Vpísané a opísané kruhy. Veta: Kruh môže byť vpísaný do akéhokoľvek trojuholníka

Definícia 2

Mnohouholník, ktorý spĺňa podmienku z definície 1, je vpísaný okolo kruhu.

Obrázok 1. Vpísaný kruh

Veta 1 (o kruhu vpísanom do trojuholníka)

Veta 1

Do akéhokoľvek trojuholníka môžete vpísať kruh a navyše iba jeden.

Dôkaz.

Zvážte trojuholník $ABC$. Nakreslite do nej osi, ktoré sa pretínajú v bode $O$ a z nej nakreslite kolmice na strany trojuholníka (obr. 2).

Obrázok 2. Ilustrácia 1. vety

Existencia: Nakreslite kružnicu so stredom $O$ a polomerom $OK.\ $Keďže bod $O$ leží na troch osiach, je rovnako vzdialený od strán trojuholníka $ABC$. To znamená $OM=OK=OL$. Následne zostrojená kružnica prechádza aj bodmi $M\ a\ L$. Pretože $OM,OK\ a\ OL$ sú kolmé na strany trojuholníka, potom pomocou vety dotyčnice ku kružnici sa zostrojená kružnica dotýka všetkých troch strán trojuholníka. Preto na základe svojvoľnosti trojuholníka môže byť kruh vpísaný do akéhokoľvek trojuholníka.

Jedinečnosť: Predpokladajme, že trojuholník $ABC$ môže byť vpísaný inou kružnicou so stredom v bode $O"$. Jeho stred je rovnako vzdialený od strán trojuholníka, a preto sa zhoduje s bodom $O$ a má polomer rovný dĺžke $OK$ Ale potom sa tento kruh bude zhodovať s prvým.

Veta bola dokázaná.

Dôsledok 1: Stred kruhu vpísaného do trojuholníka leží v priesečníku jeho priesečníkov.

Tu je niekoľko ďalších faktov súvisiacich s konceptom vpísaného kruhu:

Nie každý štvoruholník môže byť vpísaný do kruhu.

V každom opísanom štvoruholníku sú súčty protiľahlých strán rovnaké.

Ak sú súčty protiľahlých strán konvexného štvoruholníka rovnaké, potom je možné do neho vpísať kruh.

Definícia 3

Ak všetky vrcholy mnohouholníka ležia na kružnici, potom sa kružnica nazýva opísaná v blízkosti mnohouholníka (obr. 3).

Definícia 4

Mnohouholník, ktorý spĺňa podmienku definície 2, sa nazýva vpísaný do kruhu.

Obrázok 3. Opísaná kružnica

Veta 2 (o kružnici opísanej trojuholníku)

Veta 2

V blízkosti akéhokoľvek trojuholníka je možné opísať kruh a navyše iba jeden.

Dôkaz.

Zvážte trojuholník $ABC$. Narysujme do nej stredodvislice pretínajúce sa v bode $O$ a spojíme s vrcholmi trojuholníka (obr. 4)

Obrázok 4. Ilustrácia 2. vety

Existencia: Zostrojme kružnicu so stredom $O$ a polomerom $OC$. Bod $O$ je rovnako vzdialený od vrcholov trojuholníka, t.j. $OA=OB=OC$. Následne zostrojená kružnica prechádza všetkými vrcholmi daného trojuholníka, čo znamená, že je opísaná okolo tohto trojuholníka.

Jedinečnosť: Predpokladajme, že okolo trojuholníka $ABC$ môže byť opísaná ešte jedna kružnica so stredom v bode $O"$. Jeho stred je rovnako vzdialený od vrcholov trojuholníka, a preto sa zhoduje s bodom $O$ a má polomer rovný dĺžke $OC $ Ale potom sa tento kruh bude zhodovať s prvým.

Veta bola dokázaná.

Dôsledok 1: Stred kružnice opísanej trojuholníku sa zhoduje s priesečníkom jeho odvesničiek.

Tu je niekoľko ďalších faktov súvisiacich s konceptom ohraničeného kruhu:

Nie vždy je možné opísať kruh okolo štvoruholníka.

V každom zapísanom štvoruholníku sa súčet opačných uhlov rovná $(180)^0$.

Ak je súčet opačných uhlov štvoruholníka $(180)^0$, potom je možné okolo neho opísať kružnicu.

Príklad úlohy na pojmoch vpísaná a opísaná kružnica

Príklad 1

V rovnoramennom trojuholníku je základňa 8 cm, strana 5 cm Nájdite polomer vpísanej kružnice.

Riešenie.

Zvážte trojuholník $ABC$. Dôsledkom 1 vieme, že stred vpísanej kružnice leží v priesečníku priesečníkov. Nakreslíme osi $AK$ a $BM$, ktoré sa pretínajú v bode $O$. Nakreslite kolmicu $OH$ z bodu $O$ na stranu $BC$. Nakreslíme obrázok:

Obrázok 5

Keďže trojuholník je rovnoramenný, $BM$ je stred aj nadmorská výška. Podľa Pytagorovej vety $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=3$. $OM=OH=r$ -- požadovaný polomer vpísanej kružnice. Pretože $MC$ a $CH$ sú segmenty pretínajúcich sa dotyčníc, podľa vety o pretínajúcej sa dotyčnici máme $CH=MC=4\ cm$. Preto $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. Z trojuholníka $OHB$ podľa Pytagorovej vety dostaneme:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

odpoveď:$\frac(4)(3)$.

Definícia 2

Mnohouholník, ktorý spĺňa podmienku z definície 1, je vpísaný okolo kruhu.

Obrázok 1. Vpísaný kruh

Veta 1 (o kruhu vpísanom do trojuholníka)

Veta 1

Do akéhokoľvek trojuholníka môžete vpísať kruh a navyše iba jeden.

Dôkaz.

Zvážte trojuholník $ABC$. Nakreslite do nej osi, ktoré sa pretínajú v bode $O$ a z nej nakreslite kolmice na strany trojuholníka (obr. 2).

Obrázok 2. Ilustrácia 1. vety

Veta bola dokázaná.

Dôsledok 1: Stred kruhu vpísaného do trojuholníka leží v priesečníku jeho priesečníkov.

Tu je niekoľko ďalších faktov súvisiacich s konceptom vpísaného kruhu:

Nie každý štvoruholník môže byť vpísaný do kruhu.

V každom opísanom štvoruholníku sú súčty protiľahlých strán rovnaké.

Ak sú súčty protiľahlých strán konvexného štvoruholníka rovnaké, potom je možné do neho vpísať kruh.

Definícia 3

Ak všetky vrcholy mnohouholníka ležia na kružnici, potom sa kružnica nazýva opísaná v blízkosti mnohouholníka (obr. 3).

Definícia 4

Mnohouholník, ktorý spĺňa podmienku definície 2, sa nazýva vpísaný do kruhu.

Obrázok 3. Opísaná kružnica

Veta 2 (o kružnici opísanej trojuholníku)

Veta 2

V blízkosti akéhokoľvek trojuholníka je možné opísať kruh a navyše iba jeden.

Dôkaz.

Zvážte trojuholník $ABC$. Narysujme do nej stredodvislice pretínajúce sa v bode $O$ a spojíme s vrcholmi trojuholníka (obr. 4)

Obrázok 4. Ilustrácia 2. vety

Veta bola dokázaná.

Dôsledok 1: Stred kružnice opísanej trojuholníku sa zhoduje s priesečníkom jeho odvesničiek.

Tu je niekoľko ďalších faktov súvisiacich s konceptom ohraničeného kruhu:

Nie vždy je možné opísať kruh okolo štvoruholníka.

V každom zapísanom štvoruholníku sa súčet opačných uhlov rovná $(180)^0$.

Ak je súčet opačných uhlov štvoruholníka $(180)^0$, potom je možné okolo neho opísať kružnicu.

Príklad úlohy na pojmoch vpísaná a opísaná kružnica

Príklad 1

V rovnoramennom trojuholníku je základňa 8 cm, strana 5 cm Nájdite polomer vpísanej kružnice.

Riešenie.

Obrázok 5

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

odpoveď:$\frac(4)(3)$.

Dôkazy viet o vlastnostiach kružnice opísanej trojuholníku

Stred kolmo na segment

Definícia 1. Stred kolmo na segment nazývaná priamka kolmá na tento segment a prechádzajúca jeho stredom (obr. 1).

Veta 1. Každý bod kolmice na úsečku je v rovnakej vzdialenosti od koncov tento segment.

Dôkaz . Uvažujme ľubovoľný bod D ležiaci na kolmici na úsečku AB (obr. 2) a dokážte, že trojuholníky ADC a BDC sú rovnaké.

V skutočnosti sú tieto trojuholníky pravouhlé trojuholníky, ktorých nohy AC a BC sú rovnaké, zatiaľ čo nohy DC sú spoločné. Z rovnosti trojuholníkov ADC a BDC vyplýva rovnosť úsečiek AD a DB. Veta 1 je dokázaná.

Veta 2 (obrátená k vete 1). Ak je bod v rovnakej vzdialenosti od koncov úsečky, potom leží na kolmici na túto úsečku.

Dôkaz . Dokážme vetu 2 metódou „protirečením“. Na tento účel predpokladajme, že nejaký bod E je v rovnakej vzdialenosti od koncov úsečky, ale neleží na kolmici na túto úsečku. Dostaňme tento predpoklad do rozporu. Zoberme si najprv prípad, keď body E a A ležia na opačných stranách odvesnice (obr. 3). V tomto prípade úsečka EA v určitom bode pretína odvesnicu, ktorú označíme písmenom D.

Dokážme, že segment AE je dlhší ako segment EB. naozaj,

Teda v prípade, keď body E a A ležia na opačných stranách odvesny, dostali sme rozpor.

Teraz zvážte prípad, keď body E a A ležia na rovnakej strane odvesny (obr. 4). Dokážme, že segment EB je dlhší ako segment AE. naozaj,

Výsledný rozpor dopĺňa dôkaz vety 2

Kružnica opísaná trojuholníku

Definícia 2. Kruh opísaný trojuholníku, nazvime kružnicu prechádzajúcu všetkými tromi vrcholmi trojuholníka (obr. 5). V tomto prípade sa nazýva trojuholník trojuholník vpísaný do kruhu alebo vpísaný trojuholník.

Vlastnosti kružnice opísanej trojuholníku. Sínusová veta

Obrázok	Obrázok	Nehnuteľnosť
Stredodvislice do strán trojuholníka		pretínajú v jednom bode .

centrum opísaný okolo ostrého trojuholníka kruhu		Centrum popísané o ostrý uhlový vnútri trojuholník.
centrum kružnica opísaná okolo pravouhlého trojuholníka		Stred popísaného o pravouhlý stred prepony .
centrum opísaný okolo tupého trojuholníka kruhu		Centrum popísané o tupý kruh trojuholník leží vonku trojuholník.
		,
Oblasť trojuholník		S= 2R 2 hriech A hriech B hriech C ,
Polomer opísanej kružnice		Pre každý trojuholník platí rovnosť:

Stredodvislice na strany trojuholníka

Všetky kolmé osi nakreslené na strany ľubovoľného trojuholníka, pretínajú v jednom bode .

Kružnica opísaná trojuholníku

Akýkoľvek trojuholník môže byť opísaný kružnicou. . Stred kružnice opísanej trojuholníku je bod, v ktorom sa pretínajú všetky odvesny nakreslené na strany trojuholníka.

Stred kružnice opísanej okolo ostrého trojuholníka

Centrum popísané o ostrý uhlový kruh trojuholník leží vnútri trojuholník.

Stred kružnice opísanej okolo pravouhlého trojuholníka

Stred popísaného o pravouhlý kruhový trojuholník je stred prepony .

Stred kružnice opísanej okolo tupého trojuholníka

Centrum popísané o tupý kruh trojuholník leží vonku trojuholník.

Pre každý trojuholník platia rovnosti (sínusová veta):

kde a, b, c sú strany trojuholníka, A, B, C sú uhly trojuholníka, R je polomer kružnice opísanej.

Oblasť trojuholníka

Pre každý trojuholník platí rovnosť:

S= 2R 2 hriech A hriech B hriech C ,

kde A, B, C sú uhly trojuholníka, S je plocha trojuholníka, R je polomer opísanej kružnice.

Polomer opísanej kružnice

Pre každý trojuholník platí rovnosť:

kde a, b, c sú strany trojuholníka, S je plocha trojuholníka, R je polomer opísanej kružnice.

Dôkazy viet o vlastnostiach kružnice opísanej trojuholníku

Veta 3. Všetky stredové kolmice nakreslené na strany ľubovoľného trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.

Dôkaz . Uvažujme dve odvesny nakreslené na strany AC a AB trojuholníka ABC a označme ich priesečník písmenom O (obr. 6).

Keďže bod O leží na kolmici na úsečku AC, potom na základe vety 1 platí rovnosť.

A týka sa to všetkých jej aspektov.

Encyklopedický YouTube

1 / 5
Vlastnosti vpísaného kruhu:
r = (- a + b + c) (a - b + c) (a + b - c) 4 (a + b + c); (\displaystyle r=(\sqrt (\frac ((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))(4(a+b+c))));) 1 r = 1 ha + 1 hb + 1 hc (\displaystyle (\frac (1)(r))=(\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b) ))+(\frac (1)(h_(c))))
kde a , b , c (\displaystyle a,b,c)- strany trojuholníka h a , h b , h c (\displaystyle h_(a),h_(b),h_(c))- výšky nakreslené na príslušné strany;
r = S p = (p − a) (p − b) (p − c) p (\displaystyle r=(\frac (S)(p))=(\sqrt (\frac ((pa)(pb) (pc)) (p))))
Kde S (\displaystyle S) je plocha trojuholníka a p (\displaystyle p) je jeho semiperimeter.
- Ak A B (\displaystyle AB)- základňa rovnoramenného trojuholníka, potom kružnica dotýkajúca sa strán uhla ∠ A C B (\displaystyle \uhol ACB) v bodoch A (\displaystyle A) A B (\displaystyle B), prechádza stredom vpísanej kružnice trojuholníka △ A B C (\displaystyle \trojuholník ABC).
- Eulerova veta: R 2 - 2 R r = | O I | 2 (\displaystyle R^(2)-2Rr=|OI|^(2)), kde R (\displaystyle R) je polomer kružnice opísanej okolo trojuholníka, r (\displaystyle r) je polomer kruhu, ktorý je v ňom vpísaný, O (\displaystyle O)- stred opísanej kružnice, Ja (\displaystyle I)- stred vpísanej kružnice.
- Ak priamka prechádzajúca bodom I rovnobežná so stranou AB pretína strany BC a CA v bodoch A 1 a B 1 , potom A 1 B 1 = A 1 B + A B 1 (\displaystyle A_(1)B_(1)=A_(1)B+AB_(1)).
- Ak sú dotykové body vpísaného trojuholníka T (\displaystyle T) spojte kruhy s úsečkami, potom dostanete trojuholník T 1 s vlastnosťami:
  - Osy T sú stredové kolmice T1
  - Nech T 2 je ortotrojuholník T 1 . Potom sú jeho strany rovnobežné so stranami pôvodného trojuholníka T.
  - Nech T 3 je stredný trojuholník T 1 . Potom osy T sú výšky T 3 .
  - Nech T 4 je ortotrojuholník T 3 , potom osy T sú osy T 4 .
- Polomer kružnice vpísanej do pravouhlého trojuholníka s nohami a, b a preponou c je a + b − c 2 (\displaystyle (\frac (a+b-c)(2))).
- Vzdialenosť od vrcholu C trojuholníka k bodu, kde sa vpísaná kružnica dotýka strany je d = a + b − c 2 = p − c (\displaystyle d=(\frac (a+b-c)(2))=p-c).
- Vzdialenosť od vrcholu C k stredu vpísanej kružnice je l c = r sin ⁡ (γ 2) (\displaystyle l_(c)=(\frac (r)(\sin((\frac (\gamma )(2)))))), kde r je polomer vpísanej kružnice a γ je uhol vrcholu C.
- Vzdialenosť od vrcholu C k stredu vpísanej kružnice sa dá zistiť aj pomocou vzorcov l c = (p − c) 2 + r 2 (\displaystyle l_(c)=(\sqrt ((p-c)^(2)+r^(2)))) A l c = a b − 4 R r (\displaystyle l_(c)=(\sqrt (ab-4Rr)))
- Veta o trojzubci resp teorém trojlístka: Ak D- priesečník osi uhla A s opísanou kružnicou trojuholníka ABC, ja A J- stredy vpísanej a exkruhovej dotyčnice k strane pred Kr, potom | D I | = | D B | = | D C | = | D J | (\displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|).
- Verrierova lemma: nechajte kruh V (\displaystyle V) sa týka strán A B (\displaystyle AB), A C (\displaystyle AC) a oblúky B C (\displaystyle BC) opísaná kružnica trojuholníka. Potom dotykové body kružnice V (\displaystyle V) so stranami a stredom vpísaným kruhovým trojuholníkom A B C (\displaystyle ABC) ležať na rovnakej čiare.
- Feuerbachova veta. Kruh deväť bodov sa dotýka všetkých troch kruhy, ako aj vpísaný kruh. bod dotyku kruh Euler A vpísaný kruh známy ako Feuerbachov bod.
Vzťah vpísanej kružnice k kružnici opísanej

R R = 4 S 2 p a b c = cos ⁡ α + cos ⁡ β + cos ⁡ γ − 1 ; (\displaystyle (\frac (r)(R))=(\frac (4S^(2))(pabc))=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;)
Odporúčame tiež