Všetky prirodzené čísla. Celé čísla

Otázka pre vedca: Počul som, že súčet všetkých prirodzených čísel je -1/12. Je to nejaký trik, alebo je to pravda?

Odpoveď tlačovej služby MIPT- Áno, takýto výsledok možno získať pomocou techniky nazývanej expanzia funkcie v rade.

Otázka položená čitateľom je pomerne zložitá, a preto na ňu neodpovedáme zvyčajným textom pre rubriku „Otázka pre vedca“ na niekoľko odsekov, ale s výrazne zjednodušeným vzhľadom na matematický článok.

Vo vedeckých článkoch z matematiky, kde je potrebné dokázať nejakú zložitú vetu, je dej rozdelený na niekoľko častí, v ktorých sa dajú jeden po druhom dokázať rôzne pomocné tvrdenia. Predpokladáme, že čitatelia poznajú kurz matematiky v rámci deviatich ročníkov, preto sa vopred ospravedlňujeme tým, ktorým sa príbeh zdá príliš jednoduchý - maturanti sa môžu ihneď obrátiť na http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation .

Celková suma

Začnime rozprávaním o tom, ako môžete sčítať všetky prirodzené čísla. Prirodzené čísla sú čísla, ktoré sa používajú na počítanie pevných predmetov – všetky sú celé a nezáporné. Deti sa učia predovšetkým prirodzené čísla: 1, 2, 3 atď. Súčet všetkých prirodzených čísel bude vyjadrením tvaru 1+2+3+... = a tak ďalej do nekonečna.

Rad prirodzených čísel je nekonečný, je ľahké ho dokázať: veď k ľubovoľne veľkému číslu možno vždy pridať jedno. Alebo dokonca vynásobte toto číslo samo o sebe, alebo dokonca vypočítajte jeho faktoriál - je jasné, že vyjde ešte väčšia hodnota, ktorá bude tiež prirodzeným číslom.

Všetky operácie s nekonečne veľkými hodnotami sú podrobne riešené v priebehu matematickej analýzy, ale teraz, aby sme to pochopili tým, ktorí ešte neprešli týmto kurzom, trochu zjednodušíme podstatu. Povedzme, že nekonečno, ku ktorému bolo pridané jedno, nekonečno, ktoré bolo na druhú mocninu alebo faktoriál nekonečna, je tiež nekonečno. Môžeme predpokladať, že nekonečno je taký špeciálny matematický objekt.

A podľa všetkých pravidiel matematického rozboru v rámci prvého semestra je aj súčet 1+2+3+...+nekonečno nekonečný. To je ľahko pochopiteľné z predchádzajúceho odseku: ak pridáte niečo do nekonečna, stále to bude nekonečno.

Brilantný indický matematik Srinivasa Ramanujan Iyengor v roku 1913 však prišiel na spôsob, ako sčítať prirodzené čísla trochu iným spôsobom. Napriek tomu, že Ramanujan nezískal špeciálne vzdelanie, jeho vedomosti sa neobmedzovali len na dnešný školský kurz – matematik vedel o existencii Euler-Maclaurinovho vzorca. Keďže hrá dôležitú úlohu v ďalšom rozprávaní, bude potrebné jej to povedať podrobnejšie.

Euler-Maclaurin vzorec

Začnime napísaním tohto vzorca:

Ako vidíte, je to dosť zložité. Niektorí čitatelia môžu túto časť úplne preskočiť, niektorí si môžu prečítať príslušné učebnice alebo aspoň článok na Wikipédii a pre zvyšok uvedieme krátky komentár. Kľúčovú úlohu vo vzorci zohráva ľubovoľná funkcia f(x), ktorá môže byť takmer čokoľvek, pokiaľ má dostatočný počet derivácií. Pre tých, ktorí tento matematický pojem nepoznajú (a predsa sa rozhodli prečítať si, čo tu bolo napísané!), povedzme ešte jednoduchšie – graf funkcie by nemal byť čiarou, ktorá sa v ktoromkoľvek bode ostro zlomí.

Derivácia funkcie, ak je jej význam extrémne zjednodušený, je hodnota, ktorá ukazuje, ako rýchlo funkcia rastie alebo klesá. Z geometrického hľadiska je derivácia tangensom sklonu dotyčnice ku grafu.

Na ľavej strane vzorca je súčet tvaru „hodnota f(x) v bode m + hodnota f(x) v bode m+1 + hodnota f(x) v bode m+2 a tak ďalej až do bodu m+n“. Navyše, čísla m a n sú prirodzené, to by sa malo osobitne zdôrazniť.

Na pravej strane vidíme niekoľko výrazov a zdajú sa byť veľmi ťažkopádne. Prvý (končí dx) je integrál funkcie z bodu m do bodu n. S rizikom vyvolania hnevu všetkých

Tretí člen je súčet Bernoulliho čísel (B 2k) delený faktoriálom dvojnásobnej hodnoty čísla k a vynásobený rozdielom medzi deriváciami funkcie f(x) v bodoch n a m. Navyše, čo komplikuje ešte viac, tu nie je len derivát, ale derivát rádu 2k-1. To znamená, že celý tretí termín vyzerá takto:

Bernoulliho číslo B 2 („2“, pretože 2k je vo vzorci a začíname sčítať od k=1) vydelíme faktoriálom 2 (zatiaľ je to len dvojka) a vynásobíme rozdielom derivácií prvého rádu (2k-1 s k=1) funkcie f(x) v bodoch n a m

Bernoulliho číslo B 4 („4“, pretože 2k je vo vzorci a k ​​sa teraz rovná 2) sa vydelí faktoriálom 4 (1 × 2x3 × 4 \u003d 24) a vynásobí sa rozdielom derivátov tretieho rádu (2k-1 s k \u003d 2) funkcie f(x) v bodoch n a m

Bernoulliho číslo B 6 (pozri vyššie) delíme faktoriálom 6 (1 × 2x3 × 4x5 × 6 \u003d 720) a vynásobíme rozdielom derivátov piateho rádu (2k-1 pre k \u003d 3) funkcie f (x) v bodoch n a m

Suma pokračuje až do k=p. Čísla k a p získame ľubovoľnými ľubovoľnými hodnotami, ktoré môžeme voliť rôznymi spôsobmi, spolu s m a n - prirodzenými číslami, ktorými je obmedzený úsek s funkciou f (x), o ktorom uvažujeme. To znamená, že vo vzorci sú až štyri parametre a to spolu s ľubovoľnosťou funkcie f (x) otvára veľa priestoru pre výskum.

Zostávajúce skromné ​​R, bohužiaľ, tu nie je konštanta, ale tiež dosť ťažkopádna konštrukcia, vyjadrená už vyššie uvedenými Bernoulliho číslami. Teraz je čas vysvetliť, čo to je, odkiaľ pochádza a prečo matematici vo všeobecnosti začali zvažovať také zložité výrazy.

Bernoulliho čísla a rozšírenia radov

V matematickej analýze existuje taký kľúčový koncept ako rozšírenie série. To znamená, že môžete vziať nejakú funkciu a napísať ju nie priamo (napríklad y = sin(x^2) + 1/ln(x) + 3x), ale ako nekonečný súčet množiny členov rovnakého typu. . Napríklad mnohé funkcie možno znázorniť ako súčet mocninných funkcií vynásobený nejakými koeficientmi – to znamená, že graf zložitého tvaru sa zredukuje na kombináciu lineárnych, kvadratických, kubických... a tak ďalej – kriviek.

V teórii spracovania elektrických signálov hrá obrovskú úlohu takzvaný Fourierov rad – ľubovoľnú krivku je možné rozšíriť na sériu sínusov a kosínusov rôznych období; takýto rozklad je potrebný na premenu signálu z mikrofónu na postupnosť núl a jednotiek vo vnútri, povedzme, elektronického obvodu mobilného telefónu. Rozšírenia radov tiež umožňujú uvažovať o neelementárnych funkciách a množstvo najdôležitejších fyzikálnych rovníc po vyriešení dáva výrazy vo forme radu a nie vo forme nejakej konečnej kombinácie funkcií.

V 17. storočí začali matematici úzko spolupracovať s teóriou radov. O niečo neskôr to fyzikom umožnilo efektívne vypočítať procesy vykurovania rôznych objektov a vyriešiť mnoho ďalších problémov, ktoré tu nebudeme uvažovať. Poznamenávame len, že v programe MIPT, rovnako ako v matematických kurzoch všetkých popredných fyzikálnych univerzít, je aspoň jeden semester venovaný rovniciam s riešeniami vo forme jedného alebo druhého radu.

Jacob Bernoulli skúmal problém sčítania prirodzených čísel v rovnakej miere (napríklad 1^6 + 2^6 + 3^6 + ...) a získal čísla, ktoré možno použiť na rozšírenie ďalších funkcií do mocninných radov uvedených vyššie. - napríklad tg(x). Hoci by sa zdalo, že dotyčnica nie je veľmi podobná prinajmenšom parabole, prinajmenšom žiadnej mocninovej funkcii!

Bernoulliho polynómy neskôr našli svoje uplatnenie nielen v rovniciach matematickej fyziky, ale aj v teórii pravdepodobnosti. To je vo všeobecnosti predvídateľné (napokon, množstvo fyzikálnych procesov, ako je Brownov pohyb alebo rozpad jadier, sú práve spôsobené rôznymi druhmi nehôd), ale stále si zaslúži osobitnú zmienku.

Ťažkopádny Eulerov-Maclaurinov vzorec používali matematici na rôzne účely. Keďže na jednej strane obsahuje súčet hodnôt funkcií v určitých bodoch a na druhej strane existujú integrály aj radové expanzie, pomocou tohto vzorca je možné (v závislosti od toho, čo vieme), ako vziať komplexný integrál a určiť súčet radu.

Srinivasa Ramanujan prišiel s ďalšou aplikáciou tohto vzorca. Trochu to upravil a dostal nasledujúci výraz:

Ako funkciu f(x) považoval jednoducho x - nech f(x) = x, to je úplne legitímny predpoklad. Ale pre túto funkciu je prvá derivácia jednoducho rovná jednej a druhá a všetky nasledujúce derivácie sa rovnajú nule: ak je všetko opatrne dosadené do vyššie uvedeného výrazu a sú určené zodpovedajúce Bernoulliho čísla, potom bude presne −1/12 ukázať.

To, samozrejme, bral sám indický matematik ako niečo neobvyklé. Keďže nebol len samouk, ale talentovaný samouk, nepovedal všetkým o objave, ktorý napravil základy matematiky, ale napísal list Godfreymu Hardymu, uznávanému odborníkovi v oblasti oboch čísel. teória a matematická analýza. Mimochodom, list obsahoval poznámku, ktorou by Hardy zrejme chcel autora upozorniť na najbližšiu psychiatrickú liečebňu: výsledkom však, samozrejme, nebola nemocnica, ale spoločné dielo.

Paradox

Ak zhrnieme všetko vyššie, dostaneme nasledovné: súčet všetkých prirodzených čísel sa rovná −1/12 pomocou špeciálneho vzorca, ktorý umožňuje rozšíriť ľubovoľnú funkciu do radu s koeficientmi nazývanými Bernoulliho čísla. To však neznamená, že 1+2+3+4 sa ukáže byť väčšie ako 1+2+3+... a tak ďalej do nekonečna. V tomto prípade máme dočinenia s paradoxom, ktorý je spôsobený tým, že rozšírenie do série je akýmsi priblížením a zjednodušením.

Dá sa uviesť príklad oveľa jednoduchšieho a zrejmejšieho matematického paradoxu spojeného s vyjadrením jednej veci z hľadiska niečoho iného. Vezmeme list papiera v krabici a nakreslíme stupňovitú čiaru so šírkou a výškou kroku v jednej bunke. Dĺžka takejto čiary sa samozrejme rovná dvojnásobku počtu buniek - ale dĺžka uhlopriečky vyrovnávajúcej "rebrík" sa rovná počtu buniek vynásobenom odmocninou z dvoch. Ak urobíte rebrík veľmi malý, bude mať stále rovnakú dĺžku a prerušovaná čiara, ktorá je takmer na nerozoznanie od uhlopriečky, bude v koreni dvakrát rovnakej uhlopriečky! Ako vidíte, pre paradoxné príklady nie je potrebné písať dlhé zložité vzorce.

Euler-Maclaurinov vzorec, ak nejdete do divočiny matematickej analýzy, je tou istou aproximáciou ako prerušovaná čiara namiesto priamej čiary. Pomocou tejto aproximácie môžete získať rovnakú hodnotu −1/12, ale nie je to vždy vhodné a opodstatnené. V mnohých problémoch teoretickej fyziky sa takéto výpočty používajú na výpočty, ale toto je vrchol výskumu, kde je príliš skoro hovoriť o správnom zobrazení reality matematickými abstrakciami a nezrovnalostiach medzi rôznymi výpočtami s každým iné sú celkom bežné.

Odhady hustoty energie vákua na základe kvantovej teórie poľa a na základe astrofyzikálnych pozorovaní sa teda líšia o viac ako 120 rádov. To je 10^120 krát. Toto je jeden z nevyriešených problémov modernej fyziky; tu jasne presvitá medzera v našich vedomostiach o vesmíre. Alebo je problémom nedostatok vhodných matematických metód na opis sveta okolo nás. Teoretickí fyzici sa spolu s matematikmi snažia nájsť spôsoby, ako opísať fyzikálne procesy, v ktorých nebudú existovať divergentné (ide do nekonečna) rady, no nie je to ani zďaleka ľahká úloha.

Matematika vznikla zo všeobecnej filozofie okolo šiesteho storočia pred Kristom. e., a od tej chvíle začala jej víťazné ťaženie po celom svete. Každá etapa vývoja prinášala niečo nové – elementárne počítanie sa vyvíjalo, transformovalo na diferenciálny a integrálny počet, menili sa storočia, vzorce boli čoraz mätšie a prišiel moment, keď „začala najzložitejšia matematika – zmizli z nej všetky čísla“. Čo však bolo základom?

Začiatok času

Prirodzené čísla sa objavili spolu s prvými matematickými operáciami. Raz chrbtica, dva ostne, tri ostne ... Objavili sa vďaka indickým vedcom, ktorí odvodili prvé pozičné

Slovo „polohovosť“ znamená, že umiestnenie každej číslice v čísle je presne definované a zodpovedá jej kategórii. Napríklad čísla 784 a 487 sú rovnaké čísla, ale čísla nie sú ekvivalentné, pretože prvé obsahuje 7 stoviek, zatiaľ čo druhé iba 4. Inováciu Indov zachytili Arabi, ktorí priniesli čísla do forme, ktorú poznáme teraz.

V dávnych dobách dostávali čísla mystický význam, Pytagoras veril, že číslo je základom stvorenia sveta spolu s hlavnými prvkami - ohňom, vodou, zemou, vzduchom. Ak všetko zvážime len z matematickej stránky, čo je potom prirodzené číslo? Pole prirodzených čísel je označené ako N a je to nekonečný rad čísel, ktoré sú celé a kladné: 1, 2, 3, … + ∞. Nula je vylúčená. Používa sa hlavne na počítanie položiek a označenie poradia.

Čo je v matematike? Peanove axiómy

Pole N je základné pole, o ktoré sa opiera elementárna matematika. Postupom času sa polia celých čísel, racionálnych,

Práca talianskeho matematika Giuseppe Peana umožnila ďalšie štruktúrovanie aritmetiky, dosiahla jej formálnosť a pripravila pôdu pre ďalšie závery, ktoré presahovali pole N.

Čo je prirodzené číslo, bolo objasnené skôr jednoduchým jazykom, nižšie budeme uvažovať o matematickej definícii založenej na Peanových axiómach.

• Jedna sa považuje za prirodzené číslo.
• Číslo, ktoré nasleduje za prirodzeným číslom, je prirodzené číslo.
• Pred jednotkou nie je prirodzené číslo.
• Ak číslo b nasleduje po čísle c aj po čísle d, potom c=d.
• Axióma indukcie, ktorá zase ukazuje, čo je prirodzené číslo: ak nejaký výrok, ktorý závisí od parametra, platí pre číslo 1, potom predpokladáme, že funguje aj pre číslo n z oboru prirodzených čísel N. Potom tvrdenie platí aj pre n =1 z oboru prirodzených čísel N.

Základné operácie pre obor prirodzených čísel

Keďže pole N sa stalo prvým pre matematické výpočty, vzťahujú sa naň domény definície aj rozsahy hodnôt niekoľkých operácií. Sú uzavreté a nie. Hlavným rozdielom je, že uzavreté operácie zaručene zanechajú výsledok v rámci množiny N, bez ohľadu na to, o aké čísla ide. Stačí, že sú prirodzené. Výsledok zostávajúcich numerických interakcií už nie je taký jednoznačný a priamo závisí od toho, aké čísla sú zahrnuté vo výraze, pretože to môže byť v rozpore s hlavnou definíciou. Takže uzavreté operácie:

• sčítanie - x + y = z, kde x, y, z sú zahrnuté v poli N;
• násobenie - x * y = z, kde x, y, z sú zahrnuté v poli N;
• umocňovanie - x y , kde x, y sú zahrnuté v poli N.

Zostávajúce operácie, ktorých výsledok nemusí existovať v kontexte definície „čo je prirodzené číslo“, sú tieto:

Vlastnosti čísel patriacich do poľa N

Všetky ďalšie matematické úvahy budú založené na nasledujúcich vlastnostiach, najtriviálnejších, ale nemenej dôležitých.

• Komutatívna vlastnosť sčítania je x + y = y + x, kde čísla x, y sú zahrnuté v poli N. Alebo známe „súčet sa nemení od zmeny miest členov“.
• Komutatívna vlastnosť násobenia je x * y = y * x, kde čísla x, y sú zahrnuté v poli N.
• Asociačná vlastnosť sčítania je (x + y) + z = x + (y + z), kde x, y, z sú zahrnuté v poli N.
• Asociačná vlastnosť násobenia je (x * y) * z = x * (y * z), kde čísla x, y, z sú zahrnuté v poli N.
• distribučná vlastnosť - x (y + z) = x * y + x * z, kde čísla x, y, z sú zahrnuté v poli N.

Pythagorejský stôl

Jedným z prvých krokov k poznaniu celej štruktúry elementárnej matematiky u školákov, keď sami pochopia, ktoré čísla sa nazývajú prirodzené, je Pytagorova tabuľka. Možno ho považovať nielen z vedeckého hľadiska, ale aj za cennú vedeckú pamiatku.

Táto multiplikačná tabuľka prešla postupom času mnohými zmenami: nula z nej bola odstránená a čísla od 1 do 10 označujú samy seba, bez ohľadu na objednávky (stovky, tisíce ...). Je to tabuľka, v ktorej sú nadpisy riadkov a stĺpcov číslami a obsah buniek ich priesečníka sa rovná ich súčinu.

V praxi vyučovania v posledných desaťročiach vznikla potreba zapamätať si Pytagorovu tabuľku „po poriadku“, teda zapamätanie išlo na prvé miesto. Násobenie 1 bolo vylúčené, pretože výsledok bol 1 alebo vyšší. Medzitým môžete v tabuľke voľným okom vidieť vzor: súčin čísel rastie o jeden krok, ktorý sa rovná názvu riadku. Druhý faktor nám teda ukazuje, koľkokrát musíme vziať prvý, aby sme získali požadovaný produkt. Tento systém je oveľa pohodlnejší ako ten, ktorý sa praktizoval v stredoveku: aj keď ľudia pochopili, čo je prirodzené číslo a aké triviálne je, dokázali si skomplikovať každodenné počítanie pomocou systému založeného na mocninách dvoch.

Podmnožina ako kolíska matematiky

V súčasnosti sa pole prirodzených čísel N považuje len za jednu z podmnožín komplexných čísel, ale to neznamená, že sú vo vede menej cenné. Prirodzené číslo je prvá vec, ktorú sa dieťa naučí tým, že študuje seba a svet okolo seba. Jeden prst, dva prsty ... Vďaka nemu si človek rozvíja logické myslenie, ako aj schopnosť určiť príčinu a odvodiť následok, čím sa otvára cesta k veľkým objavom.

Prirodzené čísla sú jedným z najstarších matematických pojmov.

V dávnejšej minulosti ľudia nepoznali čísla a keď potrebovali spočítať predmety (zvieratá, ryby atď.), robili to inak ako my teraz.

Počet predmetov sa porovnával s časťami tela, napríklad s prstami na ruke, a povedali: "Mám toľko orechov, koľko je prstov na ruke."

Postupom času si ľudia uvedomili, že päť orieškov, päť kôz a päť zajacov majú spoločnú vlastnosť – ich počet je päť.

Pamätajte!

Celé čísla sú čísla začínajúce 1, získané pri počítaní predmetov.

1, 2, 3, 4, 5…

najmenšie prirodzené číslo — 1 .

najväčšie prirodzené číslo neexistuje.

Pri počítaní sa číslo nula nepoužíva. Preto sa nula nepovažuje za prirodzené číslo.

Ľudia sa naučili písať čísla oveľa neskôr ako počítať. Najprv začali jednotku reprezentovať s jednou palicou, potom s dvoma palicami - číslom 2, s trojkou - číslom 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Potom sa objavili špeciálne znaky na označenie čísel - predchodcov moderných čísel. Čísla, ktoré používame na písanie čísel, pochádzajú z Indie asi pred 1500 rokmi. Arabi ich priniesli do Európy, tak sa im hovorí arabské číslice.

Celkovo je desať číslic: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Tieto číslice je možné použiť na zápis akéhokoľvek prirodzeného čísla.

Pamätajte!

prirodzené série je postupnosť všetkých prirodzených čísel:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

V prirodzenom rade je každé číslo väčšie ako predchádzajúce o 1.

Prirodzený rad je nekonečný, nie je v ňom najväčšie prirodzené číslo.

Systém počítania, ktorý používame, je tzv desatinné pozičné.

Desatinné, pretože 10 jednotiek každej číslice tvorí 1 jednotku najvýznamnejšej číslice. Pozičné preto, lebo hodnota číslice závisí od jej miesta v zápise čísla, teda od číslice, ktorou je zapísaná.

Dôležité!

Triedy nasledujúce po miliarde sú pomenované podľa latinských názvov čísel. Každá ďalšia jednotka obsahuje tisíc predchádzajúcich.

• 1 000 miliárd = 1 000 000 000 000 = 1 bilión („tri“ je latinčina pre „tri“)
• 1 000 biliónov = 1 000 000 000 000 000 = 1 kvadrilión („quadra“ je latinsky „štyri“)
• 1 000 kvadriliónov = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 kvintilión („quinta“ je latinsky „päť“)

Fyzici však našli číslo, ktoré prevyšuje počet všetkých atómov (najmenších častíc hmoty) v celom vesmíre.

Toto číslo má špeciálny názov - googol. Googol je číslo, ktoré má 100 núl.

História prirodzených čísel začala v primitívnych časoch. Od staroveku ľudia počítali predmety. Napríklad v obchode bol potrebný tovarový účet alebo v stavebníctve materiálový. Áno, aj v bežnom živote som musel počítať veci, výrobky, hospodárske zvieratá. Najprv čísla slúžili len na počítanie v živote, v praxi, no neskôr, s rozvojom matematiky, sa stali súčasťou vedy.

Celé čísla sú čísla, ktoré používame pri počítaní predmetov.

Napríklad: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ....

Nula nie je prirodzené číslo.

Všetky prirodzené čísla, alebo nazvime množinu prirodzených čísel, označujeme symbolom N.

Tabuľka prirodzených čísel.

prirodzený rad.

Prirodzené čísla písané vzostupne v riadkovej forme prirodzené série alebo rad prirodzených čísel.

Vlastnosti prírodného radu:

• Najmenšie prirodzené číslo je jedna.
• V prirodzenom rade je nasledujúce číslo o jedno väčšie ako predchádzajúce. (1, 2, 3, …) Tri bodky alebo tri bodky sa použijú, ak nie je možné dokončiť postupnosť čísel.
• Prirodzený rad nemá maximálny počet, je nekonečný.

Príklad č. 1:
Napíšte prvých 5 prirodzených čísel.
Riešenie:
Prirodzené čísla začínajú jednotkou.
1, 2, 3, 4, 5

Príklad č. 2:
Je nula prirodzené číslo?
odpoveď: nie.

Príklad č. 3:
Aké je prvé číslo v prirodzenom rade?
Odpoveď: prirodzené číslo začína jednotkou.

Príklad č. 4:
Aké je posledné číslo v prirodzenom rade? Aké je najväčšie prirodzené číslo?
Odpoveď: Prirodzené číslo začína od jednotky. Každé ďalšie číslo je o jedno väčšie ako predchádzajúce, takže posledné číslo neexistuje. Neexistuje žiadny najväčší počet.

Príklad č. 5:
Má jednotka v prirodzenom rade predchádzajúce číslo?
Odpoveď: nie, pretože jedna je prvé číslo v prirodzenom rade.

Príklad č. 6:
Ďalšie číslo v prirodzenom rade pomenujte po číslach: a) 5, b) 67, c) 9998.
Odpoveď: a) 6, b) 68, c) 9999.

Príklad č. 7:
Koľko čísel je v prirodzenom rade medzi číslami: a) 1 a 5, b) 14 a 19.
Riešenie:
a) 1, 2, 3, 4, 5 - tri čísla sú medzi číslami 1 a 5.
b) 14, 15, 16, 17, 18, 19 - štyri čísla sú medzi číslami 14 a 19.

Príklad č. 8:
Pomenujte predchádzajúce číslo za číslom 11.
odpoveď: 10.

Príklad č. 9:
Aké čísla sa používajú na počítanie predmetov?
Odpoveď: prirodzené čísla.