Néhány tört integrálása. Módszerek és technikák

A tört racionális függvény határozatlan integráljának megtalálásának problémája a legegyszerűbb törtek integrálására redukálódik. Ezért javasoljuk, hogy először ismerkedjen meg a törtek legegyszerűbbre bontásának elméletével.

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált.

Megoldás.

Mivel az integrandus számlálójának foka megegyezik a nevező mértékével, először a teljes részt jelöljük ki úgy, hogy a polinomot elosztjuk a polinommal egy oszloppal:

Ezért, .

A kapott helyes racionális törtnek a legegyszerűbb törtekre való felbontása alakja ... Ennélfogva,

A kapott integrál a harmadik típus legegyszerűbb törtjének integrálja. Kicsit előre futva megjegyezzük, hogy a differenciáltábla alá helyezés módszerével is felvehető.

Mivel , azután ... Ezért

Ennélfogva,

Most rátérünk a négy típus legegyszerűbb törteinek integrálására szolgáló módszerek leírására.

Az első típus legegyszerűbb törteinek integrálása

A közvetlen integrációs módszer ideális a probléma megoldására:

Példa.

Keresse meg egy függvény antideriváltjainak halmazát

Megoldás.

Keressen egy határozatlan integrált az antiderivált tulajdonságainak, az antideriválták táblázatának és az integrációs szabálynak a segítségével.

Vissza az oldal elejére

A második típus legegyszerűbb törteinek integrálása

A közvetlen integrációs módszer is alkalmas a probléma megoldására:

Példa.

Megoldás.

Vissza az oldal elejére

A harmadik típus legegyszerűbb törteinek integrálása

Először a határozatlan integrált mutatjuk be összegként:

Az első integrált a differenciáljel alá helyezés módszerével vesszük:

Ezért,

A kapott integrál nevezőjét átalakítjuk:

Ennélfogva,

A harmadik típus legegyszerűbb törteinek integrálására szolgáló képlet a következőképpen alakul:

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált .

Megoldás.

A kapott képletet használjuk:

Ha nem lenne ez a képlet, akkor mit tennénk:

Vissza az oldal elejére

A negyedik típus legegyszerűbb törteinek integrálása

Az első lépés, hogy a különbségi jel alá helyezzük:

A második lépés az űrlap integráljának megkeresése ... Az ilyen integrálokat ismétlődő képletek segítségével találjuk meg. (Lásd az Integráció visszatérő képletekkel című részt). Esetünkre a következő rekurzív képlet megfelelő:

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált

Megoldás.

Az ilyen típusú integrandusokhoz a helyettesítési módszert használjuk. Vezessünk be egy új változót (lásd az irracionális függvények integrálásával foglalkozó részt):

Csere után a következőkkel rendelkezünk:

Eljutottunk a negyedik típusú tört integráljának megtalálásához. A mi esetünkben megvannak az együtthatók M = 0, p = 0, q = 1, N = 1és n = 3... A rekurzív képletet alkalmazzuk:

A fordított csere után a következő eredményt kapjuk:

Trigonometrikus függvények integrálása

1. Az alak integráljai úgy számítjuk ki, hogy a trigonometrikus függvények szorzatát összeggé alakítjuk a következő képletek szerint: Például 2. Az űrlap integráljai , ahol m vagy n- páratlan pozitív szám, amelyet a differenciáljel összegzésével számítanak ki. Például, 3. Az űrlap integráljai , ahol més n- páros pozitív számok, a fokozatcsökkentési képletekkel számítva: Például, 4. Integrálok ahol a változó módosításával számítható ki: vagy Például, 5. Az alak integráljait univerzális trigonometrikus behelyettesítéssel racionális törtek integráljaivá redukáljuk akkor (mivel = [a számláló és a nevező elosztása után] =; Például, Meg kell jegyezni, hogy az univerzális helyettesítés alkalmazása gyakran nehézkes számításokhoz vezet.

§5. A legegyszerűbb irracionalitások integrálása

Fontolja meg a módszereket az irracionalitások legegyszerűbb típusainak integrálására. 1. Az ilyen típusú függvényeket ugyanúgy integráljuk, mint a harmadik típusú legegyszerűbb racionális törteket: a négyzetháromtag nevezőjében egy teljes négyzetet kinyerünk és egy új változót vezetünk be. Példa. 2. (az integráljel alatt az érvek racionális függvénye). Az ilyen integrálokat behelyettesítéssel számítjuk ki. Különösen az integrálokban az alakot a jelöli. Ha az integrandus különböző fokú gyököket tartalmaz: , majd jelölje, hol n- számok legkisebb közös többszöröse m, k... 1. példa 2. példa Szabálytalan racionális tört, válassza ki az egész részt: – – – 3. Az űrlap integráljai trigonometrikus helyettesítésekkel számítva:

44

45 A határozott integrál

Határozott integrál egy additív monoton normalizált függvény, amely a párok halmazán van definiálva, amelynek első komponense egy integrálható függvény vagy funkcionális, a második pedig egy tartomány az ezt a függvényt meghatározó halmazban (funkcionális).

Meghatározás

Legyen definiálva. Bontsuk részekre több tetszőleges ponttal. Ekkor azt mondják, hogy a szegmens particionálva lett, majd kiválasztunk egy tetszőleges pontot , ,

Egy függvény meghatározott integrálja egy intervallumon az integrálösszegek határa, amikor a partíció rangja nullára hajlik, ha a partíciótól és a pontválasztástól függetlenül létezik, azaz

Ha a megadott határérték létezik, akkor a függvényt Riemann integrálhatónak nevezzük.

Megnevezések

· - alsó határ.

· - felső határ.

· - integrand függvény.

· - a részszakasz hossza.

· A függvény integrál összege a megfelelő partíción.

· a frekvenciaszegmens maximális hossza.

Tulajdonságok

Ha egy függvény Riemann-ra integrálható, akkor korlátos.

Geometriai jelentés

A határozott integrál, mint egy ábra területe

A határozott integrál numerikusan egyenlő az ábra azon területével, amelyet az abszcissza tengely, az egyenesek és a függvény grafikonja határol.

Newton – Leibniz tétel

[szerkesztés]

(átirányítva innen: "Newton-Leibniz Formula")

Newton képlete – Leibniz vagy elemzés alaptétele megadja a kapcsolatot két művelet között: egy határozott integrál vétele és az antiderivált kiszámítása.

Bizonyíték

Adjunk meg egy integrálható függvényt egy intervallumon. Kezdjük azzal, hogy megjegyezzük

vagyis nem mindegy, hogy egy szegmens felett egy határozott integrálban melyik betű (vagy) áll a jel alatt.

Állítsunk be egy tetszőleges értéket és adjunk meg egy új függvényt ... Minden értékre definiálva van, mert tudjuk, hogy ha van integrál onnantól kezdve, akkor onnantól is van integrál, hol. Emlékezzünk vissza, hogy definíció szerint tekintjük

(1)

vegye észre, az

Mutassuk meg, hogy egy szakaszon folytonos. Valóban, hadd; azután

és ha akkor

Így folyamatos, hogy vannak-e megszakadásai vagy nincsenek; fontos, hogy integrálható legyen.

Az ábra egy grafikont mutat. A változó alakzat területe a. Növekménye megegyezik az ábra területével , amely a korlátoltság miatt nyilvánvalóan nullára hajlik, függetlenül attól, hogy folytonossági vagy megszakítási pontról van szó, például pontról.

Most legyen a függvény ne csak integrálható, hanem folytonos is a ponton. Bizonyítsuk be, hogy akkor van egy deriváltja ezen a ponton egyenlő

(2)

Valóban, a jelzett ponthoz

(1) , (3)

Feltesszük, és mivel az állandó relatív, TO ... Továbbá egy pont folytonossága folytán bárki jelezheti azt, hogy for.

ami azt bizonyítja, hogy ennek az egyenlőtlenségnek a bal oldala o (1) for.

A (3) at-beli határértékre való átlépés megmutatja a pont deriváltjának létezését és a (2) egyenlőség érvényességét. Amikor itt beszélünk, a jobb és bal származékok.

Ha a függvény folyamatosan be van kapcsolva, akkor a fentiek alapján a megfelelő függvény

(4)

egyenlő származéka van. Ezért a függvény az on antideriváltja.

Ezt a következtetést néha változó felső határérték integrál tételének vagy Barrow-tételnek is nevezik.

Bebizonyítottuk, hogy egy tetszőleges folytonos függvénynek egy szegmensen van egy antideriváltja ezen a szegmensen, amelyet a (4) egyenlőség határoz meg. Ez bizonyítja, hogy létezik egy antiderivált egy intervallum bármely folytonos függvényére.

Most legyen az on függvény tetszőleges antideriváltja. Tudjuk, hogy hol van valami állandó. Ebben az egyenlőségben feltételezve és ezt figyelembe véve azt kapjuk.

És így, . De

Nem megfelelő integrál

[szerkesztés]

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Határozott integrál hívott helytelen ha az alábbi feltételek közül legalább egy teljesül:

· Az a vagy b határ (vagy mindkettő) végtelen;

· Az f (x) függvénynek egy vagy több töréspontja van a szakaszon belül.

[szerkesztés] Az első típusú nem megfelelő integrálok

... Azután:

1. Ha és az integrált ún ... Ebben az esetben konvergensnek nevezzük.

, vagy csak eltér.

Legyen definiált és folytonos az és halmazán ... Azután:

1. Ha , akkor a jelölést használjuk és az integrált ún az első típusú helytelen Riemann-integrál... Ebben az esetben konvergensnek nevezzük.

2. Ha nincs végleges (vagy), akkor az integrált divergálónak nevezzük , vagy csak eltér.

Ha egy függvény definiált és folytonos az egész számegyenesen, akkor ennek a függvénynek lehet egy nem megfelelő integrálja, amelynek két végtelen integrálási határa van, amit a képlet határoz meg:

, ahol c egy tetszőleges szám.

[szerkesztés] Az első típusú helytelen integrál geometriai jelentése

A nem megfelelő integrál egy végtelenül hosszú ívelt trapéz területét fejezi ki.

[szerkesztés] Példák

[szerkesztés] A második típusú nem megfelelő integrálok

Legyen definiálva, végtelen szakadást szenved az x = a és pontban ... Azután:

1. Ha , akkor a jelölést használjuk és az integrált ún

eltérõnek nevezik , vagy csak eltér.

Legyen definiálva, végtelen folytonossági hiányt szenved x = b és ... Azután:

1. Ha , akkor a jelölést használjuk és az integrált ún a második típusú helytelen Riemann-integrál... Ebben az esetben az integrált konvergensnek nevezzük.

2. Ha vagy, akkor a megjelölés megmarad, és eltérõnek nevezik , vagy csak eltér.

Ha a függvénynek megszakadása van a szakasz egy belső pontjában, akkor a második típusú nem megfelelő integrált a következő képlet határozza meg:

[szerkesztés] A második típusú nem megfelelő integrálok geometriai jelentése

A nem megfelelő integrál egy végtelenül magas ívelt trapéz területét fejezi ki

[szerkesztés] Példa

[szerkesztés] Külön eset

Legyen a függvény definiálva a teljes számtengelyen, és a pontokban szakadása legyen.

Ekkor meg lehet találni a nem megfelelő integrált

[szerkesztés] Cauchy-kritérium

1. Legyen az és halmazán definiálva .

Azután konvergál

2. Legyen definiálva és .

Azután konvergál

[szerkesztés] Abszolút konvergencia

Integrál hívott abszolút konvergens, ha konvergál.
Ha az integrál abszolút konvergál, akkor konvergál.

[szerkesztés] Feltételes konvergencia

Az integrált ún feltételesen konvergáló ha konvergál, de eltér.

48 12. Nem megfelelő integrálok.

A határozott integrálok figyelembevételekor abból indultunk ki, hogy az integráció tartománya korlátos (pontosabban egy szegmens [ a ,b ]); határozott integrál létezéséhez szükséges, hogy az integrandus korlátos legyen [ a ,b ]. Határozott integrálokat fogunk nevezni, amelyekre mindkét feltétel teljesül (a korlát és az integrációs régió, valamint az integrandus) saját; integrálok, amelyeknél megsértik ezeket a követelményeket (vagyis vagy az integrandus nem korlátos, vagy az integráció tartománya, vagy mindkettő együtt) helytelen... Ebben a részben a nem megfelelő integrálokat fogjuk tanulmányozni.

• 12.1. Nem megfelelő integrálok korlátlan intervallumon (az első típusú nem megfelelő integrálok).
• 12.1.1. Nem megfelelő integrál meghatározása végtelen intervallumon. Példák.
• 12.1.2. Newton-Leibniz képlet a helytelen integrálhoz.
• 12.1.3. Nemnegatív függvények összehasonlítási kritériumai.
• 12.1.3.1. Összehasonlítás attribútum.
• 12.1.3.2. Összehasonlítási kritérium korlátozó formában.
• 12.1.4. Nem megfelelő integrálok abszolút konvergenciája végtelen intervallumon keresztül.
• 12.1.5. Abel és Dirichlet konvergenciakritériumai.
• 12.2. Korlátlan függvények nem megfelelő integráljai (második típusú nem megfelelő integrálok).
• 12.2.1. Korlátlan függvény nem megfelelő integráljának definíciója.
• 12.2.1.1. A funkció az integrációs rés bal végén található.
• 12.2.1.2. A Newton-Leibniz formula alkalmazása.
• 12.2.1.3. Funkció az integrációs intervallum jobb végén.
• 12.2.1.4. Szingularitás az integrációs intervallum belső pontjában.
• 12.2.1.5. Számos funkció az integrációs intervallum alatt.
• 12.2.2. Nemnegatív függvények összehasonlítási kritériumai.
• 12.2.2.1. Összehasonlítás attribútum.
• 12.2.2.2. Összehasonlítási kritérium korlátozó formában.
• 12.2.3. Nem folytonos függvények nem megfelelő integráljainak abszolút és feltételes konvergenciája.
• 12.2.4. Abel és Dirichlet konvergenciakritériumai.

12.1. Nem megfelelő integrálok korlátlan intervallumon keresztül

(az első típusú nem megfelelő integrálok).

12.1.1. Nem megfelelő integrál meghatározása végtelen intervallumon... Hagyja a függvényt f (x ) a féltengelyen van meghatározva, és bármely szegmens mentén integrálható [ ebből, minden esetben a megfelelő határértékek létezésére és véges voltára utal. Most a példák megoldásai egyszerűbbnek tűnnek: .

12.1.3. Nemnegatív függvények összehasonlítási kritériumai... Ebben a részben azt feltételezzük, hogy az összes integrandus nemnegatív a teljes tartományban. Eddig egy integrál konvergenciáját úgy határoztuk meg, hogy kiszámítottuk: ha az antideriváltnak véges határa van a megfelelő törekvéssel (vagy), akkor az integrál konvergál, ellenkező esetben divergál. Gyakorlati feladatok megoldásánál azonban mindenekelőtt a konvergencia tényének megállapítása fontos, és csak azután az integrál kiszámítása (sőt, az antiderivált gyakran nem elemi függvényekkel fejeződik ki). Fogalmazzunk meg és bizonyítsunk be néhány olyan tételt, amelyek lehetővé teszik nemnegatív függvények nem megfelelő integráljainak konvergenciáját és divergenciáját kiszámítás nélkül.
12.1.3.1. Összehasonlítás attribútum... Hagyjuk a függvényeket f (x ) és g (x ) integra

Amint alább látni fogjuk, nem minden elemi függvénynek van olyan integrálja, amely elemi függvényekben fejeződik ki. Ezért nagyon fontos kiemelni az olyan függvényosztályokat, amelyek integráljait elemi függvényekkel fejezzük ki. Ezen osztályok közül a legegyszerűbb a racionális függvények osztálya.

Bármely racionális függvény ábrázolható racionális törtként, azaz két polinom arányaként:

Anélkül, hogy korlátoznánk az érvelés általánosságát, feltételezzük, hogy a polinomoknak nincs közös gyöke.

Ha a számláló foka kisebb, mint a nevező foka, akkor a törtet helyesnek nevezzük, ellenkező esetben a törtet helytelennek.

Ha a tört helytelen, akkor a számlálót a nevezővel elosztva (a polinomok osztásának szabálya szerint) ezt a törtet egy polinom és valamilyen szabályos tört összegeként ábrázolhatja:

itt egy polinom, és egy szabályos tört.

Példa t. Adott egy szabálytalan racionális tört

A számlálót elosztva a nevezővel (a polinomok osztásának szabálya szerint), azt kapjuk

Mivel a polinomok integrálása nem nehéz, a racionális törtek integrálásának fő nehézsége a szabályos racionális törtek integrálása.

Meghatározás. A forma szabályos racionális törtei

az I., II., III. és IV. típusú legegyszerűbb frakcióknak nevezzük.

Az I., II. és III. típusú legegyszerűbb frakciók integrálása nem túl bonyolult, ezért további magyarázat nélkül integráljuk őket:

A bonyolultabb számításokhoz a legegyszerűbb IV. típusú törtek integrálása szükséges. Adjunk egy ilyen típusú integrált:

Végezzük el az átalakításokat:

Az első integrált helyettesítéssel veszik fel

A második integrál - alakba írva jelöljük

Feltételezzük, hogy a nevező gyökerei összetettek, ezért a következőképpen járunk el:

Átalakítjuk az integrált:

Alkatrészenkénti integrációnk lesz

Ha ezt a kifejezést behelyettesítjük az (1) egyenlőségbe, azt kapjuk

A jobb oldalon egy azonos típusú integrál található, mivel az integrandus nevezőjének kitevője eggyel kisebb; így keresztül fejeztük ki. Ugyanezen az úton haladva elérkezünk a jól ismert integrálhoz.

Adott a négy típus legegyszerűbb elemi törteinek integrálszámítására szolgáló képletek levezetése. A negyedik típusú tört összetettebb integráljait a redukciós képlet segítségével számítjuk ki. A negyedik típus törtrészének integrálására példaként tekintünk.

Tartalom

Lásd még: Határozatlan Integráltábla
Határozatlan integrálok számítási módszerei

Mint tudják, valamilyen x változó bármely racionális függvénye felbontható polinomra és a legegyszerűbb elemi törtekre. Az egyszerű törteknek négy típusa van:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Itt a, A, B, b, c valós számok. x egyenlet 2 + bx + c = 0 nincs érvényes gyökere.

Az első két típus törteinek integrálása

Az első két tört integrálása az integráltáblázat következő képleteivel történik:
,
, n ≠ - 1 .

1. Az első típus töredékének integrálása

Az első típus törtrészét a t = x - a behelyettesítéssel csökkentjük egy táblázatos integrálra:
.

2. A második típus töredékének integrálása

A második típusú töredéket táblázatos integrállá redukáljuk ugyanazzal a t = x - a helyettesítéssel:

.

3. A harmadik típus töredékének integrálása

Tekintsük a harmadik típusú tört integrálját:
.
Két lépésben számoljuk ki.

3.1. 1. lépés Válassza ki a nevező deriváltját a számlálóban

Válassza ki a nevező deriváltját a tört számlálójában. Jelöljük: u = x 2 + bx + c... Megkülönböztetés: u ′ = 2 x + b... Azután
;
.
De
.
Kihagytuk a modulus jelet, mert.

Azután:
,
ahol
.

3.2. 2. lépés: Számítsa ki az integrált, ahol A = 0, B = 1

Most kiszámítjuk a maradék integrált:
.

A tört nevezőjét a négyzetösszeghez hozzuk:
,
ahol .
Úgy tekintjük, hogy az x egyenlet 2 + bx + c = 0 nincsenek gyökerei. Ezért .

Csináljunk egy cserét
,
.
.

Így,
.

Így megtaláltuk a harmadik típusú tört integrálját:

,
ahol .

4. A negyedik típusú tört integrálása

Végül vegyük figyelembe a negyedik típusú tört integrálját:
.
Három lépésben számítjuk ki.

4.1) Válassza ki a számlálóban a nevező származékát:
.

4.2) Számítsa ki az integrált!
.

4.3) Számítsa ki az integrálokat!
,
az öntési képlet segítségével:
.

4.1. 1. lépés: A nevező deriváltjának kiválasztása a számlálóban

Válassza ki a nevező származékát a számlálóban, ahogyan azt az előzőekben tettük. Jelölje u = x 2 + bx + c... Megkülönböztetés: u ′ = 2 x + b... Azután
.

.
De
.

Végül a következőkkel rendelkezünk:
.

4.2. 2. lépés Az integrál kiszámítása n = 1-gyel

Kiszámoljuk az integrált
.
Számítását a.

4.3. 3. lépés A redukciós képlet levezetése

Most nézzük az integrált
.

Adjuk a négyzetháromtagot a négyzetek összegéhez:
.
Itt .
Cserét végzünk.
.
.

Átalakításokat hajtunk végre és darabonként integrálunk.




.

Szorozva 2 (n - 1):
.
Vissza x-hez és I n-hez.
,
;
;
.

Tehát I n-re megkaptuk a redukciós képletet:
.
Ezt a képletet egymás után alkalmazva az I n integrált I-re redukáljuk 1 .

Példa

Számítsa ki az integrált

1. A számlálóban válassza ki a nevező deriváltját.
;
;


.
Itt
.

2. Kiszámoljuk a legegyszerűbb tört integrálját.

.

3. A redukciós képletet alkalmazzuk:

az integrálhoz.
Esetünkben b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3... Ezt a képletet n =-re írjuk ki 2 és n = 3 :
;
.
Innen

.

Végül a következőkkel rendelkezünk:

.
Keresse meg az együtthatót itt.
.

Lásd még:

Mielőtt folytatná a legegyszerűbb törtek integrálását egy tört racionális függvény határozatlan integráljának megtalálásához, javasoljuk, hogy frissítse a memóriáját a „Tört felbontása a legegyszerűbbre” részben.

1. példa

Határozzuk meg a ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x határozatlan integrált.

Megoldás

Jelöljük ki a teljes részt úgy, hogy a polinomot elosztjuk a polinommal a polinommal, figyelembe véve, hogy az integrandus számlálójának foka megegyezik a nevező fokával:

Ezért 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x. Megkaptuk a helyes racionális törtet - 2 x + 3 x 3 + x, amelyet most a legegyszerűbb törtekre bontunk - 2 x + 3 x 3 + x = 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1. Ennélfogva,

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + xdx = ∫ 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 dx = ∫ 2 dx + ∫ 3 xdx - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 dx = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 dx

Megkaptuk a harmadik típus legegyszerűbb törtjének integrálját. Úgy veheted át, hogy a differenciáltábla alá viszed.

Mivel d x 2 + 1 = 2 x d x, akkor 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1. Ezért
∫ 3 x + 2 x 2 + 1 dx = ∫ 3 xx 2 + 1 dx + ∫ 2 x 2 + 1 = 3 2 ∫ dx 2 + 1 x 2 + 1 + 2 ∫ dxx 2 + 1 = 3 2 ln + 1 + 2 arctgx + C 1

Ennélfogva,
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + xdx = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 dx = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 ív tan x + C , ahol С = - С 1

Ismertesse meg mind a négy típus legegyszerűbb törteinek integrálási módszereit.

Az első típusú A legegyszerűbb törteinek integrálása x - a

A probléma megoldására a közvetlen integrációs módszert használjuk:

∫ A x - a d x = A ∫ d x x - a = A ln x - a + C

2. példa

Határozzuk meg az y = 3 2 x - 1 függvény antideriváltjainak halmazát!

Megoldás

Az integrációs szabály, az antiderivált tulajdonságok és az antiderivált táblázat segítségével megkapjuk a ∫ 3 d x 2 x - 1 határozatlan integrált: ∫ f k x + b d x = 1 k F k x + b + C

∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 ∫ d x 2 x - 1 2 = 3 2 ∫ d x x - 1 2 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Válasz: ∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 2 ln x - 1 2 + C

A második típusú A x - a n legegyszerűbb törteinek integrálása

Itt is alkalmazzuk a közvetlen integrációs módszert: ∫ A x - a n d x = A ∫ x - a - n d x = A - n + 1 x - a - n + 1 + C = A 1 - n x - a n - 1 + C

3. példa

Meg kell találni a ∫ d x 2 x - 3 7 határozatlan integrált.

Megoldás

∫ dx 2 x - 3 7 = ∫ dx 2 x - 3 2 7 = 1 2 7 ∫ x - 3 2 - 7 dx = = 1 2 7 1 - 7 + 1 x - 3 2 - 7 + 1 + C = 1 2 7 - 6 x - 3 2 6 + C = = 1 2 - 6 2 6 x - 3 2 6 + C = - 1 12 1 2 x - 3 6 + C

Válasz:∫ d x 2 x - 3 7 = - 1 12 1 2 x - 3 6 + C

A harmadik típus legegyszerűbb törteinek integrálása M x + N x 2 + p x + q, D = p 2 - 4 q< 0

Az első lépés az ∫ M x + N x 2 + p x + q határozatlan integrál ábrázolása összegként:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q

Az első integrál felvételéhez a differenciáljel alá vonás módszerét használjuk:

∫ M xx 2 + px + qdx = dx 2 + px + q = 2 x + pdx = 2 xdx + pdx ⇒ 2 xdx = dx 2 + px + q - pdx ⇒ M xdx = M 2 dx 2 + px + q - p M 2 dx = = ∫ M 2 dx 2 + px + q - p M 2 dxx 2 + px + q = = M 2 ∫ dx 2 + px + qx 2 + px + q - p M 2 ∫ dxx 2 + px + q = = M 2 ln x 2 + px + q - p M 2 ∫ dxx 2 + px + q

Ezért,
∫ M x + N x 2 + px + qdx = ∫ M xx 2 + px + qdx + N ∫ dxx 2 + px + q = = M 2 ln x 2 + px + q - p M 2 ∫ dxx 2 + px + q + N ∫ dxx 2 + px + q = = M 2 ln x 2 + px + q + 2 N - p M 2 ∫ dxx 2 + px + q

Megkaptuk a ∫ d x x 2 + p x + q integrált. Alakítsuk át a nevezőjét:

∫ dxx 2 + px + q = ∫ dxx 2 + px + p 2 2 - p 2 2 + q = = ∫ dxx + p 2 2 - p 2 4 + q = ∫ dxx + p 2 2 - p 2 4 + q = = ∫ dxx + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = 2 4 q - p 2 arctan 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Ennélfogva,

∫ M x + N x 2 + px + qdx = M 2 ln x 2 + px + q + 2 N - p M 2 ∫ dxx 2 + px + q = = M 2 ln x 2 + px + q + 2 N - p M 2 2 4 q - p 2 arctan 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

A harmadik típus legegyszerűbb törteinek integrálására szolgáló képlet a következőképpen alakul:
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C

4. példa

Határozzuk meg a ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x határozatlan integrált.

Megoldás

Alkalmazzuk a képletet:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 dx = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 dx = M = 2, N = 1, p = 2, q = 10 = = 1 3 2 2 ln x 2 + 2 x + 10 + 2 1 - 2 2 4 10 - 2 2 arctan 2 x + 2 2 4 10 - 2 2 + C = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 arctgx + 1 3 + C

A második megoldás így néz ki:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 dx = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 dx = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) dx = = 1 3 ∫ 2 x + 2 - 1 x 2 + 2 x + 10 dx = 1 3 ∫ d (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 ∫ dxx 2 + 2 x + 10 = = például = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 3 ∫ d (x) x + 1 2 + 9 = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 arctgx + 1 3 + C

Válasz: ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

A negyedik típus legegyszerűbb törteinek integrálása M x + N (x 2 + p x + q) n, D = p 2 - 4 q< 0

Mindenekelőtt a különbségi jel alatt összegezzük:

∫ M x + N x 2 + px + qdx = d (x 2 + px + q) = (2 x + p) dx = = M 2 ∫ d (x 2 + px + q) (x 2 + px + q) ) n + N - p M 2 ∫ dx (x 2 + px + q) n = = M 2 (- n + 1) 1 (x 2 + px + q) n - 1 + N - p M 2 ∫ dx ( x 2 + px + q) n

Ekkor rekurzív képletek segítségével találunk egy J n = ∫ d x (x 2 + p x + q) n alakú integrált. Az ismétlődő képletekkel kapcsolatos információk az "Integráció ismétlődő képletekkel" témakörben találhatók.

J n = 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + px + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 4 q - p 2 alakú rekurzív képlet J n-1.

5. példa

Határozzuk meg a ∫ d x x 5 x 2 - 1 határozatlan integrált.

Megoldás

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x

Az ilyen típusú integrandusokhoz a helyettesítési módszert fogjuk használni. Vezessen be egy új változót x 2 - 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) - 1 2 d x

Kapunk:

∫ dxx 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 dx = = ∫ (z 2 + 1) - 5 2 z - 1 z (z 2 + 1) - 1 2 dz = ∫ dz (z 2 + 1) 3

Eljutottunk a negyedik típusú tört integráljának megtalálásához. A mi esetünkben megvannak az együtthatók M = 0, p = 0, q = 1, N = 1és n = 3. A rekurzív képletet alkalmazzuk:

J 3 = ∫ dz (z 2 + 1) 3 = 2 z + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) z 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 1 - 0 ∫ dz (z 2 + 1) 2 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 4 2 z (2 - 1) (4 1 - 0) (z 2 + 1) 2 - 1 + 2 2 - 3 2 - 11 2 4 1 - 0 ∫ dzz 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 zz 2 + 1 + 3 8 arctan (z) + C

A z = x 2 - 1 fordított változás után a következő eredményt kapjuk:
∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Válasz:∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Ha hibát észlel a szövegben, kérjük, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl + Enter billentyűket

Példák a racionális függvények (törtek) részletes megoldásokkal történő integrálására.

Tartalom

Lásd még: Kvadratikus gyökerek

Itt részletes megoldásokat kínálunk a következő racionális törtek integrálásának három példájára:
, , .

1. példa

Számítsa ki az integrált:
.

Itt az integráljel alatt egy racionális függvény áll, mivel az integrandus a polinomok töredéke. A nevező polinom foka ( 3 ) kisebb, mint a számlálópolinom fokszáma ( 4 ). Ezért először ki kell választani a tört teljes részét.

1. Jelöljük ki a tört teljes részét. Osszuk el x-et 4 x által 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Innen
.

2. Tényező a tört nevezőjét. Ehhez meg kell oldani a köbös egyenletet:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Helyettesítsd x = 1 :
.

1 ... osztás x-szel - 1 :

Innen
.
A másodfokú egyenlet megoldása.
.
Egyenletgyökök:,.
Azután
.

3. Bővítsük a törtet elemire.

.

Így találtuk:
.
Integrálunk.

2. példa

Számítsa ki az integrált:
.

Itt a tört számlálója egy nulla fokú polinom ( 1 = x 0). A nevező egy harmadfokú polinom. Amennyiben 0 < 3 , akkor a tört helyes. Bontsuk fel a legegyszerűbb törtekre.

1. Tényező a tört nevezőjét. Ehhez meg kell oldania a harmadik fokú egyenletet:
.
Tegyük fel, hogy van legalább egy egész gyökér. Ekkor ez a szám osztója 3 (kifejezés x nélkül). Vagyis a teljes gyök a számok egyike lehet:
1, 3, -1, -3 .
Helyettesítsd x = 1 :
.

Tehát találtunk egy gyökér x = 1 ... Osszuk el x-et 3 + 2 x - 3 x-en - 1 :

Így,
.

Megoldjuk a másodfokú egyenletet:
x 2 + x + 3 = 0.
Keresse meg a diszkriminánst: D = 1 2 - 4 3 = -11... Mivel D< 0 , akkor az egyenletnek nincs valódi gyökere. Így megkaptuk a nevező faktorizálását:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Helyettesítsd x = 1 ... Akkor x- 1 = 0 ,
.

Csere be (2.1) x = 0 :
1 = 3 A-C;
.

Tegyük egyenlővé (2.1) együtthatók x-nél 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Integrálunk.
(2.2) .
A második integrál kiszámításához válassza ki a nevező deriváltját a számlálóban, és csökkentse a nevezőt négyzetek összegére.

;
;
.

Számítsd ki I 2 .


.
Mivel az x egyenlet 2 + x + 3 = 0 nincs valódi gyökere, akkor x 2 + x + 3> 0... Ezért a modulus jel elhagyható.

Mi szállítunk (2.2) :
.

3. példa

Számítsa ki az integrált:
.

Itt az integrál a polinomok töredéke. Ezért az integrandus racionális függvény. A polinom fokszáma a számlálóban az 3 ... A tört nevezőjének polinomjának foka az 4 ... Amennyiben 3 < 4 , akkor a tört helyes. Ezért a legegyszerűbb frakciókra bontható. De ehhez figyelembe kell venni a nevezőt.

1. Tényező a tört nevezőjét. Ehhez meg kell oldania a negyedik fokozat egyenletét:
.
Tegyük fel, hogy van legalább egy egész gyökér. Ekkor ez a szám osztója 2 (kifejezés x nélkül). Vagyis a teljes gyök a számok egyike lehet:
1, 2, -1, -2 .
Helyettesítsd x = -1 :
.

Tehát találtunk egy gyökér x = -1 ... osztás x-szel - (-1) = x + 1:


Így,
.

Most meg kell oldania a harmadik fokozat egyenletét:
.
Ha feltételezzük, hogy ennek az egyenletnek egész gyöke van, akkor ez a szám osztója 2 (kifejezés x nélkül). Vagyis a teljes gyök a számok egyike lehet:
1, 2, -1, -2 .
Helyettesítsd x = -1 :
.

Tehát találtunk egy másik x = gyöket -1 ... Az előző esethez hasonlóan a polinomot eloszthatjuk vele, de csoportosítjuk a tagokat:
.

Mivel az x egyenlet 2 + 2 = 0 nincs valódi gyökere, akkor megkaptuk a nevező faktorizálását:
.

2. Bővítsük a törtet elemire. Dekompozíciót keresünk a következő formában:
.
Megszabadítva a tört nevezőjétől, szorozzuk meg (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Helyettesítsd x = -1 ... Ezután x + 1 = 0 ,
.

Megkülönböztetni (3.1) :

;

.
Helyettesítsd x = -1 és vegyük figyelembe, hogy x + 1 = 0 :
;
; .

Csere be (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Tegyük egyenlővé (3.1) együtthatók x-nél 3 :
;
1 = B + C;
.

Tehát megtaláltuk a bontást a legegyszerűbb törtekre:
.

3. Integrálunk.


.

Lásd még: