, mint a 6. osztó<7.

7⋅36+6=252+6=258

b) Oszd fel egy oszlopba:

1873 - osztható,
8 - elválasztó,
234 - nem teljes hányados,
1 a maradék. A maradék kisebb, mint az 1. osztó<8.

Helyettesítse be a képletet, és ellenőrizze, hogy jól oldottuk-e meg a példát:
8⋅234+1=1872+1=1873

2. példa:
Milyen maradékokat kapunk természetes számok osztásakor: a) 3 b) 8?

Válasz:
a) A maradék kisebb, mint az osztó, ezért kisebb, mint 3. Esetünkben a maradék lehet 0, 1 vagy 2.
b) A maradék kisebb, mint az osztó, ezért kisebb, mint 8. Esetünkben a maradék lehet 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 vagy 7.

3. példa:
Mekkora a legnagyobb maradék, amelyet természetes számok osztásával kaphatunk: a) 9 b) 15?

Válasz:
a) A maradék kisebb, mint az osztó, ezért kisebb, mint 9. De meg kell jelölnünk a legnagyobb maradékot. Vagyis az osztóhoz legközelebbi szám. Ez a szám 8.
b) A maradék kisebb, mint az osztó, ezért kisebb, mint 15. De meg kell jelölnünk a legnagyobb maradékot. Vagyis az osztóhoz legközelebbi szám. Ez a szám 14.

4. példa:
Keresse meg az osztalékot: a) a: 6 \u003d 3 (rem. 4) b) c: 24 \u003d 4 (rem. 11)

Megoldás:
a) Oldja meg a következő képlettel:
a=b⋅c+d
(a az osztó, b az osztó, c a parciális hányados, d a maradék.)
a:6=3(rest.4)
(a az osztalék, 6 az osztó, 3 a hiányos hányados, 4 a maradék.) Helyettesítse be a képletben szereplő számokat:
a=6⋅3+4=22
Válasz: a=22

b) Oldja meg a következő képlettel:
a=b⋅c+d
(a az osztó, b az osztó, c a parciális hányados, d a maradék.)
s:24=4(rest.11)
(c az osztó, 24 az osztó, 4 a hiányos hányados, 11 a maradék.) Helyettesítsd be a képletben szereplő számokat:
c=24⋅4+11=107
Válasz: s=107

Egy feladat:

Vezeték 4m. 13 cm-es darabokra kell vágni. Hány darab lesz ebből?

Megoldás:
Először át kell konvertálnia a métereket centiméterekre.
4m = 400cm.
Oszthat egy oszloppal, vagy gondolatban a következőket kapjuk:
400:13=30 (többi 10)
Nézzük meg:
13⋅30+10=390+10=400

Válasz: 30 darab fog kijönni és 10 cm drót marad.

A számok oszthatóságának jelei- ezek olyan szabályok, amelyek lehetővé teszik, hogy osztás nélkül viszonylag gyorsan kiderüljön, hogy ez a szám osztható-e egy adott eggyel maradék nélkül.
Néhány az oszthatóság jelei elég egyszerű, néhány nehezebb. Ezen az oldalon megtalálja a prímszámok oszthatóságának jeleit, mint például a 2, 3, 5, 7, 11, és az összetett számok oszthatóságának jeleit, mint például a 6 vagy 12.
Remélem, ez az információ hasznos lesz az Ön számára.
Boldog tanulást!

2-vel oszthatóság jele

Ez az oszthatóság egyik legegyszerűbb jele. Ez így hangzik: ha egy természetes szám rekordja páros számjegyre végződik, akkor az páros (maradék nélkül osztva 2-vel), és ha egy szám rekordja páratlan számjegyre végződik, akkor ez a szám páratlan.
Más szóval, ha egy szám utolsó számjegye 2 , 4 , 6 , 8 vagy 0 - a szám osztható 2-vel, ha nem, akkor nem osztható
Például számok: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 oszthatók 2-vel, mert párosak.
A számok: 23 5 , 137 , 2303
nem oszthatók 2-vel, mert páratlanok.

3-mal oszthatóság jele

Ennek az oszthatósági jelnek egészen más szabályai vannak: ha egy szám számjegyeinek összege osztható 3-mal, akkor a szám is osztható 3-mal; Ha egy szám számjegyeinek összege nem osztható 3-mal, akkor a szám nem osztható 3-mal.
Tehát annak megértéséhez, hogy egy szám osztható-e 3-mal, csak össze kell adni az azt alkotó számokat.
Így néz ki: 3987 és 141 osztva 3-mal, mert az első esetben 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - maradék nélkül osztható 3-mal), a másodikban pedig 1+4+1= 6 (6:3=2 - osztható 3-mal is maradék nélkül).
De a számok: 235 és 566 nem oszthatók 3-mal, mert 2+3+5= 10 és 5+6+6= 17 (és tudjuk, hogy sem 10, sem 17 nem osztható 3-mal maradék nélkül).

Oszthatóság 4 előjellel

Ez az oszthatósági teszt bonyolultabb lesz. Ha a szám utolsó 2 jegye 4-gyel osztható számot alkot, vagy 00, akkor a szám osztható 4-gyel, ellenkező esetben ez a szám nem osztható 4-gyel maradék nélkül.
Például: 1 00 és 3 64 oszthatóak 4-gyel, mert az első esetben a szám -ra végződik 00 , és a másodikban 64 , ami viszont maradék nélkül osztható 4-gyel (64:4=16)
Számok 3 57 és 8 86 nem oszthatók 4-gyel, mert egyik sem 57 se 86 nem oszthatók 4-gyel, ezért nem felelnek meg ennek az oszthatósági kritériumnak.

Az 5-tel oszthatóság jele

És ismét van egy meglehetősen egyszerű oszthatósági jelünk: ha egy természetes szám rekordja 0 vagy 5 számjegyre végződik, akkor ez a szám maradék nélkül osztható 5-tel. Ha a szám rekordja más számjeggyel végződik, akkor a maradék nélküli szám nem osztható 5-tel.
Ez azt jelenti, hogy minden számjegyre végződő szám 0 és 5 például 1235 5 és 43 0 , a szabály hatálya alá tartoznak, és oszthatók 5-tel.
És például 1549 3 és 56 4 ne végződjenek 5-re vagy 0-ra, ami azt jelenti, hogy nem oszthatók 5-tel maradék nélkül.

6-tal oszthatóság jele

Előttünk áll egy összetett 6-os szám, amely a 2 és 3 szorzata. Ezért a 6-tal való oszthatóság jele is összetett: ahhoz, hogy egy szám osztható legyen 6-tal, két oszthatósági jelnek kell megfelelnie. ugyanakkor: a 2-vel oszthatóság előjele és a 3-mal való oszthatóság előjele. Ugyanakkor vegye figyelembe, hogy az olyan összetett számnak, mint a 4, van egyéni oszthatósági előjele, mert önmagában a 2-es szám szorzata. . De térjünk vissza a 6-tal osztható teszthez.
A 138 és 474 számok párosak és megfelelnek a 3-mal osztható jeleknek (1+3+8=12, 12:3=4 és 4+7+4=15, 15:3=5), ami azt jelenti, hogy osztható 6-tal. De 123 és 447, bár oszthatók 3-mal (1+2+3=6, 6:3=2 és 4+4+7=15, 15:3=5), de páratlanok, és ezért nem felelnek meg a 2-vel oszthatóság kritériumának, ezért nem felelnek meg a 6-tal oszthatóság kritériumának.

7-tel oszthatóság jele

Ez az oszthatósági feltétel összetettebb: egy szám osztható 7-tel, ha ennek a számnak a tízes számából a megkettőzött utolsó számjegyet kivonjuk 7-tel, vagy egyenlő 0-val.
Elég zavaróan hangzik, de a gyakorlatban egyszerű. Nézd meg magad: szám 95 A 9 osztható 7-tel, mert 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 maradék nélkül osztható 7-tel). Sőt, ha nehézségek adódnak az átalakítások során kapott számmal (a mérete miatt nehéz megérteni, hogy osztható-e 7-tel vagy sem, akkor ezt az eljárást annyiszor folytathatjuk, ahányszor jónak látjuk).
Például, 45 5 és 4580 1-nek vannak 7-tel osztható jelei. Az első esetben minden nagyon egyszerű: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. A második esetben ezt tesszük: 4580 -2*1=4580-2=4578. Nehéz megértenünk, hogy vajon 457 8:7, tehát ismételjük meg a folyamatot: 457 -2*8=457-16=441. És ismét az oszthatóság jelét fogjuk használni, hiszen még mindig van előttünk egy háromjegyű szám 44 1. Szóval, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, azaz. A 42 maradék nélkül osztható 7-tel, ami azt jelenti, hogy a 45801 is osztható 7-tel.
És itt vannak a számok 11 1 és 34 Az 5 nem osztható 7-tel, mert 11 -2*1=11-2=9 (9 nem osztható egyenletesen 7-tel) és 34 -2*5=34-10=24 (a 24 nem osztható egyenletesen 7-tel).

8-cal való oszthatóság jele

A 8-cal való oszthatóság jele így hangzik: ha az utolsó 3 számjegy 8-cal osztható számot alkot, vagy 000, akkor az adott szám osztható 8-cal.
Számok 1 000 vagy 1 088 osztható 8-cal: az első végződik 000 , a második 88 :8=11 (osztható 8-cal maradék nélkül).
És itt vannak az 1-es számok 100 vagy 4 757 nem oszthatók 8-cal, mert a számok 100 és 757 maradék nélkül nem osztható 8-cal.

9-cel oszthatóság jele

Ez az oszthatósági jel hasonló a 3-mal való oszthatóság jeléhez: ha egy szám számjegyeinek összege osztható 9-cel, akkor a szám osztható 9-cel is; Ha egy szám számjegyeinek összege nem osztható 9-cel, akkor a szám nem osztható 9-cel.
Például: 3987 és 144 osztható 9-cel, mert az első esetben 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - maradék nélkül osztható 9-cel), a másodikban pedig 1+4+4= 9 (9:9=1 - maradék nélkül is osztható 9-cel).
De a számok: 235 és 141 nem oszthatók 9-cel, mert 2+3+5= 10 és 1+4+1= 6 (és tudjuk, hogy sem 10, sem 6 nem osztható 9-cel maradék nélkül).

A 10, 100, 1000 és egyéb bitegységekkel való oszthatóság jelei

Ezeket az oszthatósági feltételeket azért kombináltam, mert ugyanúgy leírhatók: egy szám akkor osztható bitegységgel, ha a szám végén lévő nullák száma nagyobb vagy egyenlő, mint egy adott bitegység nulláinak száma.
Más szavakkal, például ilyen számaink vannak: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . amelyek mindegyike osztható 1-gyel 0 ; 46400 és 867 000 szintén oszthatóak 1-gyel 00 ; és csak egy közülük - 867 000 osztható 1-gyel 000 .
A bitegységnél kisebb nullára végződő számok nem oszthatók ezzel a bitegységgel, például 600 30 és 7 93 ne oszd meg 1 00 .

11-gyel osztható jel

Annak megállapításához, hogy egy szám osztható-e 11-gyel, meg kell kapnia a különbséget a szám páros és páratlan számjegyeinek összege között. Ha ez a különbség egyenlő 0-val, vagy osztható 11-gyel maradék nélkül, akkor maga a szám osztható 11-gyel maradék nélkül.
Az érthetőség kedvéért példákat javaslok: 2 35 A 4 osztható 11-gyel, mert ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 A 4 is osztható 11-gyel, mert ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
És itt van az 1 1 1 ill 4 35 A 4 nem osztható 11-gyel, mivel az első esetben (1 + 1) - 1 =1, a másodikban pedig ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

12-vel osztható jel

A 12-es szám összetett. Oszthatósági jele a 3-mal és egyben 4-gyel való oszthatóság jeleinek való megfelelés.
Például a 300 és a 636 megfelel mind a 4-gyel osztható előjeleknek (az utolsó 2 számjegy nulla vagy osztható 4-gyel), mind a 3-mal osztható előjeleknek (a számjegyek, valamint az első és második szám összege el van osztva 3-mal ), ezért maradék nélkül oszthatók 12-vel.
De 200 vagy 630 nem osztható 12-vel, mert az első esetben a szám csak a 4-gyel való oszthatóság jelének felel meg, a másodikban pedig csak a 3-mal való oszthatóság jelének. De nem mindkét jel egyidejűleg.

13-mal osztható jel

A 13-mal való oszthatóság jele, hogy ha egy szám tízeseinek száma, e szám egységeihez 4-gyel szorozva, 13 többszöröse vagy egyenlő 0-val, akkor maga a szám osztható 13-mal.
Vegyük például 70 2. Szóval 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 egyenlően osztható 13-mal), tehát 70 A 2 maradék nélkül osztható 13-mal. Egy másik példa a szám 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. A 130-as szám maradék nélkül osztható 13-mal, ami azt jelenti, hogy az adott szám megfelel a 13-mal való oszthatóság jelének.
Ha a számokat vesszük 12 5 vagy 21 2, akkor megkapjuk 12 +4*5=32 és 21 +4*2=29, illetve sem 32, sem 29 nem osztható 13-mal maradék nélkül, ami azt jelenti, hogy a megadott számok nem oszthatók 13-mal maradék nélkül.

A számok oszthatósága

Amint az a fentiekből látható, feltételezhető, hogy a természetes számok bármelyike ​​megfeleltethető a saját egyéni oszthatósági jelével vagy egy "összetett" előjellel, ha a szám több különböző szám többszöröse. De a gyakorlat azt mutatja, hogy alapvetően minél nagyobb a szám, annál összetettebb a jellemzője. Talán az oszthatósági feltétel ellenőrzésére fordított idő egyenlő vagy nagyobb, mint maga az osztás. Ezért általában a legegyszerűbb oszthatósági teszteket használjuk.