Tabuľka vzorcov oblastí objemových čísel. Ako nájsť oblasť tvaru? Obdĺžniková alebo štvorcová izba

Plocha geometrického útvaru- číselná charakteristika geometrického útvaru znázorňujúca veľkosť tohto útvaru (časť plochy ohraničená uzavretým obrysom tohto útvaru). Veľkosť plochy je vyjadrená počtom v nej obsiahnutých štvorcových jednotiek.

Plošné vzorce pre trojuholník

Vzorec pre oblasť trojuholníka podľa strany a výšky
Oblasť trojuholníka rovná polovici súčinu dĺžky strany trojuholníka a dĺžky výšky nakreslenej na túto stranu
Vzorec pre oblasť trojuholníka na troch stranách a polomer opísanej kružnice
Vzorec pre oblasť trojuholníka na troch stranách a polomer vpísanej kružnice
Oblasť trojuholníka sa rovná súčinu polovice obvodu trojuholníka a polomeru vpísanej kružnice.

Oblasť štvorcových vzorcov

Vzorec pre plochu štvorca dĺžkou strany
Štvorcová plocha sa rovná štvorcu dĺžky jeho strany.
Vzorec pre plochu štvorca dĺžkou uhlopriečky
Štvorcová plocha sa rovná polovici druhej mocniny dĺžky jej uhlopriečky.
S = 1 2
2

Vzorec pre oblasť obdĺžnika

Oblasť obdĺžnika

Vzorce oblasti rovnobežníka

Vzorec pre oblasť rovnobežníka z hľadiska dĺžky a výšky strany
Plocha rovnobežníka
Vzorec pre oblasť rovnobežníka na dvoch stranách a uhol medzi nimi
Plocha rovnobežníka rovná súčinu dĺžok jeho strán vynásobených sínusom uhla medzi nimi.
a b sin α

Vzorce oblasti kosoštvorca

Vzorec pre oblasť kosoštvorca podľa dĺžky a výšky strany
Oblasť kosoštvorca sa rovná súčinu dĺžky jeho strany a dĺžky výšky zníženej na túto stranu.
Vzorec pre oblasť kosoštvorca podľa dĺžky strany a uhla
Oblasť kosoštvorca sa rovná súčinu druhej mocniny dĺžky jeho strany a sínusu uhla medzi stranami kosoštvorca.
Vzorec pre oblasť kosoštvorca podľa dĺžok jeho uhlopriečok
Oblasť kosoštvorca sa rovná polovici súčinu dĺžok jej uhlopriečok.

Plošné vzorce pre lichobežník

Heronov vzorec pre lichobežník
Kde S je oblasť lichobežníka,
- dĺžka základov lichobežníka,
- dĺžka bočných strán lichobežníka,

Ako nájsť oblasť tvaru?

Poznať a vedieť vypočítať plochy rôznych tvarov je potrebné nielen pri riešení jednoduchých geometrických úloh. Bez týchto vedomostí sa nemôžete obísť pri zostavovaní alebo kontrole odhadov na opravu priestorov a výpočte množstva potrebného spotrebného materiálu. Poďme teda zistiť, ako nájsť oblasti rôznych tvarov.

Časť roviny uzavretá v uzavretom obryse sa nazýva oblasť tejto roviny. Plocha je vyjadrená počtom štvorcových jednotiek v nej uzavretých.

Na výpočet plochy základných geometrických tvarov musíte použiť správny vzorec.

Oblasť trojuholníka

Legenda:

Ak sú známe h, a, potom sa plocha požadovaného trojuholníka určí ako súčin dĺžok strany a výšky trojuholníka zníženej na túto stranu, rozdelených na polovicu: S = (a h) / 2
Ak sú známe a, b, c, potom sa požadovaná plocha vypočíta podľa Heronovho vzorca: druhá odmocnina získaná zo súčinu polovice obvodu trojuholníka a troch rozdielov polovice obvodu a každej strany trojuholníka: S = √ (p (p - a) (p - b) (p - c)).
Ak sú známe a, b, γ, potom sa plocha trojuholníka určí ako polovica súčinu 2 strán, vynásobená hodnotou sínusu uhla medzi týmito stranami: S = (ab sin γ) / 2
Ak sú známe a, b, c, R, potom sa požadovaná plocha určí ako delenie súčinu dĺžok všetkých strán trojuholníka štyrmi polomermi kružnice opísanej: S = (a b c) / 4R
Ak sú známe p, r, potom sa požadovaná plocha trojuholníka určí vynásobením polovice obvodu polomerom vpísanej kružnice: S = p r

Štvorcová plocha

Legenda:

Ak je strana známa, potom sa plocha tohto obrázku určí ako druhá mocnina dĺžky jeho strany: S = a 2
Ak je známe d, potom sa plocha štvorca určí ako polovica štvorca dĺžky jeho uhlopriečky: S = d 2/2

Oblasť obdĺžnika

Legenda:

S - určená oblasť,
a, b - dĺžky strán obdĺžnika.

Ak sú známe a, b, potom je plocha daného obdĺžnika určená súčinom dĺžok jeho dvoch strán: S = a b
Ak sú dĺžky strán neznáme, potom musí byť oblasť obdĺžnika rozdelená na trojuholníky. V tomto prípade je plocha obdĺžnika definovaná ako súčet plôch trojuholníkov, z ktorých sa skladá.

Plocha rovnobežníka

Legenda:

S je požadovaná oblasť,
a, b - dĺžky strán,
h je dĺžka výšky tohto rovnobežníka,
d1, d2 - dĺžky dvoch uhlopriečok,
α je uhol medzi stranami,
γ je uhol medzi uhlopriečkami.

Ak sú známe a, h, potom sa požadovaná plocha určí vynásobením dĺžok strany a výšky zníženej na túto stranu: S = a h
Ak sú známe a, b, α, potom sa plocha rovnobežníka určí vynásobením dĺžok strán rovnobežníka a hodnoty sínusu uhla medzi týmito stranami: S = a b sin α
Ak sú známe d 1, d 2, γ, potom sa plocha rovnobežníka určí ako polovica súčinu dĺžok uhlopriečok a hodnoty sínusu uhla medzi týmito uhlopriečkami: S = (d 1 d 2 sinγ) / 2

Oblasť kosoštvorca

Legenda:

S je požadovaná oblasť,
a - dĺžka strany,
h - výška dĺžka,
α - menší uhol medzi dvoma stranami,
d1, d2 - dĺžky dvoch uhlopriečok.

Ak sú známe a, h, potom sa plocha kosoštvorca určí vynásobením dĺžky strany dĺžkou výšky, ktorá je znížená na túto stranu: S = a h
Ak sú známe a, α, potom sa plocha kosoštvorca určí vynásobením druhej mocniny dĺžky strany sínusom uhla medzi stranami: S = a 2 sin α
Ak sú známe d 1 a d 2, potom sa požadovaná plocha určí ako polovica súčinu dĺžok uhlopriečok kosoštvorca: S = (d 1 d 2) / 2

Oblasť trapézu

Legenda:

Ak sú známe a, b, c, d, potom požadovaná plocha je určená vzorcom: S = (a + b) / 2 * √.
Pri známych a, b, h sa požadovaná plocha určí ako súčin polovice súčtu základní a výšky lichobežníka: S = (a + b) / 2 h

Oblasť konvexného štvoruholníka

Legenda:

Ak sú známe d 1, d 2, α, potom sa plocha konvexného štvoruholníka určí ako polovica súčinu uhlopriečok štvoruholníka vynásobená hodnotou sínusu uhla medzi týmito uhlopriečkami: S = ( d 1 d 2 hriech α) / 2
Pre známe p, r je plocha konvexného štvoruholníka definovaná ako súčin polovice obvodu štvoruholníka a polomeru kružnice vpísanej do tohto štvoruholníka: S = p r
Ak sú známe a, b, c, d, θ, potom sa plocha konvexného štvoruholníka určí ako druhá odmocnina súčinov rozdielu polovice obvodu a dĺžky každej strany mínus súčin dĺžky všetkých strán a druhá mocnina kosínusu polovice súčtu dvoch protiľahlých uhlov: S 2 = (p - a ) (p - b) (p - c) (p - d) - abcd cos 2 ((α + β) / 2)

Oblasť kruhu

Legenda:

Ak je známe r, potom požadovaná plocha je určená ako súčin π druhou mocninou polomeru: S = π r 2

Ak je známe d, potom je plocha kruhu definovaná ako súčin čísla π druhou mocninou priemeru, delený štyrmi: S = (π d 2) / 4

Oblasť komplexnej postavy

Zložitý sa dá rozložiť na jednoduché geometrické tvary. Plocha komplexného útvaru je definovaná ako súčet alebo rozdiel jednotlivých oblastí. Predstavte si napríklad prsteň.

Označenie:

S je oblasť prstenca,
R, r sú polomery vonkajšej a vnútornej kružnice, v tomto poradí,
D, d - priemery vonkajších a vnútorných kruhov.

Aby ste našli oblasť krúžku, je potrebné odpočítať oblasť od oblasti väčšieho kruhu menší kruh. S = S1-S2 = πR2-πr2 = π (R2-r2).

Ak sú teda známe R a r, potom sa plocha krúžku určí ako rozdiel medzi druhými mocničkami polomerov vonkajšieho a vnútorného kruhu vynásobený číslom pi: S = π (R 2 -r 2 ).

Ak sú známe D a d, potom sa plocha krúžku určí ako štvrtina rozdielu medzi druhými mocničkami priemerov vonkajších a vnútorných kruhov, vynásobených číslom pi: S = (1/4) ( D 2 - d 2) π.

Oblasť vyplneného tvaru

Predpokladajme, že vo vnútri jedného štvorca (A) je ďalšie (B) (menšie) a potrebujeme nájsť vyplnenú dutinu medzi tvarmi "A" a "B". Povedzme, "rám" malého námestia. Pre to:

Nájdite plochu obrázku "A" (vypočítanú podľa vzorca na nájdenie plochy štvorca).
Podobne nájdeme oblasť obrázku „B“.
Odpočítajte oblasť "B" od oblasti "A". A tak dostaneme oblasť vyplneného obrázku.

Teraz viete, ako nájsť oblasti rôznych tvarov.

Poznatky o tom, ako merať Zem, siahajú až do staroveku a postupne sa vyvinuli do vedy o geometrii. Toto slovo je preložené z gréckeho jazyka - "geomera".

Mierou dĺžky a šírky rovnej oblasti Zeme je plocha. V matematike sa zvyčajne označuje latinským písmenom S (z anglického "square" - "plocha", "štvorec") alebo gréckym písmenom σ (sigma). S označuje plochu obrazca na rovine alebo povrch tela a σ je plocha prierezu drôtu vo fyzike. Toto sú hlavné symboly, hoci môžu existovať aj iné, napríklad v oblasti pevnosti materiálov, A je plocha prierezu profilu.

V kontakte s

Výpočtové vzorce

Keď poznáte oblasti jednoduchých tvarov, môžete nájsť parametre zložitejších... Starovekí matematici vyvinuli vzorce, pomocou ktorých sa dajú ľahko vypočítať. Takéto postavy sú trojuholník, štvoruholník, mnohouholník, kruh.

Ak chcete nájsť oblasť komplexného rovinného útvaru, je rozdelená do mnohých jednoduchých útvarov, ako sú trojuholníky, lichobežníky alebo obdĺžniky. Potom sa matematickými metódami odvodí vzorec pre oblasť tohto obrázku. Podobná metóda sa používa nielen v geometrii, ale aj v matematickej analýze na výpočet plôch útvarov ohraničených krivkami.

Trojuholník

Začnime s najjednoduchším tvarom - trojuholníkom. Sú pravouhlé, rovnoramenné a rovnostranné. Vezmite ľubovoľný trojuholník ABC so stranami AB = a, BC = b a AC = c (∆ ABC). Aby sme našli jeho oblasť, pripomeňme si vety o sínusoch a kosínusoch známe zo školského kurzu matematiky. Po uvoľnení všetkých výpočtov sa dostaneme k nasledujúcim vzorcom:

S = √ je známy Heronov vzorec, kde p = (a + b + c) / 2 je polovica obvodu trojuholníka;
S = a h / 2, kde h je výška znížená na stranu a;
S = a b (sin γ) / 2, kde γ je uhol medzi stranami a a b;
S = a b / 2, ak ∆ ABC je pravouhlý (tu a a b sú nohy);
S = b² (sin (2 β)) / 2, ak ∆ ABC je rovnoramenné (tu b je jedna z „bokov“, β je uhol medzi „bokami“ trojuholníka);
S = a² √¾, ak ∆ ABC je rovnostranné (tu a je strana trojuholníka).

Štvoruholník

Nech existuje štvoruholník ABCD s AB = a, BC = b, CD = c, AD = d. Ak chcete nájsť plochu S ľubovoľného 4-uholníka, musíte ju rozdeliť uhlopriečkou na dva trojuholníky, ktorých plochy S1 a S2 sa vo všeobecnosti nerovnajú.

Potom ich pomocou vzorcov vypočítajte a spočítajte, teda S = S1 + S2. Ak však 4-uholník patrí do určitej triedy, potom jeho oblasť možno nájsť pomocou predtým známych vzorcov:

S = (a + c) h / 2 = eh, ak je 4-uholník lichobežník (tu a a c sú základne, e je stredná čiara lichobežníka, h je výška znížená k jednej zo základov lichobežníka lichobežník;
S = a h = a b sin φ = d1 d2 (sin φ) / 2, ak ABCD je rovnobežník (tu φ je uhol medzi stranami a a b, h je výška znížená na stranu a, d1 a d2 sú uhlopriečky);
S = a b = d² / 2, ak ABCD je obdĺžnik (d je uhlopriečka);
S = a² sin φ = P² (sin φ) / 16 = d1 d2 / 2, ak ABCD je kosoštvorec (a je strana kosoštvorca, φ je jeden z jeho rohov, P je obvod);
S = a² = P² / 16 = d² / 2, ak ABCD je štvorec.

Polygón

Aby matematici našli oblasť n-uholníka, rozdelili ho na najjednoduchšie rovnaké čísla-trojuholníky, našli oblasť každého z nich a potom ich pridali. Ak však mnohouholník patrí do triedy bežných, použite vzorec:

S = anh / 2 = a² n / = P² /, kde n je počet vrcholov (alebo strán) mnohouholníka, a je strana n-uholníka, P je jeho obvod, h je apotém, tj. , segment nakreslený od stredu mnohouholníka k jednej z jeho strán pod uhlom 90°.

Kruh

Kruh je dokonalý mnohouholník s nekonečným počtom strán.... Musíme vypočítať limit výrazu vpravo vo vzorci pre oblasť mnohouholníka s počtom strán n smerujúcim k nekonečnu. V tomto prípade sa obvod mnohouholníka zmení na obvod kruhu s polomerom R, ktorý bude hranicou nášho kruhu, a bude rovný P = 2 π R. Dosaďte tento výraz do vyššie uvedeného vzorca. Dostaneme:

S = (π² R² cos (180 ° / n)) / (n sin (180 ° / n)).

Nájdite limitu tohto výrazu ako n → ∞. Aby ste to dosiahli, vezmite do úvahy, že lim (cos (180 ° / n)) ako n → ∞ sa rovná cos 0 ° = 1 (lim je znamienko limitu) a lim = lim ako n → ∞ sa rovná na 1 / π (mieru stupňov sme preložili na radián pomocou pomeru π rad = 180 ° a použili sme prvú pozoruhodnú hranicu lim (sin x) / x = 1 ako x → ∞). Nahradením získaných hodnôt do posledného výrazu pre S sa dostaneme k známemu vzorcu:

S = π2 R21 (1 / π) = πR2.

Jednotky

Používajú sa systémové a nesystémové jednotky... Systémové jednotky sa vzťahujú na SI (International System). Je to meter štvorcový (meter štvorcový, m²) a jednotky z neho odvodené: mm², cm², km².

Napríklad v štvorcových milimetroch (mm²) merajú prierez vodičov v elektrotechnike, v štvorcových centimetroch (cm²) - prierezy nosníka v stavebnej mechanike, v štvorcových metroch (m²) - byty alebo domy, v kilometroch štvorcových (km²) - územia v geografii ...

Niekedy sa však používajú aj nesystémové merné jednotky, ako napríklad: tkanie, ar (a), hektár (ha) a aker (ac). Tu sú nasledujúce vzťahy: