Előadás

Komplex szám trigonometrikus alakja

Terv

1. Komplex számok geometriai ábrázolása.

2. Komplex számok trigonometrikus jelölése.

3. Műveletek komplex számokra trigonometrikus formában.

Komplex számok geometriai ábrázolása.

a) A komplex számokat a sík pontjai ábrázolják a következő szabály szerint: a + kettős = M ( a ; b ) (1. ábra).

1. kép

b) Egy komplex szám ábrázolható a pontból induló vektorralO és ezen a ponton a vége (2. ábra).

2. kép

7. példa: ábrázolja a komplex számokat ábrázoló pontokat:1; - én ; - 1 + én ; 2 – 3 én (3. ábra).

3. ábra

Komplex számok trigonometrikus jelölése.

Összetett számz = a + kettős sugárvektorral állítható be koordinátákkal( a ; b ) (4. ábra).

4. ábra

Meghatározás . Vektor hossza komplex számot reprezentálz , ezt a szám modulusának nevezzük, és jelöljük vagyr .

Bármilyen komplex számraz a moduljar = | z | a képlet egyedileg határozza meg .

Meghatározás . A valós tengely pozitív iránya és a vektor közötti szög nagysága egy komplex számot reprezentáló komplex szám argumentumának nevezzük és jelöljükA rg z vagyφ .

Komplex szám argumentumz = 0 meghatározatlan. Komplex szám argumentumz≠ 0 egy többértékű mennyiség, és a futamidőig van meghatározva2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , aholarg z - az argumentum fő értéke, az intervallumba zárva(-π; π] , vagyis-π < arg z ≤ π (néha az argumentum fő értékét az intervallumhoz tartozó értéknek vesszük .

Ez a képlet ar =1 gyakran Moivre-képletnek nevezik:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

11. példa Számítsa ki(1 + én ) 100 .

Írjunk fel egy komplex számot1 + én trigonometrikus formában.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1 + i) 100 = [ (kötözősaláta + vétkezem )] 100 = ( ) 100 (kötözősaláta 100+ i bűn 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Egy komplex szám négyzetgyökének kinyerése.

Komplex szám négyzetgyökének kinyerésekora + kettős két esetünk van:

hab > kb , azután ;

Egy pont helyzetének meghatározásához egy síkon poláris koordinátákat használhat [r, (p), ahol G a pont távolsága az origótól, és (R- a sugarat alkotó szög - ennek a pontnak a vektora a tengely pozitív irányával Ó. A szögváltozás pozitív iránya (R az óramutató járásával ellentétes irányt veszik figyelembe. A derékszögű és a poláris koordináták közötti kapcsolat használata: x = r cos cf, y = r sin (p,

megkapjuk a komplex szám felírásának trigonometrikus alakját

z - r (sin (p + i sin

ahol G

Xі + y2, (p egy komplex szám argumentuma, amely ebből származik

l X . nál nél

képletek cos (p --, sin ^ 9 = - vagy annak köszönhető, hogy tg (p --, (p-arctg

Vegye figyelembe, hogy az értékek kiválasztásakor Házasodik az utolsó egyenletből az előjeleket kell figyelembe venni x és y.

47. példa Írjon fel egy komplex számot trigonometrikus formában! 2 = -1 + l / Z /.

Megoldás. Keresse meg egy komplex szám modulusát és argumentumát:

= yj 1 + 3 = 2 . Injekció Házasodik megtalálni a kapcsolatokból cos (o = -, bűn (p = -. Azután

kap cos (p = -, suup

u / z g ~

• - -. Nyilvánvalóan a z = -1 + V3- / pont az
• 2 Nak nek 3

a második negyedévben: (R= 120°

Helyettesítés

2 r.... cos - h; bűn

az (1) képletbe 27Г Л talált

Megjegyzés. Egy komplex szám argumentuma nem egyedileg definiált, hanem egy olyan tag erejéig, amely többszöröse 2p. Aztán át cn ^ r jelöli

a benne foglalt argumentumérték (0. o %2 Azután

A) ^ r = + 2kk.

A jól ismert Euler-képlet segítségével Vagyis egy komplex szám exponenciális jelölését kapjuk.

Nekünk van r = r (co ^ (p + i?, n (p) = r,

Műveletek komplex számokkal

• 1. Két komplex szám összege r, = X] + y x/ u r 2 - x 2 + y 2 / az r képlet szerint határozzuk meg! +2 2 = (x, + ^ 2) + (^ 1 + ^ 2) 'g
• 2. A komplex számok kivonásának műveletét az összeadás inverzeként definiáljuk. Összetett szám r = rx - r 2, ha z 2 + z = z x,

a komplex számok különbsége 2, és d 2. Ekkor r = (x, - x 2) + (y, - nál nél 2) /.

• 3. Két komplex szám szorzata r x= x, + y, -z és 2 2 = x 2+ U2'G-t a képlet határozza meg
• *1*2 =(* + U"0 (X 2+ T 2 -0 = X 1 X 2 Y 1 2 -1 + x Y2 " * + Van1 Van2 " ^ =

= (xx 2 ~ YY 2) + (X Y2 + X 2Y) - "-

Különösen, évf= (x + y-z) (x-y /) = x 2 + y 2.

Kaphat szorzóképleteket komplex számokhoz exponenciális és trigonometrikus formában. Nekünk van:

• 1^ 2 - Г х е 1 = ) Г 2 е> = Г] Г 2 cOs ((P + cf 2) + izin
• 4. A komplex számok osztása az inverz művelet

szorzás, azaz. szám G-- az osztás hányadosának nevezzük! az r 2-n,

ha r x -1 2 ? 2 . Azután

NS + Ті _ (*і + NE 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 (2 + ^ Y 2) (2 ~ 1 Y 2)

x, x 2 + / y, x 2 - іх х у 2 - і 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2) + / (- x, y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + U 2

1 e

i (g

• - 1U e "(1 Fg) - I.сОї ((R -cr 1) + І- (R-,)] >2 >2
• 5. A komplex szám pozitív egész hatványra emelése a legjobb, ha a számot exponenciális vagy trigonometrikus formában írjuk fel.

Valóban, ha r = rt 1 akkor

= (re,) = r n e t = G"(co8 psr + іт гкр).

g képlet = rn (cosn (p + = n (p)) az úgynevezett Moivre-képlet.

6. A gyökér kivonása NS- egy komplex szám hatványa a hatványra emelés fordított művelete n, n- 1,2,3, ... azaz. komplex szám = y [g gyökérnek nevezik NS- egy komplex szám edik foka

d ha G = r x... Ebből a meghatározásból az következik g - g ", a r x= l/g. (p-psr x, a cf-cp / n, ami az = r / * + számra írt Moivre-képletből következik ilipn (p).

Ahogy fentebb megjegyeztük, egy komplex szám argumentuma nem egyedileg definiált, hanem legfeljebb 2 tag többszöröse f. Ezért = (p + 2pk, és az r szám argumentuma attól függően Nak nek, jelöli (p toés fú

dem kiszámítja a képletet (p to= - +. Egyértelmű, hogy van NS com-

plex számok, NS-aik hatványa egyenlő 2-vel. Ezeknek a számoknak van egy

és ugyanaz a modul egyenlő y [r,és ezeknek a számoknak az argumentumait akkor kapjuk meg, amikor Nak nek = 0, 1, NS - 1. Így trigonometrikus formában az i-edik hatvány gyökét a következő képlettel számítjuk ki:

(p + 2 kp . . Sze + 2 kp

, Nak nek = 0, 1, 77-1,

(p + 2 ktg

és példaszerű formában - a képlet szerint l [z - y [ge n

48. példa: Végezzen műveleteket komplex számokkal algebrai formában:

a) (1- / H / 2) 3 (3 + /)

• (1 - / l / 2) 3 (s + /) = (1 - Zl / 2 / + 6/2 - 2 l / 2 /? 3) (3 + /) =
• (1 - Zl / 2 / - 6 + 2l / 2 / DZ + /) = (- 5 - l / 2 / DZ + /) =

15-Zl / 2 / -5 / -l / 2/2 = -15 - Zl / 2 / -5 / + l / 2 = (-15 + l / 2) - (5 + Zl / 2) /;

49. példa Szerkessze meg az r = Uz - / számot az ötödik hatványra.

Megoldás. Megkapjuk az r szám írásának trigonometrikus alakját.

Г = l / 3 + 1 = 2, C08 (p --, 5ІІ7 (R =

• (1-2 / X2 + /)
• (s-,)

O - 2.-X2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (z-O "(z-O

З / 2 12-51 + 3 15 - 5 /

• (3-i) 's + /
• 9 + 1 s_ ±.
• 5 2 1 "

Innen O--, a r = 2

Moivre kapunk: én -2

/ ^ _ 7Г,. ?G

• -USH-- ІБІП -

• --B / -

= - (l/Z + z) = -2.

50. példa Keresse meg az összes értéket

Megoldás, r = 2, és Házasodik keresse meg az egyenletből szója (p = -, zt -.

Ez az 1. pont - / d / z a negyedik negyedévben van, i.e. f =-. Azután

• 1 - 2
• ( ( UG L

A kifejezésből megtaláljuk a gyökér értékeit

V1 - / l / s = l / 2

• - + 2A: / g --- b 2 kk
• 3 . . 3

С08-1- і 81П-

Nál nél Nak nek - 0 van 2 0 = l / 2

A 2-es szám gyökének értékeit a szám megjelenítésével találhatja meg a kijelzőn

-* NAK NEK/ 3 + 2 cl

Nál nél Nak nek= 1 van még egy gyökérértékünk:

• 7G. 7G_
• --- b27g --- b2; g
• 3. ... s

7G ... ... 7G L-C05- + 181P - 6 6

• --Н -

co? - 7G + / 5SH - Z "

l / 3__t_

tel űrlap. Mivel r = 2, a Házasodik=, akkor r = 2e 3, és y [g = y / 2e 2

Műveletek algebrai formában írt komplex számokon

A z = komplex szám algebrai alakja(a,b) az alak algebrai kifejezésének nevezzük

z = a + kettős.

Aritmetikai műveletek komplex számokkal z 1 = a 1 + b 1 énés z 2 = a 2 + b 2 én algebrai formában írt szöveget a következőképpen hajtjuk végre.

1. A komplex számok összege (különbsége).

z 1 ± z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ± b 2)∙ i,

azok. az összeadás (kivonás) a polinomok összeadásának szabálya szerint történik hasonló tagok redukciójával.

2. Komplex számok szorzata

z 1 ∙ z 2 = (a 1 ∙ a 2 - b 1 ∙ b 2) + (a 1 ∙ b 2 + a 2 ∙ b 1)∙ i,

azok. a szorzás a polinomok szokásos szorzási szabálya szerint történik, figyelembe véve azt a tényt, hogy én 2 = 1.

3. Két komplex szám felosztása a következő szabály szerint történik:

, (z 2 ≠ 0),

azok. az osztást úgy hajtjuk végre, hogy az osztót és az osztót megszorozzuk az osztó konjugáltjával.

A komplex számok hatványozását a következőképpen határozzuk meg:

Ezt könnyű megmutatni

Példák.

1. Keresse meg a komplex számok összegét! z 1 = 2 – énés z 2 = – 4 + 3én.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙ i)+ (–4 + 3én) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) én = –2+2én.

2. Keresse meg a komplex számok szorzatát! z 1 = 2 – 3énés z 2 = –4 + 5én.

= (2 – 3én) ∙ (–4 + 5én) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3én)+ 2∙5én– 3én ∙ 5i = 7+22én.

3. Keresse meg a privátot z felosztástól z 1 = 3-2 na z 2 = 3 – én.

z = .

4. Oldja meg a következő egyenletet:, xés y Î R.

(2x + y) + (x + y)i = 2 + 3én.

A komplex számok egyenlősége miatt a következőket kapjuk:

ahol x =–1 , y= 4.

5. Számolja ki: én 2 ,én 3 ,én 4 ,én 5 ,én 6 ,én -1 , i -2 .

6. Számítsa ki, ha.

.

7. Számítsa ki a szám reciprokát! z=3-én.

Komplex számok trigonometrikus formában

Komplex sík síknak nevezzük derékszögű koordinátákkal ( x, y) ha minden pont koordinátákkal ( a, b) komplex számot kap z = a + bi... Ebben az esetben az abszcissza tengelyt ún valódi tengely, az ordináta tengelye pedig képzeletbeli... Ezután minden komplex szám a + bi geometriailag egy síkon pontként van ábrázolva A (a, b) vagy vektor.

Ezért a pont helyzete A(és ezért a komplex szám z) megadható a | vektor hosszával | = rés szög j vektor alkotta | | a valós tengely pozitív irányával. A vektor hosszát ún komplex szám modulusaés |-vel jelöljük z | = rés a szög j hívott komplex szám argumentumés jelöltük j = arg z.

Egyértelmű, hogy | z| ³ 0 és | z | = 0 Û z = 0.

ábrából 2 ezt mutatja.

Egy komplex szám argumentumát kétértelműen, de 2-es pontossággal határozzuk meg pk, kÎ Z.

ábrából 2 az is látható, hogy ha z = a + biés j = arg z, azután

kötözősaláta j =, bűn j =, tg j =.

Ha zÎRés z> 0, akkor arg z = 0 +2pk;

ha z ÎRés z< 0, akkor arg z = p + 2pk;

ha z = 0,arg z meghatározatlan.

Az argumentum fő értékét a 0 szegmens határozza meg £ arg z£ 2 p,

vagy -o£ arg z £ p.

Példák:

1. Határozza meg a komplex számok modulusát! z 1 = 4 – 3énés z 2 = –2–2én.

2. Határozza meg a komplex síkon a feltételek által meghatározott területeket:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 GBP; 3) | z – (2+én) | 3 GBP; 4) 6 £ | z – én| 7 font.

Megoldások és válaszok:

1) | z| = 5 Û Û egy 5-ös sugarú kör egyenlete, amelynek középpontja az origóban van.

2) 6 sugarú kör, amelynek középpontja az origó.

3) 3 sugarú kör, amelynek középpontja egy pont z 0 = 2 + én.

4) 6 és 7 sugarú körök által határolt gyűrű, amelynek középpontja egy pontban van z 0 = én.

3. Keresse meg a számok modulját és argumentumát: 1); 2).

1) ; a = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2én; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Megjegyzés: A fő argumentum meghatározásakor használja a komplex síkot.

És így: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 =, .

3) , r 3 = 1, j 3 =, .

4) , r 4 = 1, j 4 =, .

2.3. Komplex számok trigonometrikus alakja

Adjuk meg a vektort a komplex síkon egy számmal.

Jelöljük φ-vel az Ox pozitív féltengely és a vektor közötti szöget (a φ szöget pozitívnak tekintjük, ha az óramutató járásával ellentétes irányba számoljuk, ellenkező esetben negatívnak).

A vektor hosszát r-vel jelöljük. Azután . Azt is jelöljük

Nem nulla z komplex szám írása a formába

a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük. Az r számot a z komplex szám modulusának, a φ számot pedig ennek a komplex számnak az argumentumának nevezzük, és Arg z-vel jelöljük.

Komplex szám trigonometrikus jelölése - (Euler-képlet) - komplex szám exponenciális jelölése:

A z komplex számnak végtelen sok argumentuma van: ha φ0 a z szám bármely argumentuma, akkor az összes többi megtalálható a képlettel

Komplex szám esetén az argumentum és a trigonometrikus forma nincs megadva.

Így egy nem nulla komplex szám argumentuma az egyenletrendszer tetszőleges megoldása:

(3)

Egy z komplex szám argumentumának φ értékét, amely kielégíti az egyenlőtlenségeket, főnek nevezzük, és arg z-vel jelöljük.

Arg z és arg z összefügg azzal

, (4)

Az (5) képlet a (3) rendszer következménye, ezért a komplex szám minden argumentuma kielégíti az (5) egyenlőséget, de nem minden φ megoldása az (5) egyenletnek a z szám argumentuma.

Egy nem nulla komplex szám argumentumának fő értéke a következő képletekkel található meg:

A komplex számok trigonometrikus formában történő szorzására és osztására szolgáló képletek a következők:

. (7)

Ha egy komplex számot természetes hatványra emelünk, a Moivre-képletet használjuk:

Ha komplex számból kinyerünk gyökeret, a képletet használjuk:

, (9)

ahol k = 0, 1, 2, ..., n-1.

54. feladat Számítsa ki, hol!

Ábrázoljuk ennek a kifejezésnek a megoldását egy komplex szám exponenciális jelölésében:.

Ha akkor.

Azután , ... Ezért aztán és , ahol .

Válasz: , nál nél .

55. feladat Írja fel a komplex számokat trigonometrikus formában:

a) ; b); v) ; G) ; e); e) ; g).

Mivel egy komplex szám trigonometrikus alakja:

a) Komplex számban:.

,

Ezért

b) , ahol ,

G) , ahol ,

e) .

g) , a , azután .

Ezért

Válasz: ; 4; ; ; ; ; .

56. feladat Keresse meg egy komplex szám trigonometrikus alakját!

.

Legyen , .

Azután , , .

Mivel és ,, majd, és

Ezért tehát

Válasz: , ahol .

57. feladat Egy komplex szám trigonometrikus alakját használva hajtsa végre a jelzett műveleteket:.

Ábrázoljuk a számokat és trigonometrikus formában.

1), hol azután

Keresse meg a fő argumentum értékét:

Helyettesítsük be az értékeket és a kifejezésbe, megkapjuk

2) ahol aztán

Azután

3) Keresse meg a hányadost!

Ha k = 0, 1, 2, akkor a kívánt gyökér három különböző értékét kapjuk:

Ha akkor

ha akkor

ha akkor .

Válasz: :

:

: .

58. feladat Legyenek,,, különböző komplex számok és ... Bizonyítsd

egy szám valódi pozitív szám;

b) az egyenlőség megtörténik:

a) Ezeket a komplex számokat trigonometrikus formában ábrázoljuk:

Mivel .

Tegyünk úgy, mintha. Azután

.

Az utolsó kifejezés egy pozitív szám, mivel a szinuszjelek az intervallumból származó számok.

szám óta valódi és pozitív. Valóban, ha a és b komplex számok, valódiak és nagyobbak nullánál, akkor.

Kívül,

tehát a megkívánt egyenlőség bebizonyosodik.

59. feladat Írja le a számot algebrai formában! .

Ábrázoljunk egy számot trigonometrikus formában, majd keressük meg az algebrai alakját. Nekünk van ... Mert megkapjuk a rendszert:

Ez egyenlőséget jelent: .

A Moivre-képlet alkalmazása:,

kapunk

Megtalálta a megadott szám trigonometrikus alakját.

Ezt a számot most algebrai formában írjuk:

.

Válasz: .

60. feladat Keresse meg az összeget,,

Vegye figyelembe az összeget

A Moivre-képlet alkalmazásával azt találjuk

Ez az összeg egy nevezővel rendelkező geometriai sorozat n tagjának összege és az első tag .

Az ilyen progresszió tagjainak összegére vonatkozó képletet alkalmazva megkapjuk

Az utolsó kifejezésben a képzeletbeli részt elválasztva azt találjuk

A valós részt elválasztva a következő képletet is kapjuk:,,.

61. feladat Keresse meg az összeget:

a) ; b).

A hatalomra emelés Newton-képlete szerint megvan

A Moivre-képlet segítségével a következőket kapjuk:

A kapott kifejezések valós és képzetes részeit egyenlővé tesszük:

és .

Ezeket a képleteket tömör formában a következőképpen írhatjuk fel:

,

, ahol az a szám egész része.

62. feladat. Keressen mindenkit, akinek.

Amennyiben , majd a képlet alkalmazásával

, A gyökerek kinyeréséhez kapunk ,

Ennélfogva, , ,

, .

A számoknak megfelelő pontok a (0; 0) pontban középre írt 2 sugarú körbe írt négyzet csúcsaiban helyezkednek el (30. ábra).

Válasz: , ,

, .

63. feladat Oldja meg az egyenletet! , .

Feltétel szerint ; ezért ennek az egyenletnek nincs gyöke, és ezért ekvivalens egy egyenlettel.

Ahhoz, hogy a z szám legyen ennek az egyenletnek a gyöke, a számnak az 1 szám n-edik gyökének kell lennie.

Ebből arra következtetünk, hogy az eredeti egyenletnek az egyenlőségekből meghatározott gyökei vannak

,

És így,

,

azaz ,

Válasz: .

64. feladat Oldja meg az egyenletet a komplex számok halmazában!

Mivel a szám nem gyöke ennek az egyenletnek, ezért ez az egyenlet ekvivalens az egyenlettel

Vagyis az egyenlet.

Ennek az egyenletnek az összes gyöke a képletből adódik (lásd a 62. feladatot):

; ; ; ; .

65. feladat Rajzolja fel a komplex síkra azon pontok halmazát, amelyek kielégítik az egyenlőtlenségeket: ... (2. módszer a 45. feladat megoldására)

Legyen .

Az azonos modulusú komplex számok a sík azon pontjainak felelnek meg, amelyek egy origó középpontú körön helyezkednek el, ezért az egyenlőtlenség kielégíti az origóban közös középpontú körök által határolt nyitott gyűrű minden pontját és sugarát és (31. ábra). A komplex sík valamely pontja feleljen meg a w0 számnak. Szám , modulusa egyszer kisebb, mint a w0 modulus, és argumentuma nagyobb, mint a w0. Geometriailag a w1-nek megfelelő pont az origó középpontjával és együtthatóval rendelkező homotétiával, valamint az origó körül az óramutató járásával ellentétes szöggel történő elforgatásával kapható meg. Ennek a két transzformációnak a gyűrű pontjaira történő alkalmazása (31. ábra) eredményeként az utóbbi egy azonos középpontú, 1 és 2 sugarú körök által határolt gyűrűvé alakul (32. ábra).

átalakítás vektorba történő párhuzamos fordítással valósítják meg. A pontban középre állított gyűrűt a jelzett vektorra mozgatva egy azonos méretű gyűrűt kapunk egy pontban középre (22. ábra).

A javasolt módszer, amely a sík geometriai transzformációinak ötletét használja, valószínűleg kevésbé kényelmes a leírásban, de nagyon elegáns és hatékony.

66. feladat Keresse meg, ha .

Hagyjuk, akkor és. Az eredeti egyenlőség formát ölt ... Két komplex szám egyenlőségének feltételéből azt kapjuk, hogy honnan,. És így, .

Írjuk fel a z számot trigonometrikus alakban:

, ahol , . A Moivre-képlet szerint azt találjuk.

Válasz: - 64.

67. feladat. Egy komplex számhoz keresse meg az összes olyan komplex számot, amelyre és .

A számot ábrázoljuk trigonometrikus formában:

... Ennélfogva,. A kapott szám esetén egyenlő lehet bármelyikkel.

Az első esetben , a másodikban

.

Válasz: , .

68. feladat Keresse meg a számok összegét úgy, hogy. Írja be a számok egyikét.

Megjegyzendő, hogy már a probléma megfogalmazásától kezdve érthető, hogy az egyenlet gyökeinek összege megtalálható anélkül, hogy magukat a gyököket számítanák ki. Valóban, az egyenlet gyökeinek összege az ellentétes előjellel vett együttható at (általánosított Vieta tétel), azaz.

A tanulók, az iskolai dokumentáció, következtetéseket vonnak le e fogalom asszimilációjának mértékéről. Foglalja össze a matematikai gondolkodás sajátosságainak vizsgálatát és a komplex szám fogalmának kialakításának folyamatát! A módszerek leírása. Diagnosztika: I. szakasz. A beszélgetést matematikatanárral folytattuk, aki 10. osztályban algebrát és geometriát tanít. A beszélgetés az elejétől egy idő után lezajlott...

Rezonancia "(!)), Amely magában foglalja a saját viselkedés értékelését is. 4. A helyzet megértésének kritikus értékelése (kétségek). 5. Végül a jogpszichológia ajánlásainak felhasználása (a pszichológiai szempontok figyelembevételével). ügyvéd által végzett szakmai tevékenységekről - szakmai pszichológiai felkészültség). Tekintsük most a jogi tények pszichológiai elemzését. ...

A trigonometrikus helyettesítés matematikája és a kidolgozott oktatási módszerek hatékonyságának tesztelése. A munka szakaszai: 1. Fakultatív kurzus kidolgozása a következő témában: "Trigonometrikus helyettesítés alkalmazása algebrai feladatok megoldására" matematika elmélyültséggel foglalkozó osztályok tanulóival. 2. A kidolgozott fakultatív tanfolyam lebonyolítása. 3. Diagnosztikai ellenőrzés lefolytatása...

A kognitív feladatok csak a meglévő oktatási segédanyagok kiegészítésére szolgálnak, és megfelelő kombinációban kell lenniük az oktatási folyamat minden hagyományos eszközével és elemével. A bölcsészettudományok oktatásának oktatási problémái az egzaktoktól, a matematikai feladatoktól csak abban különböznek, hogy a történeti feladatokban nincsenek képletek, merev algoritmusok stb., ami megnehezíti a megoldásukat. ...