Beírt és körülírt körök. Tétel: Egy kör bármely háromszögbe beírható

2. definíció

Az 1. definíció feltételét kielégítő sokszögről azt mondjuk, hogy körbe van írva.

1. ábra Beírt kör

1. tétel (háromszögbe írt körön)

1. tétel

Bármely háromszögbe beírhat egy kört, sőt, csak egyet.

Bizonyíték.

Tekintsük az $ABC$ háromszöget. Rajzoljunk bele olyan felezőket, amelyek a $O$ pontban metszik egymást, és húzzunk belőle merőlegeseket a háromszög oldalaira (2. ábra)

2. ábra. Az 1. tétel illusztrációja

Létezés: Rajzolj egy kört, amelynek középpontja $O$ és sugara $OK.\ $Mivel a $O$ pont három felezőn fekszik, egyenlő távolságra van az $ABC$ háromszög oldalaitól. Azaz $OM=OK=OL$. Következésképpen a megszerkesztett kör a $M\ és\ L$ pontokon is áthalad. Mivel $OM,OK\ és\OL$ merőlegesek a háromszög oldalaira, ezért a kör érintő tétele alapján a megszerkesztett kör a háromszög mindhárom oldalát érinti. Ezért a háromszög tetszőlegessége folytán bármely háromszögbe kör írható.

Egyediség: Tegyük fel, hogy az $ABC$ háromszög felírható egy másik körrel, amelynek középpontja a $O"$ pont. Középpontja egyenlő távolságra van a háromszög oldalaitól, ezért egybeesik a $O$ ponttal, és sugara megegyezik a háromszög hosszával. $OK$ De akkor ez a kör egybeesik az elsővel.

A tétel bizonyítást nyert.

1. következmény: A háromszögbe írt kör középpontja felezőinek metszéspontjában van.

Íme néhány további tény a beírt kör fogalmával kapcsolatban:

Nem minden négyszög írható be egy körbe.

Bármely körülírt négyszögben a szemközti oldalak összege egyenlő.

Ha egy konvex négyszög szemközti oldalainak összege egyenlő, akkor kör írható bele.

3. definíció

Ha a sokszög minden csúcsa a körön fekszik, akkor a kört a sokszög közelében körülírtnak nevezzük (3. ábra).

4. definíció

A 2. definíció feltételét kielégítő sokszöget körbe írtnak nevezzük.

3. ábra Körülírt kör

2. Tétel (egy háromszög körül körülírt körön)

2. tétel

Bármely háromszög közelében körülírható egy kör, ráadásul csak egy.

Bizonyíték.

Tekintsük az $ABC$ háromszöget. Rajzoljuk meg benne a $O$ pontban metsző középső merőlegeseket, és kössük össze a háromszög csúcsaival (4. ábra)

4. ábra A 2. tétel illusztrációja

Létezés: Készítsünk egy kört, amelynek középpontja $O$ és sugara $OC$. A $O$ pont egyenlő távolságra van a háromszög csúcsaitól, azaz $OA=OB=OC$. Következésképpen a megszerkesztett kör az adott háromszög összes csúcsán áthalad, ami azt jelenti, hogy e háromszög körül van leírva.

Egyediség: Tegyük fel, hogy az $ABC$ háromszög körül még egy kör körülírható a $O"$ pont középpontjával. Középpontja egyenlő távolságra van a háromszög csúcsaitól, ezért egybeesik a $O$ ponttal, és van egy köre. sugár megegyezik $OC hosszával. $ De akkor ez a kör egybeesik az elsővel.

A tétel bizonyítást nyert.

1. következmény: A háromszögre körülírt kör középpontja egybeesik a háromszögre merőleges felezőinek metszéspontjával.

Íme néhány további tény a körülhatárolt kör fogalmával kapcsolatban:

Nem mindig lehet egy négyszög körüli kört leírni.

Bármely beírt négyszögben a szemközti szögek összege egyenlő: $(180)^0$.

Ha egy négyszög szemközti szögeinek összege $(180)^0$, akkor kör írható körülötte.

Példa egy problémára a beírt és körülírt kör fogalmairól

1. példa

Egy egyenlő szárú háromszögben az alap 8 cm, az oldala 5 cm Határozza meg a beírt kör sugarát!

Megoldás.

Tekintsük az $ABC$ háromszöget. Az 1. következmény alapján tudjuk, hogy a beírt kör középpontja a felezők metszéspontjában van. Rajzoljuk meg a $AK$ és $BM$ felezőket, amelyek a $O$ pontban metszik egymást. Rajzolj egy merőlegest $OH$ a $O$ pontból a $BC$ oldalra. Rajzoljunk egy képet:

5. ábra

Mivel a háromszög egyenlő szárú, $BM$ a medián és a magasság is. A Pitagorasz-tétel szerint $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=3$. $OM=OH=r$ -- a beírt kör kívánt sugara. Mivel az $MC$ és a $CH$ metsző érintők szegmensei, a metsző érintő tétel alapján $CH=MC=4\ cm$. Ezért $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. Az $OHB$ háromszögből a Pitagorasz-tétel alapján a következőket kapjuk:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Válasz:$\frac(4)(3)$.

2. definíció

Az 1. definíció feltételét kielégítő sokszögről azt mondjuk, hogy körbe van írva.

1. ábra Beírt kör

1. tétel (háromszögbe írt körön)

1. tétel

Bármely háromszögbe beírhat egy kört, sőt, csak egyet.

Bizonyíték.

Tekintsük az $ABC$ háromszöget. Rajzoljunk bele olyan felezőket, amelyek a $O$ pontban metszik egymást, és húzzunk belőle merőlegeseket a háromszög oldalaira (2. ábra)

2. ábra. Az 1. tétel illusztrációja

A tétel bizonyítást nyert.

1. következmény: A háromszögbe írt kör középpontja felezőinek metszéspontjában van.

Íme néhány további tény a beírt kör fogalmával kapcsolatban:

Nem minden négyszög írható be egy körbe.

Bármely körülírt négyszögben a szemközti oldalak összege egyenlő.

Ha egy konvex négyszög szemközti oldalainak összege egyenlő, akkor kör írható bele.

3. definíció

Ha a sokszög minden csúcsa a körön fekszik, akkor a kört a sokszög közelében körülírtnak nevezzük (3. ábra).

4. definíció

A 2. definíció feltételét kielégítő sokszöget körbe írtnak nevezzük.

3. ábra Körülírt kör

2. Tétel (egy háromszög körül körülírt körön)

2. tétel

Bármely háromszög közelében körülírható egy kör, ráadásul csak egy.

Bizonyíték.

Tekintsük az $ABC$ háromszöget. Rajzoljuk meg benne a $O$ pontban metsző középső merőlegeseket, és kössük össze a háromszög csúcsaival (4. ábra)

4. ábra A 2. tétel illusztrációja

A tétel bizonyítást nyert.

1. következmény: A háromszögre körülírt kör középpontja egybeesik a háromszögre merőleges felezőinek metszéspontjával.

Íme néhány további tény a körülhatárolt kör fogalmával kapcsolatban:

Nem mindig lehet egy négyszög körüli kört leírni.

Bármely beírt négyszögben a szemközti szögek összege egyenlő: $(180)^0$.

Ha egy négyszög szemközti szögeinek összege $(180)^0$, akkor kör írható körülötte.

Példa egy problémára a beírt és körülírt kör fogalmairól

1. példa

Egy egyenlő szárú háromszögben az alap 8 cm, az oldala 5 cm Határozza meg a beírt kör sugarát!

Megoldás.

5. ábra

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Válasz:$\frac(4)(3)$.

A háromszögre körülírt kör tulajdonságaira vonatkozó tételek bizonyítása

A szakaszra középen merőlegesen

1. definíció. A szakaszra középen merőlegesen erre a szakaszra merőleges és annak közepén áthaladó egyenes (1. ábra).

1. tétel. A szakaszra merőleges felezőszög minden pontja ugyanolyan távolságra a végektől ezt a szegmenst.

Bizonyíték . Tekintsünk egy tetszőleges D pontot, amely az AB szakaszra merőleges felezőponton fekszik (2. ábra), és bizonyítsuk be, hogy az ADC és a BDC háromszögek egyenlőek.

Valójában ezek a háromszögek derékszögű háromszögek, amelyek AC és BC szárai egyenlőek, míg a DC szárak közösek. Az ADC és BDC háromszögek egyenlőségéből az AD és DB szakaszok egyenlősége következik. Az 1. tétel bizonyítva van.

2. tétel (fordítva az 1. tételhez). Ha egy pont azonos távolságra van egy szakasz végeitől, akkor az erre a szakaszra merőleges felezőn fekszik.

Bizonyíték . Bizonyítsuk be a 2. tételt „ellentmondásos” módszerrel. Ehhez tegyük fel, hogy egy E pont azonos távolságra van a szakasz végeitől, de nem a szakaszra merőleges felezőn fekszik. Hozzuk ezt a feltevést ellentmondásba. Tekintsük először azt az esetet, amikor az E és A pontok a merőleges felezőszög ellentétes oldalán helyezkednek el (3. ábra). Ebben az esetben az EA szakasz egy ponton metszi a merőleges felezőt, amit D betűvel fogunk jelölni.

Bizonyítsuk be, hogy az AE szakasz hosszabb, mint az EB szakasz. Igazán,

Így abban az esetben, ha az E és A pontok a merőleges felezőszög ellentétes oldalán helyezkednek el, akkor ellentmondást kaptunk.

Tekintsük most azt az esetet, amikor az E és A pontok a merőleges felezőszög ugyanazon az oldalán helyezkednek el (4. ábra). Bizonyítsuk be, hogy az EB szakasz hosszabb, mint az AE szakasz. Igazán,

A kapott ellentmondás a 2. Tétel bizonyítását teszi teljessé

Háromszöget körülíró kör

2. definíció. Háromszöget körülvevő kör, nevezzük a háromszög mindhárom csúcsán áthaladó kört (5. ábra). Ebben az esetben a háromszöget nevezzük egy körbe írt háromszög vagy beírt háromszög.

A háromszög körül körülírt kör tulajdonságai. Szinusztétel

Ábra	Kép	Ingatlan
Középmerőlegesek a háromszög oldalaihoz		egy pontban metszik egymást .

Központ egy kör hegyesszögű háromszögére körülírva		Központ leírása kb hegyesszögű belül háromszög.
Központ derékszögű háromszögre körülírt kör		Középpontja a leírt kb négyszögletes a hypotenus felezőpontja .
Központ egy kör tompa háromszögére körülírva		Központ leírása kb tompa kör háromszög fekszik kívül háromszög.
		,
Terület háromszög		S= 2R 2 bűn A bűn B bűn C ,
A körülírt kör sugara		Bármely háromszögre igaz az egyenlőség:

A háromszög oldalainak középső merőlegesei

Minden merőleges felező egy tetszőleges háromszög oldalaira rajzolva, egy pontban metszik egymást .

Háromszöget körülíró kör

Bármely háromszög körülírható körrel. . A háromszögre körülírt kör középpontja az a pont, ahol a háromszög oldalaira húzott összes merőleges felező metszéspontja metszi egymást.

Egy hegyesszögű háromszög körül körülírt kör középpontja

Központ leírása kb hegyesszögű kör háromszög fekszik belül háromszög.

Derékszögű háromszög körül körülírt kör középpontja

Középpontja a leírt kb négyszögletes kör háromszög az a hypotenus felezőpontja .

Egy tompa háromszög körül körülírt kör középpontja

Központ leírása kb tompa kör háromszög fekszik kívül háromszög.

Bármely háromszögre érvényesek az egyenlőségek (szinusztétel):

ahol a, b, c a háromszög oldalai, A, B, C a háromszög szögei, R a körülírt kör sugara.

Egy háromszög területe

Bármely háromszögre igaz az egyenlőség:

S= 2R 2 bűn A bűn B bűn C ,

ahol A, B, C a háromszög szögei, S a háromszög területe, R a körülírt kör sugara.

A körülírt kör sugara

Bármely háromszögre igaz az egyenlőség:

ahol a, b, c a háromszög oldalai, S a háromszög területe, R a körülírt kör sugara.

A háromszögre körülírt kör tulajdonságaira vonatkozó tételek bizonyítása

3. tétel. Egy tetszőleges háromszög oldalaira húzott összes középső merőleges egy pontban metszi egymást.

Bizonyíték . Tekintsünk két merőleges felezőt az ABC háromszög AC és AB oldalaira, és jelöljük az O betűvel való metszéspontjukat (6. ábra).

Mivel az O pont az AC szakaszra merőleges felezőn fekszik, az 1. Tétel értelmében az egyenlőség teljesül.

És ez minden vonatkozására vonatkozik.

Enciklopédiai YouTube

1 / 5
A beírt kör tulajdonságai:
r = (− a + b + c) (a − b + c) (a + b − c) 4 (a + b + c) ; (\displaystyle r=(\sqrt (\frac ((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))(4(a+b+c))));) 1 r = 1 ha + 1 hb + 1 hc (\displaystyle (\frac (1)(r))=(\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b) ))+(\frac (1)(h_(c))))
ahol a , b , c (\displaystyle a,b,c)- egy háromszög oldalai h a , h b , h c (\displaystyle h_(a),h_(b),h_(c))- a megfelelő oldalakra húzott magasságok;
r = S p = (p − a) (p − b) (p − c) p (\displaystyle r=(\frac (S)(p))=(\sqrt (\frac ((pa)(pb)) (pc))(p))))
Ahol S (\displaystyle S) a háromszög területe, és p (\displaystyle p) a félperimétere.
- Ha A B (\displaystyle AB)- egyenlő szárú háromszög alapja, majd a szög oldalait érintő kör ∠ A C B (\displaystyle \angle ACB) pontokon A (\displaystyle A)És B (\displaystyle B), átmegy a háromszög beírt körének középpontján △ A B C (\megjelenítési stílus \háromszög ABC).
- Euler-tétel: R 2 − 2 R r = | O I | 2 (\displaystyle R^(2)-2Rr=|OI|^(2)), ahol R (\displaystyle R) a háromszög körüli körülírt kör sugara, r (\displaystyle r) a beleírt kör sugara, O (\displaystyle O)- a körülírt kör középpontja, I (\displaystyle I)- a beírt kör középpontja.
- Ha az I ponton átmenő egyenes az AB oldallal párhuzamosan metszi a BC és CA oldalakat az A 1 és B 1 pontokban, akkor A 1 B 1 = A 1 B + A B 1 (\megjelenítési stílus A_(1)B_(1)=A_(1)B+AB_(1)).
- Ha egy beírt háromszög érintőpontjai T (\displaystyle T) Kösd össze a köröket szakaszokkal, akkor kapsz egy T 1 háromszöget a következő tulajdonságokkal:
  - T felezőszögei a T 1 középső merőlegesei
  - Legyen T 2 egy T 1 derékszögű háromszög. Ekkor az oldalai párhuzamosak az eredeti T háromszög oldalaival.
  - Legyen T 3 T 1 középső háromszöge. Ekkor T felezőpontjai T 3 magasságai.
  - Legyen T 4 T 3 merőleges háromszöge, akkor T felezőszögei T 4 felezőszögei.
- Az a, b lábakkal és c hipotenusszal rendelkező derékszögű háromszögbe írt kör sugara a + b − c 2 (\displaystyle (\frac (a+b-c)(2))).
- A háromszög C csúcsának távolsága attól a ponttól, ahol a beírt kör érinti az oldalt d = a + b − c 2 = p − c (\displaystyle d=(\frac (a+b-c)(2))=p-c).
- A C csúcs és a beírt kör középpontja közötti távolság a l c = r sin ⁡ (γ 2) (\displaystyle l_(c)=(\frac (r)(\sin((\frac (\gamma )(2)))))), ahol r a beírt kör sugara és γ a C csúcs szöge.
- A C csúcs és a beírt kör középpontja közötti távolság is meghatározható a képletek segítségével l c = (p − c) 2 + r 2 (\displaystyle l_(c)=(\sqrt ((p-c)^(2)+r^(2))))És l c = a b − 4 R r (\displaystyle l_(c)=(\sqrt (ab-4Rr)))
- A háromágról szóló tétel ill shamrock tétel: Ha D- a szögfelező metszéspontja A egy háromszög körülírt körével ABC, énÉs J- a beírt és a körbeírt oldal érintőjének középpontja időszámításunk előtt, azután | D I | = | D B | = | D C | = | D J | (\displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|).
- Verriere lemmája: hagyjuk a kört V (\displaystyle V) a feleket érinti A B (\displaystyle AB), A C (\displaystyle AC)és ívek B C (\displaystyle BC) a háromszög körülírt köre. Ezután a kör érintőpontjai V (\displaystyle V) oldalaival és középpontjával beírt kör háromszöggel A B C (\displaystyle ABC) ugyanazon a vonalon feküdjön.
- Feuerbach tétele. A kör kilenc pontja érinti mind a hármat körbeírja, szintén beírt kör. érintési pont kör EulerÉs beírt kör Feuerbach-pontként ismert.
A beírt kör viszonya a körülírt körhöz

R R = 4 S 2 p a b c = cos ⁡ α + cos ⁡ β + cos ⁡ γ − 1 ; (\displaystyle (\frac (r)(R))=(\frac (4S^(2))(pabc))=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;)
Azt is ajánljuk