पाइथागोरस प्रमेय किन त्रिभुजों पर कार्य करता है? पाइथागोरस प्रमेय: पृष्ठभूमि, प्रमाण, व्यावहारिक अनुप्रयोग के उदाहरण

जब आपने पहली बार वर्गमूल सीखना शुरू किया और अपरिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाए (मूल चिह्न के नीचे एक अज्ञात वाली समानताएं), तो आपको शायद उनके बारे में पहला विचार आया। प्रायोगिक उपयोग... पाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोग पर समस्याओं को हल करने के लिए संख्याओं का वर्गमूल निकालने की क्षमता भी आवश्यक है। यह प्रमेय किसी भी समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को जोड़ता है।

एक समकोण त्रिभुज के पैरों की लंबाई (वे दो भुजाएँ जो समकोण पर अभिसरण करती हैं) को अक्षरों द्वारा निरूपित करें और कर्ण की लंबाई (समकोण के विपरीत त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा) को एक द्वारा निरूपित करें पत्र। तब संगत लंबाइयाँ निम्नलिखित संबंध से संबंधित हैं:

यह समीकरण आपको उस स्थिति में समकोण त्रिभुज की भुजा की लंबाई ज्ञात करने की अनुमति देता है जब इसकी अन्य दो भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो। इसके अलावा, यह आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि क्या विचाराधीन त्रिभुज समकोण है, बशर्ते कि तीनों पक्षों की लंबाई पहले से ज्ञात हो।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके समस्याओं का समाधान

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोग पर निम्नलिखित समस्याओं का समाधान करेंगे।

तो, दिया गया:

1. पैरों में से एक की लंबाई 48 है, कर्ण 80 है।
2. पैर की लंबाई 84 है, कर्ण 91 है।

आइए हल करना शुरू करें:

ए) उपरोक्त समीकरण में डेटा का प्रतिस्थापन निम्नलिखित परिणाम देता है:

48 2 + बी 2 = 80 2

2304 + बी 2 = 6400

बी 2 = 4096

बी= 64 या बी = -64

चूँकि त्रिभुज की भुजा की लंबाई को ऋणात्मक संख्या के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, दूसरा विकल्प स्वतः ही खारिज कर दिया जाता है।

पहली आकृति का उत्तर: बी = 64.

b) दूसरे त्रिभुज के पैर की लंबाई इसी तरह पाई जाती है:

84 2 + बी 2 = 91 2

7056 + बी 2 = 8281

बी 2 = 1225

बी= 35 या बी = -35

पिछले मामले की तरह, नकारात्मक निर्णय को खारिज कर दिया जाता है।

दूसरी आकृति का उत्तर: बी = 35

हम दे रहे हैं:

1. त्रिभुज की छोटी भुजाओं की लंबाई क्रमशः 45 और 55 है, और बड़ी भुजाएँ 75 हैं।
2. त्रिभुज की छोटी भुजाओं की लंबाई क्रमशः 28 और 45 है, और बड़ी भुजाएँ 53 हैं।

हम समस्या का समाधान करते हैं:

a) यह जांचना आवश्यक है कि दिए गए त्रिभुज की छोटी भुजाओं की लंबाई के वर्गों का योग बड़े वाले की लंबाई के वर्ग के बराबर है या नहीं:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

इसलिए, पहला त्रिभुज समकोण नहीं है।

बी) एक ही ऑपरेशन किया जाता है:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

अत: दूसरा त्रिभुज समकोण है।

सबसे पहले, निर्देशांक (-2, -3) और (5, -2) वाले बिंदुओं से बने सबसे बड़े खंड की लंबाई पाएं। ऐसा करने के लिए, हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली में बिंदुओं के बीच की दूरी खोजने के लिए प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करते हैं:

इसी तरह, हम निर्देशांक (-2, -3) और (2, 1) वाले बिंदुओं के बीच संलग्न खंड की लंबाई पाते हैं:

अंत में, हम निर्देशांक (2, 1) और (5, -2) वाले बिंदुओं के बीच के खंड की लंबाई निर्धारित करते हैं:

चूंकि समानता रखती है:

तो संगत त्रिभुज समकोण है।

इस प्रकार, हम समस्या का उत्तर तैयार कर सकते हैं: चूँकि सबसे छोटी लंबाई वाली भुजाओं के वर्गों का योग सबसे बड़ी लंबाई वाली भुजा के वर्ग के बराबर होता है, अंक एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष होते हैं।

आधार (कड़ाई से क्षैतिज रूप से स्थित), जंब (कड़ाई से लंबवत स्थित) और केबल (तिरछे विस्तारित) क्रमशः एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग केबल की लंबाई खोजने के लिए किया जा सकता है:

इस प्रकार, केबल की लंबाई लगभग 3.6 मीटर होगी।

दिया गया है: बिंदु R से बिंदु P (त्रिभुज का पैर) की दूरी 24 है, बिंदु R से बिंदु Q (कर्ण) - 26 तक।

इसलिए, हम समस्या को हल करने में वाइटा की मदद करते हैं। चूँकि आकृति में दिखाए गए त्रिभुज की भुजाएँ एक समकोण त्रिभुज बनाने वाली हैं, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग तीसरी भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है:

अतः तालाब की चौड़ाई 10 मीटर है।

सर्गेई वेलेरिविच

पाइथागोरस प्रमेय: पैरों पर टिके हुए वर्गों के क्षेत्रफलों का योग ( एतथा बी) कर्ण पर बने वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है ( सी).

ज्यामितीय सूत्रीकरण:

प्रारंभ में, प्रमेय इस प्रकार तैयार किया गया था:

बीजीय सूत्रीकरण:

अर्थात्, किसी त्रिभुज के कर्ण की लंबाई को द्वारा निरूपित करते हुए सी, और पैरों की लंबाई एतथा बी :

ए 2 + बी 2 = सी 2

प्रमेय के दोनों कथन समतुल्य हैं, लेकिन दूसरा कथन अधिक प्राथमिक है, इसमें क्षेत्रफल की अवधारणा की आवश्यकता नहीं है। अर्थात्, क्षेत्रफल के बारे में कुछ भी जाने बिना और एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को मापे बिना दूसरे कथन की जाँच की जा सकती है।

रिवर्स पाइथागोरस प्रमेय:

सबूत

पर इस पलवैज्ञानिक साहित्य में इस प्रमेय के 367 प्रमाण दर्ज किए गए हैं। संभवतः पाइथागोरस प्रमेय ही एकमात्र ऐसा प्रमेय है जिसके पास इतनी प्रभावशाली संख्या में प्रमाण हैं। इस विविधता को ज्यामिति के प्रमेय के मूल अर्थ से ही समझाया जा सकता है।

बेशक, वैचारिक रूप से उन सभी को कम संख्या में वर्गों में विभाजित किया जा सकता है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध हैं: क्षेत्र विधि द्वारा प्रमाण, स्वयंसिद्ध और विदेशी प्रमाण (उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणों का उपयोग करके)।

समरूप त्रिभुजों द्वारा

बीजगणितीय सूत्रीकरण का निम्नलिखित प्रमाण स्वयंसिद्धों से सीधे निर्मित प्रमाणों में सबसे सरल है। विशेष रूप से, यह एक आकृति के क्षेत्र की अवधारणा का उपयोग नहीं करता है।

होने देना एबीसीएक समकोण त्रिभुज है जिसमें एक समकोण है सी... आइए से ऊंचाई ड्रा करें सीऔर इसके आधार को द्वारा निरूपित करें एच... त्रिकोण आकत्रिकोण की तरह एबीसीदो कोनों में। इसी प्रकार, त्रिभुज सीबीएचसमान है एबीसी... संकेतन का परिचय

हम पाते हैं

बराबर क्या है

जोड़ने पर, हमें मिलता है

क्षेत्र प्रमाण

नीचे दिए गए प्रमाण, उनकी सरलता के बावजूद, इतने सरल नहीं हैं। वे सभी क्षेत्र के गुणों का उपयोग करते हैं, जिसका प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण से कहीं अधिक कठिन है।

समान पूरकता प्रमाण

1. चार समान समकोण त्रिभुजों को चित्र 1 में दर्शाए अनुसार रखें।
2. भुजाओं वाला चतुर्भुज सीएक वर्ग है, क्योंकि दो का योग है धारदार कोना 90 ° और खुला कोण 180 ° है।
3. संपूर्ण आकृति का क्षेत्रफल एक ओर भुजाओं वाले वर्ग का क्षेत्रफल (a + b) है, और दूसरी ओर, चार त्रिभुजों और दो आंतरिक वर्गों के क्षेत्रफलों का योग है।

क्यू.ई.डी.

बिखराव के माध्यम से साक्ष्य

क्रमपरिवर्तन द्वारा सुरुचिपूर्ण प्रमाण

ऐसे प्रमाणों में से एक का एक उदाहरण दाईं ओर के चित्र में दिखाया गया है, जहाँ कर्ण पर बना एक वर्ग क्रमपरिवर्तन द्वारा पैरों पर बने दो वर्गों में बदल जाता है।

यूक्लिड का प्रमाण

यूक्लिड के प्रमाण के लिए आरेखण

यूक्लिड के प्रमाण के लिए चित्रण

यूक्लिड के प्रमाण के पीछे का विचार इस प्रकार है: आइए यह साबित करने का प्रयास करें कि कर्ण पर बने वर्ग के क्षेत्रफल का आधा भाग पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है, और फिर क्षेत्रफल बड़े और दो छोटे वर्ग बराबर होते हैं।

बाईं ओर के चित्र पर विचार करें। उस पर, हमने एक समकोण त्रिभुज के किनारों पर वर्ग बनाए और कर्ण AB के समकोण C के लंबवत से एक किरण s खींची, यह कर्ण पर बने वर्ग ABIK को दो आयतों में काटती है - BHJI और HAKJ, क्रमशः। यह पता चला है कि इन आयतों के क्षेत्रफल संबंधित पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के बराबर हैं।

आइए यह साबित करने का प्रयास करें कि वर्ग DECA का क्षेत्रफल आयत AHJK के क्षेत्रफल के बराबर है इसके लिए हम एक सहायक अवलोकन का उपयोग करते हैं: इस आयत के समान ऊँचाई और आधार वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल बराबर है दिए गए आयत के आधे क्षेत्रफल तक। यह आधार और ऊंचाई के उत्पाद के आधे के रूप में त्रिभुज के क्षेत्रफल की परिभाषा का परिणाम है। इस अवलोकन से यह पता चलता है कि त्रिभुज ACK का क्षेत्रफल त्रिभुज AHK के क्षेत्रफल के बराबर है (चित्र में नहीं दिखाया गया है), जो बदले में आयत AHJK के आधे क्षेत्रफल के बराबर है। .

आइए अब हम सिद्ध करें कि त्रिभुज ACK का क्षेत्रफल भी वर्ग DECA के आधे क्षेत्रफल के बराबर होता है। इसके लिए केवल एक चीज जो करने की जरूरत है वह है त्रिभुज एसीके और बीडीए की समानता साबित करना (चूंकि त्रिभुज बीडीए का क्षेत्रफल उपरोक्त संपत्ति के अनुसार वर्ग के आधे क्षेत्र के बराबर है)। समानता स्पष्ट है, त्रिभुज दो भुजाओं पर बराबर होते हैं और उनके बीच का कोण। अर्थात् - AB = AK, AD = AC - कोणों की समानता CAK और BAD गति की विधि से सिद्ध करना आसान है: हम त्रिभुज CAK को 90 ° वामावर्त घुमाते हैं, तो यह स्पष्ट है कि दो त्रिभुजों की संगत भुजाएँ विचाराधीन संयोग होगा (चूंकि वर्ग के शीर्ष पर कोण 90 ° है)।

वर्ग BCFG और आयत BHJI के क्षेत्रफलों की समानता के बारे में तर्क पूरी तरह से समान है।

इस प्रकार, हमने सिद्ध किया है कि कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों का योग होता है। इस सबूत के पीछे के विचार को ऊपर दिए गए एनीमेशन के साथ आगे दिखाया गया है।

लियोनार्डो दा विंची का प्रमाण

लियोनार्डो दा विंची का प्रमाण

प्रमाण के मुख्य तत्व समरूपता और गति हैं।

आरेख पर विचार करें, जैसा कि समरूपता से देखा गया है, खंड सीमैंचौक काटता है एबीएचजे दो समान भागों में (त्रिभुजों के बाद से एबीसीतथा जेएचमैंनिर्माण द्वारा समान हैं)। 90 डिग्री वामावर्त घुमाते हुए, हम देखते हैं कि छायांकित आकृतियाँ समान हैं सीएजेमैं तथा जीडीएबी ... अब यह स्पष्ट है कि छायांकित आकृति का क्षेत्रफल टाँगों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल और मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के योग के बराबर है। दूसरी ओर, यह कर्ण पर बने वर्ग के क्षेत्रफल और मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के आधे के बराबर है। प्रूफ़ का अंतिम चरण पाठक पर छोड़ दिया जाता है।

इनफिनिटसिमल की विधि द्वारा प्रमाण

विभेदक समीकरणों का उपयोग करते हुए निम्नलिखित प्रमाण को अक्सर प्रसिद्ध अंग्रेजी गणितज्ञ हार्डी के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है, जो 20 वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में रहते थे।

चित्र में दिखाए गए चित्र को देखकर और भुजा के परिवर्तन को देखते हुए ए, हम पक्षों के अपरिमित रूप से छोटे वेतन वृद्धि के लिए निम्नलिखित संबंध लिख सकते हैं साथतथा ए(त्रिभुजों की समानता का उपयोग करके):

इनफिनिटसिमल की विधि द्वारा प्रमाण

चरों को अलग करने की विधि का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं

दोनों पैरों की वृद्धि के मामले में कर्ण को बदलने के लिए एक अधिक सामान्य अभिव्यक्ति

इस समीकरण को एकीकृत करने और प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

सी 2 = ए 2 + बी 2 + स्थिर।

इस प्रकार, हम वांछित उत्तर पर पहुँचते हैं

सी 2 = ए 2 + बी 2 .

जैसा कि यह देखना आसान है, अंतिम सूत्र में द्विघात निर्भरता त्रिभुज के पक्षों और वेतन वृद्धि के बीच रैखिक आनुपातिकता के कारण प्रकट होती है, जबकि योग विभिन्न पैरों की वृद्धि से स्वतंत्र योगदान से संबंधित है।

एक सरल प्रमाण प्राप्त किया जा सकता है यदि हम मानते हैं कि पैरों में से एक में वृद्धि का अनुभव नहीं होता है (इस मामले में, पैर बी) फिर एकीकरण की निरंतरता के लिए हम प्राप्त करते हैं

विविधताएं और सामान्यीकरण

• यदि वर्गों के बजाय हम पैरों पर अन्य समान आकृतियों का निर्माण करते हैं, तो पाइथागोरस प्रमेय का निम्नलिखित सामान्यीकरण सत्य है: एक समकोण त्रिभुज में पैरों पर बनी समान आकृतियों के क्षेत्रफलों का योग कर्ण पर बनी आकृति के क्षेत्रफल के बराबर होता है।विशेष रूप से:
  • पैरों पर बने नियमित त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग कर्ण पर बने एक नियमित त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
  • पैरों पर बने अर्धवृत्तों के क्षेत्रफलों का योग (जैसे व्यास में) कर्ण पर बने अर्धवृत्त के क्षेत्रफल के बराबर होता है। इस उदाहरण का उपयोग दो वृत्तों के चापों से घिरी और हिप्पोक्रेटिक लून्स के नाम वाली आकृतियों के गुणों को सिद्ध करने के लिए किया जाता है।

कहानी

चु-पेई 500-200 ई.पू. बायां शिलालेख: ऊंचाई और आधार की लंबाई के वर्गों का योग कर्ण की लंबाई का वर्ग है।

प्राचीन चीनी पुस्तक चू-पेई 3, 4 और 5 पक्षों के साथ एक पाइथागोरस त्रिभुज की बात करती है: उसी पुस्तक में, एक चित्र प्रस्तावित किया जाता है जो बशर की हिंदू ज्यामिति के चित्रों में से एक के साथ मेल खाता है।

कैंटोर (गणित का सबसे बड़ा जर्मन इतिहासकार) का मानना ​​है कि समानता 3 + 4 ² = 5 मिस्रवासियों को पहले से ही 2300 ई.पू. के आसपास ज्ञात थी। ई।, राजा अमेनेमहट प्रथम के समय (बर्लिन संग्रहालय के पेपिरस 6619 के अनुसार)। कैंटर के अनुसार, हार्पडोनैप्स, या "रस्सी खींचता है", 3, 4, और 5 भुजाओं वाले समकोण त्रिभुजों का उपयोग करके समकोण का निर्माण करता है।

उनके निर्माण के तरीके को पुन: पेश करना बहुत आसान है। 12 मीटर लंबी एक रस्सी लें और उसे 3 मीटर की दूरी पर रंगीन पट्टी के साथ बांध दें। एक छोर से और दूसरे से 4 मीटर। समकोण 3 और 4 मीटर लंबी भुजाओं के बीच घिरा होगा। यदि आप उदाहरण के लिए, सभी बढ़ई द्वारा उपयोग किए जाने वाले लकड़ी के वर्ग का उपयोग करते हैं, तो हार्पीडोनैप्ट्स का तर्क हो सकता है कि उनके निर्माण का तरीका अनावश्यक हो जाता है। दरअसल, मिस्र के ज्ञात चित्र हैं जिनमें ऐसा उपकरण पाया जाता है, उदाहरण के लिए, बढ़ईगीरी कार्यशाला का चित्रण करने वाले चित्र।

बेबीलोनियाई पाइथागोरस प्रमेय के बारे में कुछ अधिक जाना जाता है। एक पाठ में हम्मुराबी के समय का, यानी 2000 ईसा पूर्व का। BC, एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की अनुमानित गणना दी गई है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मेसोपोटामिया में वे कम से कम कुछ मामलों में समकोण त्रिभुजों के साथ गणना करना जानते थे। एक ओर, मिस्र और बेबीलोन के गणित के बारे में ज्ञान के वर्तमान स्तर के आधार पर, और दूसरी ओर, ग्रीक स्रोतों के एक महत्वपूर्ण अध्ययन पर, वैन डेर वेर्डन (डच गणितज्ञ) ने निम्नलिखित निष्कर्ष निकाला:

साहित्य

रूसी में

• स्कोपेट्स जेडएज्यामितीय लघुचित्र। एम., 1990
• येलेंस्की एसएच।पाइथागोरस के नक्शेकदम पर। एम., 1961
• वैन डेर वेर्डन बी.एल.जागरण विज्ञान। प्राचीन मिस्र, बेबीलोन और यूनान का गणित। एम., 1959
• ग्लेज़र जी.आई.स्कूल में गणित का इतिहास। एम., 1982
• वी. लिट्ज़मैन, "द पाइथागोरस प्रमेय" एम., 1960.
  • बड़ी संख्या में प्रमाणों के साथ पाइथागोरस प्रमेय के बारे में एक साइट, सामग्री वी। लिट्ज़मैन की पुस्तक से ली गई है, बड़ी संख्या में चित्र अलग ग्राफिक फाइलों के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं।
• पाइथागोरस प्रमेय और पाइथागोरस डीवी एनोसोव की पुस्तक "ए लुक एट मैथमेटिक्स एंड समथिंग फ्रॉम इट" के एक अध्याय को तीन गुना करते हैं।
• पाइथागोरस प्रमेय और इसके प्रमाण के तरीकों पर जी. ग्लेज़र, रूसी शिक्षा अकादमी, मास्को के शिक्षाविद

अंग्रेजी में

• वुल्फराममैथवर्ल्ड में पाइथागोरस प्रमेय
• कट-द-नॉट, पाइथागोरस प्रमेय पर एक खंड, लगभग 70 प्रमाण और अतिरिक्त जानकारी का खजाना

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीके

कक्षा 9 "ए" के छात्र

समझौता ज्ञापन SOSH 8

वैज्ञानिक सलाहकार:

गणित के शिक्षक,

समझौता ज्ञापन SOSH 8

कला। नोवोरोज़्देस्टेवेन्स्काया

क्रास्नोडार क्षेत्र।

कला। नोवोरोज़्देस्टेवेन्स्काया

टिप्पणी।

पाइथागोरस प्रमेय को ज्यामिति के पाठ्यक्रम में सबसे महत्वपूर्ण माना जाता है और यह ध्यान देने योग्य है। यह कई ज्यामितीय समस्याओं को हल करने का आधार है, भविष्य में ज्यामिति के सैद्धांतिक और व्यावहारिक पाठ्यक्रम के अध्ययन का आधार है। प्रमेय अपनी उपस्थिति और सबूत के तरीकों से संबंधित सबसे समृद्ध ऐतिहासिक सामग्री से घिरा हुआ है। ज्यामिति के विकास के इतिहास का अध्ययन विषय के प्रति प्रेम पैदा करता है, संज्ञानात्मक रुचि, सामान्य संस्कृति और रचनात्मकता के विकास को बढ़ावा देता है, और अनुसंधान कौशल भी विकसित करता है।

खोज गतिविधि के परिणामस्वरूप, कार्य का लक्ष्य प्राप्त किया गया था, जो पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण पर ज्ञान को फिर से भरना और सामान्य बनाना है। मैं खोजने और विचार करने में कामयाब रहा विभिन्न तरीकेएक स्कूल पाठ्यपुस्तक के पन्नों से परे जाकर विषय पर सबूत और ज्ञान को गहरा करें।

एकत्रित सामग्री और भी अधिक आश्वस्त करती है कि पाइथागोरस प्रमेय ज्यामिति का महान प्रमेय है, इसका महान सैद्धांतिक और व्यावहारिक महत्व है।

परिचय। ऐतिहासिक पृष्ठभूमि 5 मुख्य भाग 8

3. निष्कर्ष 19

4. प्रयुक्त साहित्य 20
1 परिचय। इतिहास संदर्भ।

सच्चाई का सार यह है कि यह हमारे लिए हमेशा के लिए है,

जब हम उसकी अंतर्दृष्टि में कम से कम एक बार प्रकाश देखते हैं,

और पाइथागोरस प्रमेय इतने वर्षों के बाद

हमारे लिए, उसके लिए, यह निर्विवाद, निर्दोष है।

देवताओं को प्रसन्न करने के लिए पाइथागोरस ने एक प्रतिज्ञा की:

अनंत ज्ञान को छूने के लिए,

उसने सनातन बैलों का धन्यवाद किया;

उन्होंने अपने बाद पीड़ित को प्रार्थना और स्तुति की।

तब से, बैल, जब वे सूंघते हैं, धक्का देते हैं,

कि राह फिर से लोगों को नई सच्चाई की ओर ले जाती है,

वे दहाड़ते हैं, इसलिए सुनने के लिए पेशाब नहीं है,

ऐसे पाइथागोरस ने उनमें हमेशा के लिए आतंक पैदा कर दिया।

नई सच्चाई का विरोध करने के लिए शक्तिहीन बैल,

क्या बचा है? - बस अपनी आँखें बंद करो, दहाड़ो, कांप।

यह ज्ञात नहीं है कि पाइथागोरस ने अपने प्रमेय को कैसे सिद्ध किया। यह निश्चित है कि उसने इसे मिस्र के विज्ञान के प्रबल प्रभाव में खोजा था। एक विशेष मामलापाइथागोरस के प्रमेय - 3, 4 और 5 भुजाओं वाले त्रिभुज के गुण - पाइथागोरस के जन्म से बहुत पहले पिरामिड के निर्माणकर्ताओं के लिए जाने जाते थे, लेकिन उन्होंने स्वयं मिस्र के पुजारियों के साथ 20 से अधिक वर्षों तक अध्ययन किया। एक किंवदंती बच गई है, जो कहती है कि, अपने प्रसिद्ध प्रमेय को साबित करने के बाद, पाइथागोरस ने देवताओं को एक बैल की बलि दी, और अन्य स्रोतों के अनुसार, यहां तक ​​​​कि 100 बैल भी। हालाँकि, यह पाइथागोरस के नैतिक और धार्मिक विचारों के बारे में जानकारी का खंडन करता है। साहित्यिक स्रोतों में, आप पढ़ सकते हैं कि उन्होंने "जानवरों को मारने के लिए भी मना किया था, और इससे भी ज्यादा उन्हें खिलाने के लिए, क्योंकि जानवरों के पास हमारी तरह एक आत्मा है।" पाइथागोरस केवल शहद, रोटी, सब्जियां और कभी-कभी मछली खाते थे। इस सब के संबंध में, निम्नलिखित प्रविष्टि को अधिक प्रशंसनीय माना जा सकता है: "... और यहां तक ​​​​कि जब उन्हें पता चला कि एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का पैरों के साथ पत्राचार है, तो उन्होंने गेहूं के आटे से बने एक बैल की बलि दी।"

पाइथागोरस प्रमेय की लोकप्रियता इतनी अधिक है कि इसके प्रमाण कथा साहित्य में भी मिलते हैं, उदाहरण के लिए, प्रसिद्ध अंग्रेजी लेखक हक्सले "यंग आर्किमिडीज" की कहानी में। प्लेटो के मेनन संवाद में एक ही सबूत, लेकिन समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के विशेष मामले के लिए दिया गया है।

परी कथा "हाउस"।

"दूर, दूर, जहां हवाई जहाज भी नहीं उड़ते, ज्यामिति का देश है। इस असामान्य देश में एक अद्भुत शहर था - प्रमेय का शहर। एक बार इस शहर में हाइपोटेनुजा नाम की एक खूबसूरत लड़की आई। उसने एक कमरा किराए पर लेने की कोशिश की, लेकिन वह जहाँ भी मुड़ी, उसे हर जगह मना कर दिया गया। अंत में वह जर्जर घर में गई और दस्तक दी। वह एक ऐसे व्यक्ति द्वारा खोली गई जो खुद को समकोण कहता था, और उसने कर्ण को अपने साथ रहने के लिए आमंत्रित किया। कर्ण उस घर में रहता था जहाँ समकोण और उसके कैथी नाम के दो युवा पुत्र रहते थे। तब से, समकोण के सदन में जीवन एक नए तरीके से बदल गया है। कर्ण ने खिड़की पर फूल और सामने के बगीचे में लाल गुलाब लगाए। घर ने एक समकोण त्रिभुज का आकार ले लिया। दोनों पैरों को कर्ण वास्तव में पसंद आया और उसने उसे हमेशा के लिए अपने घर में रहने के लिए कहा। लो शाम को, यह मिलनसार परिवार परिवार की मेज पर इकट्ठा होता है। कभी-कभी समकोण अपने बच्चों के साथ लुका-छिपी खेलता है। अक्सर उसे देखना पड़ता है, और कर्ण इतनी कुशलता से छिप जाता है कि उसे ढूंढना बहुत मुश्किल हो सकता है। एक बार खेल के दौरान, समकोण ने एक दिलचस्प संपत्ति देखी: यदि वह पैरों को खोजने का प्रबंधन करता है, तो कर्ण को खोजना मुश्किल नहीं है। तो समकोण इस पैटर्न का उपयोग करता है, मुझे कहना होगा, बहुत सफलतापूर्वक। पाइथागोरस प्रमेय इस समकोण त्रिभुज के गुण पर आधारित है।"

(ए। ओकुनेव की पुस्तक से "पाठ के लिए धन्यवाद, बच्चों")।

प्रमेय का एक चंचल सूत्रीकरण:

यदि हमें एक त्रिभुज दिया जाता है

और, इसके अलावा, एक समकोण के साथ,

तब कर्ण का वर्ग

हम हमेशा आसानी से पाएंगे:

हम पैरों को एक वर्ग में खड़ा करते हैं,

हम डिग्री का योग पाते हैं -

और इतने आसान तरीके से

हम परिणाम पर आएंगे।

कक्षा 10 में बीजगणित और विश्लेषण और ज्यामिति की शुरुआत का अध्ययन करते हुए, मुझे विश्वास हो गया कि ग्रेड 8 में मानी जाने वाली पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने की विधि के अलावा, सिद्ध करने के अन्य तरीके भी हैं। मैं उन्हें आपकी समीक्षा के लिए प्रस्तुत करता हूं।
2. मुख्य भाग।

प्रमेय। एक समकोण त्रिभुज में, एक वर्ग

कर्ण पैरों के वर्गों के योग के बराबर है।

1 विधि।

बहुभुजों के क्षेत्रफलों के गुणों का उपयोग करते हुए, हम एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और टांगों के बीच एक उल्लेखनीय संबंध स्थापित करेंगे।

सबूत।

ए, इनऔर कर्ण साथ(चित्र। 1, ए)।

आइए साबित करें कि सी² = ए² + बी².

सबूत।

आइए एक भुजा वाले वर्ग का त्रिभुज बनाते हैं ए + बीजैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 1, ख. इस वर्ग का क्षेत्रफल S (a + b) के बराबर है। दूसरी ओर, यह वर्ग चार समान समकोण त्रिभुजों से बना है, जिनमें से प्रत्येक ½ . है ऐडवर्ड्स, और भुजा वाला एक वर्ग साथ,इसलिए एस = 4 * ½ एवी + एस² = 2एवी + एस².

इस तरह,

(ए + बी) = 2 एवी + एस²,

सी² = ए² + बी².

प्रमेय सिद्ध होता है।
2 विधि।

"समान त्रिभुज" विषय का अध्ययन करने के बाद मैंने पाया कि पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण के लिए त्रिभुजों की समानता को लागू करना संभव है। अर्थात्, मैंने इस कथन का उपयोग किया है कि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण के लिए आनुपातिक औसत है और कर्ण का खंड पैर और समकोण के शीर्ष से खींची गई ऊंचाई के बीच संलग्न है।

समकोण , D- ऊँचाई वाले एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें (चित्र 2)। आइए साबित करें कि जैसा+ सीबी= एबी² .

सबूत।

एक समकोण त्रिभुज के पैर के बारे में कथन के आधार पर:

एसी =, एसवी =।

आइए वर्गाकार करें और परिणामी समानताएं जोड़ें:

एसी² = एबी * एडी, सीबी² = एबी * डीबी;

एसी² + सीबी² = एबी * (एडी + डीबी), जहां एडी + डीबी = एबी, तो

एसी² + एसवी² = एबी * एबी,

एसी² + सीबी² = एबी²।

सबूत पूरा हो गया है।
3 विधि।

एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की कोज्या की परिभाषा को पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण पर लागू किया जा सकता है। अंजीर पर विचार करें। 3.

सबूत:

मान लीजिए ABC एक समकोण C वाला एक समकोण त्रिभुज है। समकोण C के शीर्ष से ऊँचाई CD खींचिए।

कोण की कोज्या की परिभाषा के अनुसार:

कॉस ए = एडी / एसी = एसी / एबी। अत: AB * AD = AC²

इसी तरह,

कॉस बी = बीडी / बीसी = बीसी / एबी।

अत: एबी * बीडी = बीसी²।

प्राप्त समानता पदों को पदों से जोड़ने पर और यह देखते हुए कि AD + DB = AB, हम प्राप्त करते हैं:

जैसा+ सूरज² = एबी (एडी + डीबी) = अब²

सबूत पूरा हो गया है।
4 विधि।

"एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच संबंध" विषय का अध्ययन करने के बाद, मुझे लगता है कि पाइथागोरस प्रमेय को दूसरे तरीके से सिद्ध किया जा सकता है।

पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें ए, इनऔर कर्ण साथ... (अंजीर। 4)।

आइए साबित करें कि सी² = ए² + बी²।

सबूत।

पाप बी =एसी ; क्योंकि बी =जैसा , फिर, प्राप्त समानताओं को चुकता करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

पाप बी =в² / с²; कोस² वी= ए² / सी²।

उन्हें एक साथ जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:

पाप वी+ कोस बी = b² / s² + a² / c², जहाँ sin² वी+ कोस बी = 1,

1 = (बी² + ए²) / सी², इसलिए

सी² = ए² + बी²।

सबूत पूरा हो गया है।

5 विधि।

यह प्रमाण पैरों पर बने वर्गों को काटने पर आधारित है (चित्र 5) और परिणामी टुकड़ों को कर्ण पर बने वर्ग पर रखने पर आधारित है।

6 विधि।

पैर पर सबूत के लिए रविनिर्माण बीसीडी एबीसी(अंजीर। 6)। हम जानते हैं कि ऐसी आकृतियों के क्षेत्रफल उनके समान रैखिक विमाओं के वर्गों के रूप में संबंधित हैं:

पहली से दूसरी समानता घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं

c2 = a2 + ख 2.

सबूत पूरा हो गया है।

7 विधि।

दिया गया(अंजीर। 7):

एबीसी,= 90 ° , रवि= ए, एसी =बी, एबी = सी।

साबित करें:c2 = a2 +बी2.

सबूत।

पैर चलो बी ए।आइए खंड जारी रखें एसवीप्रति बिंदु वीऔर एक त्रिभुज बनाएं बीएमडीताकि अंक एमतथा एएक सीधी रेखा के एक तरफ लेट जाओ सीडीके अतिरिक्त, बीडी =बी, बीडीएम= 90 डिग्री, डीएम= ए, तब बीएमडी= एबीसीदोनों तरफ और उनके बीच के कोने पर। अंक ए और एमखंडों द्वारा कनेक्ट करें पूर्वाह्न।हमारे पास है मोहम्मद सीडीतथा एसी सीडी,मतलब सीधा जैसासीधी रेखा के समानांतर एमडीचूंकि मोहम्मद< АС, फिर सीधे सीडीतथा पूर्वाह्नसमानांतर नहीं। फलस्वरूप, एएमडीसी -आयताकार ट्रेपोजॉइड।

समकोण त्रिभुजों में ABC तथा बीएमडी 1 + 2 = 90 ° और 3 + 4 = 90 °, लेकिन चूंकि = =, तो 3 + 2 = 90 °; फिर एवीएम= 180 ° - 90 ° = 90 °। यह पता चला कि ट्रेपोजॉइड एएमडीसीतीन गैर-अतिव्यापी समकोण त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है, फिर क्षेत्रों के स्वयंसिद्धों के अनुसार

(ए + बी) (ए + बी)

असमानता के सभी पदों को विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

एबी + सी 2 + एबी = (ए +बी) , 2 अब+ सी2 = a2+ 2एबी+ बी 2,

c2 = a2 + ख 2.

सबूत पूरा हो गया है।

8 विधि।

यह विधि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पैरों पर आधारित है। एबीसी.वह संबंधित वर्गों का निर्माण करता है और साबित करता है कि कर्ण पर बना वर्ग पैरों पर बने वर्गों के योग के बराबर है (चित्र 8)।

सबूत।

1) डीबीसी= एफ बी ए= 90 डिग्री;

डीबीसी + एबीसी= एफबीए + एबीसी,साधन, एफबीसी = डीबीए।

इस तरह, एफबीसी=अब्द(दोनों तरफ और उनके बीच के कोने पर)।

2) , जहाँ AL DE, चूँकि BD एक उभयनिष्ठ आधार है, डीएल -कुल ऊंचाई।

3) , चूंकि FB एक फाउंडेशन है, अब- कुल ऊंचाई।

4)

5) इसी प्रकार, कोई यह सिद्ध कर सकता है कि

6) पद दर पद जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:

, BC2 = AB2 + AC2 . सबूत पूरा हो गया है।

9 विधि।

सबूत।

1) चलो एबीडीई- एक वर्ग (चित्र 9), जिसकी भुजा समकोण त्रिभुज के कर्ण के बराबर है एबीसी (एबी= एस, बीसी = ए, एसी =बी)।

2) चलो डीके ईसा पूर्वतथा डीके = बीसी,चूँकि 1 + 2 = 90 ° (एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोनों की तरह), 3 + 2 = 90 ° (एक वर्ग के कोने की तरह), अब= बीडी(वर्ग के किनारे)।

माध्यम, एबीसी= भडक(कर्ण और न्यून कोण से)।

3) चलो एली डीके, एएम ईएल.आप आसानी से सिद्ध कर सकते हैं कि ABC = BDK = DEL = EAM (पैरों के साथ .) एतथा बी)।फिर केएस= सेमी= एमएल= लालकृष्ण= ए -बी।

4) एसकेबी = 4एस + एसकेएलएमसी= 2ab+ (ए - बी),साथ2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

सबूत पूरा हो गया है।

10 विधि।

प्रमाण को मजाक में "पायथागॉरियन पैंट" (चित्र 10) नामक एक आकृति पर खींचा जा सकता है। इसका विचार पैरों पर बने वर्गों को समान त्रिभुजों में बदलना है जो एक साथ कर्ण का वर्ग बनाते हैं।

एबीसीहम चलते हैं, जैसा कि तीर द्वारा दिखाया गया है, और यह स्थिति लेता है केडीएन.बाकी का आंकड़ा एकेडीसीबीएक वर्ग के बराबर क्षेत्रफल एकेडीसी -यह एक समांतर चतुर्भुज है एकेएनबी.

समांतर चतुर्भुज मॉडल बनाया गया एकेएनबी... हम काम की सामग्री में स्केच के अनुसार समांतर चतुर्भुज को स्थानांतरित करते हैं। एक समांतर चतुर्भुज का एक समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुज में परिवर्तन दिखाने के लिए, विद्यार्थियों की आँखों के सामने, मॉडल पर एक त्रिभुज को काटकर नीचे की ओर खिसकाएँ। इस प्रकार, वर्ग का क्षेत्रफल एकेडीसीआयत के क्षेत्रफल के बराबर निकला। इसी तरह वर्ग के क्षेत्रफल को आयत के क्षेत्रफल में बदलें।

आइए एक पैर पर बने वर्ग के लिए एक परिवर्तन करें ए(चित्र 11, ए):

a) वर्ग एक समान क्षेत्रफल वाले समांतर चतुर्भुज में बदल जाता है (चित्र 11.6):

बी) समांतर चतुर्भुज को एक चौथाई मोड़ से घुमाया जाता है (चित्र 12):

ग) समांतर चतुर्भुज एक समान आकार के आयत में बदल जाता है (चित्र 13): 11 विधि।

सबूत:

पीसीएल -सीधी रेखा (चित्र 14);

केएलओए= एसीपीएफ= एसीईडी= ए2;

एलजीबीओ= एसवीएमआर =सीबीएनक्यू= बी 2;

एकेजीबी= एक्लो +एलजीबीओ= c2;

c2 = a2 + ख 2.

सबूत खत्म हो गया है .

12 विधि।

चावल। 15 पाइथागोरस प्रमेय का एक और मूल प्रमाण दिखाता है।

यहाँ: समकोण C वाला त्रिभुज ABC; अनुभाग BF केसीधा एसवीऔर इसके बराबर है, खंड होनासीधा अबऔर इसके बराबर है, खंड विज्ञापनसीधा जैसाऔर उसके बराबर; अंक एफ, सी,डीएक सीधी रेखा से संबंधित हैं; चतुर्भुजों एडीएफबीतथा एसीबीईबराबर हैं, क्योंकि एबीएफ = ईसीबी;त्रिभुज एडीएफतथा ऐससमान क्षेत्र; दोनों समान आकार के चतुर्भुजों में से उनके लिए उभयनिष्ठ त्रिभुज घटाएं एबीसी,प्राप्त

, c2 = a2 + ख 2.

सबूत पूरा हो गया है।

13 विधि।

इस समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल, एक ओर, के बराबर है , दूसरे के साथ, ,

3. निष्कर्ष।

खोज गतिविधि के परिणामस्वरूप, कार्य का लक्ष्य प्राप्त किया गया था, जो पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण पर ज्ञान को फिर से भरना और सामान्य बनाना है। मैं इसे साबित करने के लिए विभिन्न तरीकों को खोजने और उन पर विचार करने और विषय पर ज्ञान को गहरा करने में कामयाब रहा, स्कूल की पाठ्यपुस्तक के पन्नों से परे जाकर।

मैंने जो सामग्री एकत्र की है वह और भी अधिक आश्वस्त करती है कि पाइथागोरस प्रमेय ज्यामिति का महान प्रमेय है, इसका बहुत बड़ा सैद्धांतिक और व्यावहारिक महत्व है। अंत में, मैं कहना चाहूंगा: पाइथागोरस ट्रिपलेट प्रमेय की लोकप्रियता का कारण सुंदरता, सरलता और महत्व है!

4. प्रयुक्त साहित्य।

1. मनोरंजक बीजगणित। ... मॉस्को "साइंस", 1978।

2. "सितंबर 1", 24/2001 समाचार पत्र के लिए साप्ताहिक शैक्षिक और पद्धतिगत पूरक।

3. ज्यामिति 7-9। और आदि।

4. ज्यामिति 7-9। और आदि।

सुनिश्चित करें कि आपको दिया गया त्रिभुज समकोण है, क्योंकि पाइथागोरस प्रमेय केवल समकोण त्रिभुजों पर लागू होता है। समकोण त्रिभुजों में, तीन कोणों में से एक हमेशा 90 डिग्री का होता है।

• एक समकोण त्रिभुज में एक समकोण एक वर्ग चिह्न द्वारा इंगित किया जाता है, वक्र नहीं, जो एक तिरछा कोण होता है।

त्रिभुज की भुजाओं के लिए दिशानिर्देश जोड़ें।पैरों को "ए" और "बी" (पैर - समकोण पर प्रतिच्छेद करते हुए) के रूप में लेबल करें, और कर्ण को "सी" (कर्ण - एक समकोण त्रिभुज का सबसे बड़ा पक्ष, समकोण के विपरीत स्थित) के रूप में लेबल करें।

निर्धारित करें कि आप त्रिभुज की किस भुजा को खोजना चाहते हैं।पाइथागोरस प्रमेय आपको एक समकोण त्रिभुज की कोई भी भुजा खोजने की अनुमति देता है (यदि अन्य दो भुजाएँ ज्ञात हों)। निर्धारित करें कि आपको कौन सा पक्ष (ए, बी, सी) खोजना है।

• उदाहरण के लिए, 5 के बराबर एक कर्ण दिया गया है, और 3 के बराबर एक पैर दिया गया है। इस मामले में, आपको दूसरा पैर खोजने की जरूरत है। हम इस उदाहरण पर बाद में वापस आएंगे।
• यदि अन्य दो पक्ष अज्ञात हैं, तो पायथागॉरियन प्रमेय को लागू करने में सक्षम होने के लिए अज्ञात पक्षों में से एक की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, मूल त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करें (यदि आपको तिरछे कोणों में से एक का मान दिया गया है)।

सूत्र a 2 + b 2 = c 2 में आपको दिए गए मान (या आपको मिले मान) में रखें।याद रखें कि a और b पैर हैं और c कर्ण है।

• हमारे उदाहरण में, लिखें: 3² + b² = 5²।

प्रत्येक पक्ष को स्क्वायर करें जिसे आप जानते हैं।या डिग्री छोड़ दें - आप बाद में संख्याओं का वर्ग कर सकते हैं।

• हमारे उदाहरण में, लिखिए: 9 + b² = 25।

अज्ञात पक्ष को समीकरण के एक तरफ अलग करें।ऐसा करने के लिए, ज्ञात मानों को समीकरण के दूसरी तरफ स्थानांतरित करें। यदि आप कर्ण पाते हैं, तो पाइथागोरस प्रमेय में यह पहले से ही समीकरण के एक तरफ अलग है (इसलिए कुछ भी करने की आवश्यकता नहीं है)।

• हमारे उदाहरण में, 9 को . में स्थानांतरित करें दाईं ओरअज्ञात b² को अलग करने के लिए समीकरण। आपको b² = 16 मिलेगा।

समीकरण के एक तरफ अज्ञात (वर्ग) और दूसरी तरफ एक अवरोधन (संख्या) होने के बाद समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल निकालें।

• हमारे उदाहरण में, b² = 16. समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लें और b = 4 प्राप्त करें। तो दूसरा चरण 4 है।

पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें दिनचर्या या रोज़मर्रा की ज़िंदगीचूंकि इसे विभिन्न प्रकार की व्यावहारिक स्थितियों में लागू किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, रोजमर्रा की जिंदगी में समकोण त्रिभुजों को पहचानना सीखें - किसी भी स्थिति में जिसमें दो वस्तुएँ (या रेखाएँ) समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं, और एक तीसरी वस्तु (या रेखा) पहली दो वस्तुओं के शीर्ष को (तिरछे) जोड़ती है (या रेखाएं), आप अज्ञात पक्ष को खोजने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं (यदि अन्य दो पक्ष ज्ञात हैं)।

• उदाहरण: एक इमारत के खिलाफ झुकी हुई सीढ़ी दी गई। सीढ़ियों के नीचे दीवार के आधार से 5 मीटर की दूरी पर है। सबसे ऊपर का हिस्सासीढ़ी जमीन से 20 मीटर (दीवार के ऊपर) है। सीढ़ियाँ कितनी लंबी हैं?
  • "दीवार के आधार से 5 मीटर" का अर्थ है कि a = 5; "जमीन से 20 मीटर की दूरी पर है" का अर्थ है कि b = 20 (अर्थात, आपको एक समकोण त्रिभुज के दो पैर दिए गए हैं, क्योंकि भवन की दीवार और पृथ्वी की सतह समकोण पर प्रतिच्छेद करती है)। सीढ़ी की लंबाई कर्ण की लंबाई है, जो अज्ञात है।
    • ए² + बी² = सी²
    • (5) + (20) = c²
    • 25 + 400 = सी²
    • 425 = सी²
    • सी = √425
    • एस = 20.6। इस प्रकार, सीढ़ियों की अनुमानित लंबाई 20.6 मीटर है।

पाइथागोरस प्रमेय

अन्य प्रमेयों और समस्याओं का भाग्य अजीबोगरीब है ... कोई कैसे समझा सकता है, उदाहरण के लिए, गणितज्ञों और गणित के शौकीनों की ओर से पाइथागोरस प्रमेय पर इस तरह का असाधारण ध्यान? उनमें से कई पहले से ही ज्ञात प्रमाणों से संतुष्ट क्यों नहीं थे, लेकिन अपने स्वयं के पाए गए, प्रमाणों की संख्या को पच्चीस से अधिक सौ से अधिक तुलनात्मक रूप से दूरदर्शी सदियों तक लाए?
जब पाइथागोरस प्रमेय की बात आती है, तो असामान्य इसके नाम से शुरू होता है। ऐसा माना जाता है कि पाइथागोरस इसे बनाने वाले पहले व्यक्ति नहीं थे। यह भी संदिग्ध माना जाता है कि उसने उसे सबूत दिया। यदि पाइथागोरस एक वास्तविक व्यक्ति है (कुछ इस पर भी संदेह करते हैं!), तो वह 6 वीं -5 वीं शताब्दी में, सबसे अधिक संभावना है। ईसा पूर्व इ। उन्होंने खुद कुछ नहीं लिखा, खुद को एक दार्शनिक कहा, जिसका अर्थ है, उनकी समझ में, "ज्ञान के लिए प्रयास करना", पाइथागोरस संघ की स्थापना की, जिसके सदस्य संगीत, जिमनास्टिक, गणित, भौतिकी और खगोल विज्ञान में लगे हुए थे। जाहिरा तौर पर, वह एक उत्कृष्ट वक्ता भी थे, जैसा कि क्रोटोन शहर में उनके प्रवास से संबंधित निम्नलिखित किंवदंती से स्पष्ट है: "क्रोटोन में लोगों के सामने पाइथागोरस की पहली उपस्थिति युवा पुरुषों के भाषण के साथ शुरू हुई, जिसमें वह ऐसा था सख्त, लेकिन साथ ही साथ युवकों की जिम्मेदारियों को इतना आकर्षक रूप से रेखांकित किया, कि शहर के बुजुर्गों ने उन्हें बिना निर्देश के नहीं छोड़ने के लिए कहा। इस दूसरे भाषण में, उन्होंने परिवार की नींव के रूप में नैतिकता की वैधता और शुद्धता की ओर इशारा किया; अगले दो में उन्होंने बच्चों और महिलाओं को संबोधित किया। अंतिम भाषण का परिणाम, जिसमें उन्होंने विशेष रूप से विलासिता की निंदा की, यह था कि हजारों कीमती कपड़े हेरा के मंदिर में पहुंचाए गए, क्योंकि अब किसी भी महिला ने खुद को सड़क पर दिखाने की हिम्मत नहीं की ... "फिर भी, यहां तक ​​​​कि दूसरी शताब्दी ईस्वी, यानी 700 वर्षों के बाद, वे रहते थे और काफी काम करते थे सच्चे लोग, उत्कृष्ट वैज्ञानिक, स्पष्ट रूप से पाइथागोरस संघ के प्रभाव में और पौराणिक कथाओं के अनुसार, पाइथागोरस ने जो बनाया, उसके लिए बहुत सम्मान के साथ।
इसमें कोई संदेह नहीं है कि प्रमेय में रुचि इस तथ्य के कारण भी है कि यह गणित में केंद्रीय स्थानों में से एक पर कब्जा कर लेता है, और उन सबूतों के लेखकों की संतुष्टि के कारण जिन्होंने कठिनाइयों पर काबू पा लिया, जिसके बारे में रोमन कवि क्विंटस होरेस फ्लैकस, जो हमारे युग से पहले रहते थे, अच्छी तरह से बोलते थे: "जाने-माने तथ्यों को व्यक्त करना मुश्किल है।" ...
प्रारंभ में, प्रमेय ने कर्ण पर बने वर्गों के क्षेत्रों और एक समकोण त्रिभुज के पैरों के बीच संबंध स्थापित किया:
.
बीजीय सूत्रीकरण:
एक समकोण त्रिभुज में कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है।
अर्थात्, c के माध्यम से त्रिभुज के कर्ण की लंबाई, और a और b के माध्यम से पैरों की लंबाई: a 2 + b 2 = c 2 को दर्शाता है। प्रमेय के दोनों कथन समतुल्य हैं, लेकिन दूसरा कथन अधिक प्राथमिक है, इसमें क्षेत्रफल की अवधारणा की आवश्यकता नहीं है। अर्थात्, क्षेत्रफल के बारे में कुछ भी जाने बिना और एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को मापे बिना दूसरे कथन की जाँच की जा सकती है।
पाइथागोरस का विलोम प्रमेय। सकारात्मक संख्याओं के किसी भी ट्रिपल के लिए a, b और c ऐसा है कि
a 2 + b 2 = c 2, पैरों a और b और कर्ण c के साथ एक समकोण त्रिभुज है।

सबूत

फिलहाल इस प्रमेय के 367 प्रमाण वैज्ञानिक साहित्य में दर्ज हैं। संभवतः पाइथागोरस प्रमेय ही एकमात्र ऐसा प्रमेय है जिसके पास इतनी प्रभावशाली संख्या में प्रमाण हैं। इस विविधता को ज्यामिति के प्रमेय के मूल अर्थ से ही समझाया जा सकता है।
बेशक, वैचारिक रूप से उन सभी को कम संख्या में वर्गों में विभाजित किया जा सकता है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध हैं: क्षेत्र विधि द्वारा प्रमाण, स्वयंसिद्ध और विदेशी प्रमाण (उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणों का उपयोग करके)।

समरूप त्रिभुजों द्वारा

बीजगणितीय सूत्रीकरण का निम्नलिखित प्रमाण स्वयंसिद्धों से सीधे निर्मित प्रमाणों में सबसे सरल है। विशेष रूप से, यह एक आकृति के क्षेत्र की अवधारणा का उपयोग नहीं करता है।
मान लीजिए ABC समकोण C वाला एक समकोण त्रिभुज है। C से ऊँचाई खींचिए और उसके आधार को H से निरूपित कीजिए। त्रिभुज ACH दो कोणों में त्रिभुज ABC के समरूप है।
इसी तरह, त्रिभुज सीबीएच एबीसी के समान है। संकेतन का परिचय

हम पाते हैं

बराबर क्या है

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या

क्षेत्र प्रमाण

नीचे दिए गए प्रमाण, उनकी सरलता के बावजूद, इतने सरल नहीं हैं। वे सभी क्षेत्र के गुणों का उपयोग करते हैं, जिसका प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण से कहीं अधिक कठिन है।

समान पूरकता प्रमाण

1. चार समान समकोण त्रिभुजों को चित्र में दर्शाए अनुसार रखें।
2. भुजा c वाला एक चतुर्भुज एक वर्ग है, क्योंकि दो न्यून कोणों का योग 90° और खुला हुआ कोण 180° होता है।
3. पूरी आकृति का क्षेत्रफल, एक ओर भुजाओं वाले वर्ग का क्षेत्रफल (a + b) है, और दूसरी ओर, चार त्रिभुजों के क्षेत्रफल और एक आंतरिक वर्ग का योग है .



क्यू.ई.डी.

बिखराव के माध्यम से साक्ष्य

ऐसे प्रमाणों में से एक का एक उदाहरण दाईं ओर के चित्र में दिखाया गया है, जहाँ कर्ण पर बना एक वर्ग क्रमपरिवर्तन द्वारा पैरों पर बने दो वर्गों में बदल जाता है।

यूक्लिड का प्रमाण

यूक्लिड के प्रमाण के पीछे का विचार इस प्रकार है: आइए यह साबित करने का प्रयास करें कि कर्ण पर बने वर्ग के क्षेत्रफल का आधा भाग पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है, और फिर क्षेत्रफल बड़े और दो छोटे वर्ग बराबर होते हैं। बाईं ओर के चित्र पर विचार करें। उस पर, हमने एक समकोण त्रिभुज के किनारों पर वर्ग बनाए और कर्ण AB के समकोण C के लंबवत से एक किरण s खींची, यह कर्ण पर बने वर्ग ABIK को दो आयतों में काटती है - BHJI और HAKJ, क्रमशः। यह पता चला है कि इन आयतों के क्षेत्रफल संबंधित पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के बराबर हैं। आइए यह साबित करने का प्रयास करें कि वर्ग DECA का क्षेत्रफल आयत AHJK के क्षेत्रफल के बराबर है इसके लिए हम एक सहायक अवलोकन का उपयोग करते हैं: इस आयत के समान ऊँचाई और आधार वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल बराबर है दिए गए आयत के आधे क्षेत्रफल तक। यह आधार और ऊंचाई के उत्पाद के आधे के रूप में त्रिभुज के क्षेत्रफल की परिभाषा का परिणाम है। इस अवलोकन से यह पता चलता है कि त्रिभुज ACK का क्षेत्रफल त्रिभुज AHK के क्षेत्रफल के बराबर है (चित्र में नहीं दिखाया गया है), जो बदले में आयत AHJK के आधे क्षेत्रफल के बराबर है। . आइए अब हम सिद्ध करें कि त्रिभुज ACK का क्षेत्रफल भी वर्ग DECA के आधे क्षेत्रफल के बराबर होता है। इसके लिए केवल एक चीज जो करने की जरूरत है वह है त्रिभुज एसीके और बीडीए की समानता साबित करना (चूंकि त्रिभुज बीडीए का क्षेत्रफल उपरोक्त संपत्ति के अनुसार वर्ग के आधे क्षेत्र के बराबर है)। समानता स्पष्ट है, त्रिभुज दो भुजाओं पर बराबर होते हैं और उनके बीच का कोण। अर्थात् - AB = AK, AD = AC - कोणों की समानता CAK और BAD गति की विधि से सिद्ध करना आसान है: हम त्रिभुज CAK को 90 ° वामावर्त घुमाते हैं, तो यह स्पष्ट है कि दो त्रिभुजों की संगत भुजाएँ विचाराधीन संयोग होगा (चूंकि वर्ग के शीर्ष पर कोण 90 ° है)। वर्ग BCFG और आयत BHJI के क्षेत्रफलों की समानता के बारे में तर्क पूरी तरह से समान है। इस प्रकार, हमने सिद्ध किया है कि कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों का योग होता है।

लियोनार्डो दा विंची का प्रमाण

प्रमाण के मुख्य तत्व समरूपता और गति हैं।

चित्र पर विचार करें, जैसा कि समरूपता से देखा जा सकता है, खंड CI वर्ग ABHJ को दो समान भागों में काटता है (चूंकि त्रिभुज ABC और JHI निर्माण में समान हैं)। इसे 90 डिग्री वामावर्त घुमाने पर, हम देखते हैं कि छायांकित आंकड़े CAJI और GDAB बराबर हैं। अब यह स्पष्ट है कि छायांकित आकृति का क्षेत्रफल टाँगों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल और मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के योग के बराबर है। दूसरी ओर, यह कर्ण पर बने वर्ग के क्षेत्रफल और मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के आधे के बराबर है। प्रूफ़ का अंतिम चरण पाठक पर छोड़ दिया जाता है।