Prednáška

Trigonometrický tvar komplexného čísla

Plán

1.Geometrická reprezentácia komplexných čísel.

2. Trigonometrický zápis komplexných čísel.

3. Akcie na komplexných číslach v goniometrickom tvare.

Geometrická reprezentácia komplexných čísel.

a) Komplexné čísla sú znázornené bodmi roviny podľa nasledujúceho pravidla: a + bi = M ( a ; b ) (obr. 1).

Obrázok 1

b) Komplexné číslo možno znázorniť ako vektor, ktorý začína v bodeO a končí v danom bode (obr. 2).

Obrázok 2

Príklad 7. Vynesenie bodov reprezentujúcich komplexné čísla:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (obr. 3).

Obrázok 3

Trigonometrický zápis komplexných čísel.

Komplexné čísloz = a + bi možno nastaviť pomocou polomeru - vektora so súradnicami( a ; b ) (obr. 4).

Obrázok 4

Definícia . Dĺžka vektora predstavujúci komplexné čísloz , sa nazýva modul tohto čísla a označuje sa alebor .

Pre akékoľvek komplexné čísloz jeho modulr = | z | je určený jednoznačne vzorcom .

Definícia . Hodnota uhla medzi kladným smerom reálnej osi a vektorom reprezentujúce komplexné číslo sa nazýva argument tohto komplexného čísla a označuje saA rg z aleboφ .

Argument komplexného číslaz = 0 neurčitý. Argument komplexného číslaz≠ 0 je viachodnotová veličina a je určená do termínu2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , kdearg z - hlavná hodnota argumentu, uzavretá v intervale(-π; π] , teda-π < arg z ≤ π (niekedy sa hodnota patriaca do intervalu považuje za hlavnú hodnotu argumentu .

Tento vzorec prer =1 často označovaný ako De Moivreov vzorec:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Príklad 11 Vypočítajte(1 + i ) 100 .

Napíšeme komplexné číslo1 + i v trigonometrickej forme.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (kos + hreším )] 100 = ( ) 100 (kos 100 + hreším 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Extrahovanie druhej odmocniny komplexného čísla.

Pri extrakcii druhej odmocniny komplexného číslaa + bi máme dva prípady:

akb > o , potom ;

Na určenie polohy bodu v rovine môžete použiť polárne súradnice [g, (p), kde G je vzdialenosť bodu od počiatku a (R- uhol, ktorý zviera polomer - vektor tohto bodu s kladným smerom osi Oh. Pozitívny smer zmeny uhla (R uvažuje sa proti smeru hodinových ručičiek. Použitie vzťahu medzi karteziánskymi a polárnymi súradnicami: x \u003d r cos cf, y \u003d r sin (p,

získame goniometrický tvar komplexného čísla

z - r(hriech (p + i sin

kde G

Xi + y2, (p je argument komplexného čísla, ktoré sa nachádza z

l X . y y

vzorce cos(p --, sin^9 ​​​​= - alebo kvôli tomu, že tg(p --, (p-arctg

Všimnite si pri výbere hodnôt St z poslednej rovnice je potrebné vziať do úvahy znamienka x a y.

Príklad 47. Napíšte komplexné číslo v goniometrickom tvare 2 \u003d -1 + l / Z / .

Riešenie. Nájdite modul a argument komplexného čísla:

= yj 1 + 3 = 2 . Injekcia St nájsť zo vzťahov čos(str = -, sin(p = - . Potom

dostaneme cos(p = -,suup

u/z g~

• - - Je zrejmé, že bod z = -1 + V3-/ je
• 2 Komu 3

v druhom štvrťroku: (R= 120°

Nahrádzanie

2 k.. cos-h; hriech

do vzorca (1) nájdené 27G L

Komentujte. Argument komplexného čísla nie je jednoznačne definovaný, ale až po člen, ktorý je násobkom 2p. Potom cez cn^r určiť

hodnota argumentu uzavretá v (p 0 %2 Potom

A) ^ r = + 2kk.

Pomocou známeho Eulerovho vzorca e, získame exponenciálny tvar komplexného čísla.

Máme r = r(co^(p + i?, n(p)=re,

Operácie s komplexnými číslami

• 1. Súčet dvoch komplexných čísel r, = X] + y x/ a r 2 - x 2 + y 2 / sa určí podľa vzorca r! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)' g
• 2. Operácia odčítania komplexných čísel je definovaná ako operácia inverzná k sčítaniu. Komplexné číslo g \u003d g x - g 2, ak g 2 + g \u003d g x,

je rozdiel komplexných čísel 2 a g 2. Potom r = (x, - x 2) + (y, - pri 2) /.

• 3. Súčin dvoch komplexných čísel g x= x, +y, -z a 22= x 2+ U2„g je určené vzorcom
• *1*2 =(* +U"0 (X 2+ T 2 -0 = X 1 X 2 Y 1 2-1 + x Y2 " * + o1 o2 " ^ =

\u003d (xx 2 ~ YY 2) + ( X Y2 + X 2Y) - "-

najmä y-y\u003d (x + y-g) (x-y /) \u003d x 2 + y 2.

Násobiace vzorce pre komplexné čísla môžete získať v exponenciálnych a trigonometrických formách. Máme:

• 1^ 2 - r x e 1 = )Г 2 e > = Г]Г 2 cos((P + cp 2) + isin
• 4. Delenie komplexných čísel je definované ako inverzná operácia

násobenie, t.j. číslo G-- sa nazýva kvocient delenia r! na g 2,

ak r x -1 2 ? 2 . Potom

X + Ті _ (*і + ІU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 (2 + ^Y 2)( 2 ~ 1 Y 2)

x, x 2 + /y, x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x, y2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 e

i(r g

• - 1U e "(1 Fg) - I.sOї ((P - cf 1) + I- (R-,)] >2 >2
• 5. Zvýšenie komplexného čísla na kladnú mocninu celého čísla je najlepšie, ak je číslo zapísané v exponenciálnej alebo trigonometrickej forme.

Skutočne, ak z = ge 1 teda

=(ge,) = r p e t = G"(co8 psr + іt gcr).

Vzorec g" =r n (cosn(p+je n(p) sa nazýva De Moivreov vzorec.

6. Extrakcia koreňa P- mocnina komplexného čísla je definovaná ako inverzná operácia umocňovania p, p- 1,2,3,... t.j. komplexné číslo = y[g nazývaný koreň P- stupeň komplexného čísla

d ak G = g x. Z tejto definície vyplýva, že g - g", a g x= l/g. (p-psr x, a sr^-sr/n, čo vyplýva z Moivreho vzorca napísaného pre číslo = r/*+ ippp(p).

Ako je uvedené vyššie, argument komplexného čísla nie je jednoznačne definovaný, ale až po člen, ktorý je násobkom 2 dobre. Takže = (p + 2 ks, a argument čísla r, v závislosti od do, označovať (p až a buch

dem vypočítať podľa vzorca (p až= - + . Je jasné, že existuje P com-

plexné čísla, P ktorého mocnina sa rovná číslu 2. Tieto čísla majú jednotku

a rovnaký modul, rovný r[r, a argumenty týchto čísel sú získané pomocou Komu = 0, 1, P - 1. V trigonometrickom tvare sa teda koreň i-tého stupňa vypočíta podľa vzorca:

(p + 2 kp . . cf + 2 kp

, Komu = 0, 1, 77-1,

.(r+2ktg

a v exponenciálnom tvare - podľa vzorca l[r - y[gen n

Príklad 48. Vykonajte operácie s komplexnými číslami v algebraickom tvare:

a) (1- / H / 2) 3 (3 + /)

• (1 - /l/2) 3 (s + /) \u003d (1 - Zl / 2 / + 6 / 2 - 2 l / 2 / ? 3) (3 + /) \u003d
• (1 - Zl/2/ - 6 + 2 l/2/DZ + /) = (- 5 - l/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 + l/2)-(5 + Zl/2)/;

Príklad 49. Zvýšte číslo r \u003d Uz - / na piatu mocninu.

Riešenie. Dostaneme goniometrický tvar zápisu čísla r.

G = l/3 + 1 =2, CO8 (p --, 5ІІ7 (R =

• (1 - 2/X2 + /)
• (s-,)

O - 2,-x2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (tak tak

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) 'з+/
• 9 + 1 s_±.
• 5 2 1 "

Odtiaľ O--, a r = 2

Moivre dostaneme: i-2

/ ^ _ 7r, . ?G

• -USA-- IBIP -

• --b/-

\u003d - (l / W + g) \u003d -2.

Príklad 50 Nájdite všetky hodnoty

Riešenie, r = 2, a St nájsť z rovnice coy(p = -, zt--.

Tento bod 1 - /d/z je v štvrtom štvrťroku, t.j. f =--. Potom

• 1 - 2
• ( ( UG L

Koreňové hodnoty sa nachádzajú z výrazu

V1 - /l/s = l/2

• --+ 2A:/g ---b 2 kk
• 3 . . 3

С08--1- a 81П-

o Komu - 0 máme 2 0 = l/2

Hodnoty koreňa čísla 2 nájdete uvedením čísla na displeji

-* TO/ 3 + 2 trieda

o Komu= 1 máme ešte jednu koreňovú hodnotu:

• 7G. 7G_
• ---b27g ---b2;g
• 3. . h

7G . . 7G L-C05- + 181P - 6 6

• --N-

s? - 7G + / 5Sh - I "

l/3__t_

tvar tela. Pretože r= 2, a St= , potom r = 2е 3 a y[g = r/2e 2

Akcie na komplexných číslach zapísané v algebraickej forme

Algebraický tvar komplexného čísla z =(a,b sa nazýva algebraické vyjadrenie tvaru

z = a + bi.

Aritmetické operácie s komplexnými číslami z 1 = a 1 +b 1 i a z 2 = a 2 +b 2 i, napísané v algebraickej forme, sa vykonávajú nasledovne.

1. Súčet (rozdiel) komplexných čísel

z 1 ±z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

tie. sčítanie (odčítanie) sa uskutočňuje podľa pravidla sčítania polynómov s redukciou podobných členov.

2. Súčin komplexných čísel

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i,

tie. násobenie sa vykonáva podľa zaužívaného pravidla pre násobenie polynómov s prihliadnutím na skutočnosť, že i 2 = 1.

3. Delenie dvoch komplexných čísel sa vykonáva podľa nasledujúceho pravidla:

, (z 2 ≠ 0),

tie. delenie sa vykonáva vynásobením dividendy a deliteľa konjugátom deliteľa.

Umocňovanie komplexných čísel je definované takto:

Je ľahké to ukázať

Príklady.

1. Nájdite súčet komplexných čísel z 1 = 2 – i a z 2 = – 4 + 3i.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Nájdite súčin komplexných čísel z 1 = 2 – 3i a z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3ja∙ 5i = 7+22i.

3. Nájdite súkromné z z divízie z 1 \u003d 3 – 2 z 2 = 3 – i.

z= .

4. Vyriešte rovnicu:, X a r Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.

Vďaka rovnosti komplexných čísel máme:

kde x=–1 , r= 4.

5. Vypočítajte: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , i -2 .

6. Vypočítajte, ak .

.

7. Vypočítajte prevrátenú hodnotu čísla z=3-i.

Komplexné čísla v trigonometrickom tvare

komplexná rovina sa nazýva rovina s karteziánskymi súradnicami ( x, y), ak každý bod so súradnicami ( a, b) má priradené komplexné číslo z = a + bi. V tomto prípade sa nazýva os x reálna os a os y je imaginárny. Potom každé komplexné číslo a+bi geometricky znázornené na rovine ako bod A (a, b) alebo vektor .

Preto poloha bodu A(a teda komplexné číslo z) možno nastaviť podľa dĺžky vektora | | = r a uhol j tvorený vektorom | | s kladným smerom reálnej osi. Dĺžka vektora sa nazýva modul komplexného čísla a označuje sa | z|=r a uhol j volal argument komplexného čísla a označené j = argz.

Je jasné, že | z| ³ 0 a | z | = 0 Û z= 0.

Z obr. 2 to ukazuje.

Argument komplexného čísla je definovaný nejednoznačne a do 2 pk, kÎ Z.

Z obr. 2 tiež vyplýva, že ak z=a+bi a j=argz, potom

cos j =, hriech j =, tg j = .

Ak zОR a z > 0 potom argz = 0 +2pk;

ak z ОR a z< 0 potom argz = p + 2pk;

ak z= 0,argz neurčitý.

Hlavná hodnota argumentu je určená na intervale 0 £argz 2 £ p,

alebo -p£ arg z £ p.

Príklady:

1. Nájdite modul komplexných čísel z 1 = 4 – 3i a z 2 = –2–2i.

2. Určte na komplexnej rovine plochy špecifikované podmienkami:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 £; 3) | z – (2+i) | 3 £; 4) 6 £ | z – i| 7 £.

Riešenia a odpovede:

1) | z| = 5 Û Û je rovnica kruhu s polomerom 5 a so stredom v počiatku.

2) Kružnica s polomerom 6 so stredom v počiatku.

3) Kruh s polomerom 3 so stredom v bode z0 = 2 + i.

4) Prstenec ohraničený kruhmi s polomermi 6 a 7 so stredom v bode z 0 = i.

3. Nájdite modul a argument čísel: 1) ; 2).

1) ; a = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b=-2 Þ ,

.

Poznámka: Pri definovaní hlavného argumentu použite komplexnú rovinu.

Touto cestou: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j4 = , .

2.3. Trigonometrický tvar komplexných čísel

Nech je vektor daný v komplexnej rovine číslom .

Označme φ uhol medzi kladnou poloosou Ox a vektorom (uhol φ sa považuje za kladný, ak sa počíta proti smeru hodinových ručičiek, a za záporný v opačnom prípade).

Označte dĺžku vektora r. Potom . Označujeme tiež

Zápis nenulového komplexného čísla z ako

sa nazýva trigonometrický tvar komplexného čísla z. Číslo r sa nazýva modul komplexného čísla z a číslo φ sa nazýva argument tohto komplexného čísla a označuje sa Arg z.

Trigonometrická forma zápisu komplexného čísla - (Eulerov vzorec) - exponenciálna forma zápisu komplexného čísla:

Komplexné číslo z má nekonečne veľa argumentov: ak φ0 je ľubovoľný argument čísla z, potom všetky ostatné možno nájsť pomocou vzorca

Pre komplexné číslo nie je definovaný argument ani goniometrický tvar.

Argumentom nenulového komplexného čísla je teda akékoľvek riešenie sústavy rovníc:

(3)

Hodnota φ argumentu komplexného čísla z, ktorá spĺňa nerovnice, sa nazýva hlavná hodnota a označuje sa arg z.

Argumenty Arg z a arg z súvisia rovnosťou

, (4)

Vzorec (5) je dôsledkom systému (3), takže všetky argumenty komplexného čísla spĺňajú rovnosť (5), ale nie všetky riešenia φ rovnice (5) sú argumentmi čísla z.

Hlavná hodnota argumentu nenulového komplexného čísla sa nachádza vo vzorcoch:

Vzorce na násobenie a delenie komplexných čísel v trigonometrickom tvare sú nasledovné:

. (7)

Pri zvýšení komplexného čísla na prirodzenú mocninu sa používa de Moivreov vzorec:

Pri extrakcii koreňa z komplexného čísla sa používa vzorec:

, (9)

kde k=0, 1, 2, …, n-1.

Úloha 54. Vypočítajte , kde .

Znázornime riešenie tohto výrazu v exponenciálnom tvare zápisu komplexného čísla: .

Ak potom .

potom . Preto teda a , kde .

odpoveď: , o .

Úloha 55. Napíšte komplexné čísla v goniometrickom tvare:

a) ; b) ; v) ; G); e) ; e) ; g).

Keďže trigonometrický tvar komplexného čísla je , potom:

a) V komplexnom čísle: .

,

Takže

b) , kde ,

G) , kde ,

e) .

g) , a , potom .

Takže

odpoveď: ; 4; ; ; ; ; .

Úloha 56. Nájdite goniometrický tvar komplexného čísla

.

nechaj, .

potom , .

Pretože a , , potom , a

Preto teda

odpoveď: , kde .

Úloha 57. Pomocou goniometrickej formy komplexného čísla vykonajte nasledujúce akcie: .

Predstavte si čísla a v trigonometrickej forme.

1), kde potom

Nájdenie hodnoty hlavného argumentu:

Dosaďte hodnoty a do výrazu dostaneme

2) kde potom

Potom

3) Nájdite kvocient

Za predpokladu, že k=0, 1, 2, dostaneme tri rôzne hodnoty požadovaného koreňa:

Ak potom

Ak potom

Ak potom .

odpoveď: :

:

: .

Úloha 58. Nech sú , , , rôzne komplexné čísla a . Dokáž to

číslo je skutočné kladné číslo;

b) platí rovnosť:

a) Predstavme si tieto komplexné čísla v trigonometrickom tvare:

Pretože .

Predstierajme to. Potom

.

Posledný výraz je kladné číslo, pretože pod sínusovými znamienkami sú čísla z intervalu.

pretože číslo skutočné a pozitívne. Ak sú a a b komplexné čísla a sú reálne a väčšie ako nula, potom .

navyše

tým je dokázaná požadovaná rovnosť.

Úloha 59. Zapíšte číslo v algebraickom tvare .

Číslo reprezentujeme v goniometrickom tvare a potom nájdeme jeho algebraický tvar. Máme . Pre dostaneme systém:

Z toho vyplýva rovnosť: .

Použitie De Moivreovho vzorca:

dostaneme

Nájde sa trigonometrický tvar daného čísla.

Teraz zapíšeme toto číslo v algebraickom tvare:

.

odpoveď: .

Úloha 60. Nájdite súčet , ,

Zvážte sumu

Aplikovaním De Moivreovho vzorca zistíme

Tento súčet je súčtom n členov geometrickej postupnosti s menovateľom a prvý člen .

Aplikovaním vzorca pre súčet členov takejto progresie máme

Oddelením imaginárnej časti v poslednom výraze nájdeme

Oddelením reálnej časti získame aj nasledujúci vzorec: , , .

Úloha 61. Nájdite súčet:

a) ; b) .

Podľa Newtonovho vzorca pre zvýšenie na moc máme

Podľa De Moivreovho vzorca zistíme:

Porovnaním skutočných a imaginárnych častí získaných výrazov pre , máme:

a .

Tieto vzorce možno napísať v kompaktnej forme takto:

,

, kde je celá časť čísla a.

Úloha 62. Nájdite všetky, pre ktoré .

Pokiaľ ide o a potom použitím vzorca

, Ak chcete extrahovať korene, dostaneme ,

teda , ,

, .

Body zodpovedajúce číslam sú umiestnené vo vrcholoch štvorca vpísaného do kruhu s polomerom 2 so stredom v bode (0;0) (obr. 30).

odpoveď: , ,

, .

Úloha 63. Vyriešte rovnicu , .

Podľa podmienok; preto táto rovnica nemá koreň, a preto je ekvivalentná rovnici.

Aby bolo číslo z koreňom tejto rovnice, číslo musí byť n-tou odmocninou čísla 1.

Dospeli sme teda k záveru, že pôvodná rovnica má korene určené z rovnosti

,

Touto cestou,

,

t.j. ,

odpoveď: .

Úloha 64. Vyriešte rovnicu v množine komplexných čísel.

Keďže číslo nie je koreňom tejto rovnice, potom je táto rovnica ekvivalentná rovnici

Teda rovnica.

Všetky korene tejto rovnice sú získané zo vzorca (pozri úlohu 62):

; ; ; ; .

Úloha 65. Nakreslite na komplexnú rovinu množinu bodov, ktoré spĺňajú nerovnosti: . (2. spôsob riešenia problému 45)

Nechaj .

Komplexné čísla s rovnakými modulmi zodpovedajú bodom roviny ležiacim na kružnici so stredom v počiatku, takže nerovnosť spĺňajú všetky body otvoreného prstenca ohraničeného kružnicami so spoločným stredom v počiatku a polomermi a (obr. 31). Nech nejaký bod komplexnej roviny zodpovedá číslu w0. číslo , má modul krát menší ako modul w0, argument, ktorý je väčší ako argument w0. Z geometrického hľadiska možno bod zodpovedajúci w1 získať pomocou homotetity so stredom v počiatku a koeficientu , ako aj rotácie proti smeru hodinových ručičiek vzhľadom na počiatok. Aplikáciou týchto dvoch transformácií na body prstenca (obr. 31) sa prstenec zmení na prstenec ohraničený kružnicami s rovnakým stredom a polomermi 1 a 2 (obr. 32).

transformácia je implementovaný pomocou paralelného prekladu na vektore . Prenesením prstenca so stredom v bode do naznačeného vektora získame krúžok rovnakej veľkosti so stredom v bode (obr. 22).

Navrhovaná metóda, ktorá využíva myšlienku geometrických transformácií roviny, je pravdepodobne menej vhodná na popis, ale je veľmi elegantná a efektívna.

Úloha 66. Zistite, či .

Nechajte , potom a . Pôvodná rovnosť bude mať formu . Z podmienky rovnosti dvoch komplexných čísel dostaneme , , odkiaľ , . Touto cestou, .

Napíšme číslo z v trigonometrickom tvare:

, kde , . Podľa De Moivreovho vzorca nájdeme .

odpoveď: - 64.

Úloha 67. Pre komplexné číslo nájdite všetky komplexné čísla také, že , a .

Predstavme si číslo v trigonometrickom tvare:

. Preto,. Pre číslo, ktoré dostaneme, sa môže rovnať buď .

V prvom prípade , v druhom

.

odpoveď: , .

Úloha 68. Nájdite súčet čísel taký, že . Zadajte jedno z týchto čísel.

Všimnite si, že už zo samotnej formulácie problému možno pochopiť, že súčet koreňov rovnice možno nájsť bez výpočtu samotných koreňov. Skutočne, súčet koreňov rovnice je koeficient , braný s opačným znamienkom (zovšeobecnená Vieta veta), t.j.

Študenti, školská dokumentácia, vyvodzujú závery o stupni asimilácie tohto konceptu. Zhrňte štúdium znakov matematického myslenia a procesu vytvárania pojmu komplexného čísla. Popis metód. Diagnostika: I štádium. Rozhovor bol realizovaný s učiteľkou matematiky, ktorá v 10. ročníku vyučuje algebru a geometriu. Rozhovor prebehol po nejakom čase...

Rezonancia "(!)), ktorá zahŕňa aj posúdenie vlastného správania. 4. Kritické posúdenie vlastného chápania situácie (pochybnosti). 5. Napokon využitie odporúčaní právnej psychológie (zohľadňujúc psychologické aspekty odborné úkony advokáta - odborná psychologická pripravenosť). Uvažujme teraz o psychologickom rozbore právnych skutočností. ...

Matematika goniometrickej substitúcie a overenie účinnosti vypracovanej metodiky vyučovania. Etapy práce: 1. Vypracovanie voliteľného predmetu na tému: "Aplikácia goniometrickej substitúcie pri riešení algebraických úloh" so študentmi v triedach s prehĺbeným štúdiom matematiky. 2. Vedenie vypracovaného voliteľného kurzu. 3. Vykonanie diagnostickej kontroly...

Kognitívne úlohy sú určené len na doplnenie existujúcich učebných pomôcok a mali by byť vo vhodnej kombinácii so všetkými tradičnými prostriedkami a prvkami výchovno-vzdelávacieho procesu. Rozdiel medzi výchovnými problémami vo vyučovaní humanitných vied od exaktných, matematických úloh je len v tom, že v historických problémoch neexistujú vzorce, rigidné algoritmy a pod., čo komplikuje ich riešenie. ...