Integrácia niektorých zlomkov. Metódy a techniky

Problém nájdenia neurčitého integrálu zlomkovej racionálnej funkcie sa redukuje na integráciu najjednoduchších zlomkov. Preto odporúčame, aby ste sa najskôr oboznámili s časťou teórie rozkladu zlomkov na najjednoduchšie.

Príklad.

Nájdite neurčitý integrál.

Riešenie.

Keďže stupeň čitateľa integrandu sa rovná stupňu menovateľa, vyberieme najprv celú časť tak, že polynóm delíme polynómom so stĺpcom:

Preto, .

Rozklad získaného správneho racionálneho zlomku na najjednoduchšie zlomky má tvar ... teda

Výsledný integrál je integrálom najjednoduchšieho zlomku tretieho typu. Trochu vpredu si všimneme, že sa to dá dosiahnuť metódou uvedenia pod diferenciálnu značku.

Pretože , potom ... Preto

teda

Teraz prejdeme k opisu metód integrácie najjednoduchších zlomkov každého zo štyroch typov.

Integrácia najjednoduchších zlomkov prvého typu

Metóda priamej integrácie je ideálna na riešenie tohto problému:

Príklad.

Nájdite množinu primitívnych prvkov funkcie

Riešenie.

Nájdite neurčitý integrál pomocou vlastností primitív, tabuľky primitív a integračného pravidla.

Späť na začiatok stránky

Integrácia najjednoduchších zlomkov druhého typu

Na vyriešenie tohto problému je vhodná aj metóda priamej integrácie:

Príklad.

Riešenie.

Späť na začiatok stránky

Integrácia najjednoduchších zlomkov tretieho typu

Najprv uvádzame neurčitý integrál ako súčet:

Prvý integrál berieme metódou uvedenia pod diferenciálne znamienko:

Preto,

Transformujeme menovateľa výsledného integrálu:

teda

Vzorec na integráciu najjednoduchších zlomkov tretieho typu má tvar:

Príklad.

Nájdite neurčitý integrál .

Riešenie.

Použijeme výsledný vzorec:

Ak by sme nemali tento vzorec, čo by sme robili:

Späť na začiatok stránky

Integrácia najjednoduchších zlomkov štvrtého typu

Prvým krokom je dať pod diferenciálne znamienko:

Druhým krokom je nájsť integrál formulára ... Integrály tohto druhu sa nachádzajú pomocou opakujúcich sa vzorcov. (Pozrite si časť Integrácia pomocou opakujúcich sa vzorcov). Pre náš prípad je vhodný nasledujúci rekurzívny vzorec:

Príklad.

Nájdite neurčitý integrál

Riešenie.

Pre tento druh integrandu používame substitučnú metódu. Predstavme si novú premennú (pozri časť o integrácii iracionálnych funkcií):

Po nahradení máme:

Dospeli sme k nájdeniu integrálu štvrtého typu zlomku. V našom prípade máme koeficienty M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 a n = 3... Aplikujeme rekurzívny vzorec:

Po spätnej výmene dostaneme výsledok:

Integrácia goniometrických funkcií

1. Integrály formulára vypočítané prevodom súčinu goniometrických funkcií na súčet podľa vzorcov: Napríklad 2. Integrály formulára , kde m alebo n- nepárne kladné číslo, vypočítané súčtom diferenciálneho znamienka. Napríklad, 3. Integrály formulára , kde m a n- párne kladné čísla vypočítané pomocou vzorcov na zníženie stupňa: napr. 4. Integrály kde sa vypočítajú zmenou premennej: alebo Napríklad 5. Integrály tvaru sa potom pomocou univerzálnej goniometrickej substitúcie redukujú na integrály racionálnych zlomkov (od r. = [po vydelení čitateľa a menovateľa] =; Napríklad, Treba poznamenať, že použitie univerzálnej substitúcie často vedie k ťažkopádnym výpočtom.

§5. Integrácia najjednoduchších iracionalít

Zvážte metódy integrácie najjednoduchších typov iracionality. 1. Funkcie tohto druhu sa integrujú rovnakým spôsobom ako najjednoduchšie racionálne zlomky tretieho typu: v menovateli štvorcového trojčlenu sa extrahuje úplný štvorec a zavedie sa nová premenná. Príklad. 2. (pod znakom integrálu je racionálna funkcia argumentov). Integrály tohto druhu sa počítajú substitúciou. Najmä v integráloch sa forma označuje ako. Ak integrand obsahuje korene rôznych stupňov: , potom označte, kde n- najmenší spoločný násobok čísel m, k... Príklad 1 Príklad 2 Je nepravidelný racionálny zlomok, vyberte časť celého čísla: – – – 3. Integrály formulára vypočítané pomocou trigonometrických substitúcií:

44

45 Určitý integrál

Určitý integrál je aditívny monotónny normalizovaný funkcionál definovaný na množine párov, ktorej prvou zložkou je integrovateľná funkcia alebo funkcionál a druhou je doména v množine špecifikujúcej túto funkciu (funkcionál).

Definícia

Nech je to definované na. Rozdeľme to na kúsky s niekoľkými ľubovoľnými bodmi. Potom sa povie, že segment je rozdelený, ďalej si vyberieme ľubovoľný bod , ,

Určitý integrál funkcie na intervale je hranica integrálnych súčtov, keď poradie rozdelenia má tendenciu k nule, ak existuje bez ohľadu na rozdelenie a výber bodov, tj.

Ak zadaná limita existuje, potom sa funkcia nazýva Riemann integrovateľná na.

Označenia

· - nižší limit.

· - Horná hranica.

· - integrandová funkcia.

· - dĺžka čiastkového segmentu.

· Je celočíselným súčtom funkcie na zodpovedajúcom oddiele.

· je maximálna dĺžka frekvenčného segmentu.

Vlastnosti

Ak je funkcia Riemann integrovateľná, potom je na ňu ohraničená.

Geometrický význam

Určitý integrál ako plocha obrazca

Definitívny integrál sa numericky rovná ploche obrázku ohraničenej osou x, priamkami a grafom funkcie.

Newtonova - Leibnizova veta

[upraviť]

(presmerované z "Formula Newton-Leibniz")

Formula Newton - Leibniz alebo základná veta analýzy dáva vzťah medzi dvoma operáciami: zobratím určitého integrálu a výpočtom primitívnej derivácie.

Dôkaz

Nech je integrovateľná funkcia daná na intervale. Začnime tým, že si to všimneme

to znamená, že nezáleží na tom, ktoré písmeno (alebo) stojí pod znamienkom v určitom integráli nad segmentom.

Nastavme si ľubovoľnú hodnotu a definujme novú funkciu ... Je zadefinovaná pre všetky hodnoty, pretože vieme, že ak existuje integrál odnau, potom existuje aj integrál odteraz, kde. Pripomeňme, že uvažujeme podľa definície

(1)

Všimni si

Ukážme, že je spojitá na segmente. Vskutku, nech; potom

a ak potom

Je teda spojité, či má alebo nemá diskontinuity; je dôležité, aby bola integrovateľná na.

Na obrázku je znázornený graf. Oblasť variabilného tvaru je. Jeho prírastok sa rovná ploche obrázku , ktorá má v dôsledku ohraničenosti očividne tendenciu k nule, bez ohľadu na to, či ide o bod spojitosti alebo diskontinuity, napríklad bod.

Teraz nech je funkcia v bode nielen integrovateľná, ale aj nepretržitá. Dokážme, že potom má v tomto bode deriváciu rovnú

(2)

Skutočne, pre uvedený bod

(1) , (3)

Dáme, a keďže konštanta je relatívna, TO ... Ďalej, na základe kontinuity v bode, každý môže naznačovať také, že pre.

čo dokazuje, že ľavá strana tejto nerovnosti je o (1) pre.

Prechod do limity v (3) v ukazuje existenciu derivácie v bode a platnosť rovnosti (2). Keď už hovoríme o pravých a ľavých derivátoch.

Ak je funkcia spojitá, potom na základe toho, čo bolo dokázané vyššie, zodpovedajúca funkcia

(4)

má derivát rovný. Preto je funkcia primitívnou vlastnosťou pre on.

Tento záver sa niekedy nazýva integrálna veta premennej hornej hranice alebo Barrowova veta.

Dokázali sme, že ľubovoľná spojitá funkcia na segmente má primitívnu funkciu na tomto segmente definovanú rovnosťou (4). To dokazuje existenciu primitívnej funkcie pre akúkoľvek spojitú funkciu na intervale.

Teraz nech existuje ľubovoľná primitívna derivácia funkcie. Vieme, že kde je nejaká konštanta. Za predpokladu tejto rovnosti a berúc do úvahy to dostaneme.

Teda, . ale

Nesprávny integrál

[upraviť]

Z Wikipédie, voľnej encyklopédie

Určitý integrál volal nesprávny ak je splnená aspoň jedna z týchto podmienok:

· Limity a alebo b (alebo obe) sú nekonečné;

· Funkcia f (x) má vo vnútri segmentu jeden alebo viac bodov zlomu.

[upraviť] Nepravé integrály prvého druhu

... potom:

1. Ak a integrál sa nazýva ... V tomto prípade sa nazýva konvergujúce.

alebo sa len rozchádzajú.

Nech je definovaný a spojitý na množine a ... potom:

1. Ak , potom sa použije notácia a integrál sa nazýva nevlastný Riemannov integrál prvého druhu... V tomto prípade sa nazýva konvergujúce.

2. Ak nie je konečná (alebo), potom sa integrál nazýva divergujúci k alebo sa len rozchádzajú.

Ak je funkcia definovaná a spojitá na celej číselnej osi, potom môže existovať nevlastný integrál tejto funkcie s dvoma nekonečnými hranicami integrácie, ktorý je určený vzorcom:

, kde c je ľubovoľné číslo.

[upraviť] Geometrický význam nevlastného integrálu prvého druhu

Nevlastný integrál vyjadruje plochu nekonečne dlhého zakriveného lichobežníka.

[upraviť] Príklady

[upraviť] Nepravé integrály druhého druhu

Nech je definovaný na, trpí nekonečnou diskontinuitou v bode x = a a ... potom:

1. Ak , potom sa použije notácia a integrál sa nazýva

nazývané divergujúce k alebo sa len rozchádzajú.

Nech je definovaný na, trpí nekonečnou diskontinuitou v x = b a ... potom:

1. Ak , potom sa použije notácia a integrál sa nazýva nevlastný Riemannov integrál druhého druhu... V tomto prípade sa integrál nazýva konvergentný.

2. Ak alebo, potom sa označenie zachová, a nazývané divergujúce k alebo sa len rozchádzajú.

Ak má funkcia diskontinuitu vo vnútornom bode segmentu, potom nevlastný integrál druhého druhu je určený vzorcom:

[upraviť] Geometrický význam nevlastných integrálov druhého druhu

Nevlastný integrál vyjadruje plochu nekonečne vysokého zakriveného lichobežníka

[upraviť] Príklad

[upraviť] Samostatný prípad

Nech je funkcia definovaná na celej číselnej osi a má v bodoch diskontinuitu.

Potom je možné nájsť nesprávny integrál

[upraviť] Cauchyho kritérium

1. Nech je definovaný na množine a .

Potom konverguje

2. Nech je definovaný na a .

Potom konverguje

[upraviť] Absolútna konvergencia

Integrálne volal absolútne konvergentné, ak konverguje.
Ak integrál konverguje absolútne, potom konverguje.

[upraviť] Podmienená konvergencia

Integrál sa nazýva podmienene konvergujúce ak konverguje, ale diverguje.

48 12. Nevlastné integrály.

Pri uvažovaní o určitých integráloch sme predpokladali, že oblasť integrácie je ohraničená (konkrétnejšie ide o segment [ a ,b ]); pre existenciu určitého integrálu je potrebné, aby bol integrand viazaný na [ a ,b ]. Budeme nazývať určité integrály, pre ktoré sú splnené obe tieto podmienky (obmedzenosť a oblasť integrácie a integrand) vlastné; integrály, pre ktoré sú tieto požiadavky porušené (t. j. buď integrand je neohraničený, alebo doména integrácie, alebo oboje spolu) nesprávny... V tejto časti budeme študovať nevlastné integrály.

• 12.1. Nevlastné integrály na neohraničenom intervale (nevlastné integrály prvého druhu).
• 12.1.1. Určenie nevlastného integrálu na nekonečnom intervale. Príklady.
• 12.1.2. Newtonov-Leibnizov vzorec pre nesprávny integrál.
• 12.1.3. Porovnávacie kritériá pre nezáporné funkcie.
• 12.1.3.1. Porovnávací atribút.
• 12.1.3.2. Porovnávacie kritérium v ​​limitujúcej forme.
• 12.1.4. Absolútna konvergencia nevlastných integrálov v nekonečnom intervale.
• 12.1.5. Konvergenčné kritériá pre Abela a Dirichleta.
• 12.2. Nevlastné integrály neobmedzených funkcií (nevlastné integrály druhého druhu).
• 12.2.1. Definícia nevlastného integrálu neobmedzenej funkcie.
• 12.2.1.1. Táto funkcia sa nachádza na ľavom konci integračnej medzery.
• 12.2.1.2. Aplikácia Newtonovho-Leibnizovho vzorca.
• 12.2.1.3. Funkcia na pravom konci integračného intervalu.
• 12.2.1.4. Singularita vo vnútornom bode integračného intervalu.
• 12.2.1.5. Niekoľko funkcií počas integračného intervalu.
• 12.2.2. Porovnávacie kritériá pre nezáporné funkcie.
• 12.2.2.1. Porovnávací atribút.
• 12.2.2.2. Porovnávacie kritérium v ​​limitujúcej forme.
• 12.2.3. Absolútna a podmienená konvergencia nevlastných integrálov nespojitých funkcií.
• 12.2.4. Konvergenčné kritériá pre Abela a Dirichleta.

12.1. Nepravé integrály v neobmedzenom intervale

(nevlastné integrály prvého druhu).

12.1.1. Určenie nevlastného integrálu na nekonečnom intervale... Nechajte funkciu f (X ) je definovaný na poloosi a je integrovateľný pozdĺž akéhokoľvek segmentu [ z, čo v každom z týchto prípadov naznačuje existenciu a konečnosť zodpovedajúcich limitov. Teraz riešenia príkladov vyzerajú jednoduchšie: .

12.1.3. Porovnávacie kritériá pre nezáporné funkcie... V tejto časti budeme predpokladať, že všetky integrandy sú v celej doméne nezáporné. Doteraz sme konvergenciu integrálu určovali jeho výpočtom: ak existuje konečná limita primitívnej derivácie s príslušnou ašpiráciou (alebo), potom integrál konverguje, inak diverguje. Pri riešení praktických úloh je však dôležité najskôr zistiť samotný fakt konvergencie a až potom vypočítať integrál (navyše primitívna derivácia často nie je vyjadrená elementárnymi funkciami). Sformulujme a dokážme množstvo teorémov, ktoré umožňujú stanoviť konvergenciu a divergenciu nevlastných integrálov nezáporných funkcií bez ich výpočtu.
12.1.3.1. Porovnávací atribút... Nechajte funkcie f (X ) a g (X ) integra

Ako uvidíme nižšie, nie každá elementárna funkcia má integrál, ktorý je vyjadrený v elementárnych funkciách. Preto je veľmi dôležité vyčleniť také triedy funkcií, ktorých integrály sú vyjadrené ako elementárne funkcie. Najjednoduchšia z týchto tried je trieda racionálnych funkcií.

Každá racionálna funkcia môže byť reprezentovaná ako racionálny zlomok, to znamená ako pomer dvoch polynómov:

Bez toho, aby sme obmedzovali všeobecnosť uvažovania, budeme predpokladať, že polynómy nemajú spoločné korene.

Ak je stupeň čitateľa nižší ako stupeň menovateľa, zlomok sa nazýva správny, inak sa zlomok nazýva nesprávny.

Ak je zlomok nesprávny, potom delením čitateľa menovateľom (podľa pravidla delenia polynómov) môžete tento zlomok reprezentovať ako súčet polynómu a nejakého pravidelného zlomku:

tu je polynóm a je to pravidelný zlomok.

Príklad t. Daný nepravidelný racionálny zlomok

Delením čitateľa menovateľom (podľa pravidla delenia polynómov) dostaneme

Keďže integrácia polynómov nie je náročná, hlavným problémom pri integrácii racionálnych zlomkov je integrácia pravidelných racionálnych zlomkov.

Definícia. Pravidelné racionálne zlomky formulára

sa nazývajú najjednoduchšie frakcie typov I, II, III a IV.

Integrácia najjednoduchších zlomkov typu I, II a III nie je veľmi náročná, preto ich budeme integrovať bez ďalších vysvetlení:

Zložitejšie výpočty vyžadujú integráciu najjednoduchších zlomkov typu IV. Dajme integrál tohto typu:

Urobme transformácie:

Prvý integrál sa získa substitúciou

Druhý integrál - označujeme ho zápisom do tvaru

podľa predpokladu sú korene menovateľa zložité, a preto postupujeme takto:

Transformujeme integrál:

Budeme mať integráciu po častiach

Dosadením tohto výrazu do rovnosti (1) dostaneme

Pravá strana obsahuje integrál rovnakého typu ako je exponent menovateľa integrandu o jeden nižší; tak sme sa vyjadrili cez. Pokračujúc po tej istej ceste sa dostávame k známemu integrálu.

Uvádza sa odvodenie vzorcov na výpočet integrálov najjednoduchších, elementárnych, zlomkov štyroch typov. Zložitejšie integrály štvrtého typu zlomkov sa počítajú pomocou redukčného vzorca. Zvažuje sa príklad integrácie zlomku štvrtého typu.

Obsah

Pozri tiež: Neurčitá integrálna tabuľka
Metódy výpočtu neurčitých integrálov

Ako viete, každá racionálna funkcia nejakej premennej x sa dá rozložiť na polynóm a najjednoduchšie, elementárne zlomky. Existujú štyri typy jednoduchých zlomkov:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Tu a, A, B, b, c sú reálne čísla. Rovnica x 2 + bx + c = 0 nemá platné korene.

Integrácia zlomkov prvých dvoch typov

Integrácia prvých dvoch zlomkov sa vykonáva pomocou nasledujúcich vzorcov z tabuľky integrálov:
,
, n ≠ - 1 .

1. Integrácia zlomku prvého typu

Zlomok prvého typu sa redukuje substitúciou t = x - a na tabuľkový integrál:
.

2. Integrácia zlomku druhého typu

Zlomok druhého typu sa redukuje na tabuľkový integrál rovnakou substitúciou t = x - a:

.

3. Integrácia zlomku tretieho typu

Zvážte integrál tretieho typu zlomku:
.
Vypočítame to v dvoch krokoch.

3.1. Krok 1. Vyberte deriváciu menovateľa v čitateli

Vyberte deriváciu menovateľa v čitateli zlomku. Označujeme: u = x 2 + bx + c... Diferencujte: u ′ = 2 x + b... Potom
;
.
ale
.
Znak modulu sme vynechali, pretože.

potom:
,
kde
.

3.2. Krok 2. Vypočítajte integrál s A = 0, B = 1

Teraz vypočítame zostávajúci integrál:
.

Menovateľ zlomku privedieme na súčet druhých mocnín:
,
kde .
Uvažujeme, že rovnica x 2 + bx + c = 0 nemá korene. Preto .

Urobme náhradu
,
.
.

takze
.

Našli sme teda integrál tretieho typu zlomku:

,
kde .

4. Integrácia štvrtého typu zlomku

Nakoniec zvážte integrál štvrtého typu zlomku:
.
Vypočítame to v troch krokoch.

4.1) Vyberte deriváciu menovateľa v čitateli:
.

4.2) Vypočítajte integrál
.

4.3) Vypočítajte integrály
,
pomocou liateho vzorca:
.

4.1. Krok 1. Výber derivácie menovateľa v čitateli

Vyberte deriváciu menovateľa v čitateli, ako sme to urobili v. Označme u = x 2 + bx + c... Diferencujte: u ′ = 2 x + b... Potom
.

.
ale
.

Nakoniec tu máme:
.

4.2. Krok 2. Výpočet integrálu s n = 1

Vypočítame integrál
.
Jeho výpočet je uvedený v.

4.3. Krok 3. Odvodenie redukčného vzorca

Teraz zvážte integrál
.

Privedieme štvorcovú trojčlenku na súčet štvorcov:
.
Tu .
Robíme striedanie.
.
.

Vykonávame premeny a integrujeme kus po kuse.




.

Násobiť podľa 2 (n - 1):
.
Späť na x a ja n.
,
;
;
.

Takže pre I n sme dostali redukčný vzorec:
.
Postupným použitím tohto vzorca redukujeme integrál I n na I 1 .

Príklad

Vypočítajte integrál

1. Vyberte deriváciu menovateľa v čitateli.
;
;


.
Tu
.

2. Vypočítame integrál najjednoduchšieho zlomku.

.

3. Aplikujeme redukčný vzorec:

pre integrál.
V našom prípade b = 1 , c = 1 , 4c - b2 = 3... Tento vzorec napíšeme pre n = 2 a n = 3 :
;
.
Odtiaľ

.

Nakoniec tu máme:

.
Nájdite koeficient na.
.

Pozri tiež:

Skôr ako pristúpite k integrácii najjednoduchších zlomkov, aby ste našli neurčitý integrál zlomkovej racionálnej funkcie, odporúčame osviežiť si pamäť v časti „Rozklad zlomku na najjednoduchší“.

Príklad 1

Nájdite neurčitý integrál ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x.

Riešenie

Vyberme celú časť vydelením polynómu polynómom polynómom, berúc do úvahy skutočnosť, že stupeň čitateľa integrandu sa rovná stupňu menovateľa:

Preto 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x. Dostali sme správny racionálny zlomok - 2 x + 3 x 3 + x, ktorý teraz rozložíme na najjednoduchšie zlomky - 2 x + 3 x 3 + x = 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1. teda

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + xdx = ∫ 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 dx = ∫ 2 dx + ∫ 3 xdx - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 dx = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 dx

Získali sme integrál najjednoduchšieho zlomku tretieho typu. Môžete si to vziať tak, že to prinesiete pod znakom diferenciálu.

Pretože d x 2 + 1 = 2 x d x, potom 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1. Preto
∫ 3 x + 2 x 2 + 1 dx = ∫ 3 xx 2 + 1 dx + ∫ 2 x 2 + 1 = 3 2 ∫ dx 2 + 1 x 2 + 1 + 2 ∫ dxx 2 + 1 = 3 2 ln + 1 + 2 arctgx + C 1

teda
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + xdx = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 dx = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 arc tan x + C , kde С = - С 1

Popíšme metódy integrácie najjednoduchších zlomkov každého zo štyroch typov.

Integrácia najjednoduchších zlomkov prvého typu A x - a

Na vyriešenie tohto problému používame metódu priamej integrácie:

∫ A x - a d x = A ∫ d x x - a = A ln x - a + C

Príklad 2

Nájdite množinu primitívnych funkcií funkcie y = 3 2 x - 1.

Riešenie

Pomocou integračného pravidla, vlastností primitív a tabuľky primitív nájdeme neurčitý integrál ∫ 3 d x 2 x - 1: ∫ f k x + b d x = 1 k F k x + b + C

∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 ∫ d x 2 x - 1 2 = 3 2 ∫ d x x - 1 2 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Odpoveď: ∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Integrácia najjednoduchších zlomkov druhého typu A x - a n

Aj tu aplikujeme metódu priamej integrácie: ∫ A x - a n d x = A ∫ x - a - n d x = A - n + 1 x - a - n + 1 + C = A 1 - n x - a n - 1 + C

Príklad 3

Je potrebné nájsť neurčitý integrál ∫ d x 2 x - 3 7.

Riešenie

∫ dx 2 x - 3 7 = ∫ dx 2 x - 3 2 7 = 1 2 7 ∫ x - 3 2 - 7 dx = = 1 2 7 1 - 7 + 1 x - 3 2 - 7 + 1 + C = 1 2 7 - 6 x - 3 2 6 + C = = 1 2 - 6 2 6 x - 3 2 6 + C = - 1 12 1 2 x - 3 6 + C

odpoveď:∫ d x 2 x - 3 7 = - 1 12 1 2 x - 3 6 + C

Integrácia najjednoduchších zlomkov tretieho typu M x + N x 2 + p x + q, D = p 2 - 4 q< 0

Prvým krokom je reprezentovať neurčitý integrál ∫ M x + N x 2 + p x + q ako súčet:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q

Aby sme získali prvý integrál, použijeme metódu uvedenia pod diferenciálne znamienko:

∫ M xx 2 + px + qdx = dx 2 + px + q = 2 x + pdx = 2 xdx + pdx ⇒ 2 xdx = dx 2 + px + q - pdx ⇒ M xdx = M 2 dx 2 + px + q - p M 2 dx = = ∫ M 2 dx 2 + px + q - p M 2 dxx 2 + px + q = = M 2 ∫ dx 2 + px + qx 2 + px + q - p M 2 ∫ dxx 2 + px + q = = M 2 ln x 2 + px + q - p M 2 ∫ dxx 2 + px + q

Preto,
∫ M x + N x 2 + px + qdx = ∫ M xx 2 + px + qdx + N ∫ dxx 2 + px + q = = M 2 ln x 2 + px + q - p M 2 ∫ dxx 2 + px + q + N ∫ dxx 2 + px + q = = M 2 ln x 2 + px + q + 2 N - p M 2 ∫ dxx 2 + px + q

Získali sme integrál ∫ d x x 2 + p x + q. Transformujme jeho menovateľa:

∫ dxx 2 + px + q = ∫ dxx 2 + px + p 2 2 - p 2 2 + q = = ∫ dxx + p 2 2 - p 2 4 + q = ∫ dxx + p 2 2 - p 2 4 + q = = ∫ dxx + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = 2 4 q - p 2 arctan 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

teda

∫ M x + N x 2 + px + qdx = M 2 ln x 2 + px + q + 2 N - p M 2 ∫ dxx 2 + px + q = = M 2 ln x 2 + px + q + 2 N - p M 2 2 4 q - p 2 arctan 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Vzorec na integráciu najjednoduchších zlomkov tretieho typu má tvar:
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C

Príklad 4

Nájdite neurčitý integrál ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x.

Riešenie

Aplikujme vzorec:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 dx = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 dx = M = 2, N = 1, p = 2, q = 10 = = 1 3 2 2 ln x 2 + 2 x + 10 + 2 1 - 2 2 4 10 - 2 2 arctan 2 x + 2 2 4 10 - 2 2 + C = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 arctgx + 13 + C

Druhé riešenie vyzerá takto:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 dx = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 dx = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) dx = = 1 3 ∫ 2 x + 2 - 1 x 2 + 2 x + 10 dx = 1 3 ∫ d (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 ∫ dxx 2 + 2 x + 10 = = napríklad = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 3 ∫ d (x) x + 1 2 + 9 = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 arctgx + 1 3 + C

Odpoveď: ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Integrácia najjednoduchších zlomkov štvrtého typu M x + N (x 2 + p x + q) n, D = p 2 - 4 q< 0

Najprv vykonáme sčítanie pod diferenciálnym znakom:

∫ M x + N x 2 + px + qdx = d (x 2 + px + q) = (2 x + p) dx = = M 2 ∫ d (x 2 + px + q) (x 2 + px + q ) n + N - p M 2 ∫ dx (x 2 + px + q) n = = M 2 (- n + 1) 1 (x 2 + px + q) n - 1 + N - p M 2 ∫ dx ( x 2 + px + q) č

Potom nájdeme integrál v tvare J n = ∫ d x (x 2 + p x + q) n pomocou rekurzívnych vzorcov. Informácie o opakujúcich sa vzorcoch nájdete v téme „Integrácia pomocou opakujúcich sa vzorcov“.

Rekurzívny vzorec v tvare J n = 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + px + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 4 q - p 2 J n - 1.

Príklad 5

Nájdite neurčitý integrál ∫ d x x 5 x 2 - 1.

Riešenie

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x

Pre tento druh integrandu použijeme substitučnú metódu. Zaveďte novú premennú x 2 - 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) - 1 2 d x

Dostaneme:

∫ dxx 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 dx = = ∫ (z 2 + 1) - 5 2 z - 1 z (z 2 + 1) - 1 2 dz = ∫ dz (z 2 + 1) 3

Dospeli sme k nájdeniu integrálu štvrtého typu zlomku. V našom prípade máme koeficienty M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 a n = 3. Aplikujeme rekurzívny vzorec:

J 3 = ∫ dz (z 2 + 1) 3 = 2 z + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) z 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 1 - 0 ∫ dz (z 2 + 1) 2 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 4 2 z (2 - 1) (4 1 - 0) (z 2 + 1) 2 - 1 + 2 2 - 3 2 - 11 2 4 1 - 0 ∫ dzz 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 zz 2 + 1 + 3 8 arctan (z) + C

Po obrátenej zmene z = x 2 - 1 dostaneme výsledok:
∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

odpoveď:∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

Uvažuje sa o príkladoch integrácie racionálnych funkcií (zlomkov) s podrobnými riešeniami.

Obsah

Pozri tiež: Kvadratické odmocniny

Tu uvádzame podrobné riešenia troch príkladov integrácie nasledujúcich racionálnych zlomkov:
, , .

Príklad 1

Vypočítajte integrál:
.

Tu pod znakom integrálu stojí racionálna funkcia, pretože integrand je zlomkom polynómov. Stupeň polynómu menovateľa ( 3 ) je menší ako stupeň polynómu čitateľa ( 4 ). Preto je najprv potrebné vybrať celú časť zlomku.

1. Vyberieme celú časť zlomku. Deliť x 4 od x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Odtiaľ
.

2. Faktor menovateľ zlomku. Aby ste to dosiahli, musíte vyriešiť kubickú rovnicu:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Nahradiť x = 1 :
.

1 ... Deliť x - 1 :

Odtiaľ
.
Riešenie kvadratickej rovnice.
.
Korene rovnice:,.
Potom
.

3. Rozšírme zlomok na elementárne.

.

Tak sme našli:
.
Integrujeme sa.

Príklad 2

Vypočítajte integrál:
.

Tu je čitateľom zlomku polynóm nultého stupňa ( 1 = x 0). Menovateľom je polynóm tretieho stupňa. Pokiaľ ide o 0 < 3 , potom je zlomok správny. Poďme si to rozložiť na najjednoduchšie zlomky.

1. Faktor menovateľ zlomku. Aby ste to dosiahli, musíte vyriešiť rovnicu tretieho stupňa:
.
Predpokladajme, že má aspoň jeden celý koreň. Potom je to deliteľ čísla 3 (výraz bez x). To znamená, že celý koreň môže byť jedným z čísel:
1, 3, -1, -3 .
Nahradiť x = 1 :
.

Takže sme našli jeden koreň x = 1 ... Deliť x 3 + 2 x - 3 na x - 1 :

takze
.

Riešime kvadratickú rovnicu:
X 2 + x + 3 = 0.
Nájdite diskriminant: D = 1 2 - 4 3 = -11... Keďže D< 0 , potom rovnica nemá skutočné korene. Takto sme dostali faktorizáciu menovateľa:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Nahradiť x = 1 ... Potom x- 1 = 0 ,
.

Nahradiť v (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Prirovnajme sa (2.1) koeficienty pri x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Integrujeme sa.
(2.2) .
Na výpočet druhého integrálu vyberte deriváciu menovateľa v čitateli a znížte menovateľa na súčet druhých mocnín.

;
;
.

Vypočítajte I 2 .


.
Keďže rovnica x 2 + x + 3 = 0 nemá skutočné korene, potom x 2 + x + 3 > 0... Znak modulu preto možno vynechať.

Dodávame do (2.2) :
.

Príklad 3

Vypočítajte integrál:
.

Tu je integrál zlomkom polynómov. Preto je integrand racionálna funkcia. Stupeň polynómu v čitateli je 3 ... Stupeň polynómu menovateľa zlomku je 4 ... Pokiaľ ide o 3 < 4 , potom je zlomok správny. Preto sa dá rozložiť na najjednoduchšie zlomky. Na tento účel však musíte uviesť menovateľa.

1. Faktor menovateľ zlomku. Aby ste to dosiahli, musíte vyriešiť rovnicu štvrtého stupňa:
.
Predpokladajme, že má aspoň jeden celý koreň. Potom je to deliteľ čísla 2 (výraz bez x). To znamená, že celý koreň môže byť jedným z čísel:
1, 2, -1, -2 .
Nahradiť x = -1 :
.

Takže sme našli jeden koreň x = -1 ... Deliť x - (-1) = x + 1:


takze
.

Teraz musíte vyriešiť rovnicu tretieho stupňa:
.
Ak predpokladáme, že táto rovnica má odmocninu celého čísla, potom je to deliteľ čísla 2 (výraz bez x). To znamená, že celý koreň môže byť jedným z čísel:
1, 2, -1, -2 .
Nahradiť x = -1 :
.

Takže sme našli ďalší koreň x = -1 ... Bolo by možné, ako v predchádzajúcom prípade, rozdeliť polynóm podľa, ale my zoskupíme členy:
.

Keďže rovnica x 2 + 2 = 0 nemá žiadne skutočné korene, potom sme dostali faktorizáciu menovateľa:
.

2. Rozšírme zlomok na elementárne. Hľadáme rozklad v tvare:
.
Oslobodené od menovateľa zlomku, vynásobte (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Nahradiť x = -1 ... Potom x + 1 = 0 ,
.

Rozlíšiť (3.1) :

;

.
Nahradiť x = -1 a vziať do úvahy, že x + 1 = 0 :
;
; .

Nahradiť v (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Prirovnajme sa (3.1) koeficienty pri x 3 :
;
1 = B + C;
.

Takže sme našli rozklad na najjednoduchšie zlomky:
.

3. Integrujeme sa.


.

Pozri tiež: