उत्कीर्ण और परिचालित मंडलियां। प्रमेय: किसी भी त्रिभुज में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है

परिभाषा 2

एक बहुभुज जो परिभाषा 1 की शर्त को पूरा करता है, उसे एक वृत्त के चारों ओर खुदा हुआ कहा जाता है।

चित्र 1. उत्कीर्ण वृत्त

प्रमेय 1 (एक त्रिभुज में खुदे हुए वृत्त पर)

प्रमेय 1

किसी भी त्रिभुज में, आप एक वृत्त लिख सकते हैं, और इसके अलावा, केवल एक।

प्रमाण।

त्रिभुज $ ABC$ पर विचार करें। इसमें समद्विभाजक खींचिए जो $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं और इससे त्रिभुज की भुजाओं पर लंबवत् खींचते हैं (चित्र 2)

चित्र 2. प्रमेय का चित्रण 1

अस्तित्व: केंद्र $O$ और त्रिज्या $OK के साथ एक वृत्त बनाएं।\ $चूंकि बिंदु $O$ तीन समद्विभाजक पर स्थित है, यह त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं से समान दूरी पर है। यानी $OM=OK=OL$। नतीजतन, निर्मित सर्कल भी अंक $M\ और\ L$ से होकर गुजरता है। चूँकि $OM,OK\ और\ OL$ त्रिभुज की भुजाओं के लंबवत हैं, तो वृत्त प्रमेय की स्पर्शरेखा द्वारा, निर्मित वृत्त त्रिभुज की तीनों भुजाओं को स्पर्श करता है। अत: किसी त्रिभुज की मनमानी के आधार पर किसी भी त्रिभुज में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है।

विशिष्टता: मान लीजिए कि त्रिभुज $ABC$ बिंदु $O"$ पर केंद्रित एक अन्य सर्कल के साथ अंकित किया जा सकता है। इसका केंद्र त्रिभुज के किनारों से समान दूरी पर है, और इसलिए बिंदु $O$ के साथ मेल खाता है और इसकी लंबाई के बराबर त्रिज्या है $OK$ लेकिन फिर यह सर्कल पहले वाले के साथ मेल खाएगा।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

परिणाम 1: एक त्रिभुज में अंकित वृत्त का केंद्र उसके समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित होता है।

यहाँ एक उत्कीर्ण वृत्त की अवधारणा से संबंधित कुछ और तथ्य दिए गए हैं:

प्रत्येक चतुर्भुज को एक वृत्त में अंकित नहीं किया जा सकता है।

किसी भी परिबद्ध चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं का योग बराबर होता है।

यदि किसी उत्तल चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का योग बराबर हो, तो उसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है।

परिभाषा 3

यदि बहुभुज के सभी शीर्ष वृत्त पर स्थित हों, तो वृत्त बहुभुज के निकट परिबद्ध कहलाता है (चित्र 3)।

परिभाषा 4

एक बहुभुज जो परिभाषा 2 की शर्त को पूरा करता है, एक वृत्त में अंकित कहलाता है।

चित्र 3. परिचालित वृत्त

प्रमेय 2 (एक त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त पर)

प्रमेय 2

किसी भी त्रिभुज के पास एक वृत्त को परिचालित करना संभव है, और इसके अलावा, केवल एक।

प्रमाण।

त्रिभुज $ ABC$ पर विचार करें। आइए इसमें मध्य लंबन बनाएं, बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं, और इसे त्रिभुज के शीर्षों से जोड़ते हैं (चित्र 4)

चित्र 4. प्रमेय 2 . का चित्रण

अस्तित्व: आइए केंद्र $O$ और त्रिज्या $OC$ के साथ एक सर्कल बनाएं। बिंदु $O$ त्रिभुज के शीर्षों से समान दूरी पर है, अर्थात $OA=OB=OC$। नतीजतन, निर्मित वृत्त दिए गए त्रिभुज के सभी शीर्षों से होकर गुजरता है, जिसका अर्थ है कि यह इस त्रिभुज के चारों ओर वर्णित है।

विशिष्टता: मान लें कि त्रिभुज $ABC$ के चारों ओर एक और वृत्त को $O"$ बिंदु पर केंद्र के साथ परिबद्ध किया जा सकता है। इसका केंद्र त्रिभुज के शीर्षों से समान दूरी पर है, और इसलिए बिंदु $O$ के साथ मेल खाता है और एक है त्रिज्या $OC की लंबाई के बराबर है। $ लेकिन तब यह सर्कल पहले वाले के साथ मेल खाएगा।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

परिणाम 1: त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र इसके लंबवत द्विभाजक के प्रतिच्छेदन बिंदु के साथ मेल खाता है।

यहाँ परिचालित वृत्त की अवधारणा से संबंधित कुछ और तथ्य दिए गए हैं:

एक चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करना हमेशा संभव नहीं होता है।

किसी भी उत्कीर्ण चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $(180)^0$ के बराबर होता है।

यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग $(180)^0$ है, तो उसके चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है।

एक उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्त की अवधारणाओं पर एक समस्या का एक उदाहरण

उदाहरण 1

एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार 8 सेमी, भुजा 5 सेमी है, उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

समाधान।

त्रिभुज $ ABC$ पर विचार करें। कोरोलरी 1 से हम जानते हैं कि उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन पर स्थित होता है। आइए हम द्विभाजक $AK$ और $BM$ खींचते हैं, जो बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु $O$ से $BC$ की ओर एक लंबवत $OH$ ड्रा करें। आइए एक चित्र बनाएं:

चित्र 5

चूँकि त्रिभुज समद्विबाहु है, $BM$ माध्यिका और ऊँचाई दोनों है। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=3$. $OM=OH=r$ -- अंकित वृत्त की वांछित त्रिज्या। चूँकि $MC$ और $CH$ प्रतिच्छेदी स्पर्शरेखा के खंड हैं, प्रतिच्छेदी स्पर्शरेखा प्रमेय के अनुसार, हमारे पास $CH=MC=4\ cm$ है। इसलिए, $BH=5-4=1\ cm$। $बीओ=3-आर$। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा त्रिभुज $OHB$ से, हम प्राप्त करते हैं:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

उत्तर:$\frac(4)(3)$.

परिभाषा 2

चित्र 1. उत्कीर्ण वृत्त

प्रमेय 1 (एक त्रिभुज में खुदे हुए वृत्त पर)

प्रमेय 1

किसी भी त्रिभुज में, आप एक वृत्त लिख सकते हैं, और इसके अलावा, केवल एक।

प्रमाण।

चित्र 2. प्रमेय का चित्रण 1

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

यहाँ एक उत्कीर्ण वृत्त की अवधारणा से संबंधित कुछ और तथ्य दिए गए हैं:

प्रत्येक चतुर्भुज को एक वृत्त में अंकित नहीं किया जा सकता है।

किसी भी परिबद्ध चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं का योग बराबर होता है।

परिभाषा 3

परिभाषा 4

एक बहुभुज जो परिभाषा 2 की शर्त को पूरा करता है, एक वृत्त में अंकित कहलाता है।

चित्र 3. परिचालित वृत्त

प्रमेय 2 (एक त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त पर)

प्रमेय 2

प्रमाण।

चित्र 4. प्रमेय 2 . का चित्रण

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

यहाँ परिचालित वृत्त की अवधारणा से संबंधित कुछ और तथ्य दिए गए हैं:

एक चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करना हमेशा संभव नहीं होता है।

किसी भी उत्कीर्ण चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $(180)^0$ के बराबर होता है।

एक उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्त की अवधारणाओं पर एक समस्या का एक उदाहरण

उदाहरण 1

समाधान।

चित्र 5

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

उत्तर:$\frac(4)(3)$.

एक त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त के गुणों पर प्रमेयों का प्रमाण

खंड के मध्य लंबवत

परिभाषा 1. खंड के मध्य लंबवतकहा जाता है, इस खंड के लंबवत और इसके मध्य से गुजरने वाली एक सीधी रेखा (चित्र 1)।

प्रमेय 1। खंड के लंबवत द्विभाजक का प्रत्येक बिंदु है सिरों से समान दूरी पर यह खंड।

प्रमाण । खंड AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित एक मनमाना बिंदु D पर विचार करें (चित्र 2), और सिद्ध करें कि त्रिभुज ADC और BDC बराबर हैं।

दरअसल, ये त्रिभुज समकोण त्रिभुज होते हैं जिनके पैर AC और BC बराबर होते हैं, जबकि पैर DC उभयनिष्ठ होते हैं। त्रिभुज ADC और BDC की समानता से, खंड AD और DB की समानता इस प्रकार है। प्रमेय 1 सिद्ध होता है।

प्रमेय 2 (प्रमेय 1 के विपरीत). यदि एक बिंदु एक खंड के सिरों से समान दूरी पर है, तो यह इस खंड के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित है।

प्रमाण । आइए हम प्रमेय 2 को "विरोधाभास द्वारा" विधि से सिद्ध करें। इसके लिए, मान लीजिए कि कोई बिंदु E खंड के सिरों से समान दूरी पर है, लेकिन इस खंड के लंबवत द्विभाजक पर स्थित नहीं है। आइए हम इस धारणा को एक विरोधाभास में लाते हैं। आइए पहले उस स्थिति पर विचार करें जब बिंदु E और A लंबवत द्विभाजक के विपरीत पक्षों पर स्थित हों (चित्र 3)। इस मामले में, खंड ईए किसी बिंदु पर लंबवत द्विभाजक को काटता है, जिसे हम डी अक्षर से निरूपित करेंगे।

आइए हम सिद्ध करें कि खंड AE खंड EB से लंबा है। सच में,

इस प्रकार, उस स्थिति में जब बिंदु E और A लंबवत समद्विभाजक के विपरीत पक्षों पर स्थित होते हैं, हमें एक विरोधाभास प्राप्त होता है।

अब उस स्थिति पर विचार करें जब बिंदु E और A लंब समद्विभाजक के एक ही तरफ स्थित हों (चित्र 4)। आइए हम सिद्ध करें कि खंड EB, खंड AE से लंबा है। सच में,

परिणामी विरोधाभास प्रमेय 2 . के प्रमाण को पूरा करता है

त्रिभुज के परिगत वृत्त

परिभाषा 2. त्रिभुज के परिगत एक वृत्त, त्रिभुज के तीनों शीर्षों से गुजरने वाले वृत्त को कॉल करें (चित्र 5)। इस मामले में त्रिभुज कहा जाता है एक वृत्त में अंकित त्रिभुजया खुदा हुआ त्रिभुज.

एक त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त के गुण। ज्या प्रमेय

आकृति	चित्र	संपत्ति
मध्य लंबवत त्रिभुज की भुजाओं तक		एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करें .

केंद्र एक वृत्त के न्यून त्रिभुज के परितः परिबद्ध		केंद्र के बारे में बताया गया है तीव्र कोण के भीतर त्रिकोण।
केंद्र एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त		के बारे में वर्णित के केंद्र आयताकार कर्ण का मध्यबिंदु .
केंद्र एक वृत्त के एक अधिक त्रिभुज के बारे में परिचालित		केंद्र के बारे में बताया गया है कुंठित वृत्त त्रिभुज झूठ बाहर त्रिकोण।
		,
क्षेत्र त्रिकोण		एस = 2आर 2 पाप एपाप बीपाप सी ,
परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या		किसी भी त्रिभुज के लिए, समानता सत्य है:

एक त्रिभुज की भुजाओं का मध्यलंब

सभी लंबवत द्विभाजक एक मनमाना त्रिभुज की भुजाओं की ओर खींचा गया, एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करें .

त्रिभुज के परिगत वृत्त

किसी भी त्रिभुज को एक वृत्त द्वारा परिबद्ध किया जा सकता है। . त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र वह बिंदु है जिस पर त्रिभुज की भुजाओं पर खींचे गए सभी लंब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं।

एक न्यून त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र

केंद्र के बारे में बताया गया है तीव्र कोण वृत्त त्रिभुज झूठ के भीतर त्रिकोण।

एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र

के बारे में वर्णित के केंद्र आयताकार वृत्त त्रिभुज है कर्ण का मध्यबिंदु .

एक वृत्त का केंद्र एक अधिक त्रिभुज के चारों ओर परिचालित है

केंद्र के बारे में बताया गया है कुंठित वृत्त त्रिभुज झूठ बाहर त्रिकोण।

किसी भी त्रिभुज के लिए, समानताएँ मान्य होती हैं (साइन प्रमेय):

जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, A, B, C त्रिभुज के कोण हैं, R परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल

किसी भी त्रिभुज के लिए, समानता सत्य है:

एस = 2आर 2 पाप एपाप बीपाप सी ,

जहाँ A, B, C त्रिभुज के कोण हैं, S त्रिभुज का क्षेत्रफल है, R परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है।

परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या

किसी भी त्रिभुज के लिए, समानता सत्य है:

जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, S त्रिभुज का क्षेत्रफल है, R परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है।

एक त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त के गुणों पर प्रमेयों का प्रमाण

प्रमेय 3. एक मनमाना त्रिभुज की भुजाओं की ओर खींचे गए सभी मध्यलंब एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

प्रमाण । त्रिभुज ABC की भुजाओं AC और AB पर खींचे गए दो लंब समद्विभाजकों पर विचार करें और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को O अक्षर से निरूपित करें (चित्र 6)।

चूँकि बिंदु O खण्ड AC के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है, तो प्रमेय 1 के आधार पर समानता बनी रहती है।

और यह इसके सभी पहलुओं पर लागू होता है।

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अंकित वृत्त गुण:
आर = (- ए + बी + सी) (ए - बी + सी) (ए + बी - सी) 4 (ए + बी + सी); (\displaystyle r=(\sqrt (\frac ((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))(4(a+b+c))));) 1 r = 1 ha + 1 hb + 1 hc (\displaystyle (\frac (1)(r))=(\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b) ))+(\frac (1)(h_(c))))
कहाँ पे a , b , c (\displaystyle a,b,c)- एक त्रिभुज की भुजाएँ h a , h b , h c (\displaystyle h_(a),h_(b),h_(c))- संबंधित पक्षों को खींची गई ऊंचाई;
r = S p = (p - a) (p - b) (p - c) p (\displaystyle r=(\frac (S)(p))=(\sqrt (\frac ((pa)(pb)) (पीसी))(पी))))
कहां एस (\ डिस्प्लेस्टाइल एस)त्रिभुज का क्षेत्रफल है, और पी (\डिस्प्लेस्टाइल पी)इसकी अर्धपरिमापी है।
- अगर ए बी (\ डिस्प्लेस्टाइल एबी)- एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार, फिर वृत्त कोण की भुजाओं की स्पर्शरेखा ∠ A C B (\displaystyle \angle ACB)बिंदुओं पर ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)और बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी), त्रिभुज के खुदे हुए वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है △ ए बी सी (\displaystyle \triangle ABC).
- यूलर का प्रमेय: आर 2 - 2 आर आर = | हे मैं | 2 (\displaystyle R^(2)-2Rr=|OI|^(2)), कहाँ पे आर (\ डिस्प्लेस्टाइल आर)त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है, r (\displaystyle r)इसमें अंकित वृत्त की त्रिज्या है, ओ (\ डिस्प्लेस्टाइल ओ)- परिचालित वृत्त का केंद्र, मैं (\displaystyle I)- खुदे हुए वृत्त का केंद्र।
- यदि AB के समांतर बिंदु I से गुजरने वाली एक रेखा BC और CA को बिंदु A 1 और B 1 पर काटती है, तो ए 1 बी 1 = ए 1 बी + ए बी 1 (\displaystyle A_(1)B_(1)=A_(1)B+AB_(1)).
- यदि एक खुदे हुए त्रिभुज के स्पर्शरेखा बिंदु टी (\ डिस्प्लेस्टाइल टी)मंडलियों को खंडों से कनेक्ट करें, फिर आपको गुणों के साथ एक त्रिभुज T 1 मिलता है:
  - T के समद्विभाजक T 1 के मध्य लंबवत हैं
  - मान लीजिए कि T 2 एक लंब त्रिभुज है T 1 । तब इसकी भुजाएँ मूल त्रिभुज T की भुजाओं के समांतर होती हैं।
  - माना T 3, T 1 का मध्य त्रिभुज है। तब T के समद्विभाजक T 3 की ऊँचाई हैं।
  - मान लीजिए कि T 4, T 3 का एक लंब त्रिभुज है, तो T के समद्विभाजक T 4 के समद्विभाजक हैं।
- पैरों a, b और कर्ण c वाले समकोण त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है a + b − c 2 (\displaystyle (\frac (a+b-c)(2))).
- त्रिभुज के शीर्ष C से उस बिंदु तक की दूरी जहां खुदा हुआ वृत्त भुजा को स्पर्श करता है d = a + b − c 2 = p − c (\displaystyle d=(\frac (a+b-c)(2))=p-c).
- शीर्ष C से अंकित वृत्त के केंद्र की दूरी है एल सी = आर पाप ⁡ (γ 2) (\displaystyle l_(c)=(\frac (r)(\sin((\frac (\gamma )(2)))))), जहां r खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या है और शीर्ष C का कोण है।
- शीर्ष C से उत्कीर्ण वृत्त के केंद्र तक की दूरी भी सूत्रों का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है एल सी = (पी - सी) 2 + आर 2 (\displaystyle l_(c)=(\sqrt ((p-c)^(2)+r^(2))))और l c = a b − 4 R r (\displaystyle l_(c)=(\sqrt (ab-4Rr)))
- त्रिशूल के बारे में प्रमेय or शैमरॉक प्रमेय: अगर डी- कोण समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु एएक त्रिभुज के परिबद्ध वृत्त के साथ एबीसी, मैंऔर जे- क्रमशः, खुदा के केंद्र और किनारे पर स्पर्शरेखा को घेरते हैं ईसा पूर्व, फिर | डी आई | = | डी बी | = | डी सी | = | डी जे | (\displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|).
- Verriere's lemma: वृत्त दें वी (\ डिस्प्लेस्टाइल वी)पार्टियों की चिंता ए बी (\ डिस्प्लेस्टाइल एबी), एसी (\ डिस्प्लेस्टाइल एसी)और चाप बी सी (\displaystyle ई.पू.)त्रिभुज का परिचालित वृत्त। तब वृत्त के स्पर्शरेखा बिंदु वी (\ डिस्प्लेस्टाइल वी)पक्षों और केंद्र के साथ (अंकित वृत्त त्रिकोण) ए बी सी (\displaystyle एबीसी)एक ही लाइन पर लेट जाओ।
- फ़्यूअरबैक की प्रमेय. वृत्त नौ अंक तीनों को छूता है घेरा, साथ ही साथ खुदा हुआ घेरा. स्पर्श बिंदु सर्कल यूलरऔर खुदा हुआ घेरा Feuerbach बिंदु के रूप में जाना जाता है।
उत्कीर्ण वृत्त का परिबद्ध वृत्त से संबंध

R R = 4 S 2 p a b c = cos α + cos β + cos - 1 ; (\displaystyle (\frac (r)(R))=(\frac (4S^(2))(pabc))=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;)
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