इस लेख में, हम विश्लेषण करेंगे शेषफल के साथ पूर्णांक विभाजन. आइए, पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने के सामान्य सिद्धांत के साथ प्रारंभ करें, शेष के साथ पूर्णांकों की विभाज्यता पर एक प्रमेय तैयार करें और सिद्ध करें, लाभांश, भाजक, आंशिक भागफल और शेष के बीच संबंध का पता लगाएं। इसके बाद, हम उन नियमों की घोषणा करेंगे जिनके द्वारा पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित किया जाता है, और उदाहरणों को हल करते समय इन नियमों के लागू होने पर विचार करेंगे। उसके बाद, हम सीखेंगे कि पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने के परिणाम की जाँच कैसे करें।

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शेषफल के साथ पूर्णांकों के विभाजन का सामान्य विचार

शेष के साथ पूर्णांकों का विभाजन हम शेष प्राकृतिक संख्याओं के साथ विभाजन के सामान्यीकरण के रूप में विचार करेंगे। यह इस तथ्य के कारण है कि प्राकृतिक संख्याएं पूर्णांकों का एक घटक हैं।

आइए विवरण में उपयोग किए जाने वाले शब्दों और नोटेशन से शुरू करें।

शेषफल के साथ प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन के अनुरूप, हम मानते हैं कि शेष दो पूर्णांक a और b (b शून्य के बराबर नहीं) के साथ विभाजन का परिणाम दो पूर्णांक c और d है। संख्या ए और बी को कहा जाता है भाज्यतथा विभक्तक्रमशः, संख्या d है शेष a को b से विभाजित करने से, और पूर्णांक c कहलाता है अधूरा निजी(या केवल निजीयदि शेष शून्य है)।

आइए सहमत हैं कि शेष एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, और इसका मान b से अधिक नहीं है, अर्थात, (जब हम तीन या अधिक पूर्णांकों की तुलना करने की बात करते हैं तो हम असमानताओं की समान श्रृंखलाओं से मिले थे)।

यदि संख्या c एक आंशिक भागफल है, और संख्या d एक पूर्णांक a को एक पूर्णांक b से विभाजित करने का शेष भाग है, तो हम संक्षेप में इस तथ्य को a:b=c (d रहने के लिए) के रूप की समानता के रूप में लिखेंगे।

ध्यान दें कि जब एक पूर्णांक a को एक पूर्णांक b से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल शून्य हो सकता है। इस स्थिति में, हम कहते हैं कि a, b से विभाज्य है एक ट्रेस के बिना(या पूरी तरह) इस प्रकार, शेषफल के बिना पूर्णांकों का विभाजन शेषफल के साथ पूर्णांकों के विभाजन का एक विशेष मामला है।

यह भी कहने योग्य है कि जब शून्य को किसी पूर्णांक से विभाजित किया जाता है, तो हम हमेशा शेष के बिना विभाजन से निपटते हैं, क्योंकि इस मामले में भागफल शून्य के बराबर होगा (एक पूर्णांक द्वारा शून्य के विभाजन के सिद्धांत पर अनुभाग देखें), और शेष भी शून्य के बराबर होगा।

हमने शब्दावली और अंकन पर निर्णय लिया है, अब आइए पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने का अर्थ समझते हैं।

एक ऋणात्मक पूर्णांक a को एक धनात्मक पूर्णांक b से विभाजित करना भी समझ में आता है। ऐसा करने के लिए, ऋण के रूप में एक ऋणात्मक पूर्णांक पर विचार करें। आइए ऐसी स्थिति की कल्पना करें। वस्तुओं को बनाने वाले ऋण को बी लोगों द्वारा चुकाया जाना चाहिए, वही योगदान करते हुए। इस मामले में अपूर्ण भागफल c का निरपेक्ष मान इन लोगों में से प्रत्येक के ऋण की राशि का निर्धारण करेगा, और शेष d यह दिखाएगा कि ऋण चुकाने के बाद कितनी वस्तुएँ शेष रहेंगी। आइए एक उदाहरण लेते हैं। मान लीजिए कि 2 लोगों पर 7 सेब बकाया हैं। यदि हम मान लें कि उनमें से प्रत्येक पर 4 सेब बकाया हैं, तो कर्ज चुकाने के बाद उनके पास 1 सेब शेष रहेगा। यह स्थिति समानता (−7):2=−4 (शेष 1) से मेल खाती है।

एक ऋणात्मक पूर्णांक से एक मनमाना पूर्णांक के शेष भाग के साथ विभाजन, हम कोई अर्थ नहीं जोड़ेंगे, लेकिन हम इसे अस्तित्व का अधिकार छोड़ देंगे।

शेषफल वाले पूर्णांकों के लिए विभाज्यता प्रमेय

जब हमने प्राकृत संख्याओं को शेषफल से विभाजित करने की बात की, तो हमने पाया कि भाज्य a, भाजक b, आंशिक भागफल c और शेष d समानता a=b c+d से संबंधित हैं। पूर्णांक a , b , c और d समान संबंध साझा करते हैं। इस कनेक्शन की पुष्टि निम्नलिखित द्वारा की जाती है विभाज्यता प्रमेय शेष के साथ.

प्रमेय।

किसी भी पूर्णांक a को एक अद्वितीय तरीके से एक पूर्णांक और एक गैर-शून्य संख्या b के रूप में a=b q+r के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां q और r कुछ पूर्णांक हैं, और ।

सबूत।

आइए पहले a=b·q+r को निरूपित करने की संभावना को सिद्ध करें।

यदि पूर्णांक a और b ऐसे हैं कि a, b से समान रूप से विभाज्य है, तो परिभाषा के अनुसार एक पूर्णांक q मौजूद है जैसे कि a=b q । इस मामले में, समानता a=b q+r r=0 के लिए है।

अब हम मानेंगे कि b एक धनात्मक पूर्णांक है। हम एक पूर्णांक q को इस प्रकार चुनते हैं कि गुणनफल b·q संख्या a से अधिक न हो, और गुणन b·(q+1) पहले से ही a से बड़ा हो। अर्थात्, हम q को इस प्रकार लेते हैं कि असमानताएँ b q

यह ऋणात्मक b के लिए a=b q+r का प्रतिनिधित्व करने की संभावना को साबित करना बाकी है।

चूँकि इस मामले में संख्या b का मापांक एक धनात्मक संख्या है, तो के लिए एक निरूपण है, जहाँ q 1 कुछ पूर्णांक है, और r एक पूर्णांक है जो शर्तों को पूरा करता है। फिर, q=−q 1 मानते हुए, हम ऋणात्मक b के लिए अपेक्षित निरूपण a=b q+r प्राप्त करते हैं।

हम विशिष्टता के प्रमाण की ओर मुड़ते हैं।

मान लीजिए कि प्रतिनिधित्व के अलावा a=b q+r, q और r पूर्णांक हैं और, एक और प्रतिनिधित्व a=b q 1 +r 1 है, जहां q 1 और r 1 कुछ पूर्णांक हैं, और q 1 q और ।

पहली समानता के बाएँ और दाएँ भागों से, क्रमशः, दूसरी समानता के बाएँ और दाएँ भागों को घटाने के बाद, हमें 0=b (q−q 1)+r−r 1 प्राप्त होता है, जो समानता r− के बराबर है। आर 1 =बी (क्यू 1 - क्यू)। फिर फॉर्म की समानता , और संख्या के मापांक के गुणों के कारण - और समानता .

शर्तों से और हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं। चूँकि q और q 1 पूर्णांक हैं और q≠q 1 , तो हम यह निष्कर्ष कहाँ से निकालते हैं कि . प्राप्त असमानताओं से और यह इस प्रकार है कि फॉर्म की समानता हमारी धारणा के तहत असंभव। इसलिए, a=b·q+r को छोड़कर, संख्या a का कोई अन्य प्रतिनिधित्व नहीं है।

लाभांश, भाजक, आंशिक भागफल और शेष के बीच संबंध

यदि भाजक b, आंशिक भागफल c और शेष d ज्ञात हो तो समानता a=b c+d आपको अज्ञात लाभांश a खोजने की अनुमति देती है। एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

यदि इसके पूर्णांक −21 से भाग देने पर 5 का अधूरा भागफल और 12 का शेषफल मिलता है, तो लाभांश किसके बराबर होगा?

समाधान।

जब हम भाजक b=−21 , आंशिक भागफल c=5 और शेष d=12 जानते हैं तो हमें लाभांश a की गणना करने की आवश्यकता होती है। समानता a=b c+d की ओर मुड़ते हुए, हमें a=(−21) 5+12 प्राप्त होता है। अवलोकन करते हुए, पहले हम पूर्णांकों −21 और 5 का गुणन विभिन्न चिह्नों वाले पूर्णांकों के गुणन के नियम के अनुसार करते हैं, जिसके बाद हम विभिन्न चिह्नों के साथ पूर्णांकों का योग करते हैं: (−21) 5+12=−105+12 =−93।

उत्तर:

−93 .

लाभांश, भाजक, आंशिक भागफल और शेष के बीच संबंध भी b=(a−d):c , c=(a−d):b और d=a−b·c के रूप की समानता द्वारा व्यक्त किए जाते हैं। ये समानताएँ हमें क्रमशः भाजक, आंशिक भागफल और शेषफल की गणना करने की अनुमति देती हैं। सूत्र d=a−b·c का उपयोग करते हुए, हमें अक्सर एक पूर्णांक a को एक पूर्णांक b से विभाजित करने के शेष भाग को खोजने की आवश्यकता होती है, जब लाभांश, भाजक और आंशिक भागफल ज्ञात हो। आगे के प्रश्नों से बचने के लिए, हम शेष की गणना के एक उदाहरण का विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण।

यदि आंशिक भागफल −7 ज्ञात हो, तो पूर्णांक −19 को पूर्णांक 3 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

भाग के शेष भाग की गणना करने के लिए, हम d=a−b·c रूप के सूत्र का उपयोग करते हैं। शर्त से हमारे पास सभी आवश्यक डेटा a=−19 , b=3 , c=−7 है। हमें d=a−b c=−19−3 (−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (अंतर −19−(−21) मिलता है जिसकी गणना हमने ऋणात्मक घटाने के नियम से की थी। पूर्णांक)।

उत्तर:

शेष धनात्मक पूर्णांकों के साथ विभाजन, उदाहरण

जैसा कि हम पहले ही एक से अधिक बार नोट कर चुके हैं, धनात्मक पूर्णांक प्राकृत संख्याएँ होती हैं। इसलिए, शेष धनात्मक पूर्णांकों के साथ विभाजन शेष प्राकृतिक संख्याओं के साथ विभाजन के सभी नियमों के अनुसार किया जाता है। शेष प्राकृतिक संख्याओं के साथ विभाजन को आसानी से करने में सक्षम होना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह वह है जो न केवल सकारात्मक पूर्णांक के विभाजन को रेखांकित करता है, बल्कि सभी विभाजन नियमों का आधार भी शेष मनमाना पूर्णांक के साथ।

हमारे दृष्टिकोण से, कॉलम द्वारा विभाजन करना सबसे सुविधाजनक है, यह विधि आपको अपूर्ण भागफल (या केवल एक भागफल) और शेष दोनों प्राप्त करने की अनुमति देती है। शेष धनात्मक पूर्णांकों के साथ विभाजन के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

14671 बटा 54 के शेष के साथ एक विभाजन करें।

समाधान।

आइए इन धनात्मक पूर्णांकों का एक स्तंभ द्वारा विभाजन करते हैं:

अधूरा भागफल 271 निकला और शेष 37 है।

उत्तर:

14 671:54=271 (बाकी 37) ।

एक ऋणात्मक पूर्णांक द्वारा एक धनात्मक पूर्णांक के शेष के साथ विभाजन का नियम, उदाहरण

आइए एक नियम बनाते हैं जो आपको एक ऋणात्मक पूर्णांक द्वारा शेष धनात्मक पूर्णांक के साथ विभाजन करने की अनुमति देता है।

एक धनात्मक पूर्णांक a को ऋणात्मक पूर्णांक b से विभाजित करने का आंशिक भागफल, a को b के मापांक से विभाजित करने के आंशिक भागफल के विपरीत होता है, और a को b से विभाजित करने का शेष भाग , से भाग देने वाला शेष होता है।

इस नियम से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक धनात्मक पूर्णांक को एक ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने का अधूरा भागफल एक गैर-धनात्मक पूर्णांक होता है।

आइए एक नकारात्मक पूर्णांक द्वारा शेष सकारात्मक पूर्णांक के साथ विभाजित करने के लिए ध्वनि नियम को एक एल्गोरिदम में रीमेक करें:

• हम भाज्य के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करते हैं, हमें अधूरा भागफल और शेषफल मिलता है। (यदि इस मामले में शेषफल शून्य के बराबर निकला, तो मूल संख्याओं को बिना शेषफल के विभाजित किया जाता है, और पूर्णांकों को विपरीत चिह्नों से विभाजित करने के नियम के अनुसार, वांछित भागफल, से भागफल के विपरीत संख्या के बराबर होता है। मॉड्यूल को विभाजित करना।)
• हम प्राप्त अपूर्ण भागफल और शेष के विपरीत संख्या लिखते हैं। ये संख्याएँ, क्रमशः, वांछित भागफल और मूल धनात्मक पूर्णांक को ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने के शेष भाग हैं।

आइए हम एक सकारात्मक पूर्णांक को एक ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए एल्गोरिथ्म का उपयोग करने का एक उदाहरण दें।

उदाहरण।

एक धनात्मक पूर्णांक 17 के शेष भाग को एक ऋणात्मक पूर्णांक −5 से भाग दें।

समाधान।

आइए एक ऋणात्मक पूर्णांक द्वारा शेष धनात्मक पूर्णांक के साथ विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करें।

डिवाइडिंग

3 की विपरीत संख्या -3 है। इस प्रकार, 17 को -5 से विभाजित करने का आवश्यक आंशिक भागफल -3 है, और शेष 2 है।

उत्तर:

17 :(−5)=−3 (बाकी 2).

उदाहरण।

विभाजित करना 45 बाय -15।

समाधान।

लाभांश और भाजक के मॉड्यूल क्रमशः 45 और 15 हैं। संख्या 45 बिना किसी शेषफल के 15 से विभाज्य है, जबकि भागफल 3 है। इसलिए, धनात्मक पूर्णांक 45 ऋणात्मक पूर्णांक −15 से बिना शेषफल के विभाज्य है, जबकि भागफल 3 के विपरीत संख्या के बराबर है, अर्थात −3। वास्तव में, विभिन्न चिह्नों के साथ पूर्णांकों के विभाजन के नियम के अनुसार, हमारे पास .

उत्तर:

45:(−15)=−3 .

एक ऋणात्मक पूर्णांक के शेष भाग को एक धनात्मक पूर्णांक से विभाजित करें, उदाहरण

आइए हम एक धनात्मक पूर्णांक से एक ऋणात्मक पूर्णांक के शेष भाग के साथ विभाजन का नियम बनाते हैं।

एक ऋणात्मक पूर्णांक a को एक धनात्मक पूर्णांक b से विभाजित करने से एक अपूर्ण भागफल c प्राप्त करने के लिए, आपको मूल संख्याओं के मॉड्यूल को विभाजित करने से अपूर्ण भागफल के विपरीत संख्या लेनी होगी और उसमें से एक घटाना होगा, जिसके बाद शेष d की गणना की जाएगी। सूत्र d=a−b c का उपयोग करके।

शेषफल के साथ विभाजन के इस नियम से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक ऋणात्मक पूर्णांक को एक धनात्मक पूर्णांक से विभाजित करने का अधूरा भागफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है।

आवाज वाले नियम से एक नकारात्मक पूर्णांक के शेष के साथ एक सकारात्मक पूर्णांक बी द्वारा विभाजन एल्गोरिथ्म का पालन किया जाता है:

• हम लाभांश और भाजक के मॉड्यूल पाते हैं।
• हम भाज्य के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करते हैं, हमें अधूरा भागफल और शेषफल मिलता है। (यदि शेष शून्य है, तो मूल पूर्णांक बिना शेष के विभाज्य हैं, और वांछित भागफल मॉड्यूल को विभाजित करने वाले भागफल के विपरीत संख्या के बराबर है।)
• हम प्राप्त अपूर्ण भागफल के विपरीत संख्या लिखते हैं और उसमें से संख्या 1 घटाते हैं। परिकलित संख्या मूल ऋणात्मक पूर्णांक को धनात्मक पूर्णांक से विभाजित करने से वांछित आंशिक भागफल c है।

आइए उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करें, जिसमें हम शेष के साथ लिखित विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हैं।

उदाहरण।

धनात्मक पूर्णांक 5 से विभाजित आंशिक भागफल और ऋणात्मक पूर्णांक -17 का शेष भाग ज्ञात कीजिए।

समाधान।

लाभांश -17 का मापांक 17 है, और भाजक 5 का मापांक 5 है।

डिवाइडिंग 17 बटा 5, हमें 3 का अधूरा भागफल और 2 का शेषफल मिलता है।

3 का विपरीत −3 है। −3: −3−1=−4 में से एक घटाएं। अतः वांछित अपूर्ण भागफल −4 है।

शेष की गणना करना बाकी है। हमारे उदाहरण में a=−17 , b=5 , c=−4 , फिर d=a−b c=−17−5 (−4)= −17−(−20)=−17+20=3 ।

इस प्रकार, ऋणात्मक पूर्णांक -17 का आंशिक भागफल धनात्मक पूर्णांक 5 से भाग देने पर −4 होता है और शेषफल 3 होता है।

उत्तर:

(−17):5=−4 (बाकी 3)।

उदाहरण।

ऋणात्मक पूर्णांक −1 404 को धनात्मक पूर्णांक 26 से भाग दें।

समाधान।

लाभांश मापांक 1404 है, भाजक मापांक 26 है।

एक कॉलम में 1404 को 26 से विभाजित करें:

चूंकि लाभांश के मापांक को बिना शेष के भाजक के मापांक द्वारा विभाजित किया गया था, मूल पूर्णांकों को शेष के बिना विभाजित किया जाता है, और वांछित भागफल 54 के विपरीत संख्या के बराबर होता है, अर्थात -54।

उत्तर:

(−1 404):26=−54 .

शेष ऋणात्मक पूर्णांकों के साथ विभाजन नियम, उदाहरण

आइए हम शेष ऋणात्मक पूर्णांकों के साथ विभाजन नियम बनाते हैं।

एक ऋणात्मक पूर्णांक a को ऋणात्मक पूर्णांक b से विभाजित करने से एक अपूर्ण भागफल c प्राप्त करने के लिए, आपको मूल संख्याओं के मॉड्यूल को विभाजित करके अपूर्ण भागफल की गणना करने और उसमें एक जोड़ने की आवश्यकता है, उसके बाद, सूत्र d का उपयोग करके शेष d की गणना करें। =ए−बी सी।

इस नियम से यह निष्कर्ष निकलता है कि ऋणात्मक पूर्णांकों के विभाजन का अपूर्ण भागफल एक धनात्मक पूर्णांक होता है।

आइए नकारात्मक पूर्णांकों को विभाजित करने के लिए एक एल्गोरिथम के रूप में आवाज वाले नियम को फिर से लिखें:

• हम लाभांश और भाजक के मॉड्यूल पाते हैं।
• हम भाज्य के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करते हैं, हमें अधूरा भागफल और शेषफल मिलता है। (यदि शेषफल शून्य है, तो मूल पूर्णांक शेषफल के बिना विभाज्य हैं, और वांछित भागफल भाजक के मापांक द्वारा विभाज्य के मापांक को विभाजित करने के भागफल के बराबर है।)
• हम परिणामी अपूर्ण भागफल में एक जोड़ते हैं, यह संख्या मूल ऋणात्मक पूर्णांकों को विभाजित करने से वांछित अपूर्ण भागफल है।
• सूत्र d=a−b·c का उपयोग करके शेष की गणना करें।

एक उदाहरण को हल करते समय ऋणात्मक पूर्णांकों को विभाजित करने के लिए एल्गोरिथम के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

आंशिक भागफल और ऋणात्मक पूर्णांक −17 के शेष भाग को ऋणात्मक पूर्णांक −5 से विभाजित करके ज्ञात कीजिए।

समाधान।

हम शेष के साथ उपयुक्त विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हैं।

लाभांश मापांक 17 है, भाजक मापांक 5 है।

विभाजन 17 गुना 5 अधूरा भागफल 3 देता है और शेष 2 देता है।

हम अपूर्ण भागफल 3: 3+1=4 में एक जोड़ते हैं। इसलिए, −17 को −5 से विभाजित करने का वांछित अपूर्ण भागफल 4 है।

शेष की गणना करना बाकी है। इस उदाहरण में a=−17 , b=−5 , c=4 , फिर d=a−b c=−17−(−5) 4= −17−(−20)=−17+20=3 ।

तो, ऋणात्मक पूर्णांक −17 का आंशिक भागफल ऋणात्मक पूर्णांक −5 से विभाजित होता है, 4 है, और शेष 3 है।

उत्तर:

(−17):(−5)=4 (बाकी 3) ।

पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने के परिणाम की जाँच करना

शेष के साथ पूर्णांकों का विभाजन करने के बाद, परिणाम की जांच करना उपयोगी होता है। सत्यापन दो चरणों में किया जाता है। पहले चरण में, यह जाँच की जाती है कि क्या शेष d एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, और स्थिति की भी जाँच की जाती है। यदि सत्यापन के पहले चरण की सभी शर्तें पूरी होती हैं, तो आप सत्यापन के दूसरे चरण के लिए आगे बढ़ सकते हैं, अन्यथा यह तर्क दिया जा सकता है कि शेष के साथ विभाजित करते समय कहीं त्रुटि हुई थी। दूसरे चरण में, समानता a=b·c+d की वैधता की जाँच की जाती है। यदि यह समानता सत्य है, तो शेष के साथ विभाजन सही ढंग से किया गया था, अन्यथा कहीं त्रुटि हुई थी।

आइए उन उदाहरणों के हलों पर विचार करें जिनमें पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने के परिणाम की जाँच की जाती है।

उदाहरण।

संख्या -521 को -12 से विभाजित करते समय, आंशिक भागफल 44 था और शेष 7 था, परिणाम की जाँच करें।

समाधान। −2 b=−3 , c=7 , d=1 के लिए। हमारे पास है बी सी+डी=−3 7+1=−21+1=−20. इस प्रकार, समानता a=b c+d गलत है (हमारे उदाहरण में a=−19 )।

इसलिए, शेष के साथ विभाजन गलत तरीके से किया गया था।

लेख शेष के साथ पूर्णांकों के विभाजन की अवधारणा का विश्लेषण करता है। हम शेषफल के साथ पूर्णांकों की विभाज्यता पर प्रमेय को सिद्ध करेंगे और विभाज्य और भाजक, अपूर्ण भागफल और शेष के बीच संबंध देखेंगे। नियमों पर विचार करें जब पूर्णांकों को शेषफलों के साथ विभाजित किया जाता है, उदाहरणों के साथ विस्तार से जांच की जाती है। समाधान के अंत में, हम एक जाँच करेंगे।

पूर्णांकों को शेषफलों से विभाजित करने की सामान्य समझ

शेषफल के साथ पूर्णांकों के विभाजन को प्राकृतिक संख्याओं के शेष के साथ एक सामान्यीकृत विभाजन माना जाता है। ऐसा इसलिए किया जाता है क्योंकि प्राकृत संख्याएं पूर्णांकों का एक घटक होती हैं।

एक मनमाना संख्या के शेष के साथ विभाजन कहता है कि पूर्णांक a संख्या b से विभाज्य है, जो शून्य से भिन्न है। यदि b = 0 है तो शेषफल के साथ कोई विभाजन नहीं किया जाता है।

साथ ही शेष के साथ प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन, पूर्णांक ए और बी का विभाजन किया जाता है, जिसमें बी शून्य से भिन्न होता है, सी और डी द्वारा। इस मामले में, ए और बी को लाभांश और भाजक कहा जाता है, और डी विभाजन का शेष भाग है, सी एक पूर्णांक या आंशिक भागफल है।

यदि हम यह मान लें कि शेषफल एक ऋणेतर पूर्णांक है, तो इसका मान संख्या b के मापांक से अधिक नहीं है। आइए इसे इस प्रकार लिखें: 0 ≤ d ≤ b । असमानताओं की इस श्रृंखला का उपयोग 3 या अधिक संख्याओं की तुलना करते समय किया जाता है।

यदि c एक अधूरा भागफल है, तो d एक पूर्णांक a को b से विभाजित करने का शेष भाग है, आप संक्षेप में ठीक कर सकते हैं: a: b \u003d c (d रहते हैं)।

संख्या a को b से विभाजित करने पर शेषफल शून्य संभव है, तो वे कहते हैं कि a को b से पूर्णतः विभाजित किया जाता है, अर्थात शेषफल के बिना। शेषफल के बिना विभाजन को विभाजन का एक विशेष मामला माना जाता है।

यदि हम शून्य को किसी संख्या से विभाजित करते हैं, तो हमें शून्य प्राप्त होता है। भाग का शेष भाग भी शून्य होगा। इसे एक पूर्णांक से शून्य के विभाजन के सिद्धांत से देखा जा सकता है।

अब शेष के साथ पूर्णांकों के विभाजन के अर्थ पर विचार करें।

यह ज्ञात है कि धनात्मक पूर्णांक प्राकृत होते हैं, फिर शेषफल से भाग देने पर वही अर्थ प्राप्त होता है जो प्राकृत संख्याओं को शेषफल से भाग देने पर प्राप्त होता है।

एक ऋणात्मक पूर्णांक a को एक धनात्मक पूर्णांक b से विभाजित करना समझ में आता है। आइए एक उदाहरण देखें। एक ऐसी स्थिति की कल्पना करें जहां हमारे पास उस राशि की वस्तुओं का कर्ज है जिसे b लोगों को चुकाने की जरूरत है। इसके लिए सभी को समान रूप से योगदान देने की जरूरत है। प्रत्येक के लिए ऋण की राशि निर्धारित करने के लिए, निजी सी के मूल्य पर ध्यान देना आवश्यक है। शेष d इंगित करता है कि ऋण चुकाने के बाद वस्तुओं की संख्या ज्ञात है।

आइए सेब के साथ एक उदाहरण लेते हैं। अगर 2 लोगों को 7 सेब चाहिए। अगर हम गणना करें कि सभी को 4 सेब लौटाने होंगे, तो पूरी गणना के बाद उनके पास 1 सेब बचेगा। आइए इसे एक समानता के रूप में लिखें: (− 7) : 2 = − 4 (о с t. 1) ।

किसी भी संख्या को एक पूर्णांक से विभाजित करने का कोई मतलब नहीं है, लेकिन यह एक विकल्प के रूप में संभव है।

शेषफल वाले पूर्णांकों के लिए विभाज्यता प्रमेय

हमने पाया कि a भाज्य है, फिर b भाजक है, c आंशिक भागफल है और d शेषफल है। वे आपस में जुड़े हुए हैं। हम इस संबंध को समानता a = b · c + d का उपयोग करके दिखाएंगे। उनके बीच का संबंध विभाज्यता प्रमेय द्वारा शेष के साथ विशेषता है।

प्रमेय

किसी भी पूर्णांक को केवल एक पूर्णांक और एक गैर-शून्य संख्या b के रूप में इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: a = b · q + r, जहाँ q और r कुछ पूर्णांक हैं। यहाँ हमारे पास 0 ≤ r ≤ b है।

आइए हम a = b · q + r के अस्तित्व की संभावना को सिद्ध करें।

सबूत

यदि दो संख्याएँ a और b हैं, और a शेष के बिना b से विभाज्य है, तो यह परिभाषा से निम्नानुसार है कि एक संख्या q है, कि समानता a = b · q सत्य होगी। तब समानता को सत्य माना जा सकता है: a = b q + r r = 0 के लिए।

फिर q को इस प्रकार लेना आवश्यक है कि असमानता b · q . द्वारा दिया गया हो< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

हमारे पास यह है कि व्यंजक a - b · q का मान शून्य से अधिक है और संख्या b के मान से अधिक नहीं है, इसलिए यह इस प्रकार है कि r = a - b · q। हम पाते हैं कि संख्या a को a = b · q + r के रूप में दर्शाया जा सकता है।

अब हमें b के ऋणात्मक मानों के लिए a = b · q + r का प्रतिनिधित्व करने की संभावना पर विचार करने की आवश्यकता है।

संख्या का मापांक सकारात्मक हो जाता है, तो हमें a = b q 1 + r मिलता है, जहां मान q 1 कुछ पूर्णांक है, r एक पूर्णांक है जो 0 r की स्थिति में फिट बैठता है< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

विशिष्टता का प्रमाण

मान लें कि a = b q + r , q और r 0 ≤ r शर्त के साथ पूर्णांक हैं< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где क्यू 1तथा आर 1कुछ संख्याएँ हैं जहाँ क्यू 1 क्यू, 0 r1< b .

जब असमानता को बाएँ और दाएँ पक्षों से घटाया जाता है, तो हमें 0 = b · (q - q 1) + r - r 1 प्राप्त होता है, जो r - r 1 = b · q 1 - q के बराबर होता है। चूंकि मॉड्यूल का उपयोग किया जाता है, हम समानता r - r 1 = b · q 1 - q प्राप्त करते हैं।

दी गई शर्त कहती है कि 0 r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что क्यूतथा क्यू 1- पूरे, और क्यू क्यू 1, फिर क्यू 1 - क्यू ≥ 1। अतः हमारे पास वह b · q 1 - q b है। परिणामी असमानताएँ r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

इससे यह पता चलता है कि संख्या a को किसी अन्य तरीके से प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, सिवाय ऐसे संकेतन a = b · q + r के।

लाभांश, भाजक, आंशिक भागफल और शेषफल के बीच संबंध

समानता a \u003d b c + d का उपयोग करके, आप अज्ञात लाभांश a पा सकते हैं जब भाजक b को अपूर्ण भागफल c और शेष d के साथ जाना जाता है।

उदाहरण 1

लाभांश निर्धारित करें यदि, विभाजित करने पर, हमें - 21, एक अधूरा भागफल 5 और शेषफल 12 मिलता है।

समाधान

ज्ञात भाजक b = - 21, अपूर्ण भागफल c = 5 और शेष d = 12 के साथ लाभांश a की गणना करना आवश्यक है। हमें समानता a = b c + d को संदर्भित करने की आवश्यकता है, यहाँ से हमें a = (− 21) 5 + 12 प्राप्त होता है। संक्रियाओं के क्रम के अधीन, हम - 21 को 5 से गुणा करते हैं, जिसके बाद हमें (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93 मिलता है।

उत्तर: - 93 .

भाजक और आंशिक भागफल और शेष के बीच संबंध को समानता का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है: b = (a - d): c , c = (a - d): b और d = a - b · c। उनकी सहायता से हम भाजक, आंशिक भागफल और शेषफल की गणना कर सकते हैं। यह ज्ञात लाभांश, भाजक और आंशिक भागफल के साथ एक पूर्णांक a को b से विभाजित करने के शेष को लगातार खोजने के लिए उबलता है। सूत्र d = a - b · c लागू किया जाता है। आइए समाधान पर विस्तार से विचार करें।

उदाहरण 2

एक पूर्णांक - 19 को एक पूर्णांक 3 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए जिसका ज्ञात अपूर्ण भागफल - 7 है।

समाधान

एक भाग के शेषफल की गणना करने के लिए, हम d = a - b c के रूप का एक सूत्र लागू करते हैं। शर्त के अनुसार, सभी डेटा a = - 19 , b = 3 , c = - 7 उपलब्ध हैं। यहाँ से हमें d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (अंतर - 19 - (- 21)... इस उदाहरण की गणना घटाव नियम पूर्ण ऋणात्मक संख्या द्वारा की जाती है।

उत्तर: 2 .

सभी सकारात्मक पूर्णांक प्राकृतिक हैं। यह इस प्रकार है कि विभाजन शेष प्राकृतिक संख्याओं के साथ विभाजन के सभी नियमों के अनुसार किया जाता है। शेष प्राकृतिक संख्याओं के साथ विभाजन की गति महत्वपूर्ण है, क्योंकि न केवल सकारात्मक संख्याओं का विभाजन इस पर आधारित है, बल्कि मनमाने पूर्णांकों को विभाजित करने के नियम भी हैं।

सबसे सुविधाजनक विभाजन विधि एक कॉलम है, क्योंकि अपूर्ण या केवल एक शेषफल के साथ भागफल प्राप्त करना आसान और तेज़ है। आइए समाधान पर अधिक विस्तार से विचार करें।

उदाहरण 3

14671 को 54 से भाग दें।

समाधान

यह विभाजन एक कॉलम में किया जाना चाहिए:

अर्थात् अपूर्ण भागफल 271 के बराबर है और शेष 37 है।

उत्तर: 14671: 54 = 271. (बाकी। 37)

एक ऋणात्मक पूर्णांक द्वारा एक धनात्मक पूर्णांक के शेष के साथ विभाजन का नियम, उदाहरण

एक धनात्मक संख्या के शेष भाग को ऋणात्मक पूर्णांक से भाग करने के लिए, एक नियम बनाना आवश्यक है।

परिभाषा 1

एक धनात्मक पूर्णांक a को ऋणात्मक पूर्णांक b से विभाजित करने का अधूरा भागफल एक संख्या देता है जो संख्याओं के मॉड्यूल को b से विभाजित करने के अपूर्ण भागफल के विपरीत होता है। तब शेषफल शेष रहता है जब a को b से विभाजित किया जाता है।

इसलिए हमारे पास यह है कि एक सकारात्मक पूर्णांक को एक ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने का अपूर्ण भागफल एक गैर-धनात्मक पूर्णांक माना जाता है।

हमें एल्गोरिथ्म मिलता है:

• भाज्य के मापांक को भाजक के मापांक से भाग देने पर हमें एक अधूरा भागफल प्राप्त होता है और
• शेष;
• विपरीत संख्या लिखिए।

एक सकारात्मक पूर्णांक को एक ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए एल्गोरिथ्म के उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 4

17 बटा -5 के शेष के साथ विभाजन करें।

समाधान

आइए एक ऋणात्मक पूर्णांक द्वारा शेष धनात्मक पूर्णांक के साथ विभाजन एल्गोरिथ्म लागू करें। 17 को - 5 मोडुलो से विभाजित करना आवश्यक है। यहाँ से हम पाते हैं कि अपूर्ण भागफल 3 है और शेष 2 है।

हम प्राप्त करते हैं कि वांछित संख्या 17 को - 5 \u003d - 3 से विभाजित करने से शेष 2 के बराबर होती है।

उत्तर: 17: (- 5) = -3 (शेष 2)।

उदाहरण 5

45 को - 15 से भाग दें।

समाधान

संख्या मॉड्यूलो को विभाजित करना आवश्यक है। हम संख्या 45 को 15 से विभाजित करते हैं, हमें भागफल 3 शेषफल के बिना मिलता है। अतः संख्या 45 बिना शेषफल के 15 से विभाज्य है। उत्तर में हमें मिलता है - 3, क्योंकि विभाजन को मॉडुलो किया गया था।

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

उत्तर: 45: (− 15) = − 3 .

शेषफल के साथ विभाजन नियम का निरूपण इस प्रकार है।

परिभाषा 2

एक ऋणात्मक पूर्णांक   a को धनात्मक b से विभाजित करते समय अपूर्ण भागफल c प्राप्त करने के लिए, आपको इस संख्या के विपरीत को लागू करना होगा और इसमें से 1 घटाना होगा, फिर शेष d की गणना सूत्र द्वारा की जाएगी: d = a - b · सी।

नियम के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि विभाजित करते समय, हमें एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक मिलता है। समाधान की सटीकता के लिए, शेष के साथ a को b से विभाजित करने के लिए एल्गोरिथ्म का उपयोग किया जाता है:

• लाभांश और भाजक के मॉड्यूल का पता लगाएं;
• मॉड्यूलो को विभाजित करें;
• दी गई संख्या के विपरीत लिखिए और 1 घटाइए;
• शेष d = a - b c के लिए सूत्र का प्रयोग करें।

एक समाधान के उदाहरण पर विचार करें जहां यह एल्गोरिथम लागू होता है।

उदाहरण 6

अधूरा भागफल और शेष भाग - 17 बटा 5 ज्ञात कीजिए।

समाधान

हम दिए गए नंबरों को मॉड्यूलो से विभाजित करते हैं। हम पाते हैं कि भाग देने पर भागफल 3 और शेषफल 2 प्राप्त होता है। चूँकि हमें 3 मिला है, इसका विपरीत 3 है। 1 घटाना आवश्यक है।

− 3 − 1 = − 4 .

वांछित मान - 4 के बराबर है।

शेष की गणना करने के लिए, आपको a = − 17 , b = 5 , c = -4 , फिर d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 – (− 20) = − 17 + 20 = की आवश्यकता होगी। 3.

इसका अर्थ है कि भाग का अधूरा भागफल संख्या -4 है और शेषफल 3 के बराबर है।

उत्तर:(− 17): 5 = − 4 (शेष 3)।

उदाहरण 7

ऋणात्मक पूर्णांक - 1404 को धनात्मक 26 से भाग दें।

समाधान

कॉलम और मॉड्यूलस द्वारा विभाजित करना आवश्यक है।

हमें बिना किसी शेषफल के संख्याओं के मॉड्यूल का विभाजन मिला। इसका अर्थ है कि विभाजन बिना किसी शेषफल के किया जाता है, और वांछित भागफल = - 54।

उत्तर: (− 1 404) : 26 = − 54 .

शेष ऋणात्मक पूर्णांकों के साथ विभाजन नियम, उदाहरण

शेष पूर्णांक ऋणात्मक संख्याओं के साथ विभाजन नियम बनाना आवश्यक है।

परिभाषा 3

एक ऋणात्मक पूर्णांक a को ऋणात्मक पूर्णांक b से विभाजित करने से अपूर्ण भागफल प्राप्त करने के लिए, मॉडुलो गणना करना आवश्यक है, जिसके बाद 1 जोड़ें, फिर हम सूत्र d = a - b · c का उपयोग करके गणना कर सकते हैं।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि ऋणात्मक पूर्णांकों के विभाजन का अधूरा भागफल एक धनात्मक संख्या होगी।

हम इस नियम को एक एल्गोरिथम के रूप में तैयार करते हैं:

• लाभांश और भाजक के मॉड्यूल का पता लगाएं;
• एक अपूर्ण भागफल प्राप्त करने के लिए भाजक के मापांक द्वारा भाजक के मापांक को विभाजित करें
• शेष;
• अपूर्ण भागफल में 1 जोड़ने पर;
• सूत्र d = a - b c के आधार पर शेष की गणना।

आइए एक उदाहरण के साथ इस एल्गोरिदम पर विचार करें।

उदाहरण 8

- 17 को -5 से विभाजित करने पर अधूरा भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिए।

समाधान

समाधान की शुद्धता के लिए, हम शेष के साथ विभाजन के लिए एल्गोरिदम लागू करते हैं। सबसे पहले, संख्या मॉड्यूलो को विभाजित करें। यहाँ से हम पाते हैं कि अधूरा भागफल = 3, और शेष 2 है। नियम के अनुसार अपूर्ण भागफल और 1 को जोड़ना आवश्यक है। हम पाते हैं कि 3 + 1 = 4। यहाँ से हमें प्राप्त होता है कि दी गई संख्याओं को विभाजित करने पर अपूर्ण भागफल 4 होता है।

शेष की गणना करने के लिए, हम सूत्र लागू करेंगे। शर्त के अनुसार, हमारे पास है कि a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, फिर, सूत्र का उपयोग करके, हमें d \u003d a - b c \u003d - 17 - (-5) 4 \u003d - 17 - (- 20) = - 17 + 20 = 3। वांछित उत्तर, अर्थात शेषफल 3 है और अपूर्ण भागफल 4 है।

उत्तर:(− 17) : (− 5) = 4 (शेष 3)।

पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने के परिणाम की जाँच करना

शेष के साथ संख्याओं का विभाजन करने के बाद, एक जाँच करना आवश्यक है। इस चेक में 2 चरण शामिल हैं। सबसे पहले, शेष d को गैर-नकारात्मकता के लिए जाँचा जाता है, स्थिति 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

आइए उदाहरण देखें।

उदाहरण 9

उत्पादित विभाजन - 521 बाय -12। भागफल 44 है, शेषफल 7 है। एक चेक चलाएँ।

समाधान

चूँकि शेषफल एक धनात्मक संख्या है, इसका मान भाजक के मापांक से कम है। भाजक -12 है, इसलिए इसका मापांक 12 है। आप अगले चेकपॉइंट पर जा सकते हैं।

शर्त के अनुसार, हमारे पास a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7 है। यहाँ से हम b c + d परिकलित करते हैं, जहाँ b c + d = − 12 44 + 7 = -528 + 7 = -521 है। यह इस प्रकार है कि समानता सत्य है। चेक पास हो गया।

उदाहरण 10

चेक डिवीज़न (− 17) : 5 = − 3 (शेष − 2)। क्या समानता सच है?

समाधान

पहले चरण का अर्थ यह है कि शेषफल के साथ पूर्णांकों के विभाजन की जाँच करना आवश्यक है। इससे पता चलता है कि कार्रवाई गलत तरीके से की गई थी, क्योंकि शेष - 2 के बराबर दिया गया है। शेष एक ऋणात्मक संख्या नहीं है।

हमारे पास यह है कि दूसरी शर्त संतुष्ट है, लेकिन इस मामले के लिए अपर्याप्त है।

उत्तर:ना।

उदाहरण 11

संख्या - 19 को - 3 से विभाजित किया जाता है। आंशिक भागफल 7 है और शेषफल 1 है। जांचें कि क्या यह गणना सही है।

समाधान

1 के शेष को देखते हुए। वह सकारात्मक है। मान विभक्त मॉड्यूल से कम है, जिसका अर्थ है कि पहला चरण किया जाता है। चलिए दूसरे चरण पर चलते हैं।

आइए व्यंजक b · c + d के मान की गणना करें। शर्त के अनुसार, हमारे पास वह b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1 है, इसलिए, संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - मिलता है। 20. यह इस प्रकार है कि a = b · c + d समानता संतुष्ट नहीं है, क्योंकि शर्त a = - 19 दी गई है।

इसका मतलब है कि विभाजन एक त्रुटि के साथ किया गया था।

उत्तर:ना।

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एक साधारण उदाहरण पर विचार करें:
15:5=3
इस उदाहरण में, हमने प्राकृत संख्या 15 . को विभाजित किया है पूरी तरह 3, कोई शेष नहीं।

कभी-कभी एक प्राकृतिक संख्या को पूरी तरह से विभाजित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समस्या पर विचार करें:
कोठरी में 16 खिलौने थे। समूह में पांच बच्चे थे। प्रत्येक बच्चे ने समान संख्या में खिलौने लिए। प्रत्येक बच्चे के पास कितने खिलौने हैं?

समाधान:
संख्या 16 को 5 से एक कॉलम से विभाजित करें और प्राप्त करें:

हम जानते हैं कि 16 गुना 5 विभाज्य नहीं है. निकटतम छोटी संख्या जो 5 से विभाज्य है, शेष 1 के साथ 15 है। हम संख्या 15 को 5⋅3 के रूप में लिख सकते हैं। परिणामस्वरूप (16 - लाभांश, 5 - भाजक, 3 - आंशिक भागफल, 1 - शेष)। प्राप्त सूत्र शेष के साथ विभाजनजो किया जा सकता है समाधान सत्यापन.

एक= बी⋅ सी+ डी
एक - विभाज्य
बी - विभक्त,
सी - अधूरा भागफल,
डी - शेष।

उत्तर प्रत्येक बच्चा 3 खिलौने लेगा और एक खिलौना रहेगा।

विभाग के शेष

शेष हमेशा भाजक से कम होना चाहिए।

यदि विभाजित करने पर शेषफल शून्य हो, तो लाभांश विभाज्य होता है। पूरी तरहया प्रति भाजक शेष नहीं है।

यदि, विभाजित करते समय, शेष भाजक से बड़ा है, तो इसका मतलब है कि प्राप्त संख्या सबसे बड़ी नहीं है। एक बड़ी संख्या है जो लाभांश को विभाजित करेगी और शेष भाजक से कम होगा।

"शेष के साथ भाग" विषय पर प्रश्न:
क्या शेषफल भाजक से बड़ा हो सकता है?
उत्तर: नहीं।

क्या शेषफल भाजक के बराबर हो सकता है?
उत्तर: नहीं।

अधूरे भागफल, भाजक और शेषफल से भाज्य कैसे ज्ञात करें?
उत्तर: हम सूत्र में अपूर्ण भागफल, भाजक और शेषफल के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और लाभांश ज्ञात करते हैं। सूत्र:
ए = बी⋅सी + डी

उदाहरण 1:
शेषफल के साथ भाग करें और जाँच करें: a) 258:7 b) 1873:8

समाधान:
ए) एक कॉलम में विभाजित करें:

258 - विभाज्य,
7 - विभक्त,
36 - अधूरा भागफल,
6 - शेष। भाजक 6 . से कम शेष<7.

7⋅36+6=252+6=258

बी) एक कॉलम में विभाजित करें:

1873 - विभाज्य,
8 - विभक्त,
234 - अधूरा भागफल,
1 शेष है। भाजक से कम शेष 1<8.

सूत्र में प्रतिस्थापित करें और जांचें कि क्या हमने उदाहरण को सही ढंग से हल किया है:
8⋅234+1=1872+1=1873

उदाहरण #2:
प्राकृत संख्याओं को विभाजित करने पर क्या शेष प्राप्त होता है: a) 3 b) 8?

उत्तर:
ए) शेष भाजक से कम है, इसलिए 3 से कम है। हमारे मामले में, शेष 0, 1 या 2 हो सकता है।
बी) शेष भाजक से कम है, इसलिए, 8 से कम है। हमारे मामले में, शेष 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 या 7 हो सकता है।

उदाहरण #3:
प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करके प्राप्त किया जा सकने वाला सबसे बड़ा शेष क्या है: ए) 9 बी) 15?

उत्तर:
ए) शेष भाजक से कम है, इसलिए, 9 से कम है। लेकिन हमें सबसे बड़ा शेष इंगित करने की आवश्यकता है। यानी भाजक की निकटतम संख्या। यह संख्या 8 है।
बी) शेष भाजक से कम है, इसलिए, 15 से कम है। लेकिन हमें सबसे बड़ा शेष इंगित करने की आवश्यकता है। यानी भाजक की निकटतम संख्या। यह संख्या 14 है।

उदाहरण #4:
लाभांश खोजें: ए) ए: 6 \u003d 3 (रेम। 4) बी) सी: 24 \u003d 4 (रेम। 11)

समाधान:
ए) सूत्र का उपयोग करके हल करें:
ए = बी⋅सी + डी
(ए लाभांश है, बी भाजक है, सी आंशिक भागफल है, डी शेष है।)
ए: 6 = 3 (बाकी। 4)
(ए भाज्य है, 6 भाजक है, 3 अधूरा भागफल है, 4 शेष है।) सूत्र में संख्याओं को प्रतिस्थापित करें:
ए=6⋅3+4=22
उत्तर: a=22

बी) सूत्र का उपयोग करके हल करें:
ए = बी⋅सी + डी
(ए लाभांश है, बी भाजक है, सी आंशिक भागफल है, डी शेष है।)
एस: 24 = 4 (बाकी। 11)
(सी भाज्य है, 24 भाजक है, 4 अधूरा भागफल है, 11 शेष है।) सूत्र में संख्याओं को प्रतिस्थापित करें:
सी=24⋅4+11=107
उत्तर: एस = 107

एक कार्य:

तार 4 मी। 13 सेमी के टुकड़ों में काटा जाना चाहिए। इनमें से कितने टुकड़े होंगे?

समाधान:
सबसे पहले आपको मीटर को सेंटीमीटर में बदलने की जरूरत है।
4मी.=400सेमी.
आप एक कॉलम से विभाजित कर सकते हैं या आपके दिमाग में हमें मिलता है:
400:13=30 (बाकी 10)
चलो देखते है:
13⋅30+10=390+10=400

उत्तर 30 टुकड़े निकलेंगे और 10 सेमी तार बचेगा।

संख्याओं की विभाज्यता के लक्षण- ये ऐसे नियम हैं जो विभाजित किए बिना, अपेक्षाकृत जल्दी यह पता लगाने की अनुमति देते हैं कि क्या यह संख्या शेष के बिना किसी दिए गए से विभाज्य है।
कुछ विभाज्यता के संकेतकाफी सरल, कुछ अधिक कठिन। इस पृष्ठ पर आपको अभाज्य संख्याओं की विभाज्यता के दोनों संकेत मिलेंगे, जैसे, उदाहरण के लिए, 2, 3, 5, 7, 11, और भाज्य संख्याओं की विभाज्यता के संकेत, जैसे कि 6 या 12।
मुझे आशा है कि यह जानकारी आपके लिए उपयोगी होगी।
हैप्पी लर्निंग!

2 . से विभाज्यता का चिन्ह

यह विभाज्यता के सबसे सरल संकेतों में से एक है। यह इस तरह लगता है: यदि एक प्राकृतिक संख्या का रिकॉर्ड एक सम अंक के साथ समाप्त होता है, तो यह सम है (बिना शेष 2 से विभाजित), और यदि किसी संख्या का रिकॉर्ड एक विषम अंक के साथ समाप्त होता है, तो यह संख्या विषम है।
दूसरे शब्दों में, यदि किसी संख्या का अंतिम अंक है 2 , 4 , 6 , 8 या 0 - संख्या 2 से विभाज्य है, यदि नहीं, तो यह विभाज्य नहीं है
उदाहरण के लिए, संख्याएँ: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 2 से विभाज्य हैं क्योंकि वे सम हैं।
एक संख्या: 23 5 , 137 , 2303
2 से विभाज्य नहीं हैं क्योंकि वे विषम हैं।

3 . से विभाज्यता का चिन्ह

विभाज्यता के इस चिन्ह के पूरी तरह से अलग नियम हैं: यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य है, तो संख्या भी 3 से विभाज्य है; यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य नहीं है, तो वह संख्या 3 से विभाज्य नहीं है।
इसलिए, यह समझने के लिए कि कोई संख्या 3 से विभाज्य है या नहीं, आपको केवल उन संख्याओं को जोड़ने की आवश्यकता है जो इसे बनाती हैं।
यह इस तरह दिखता है: 3987 और 141 को 3 से विभाजित किया जाता है, क्योंकि पहले मामले में 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - शेषफल के बिना 3 से विभाज्य), और दूसरे में 1+4+1= 6 (6:3=2 - बिना शेष के 3 से भी विभाज्य)।
लेकिन संख्याएँ: 235 और 566 3 से विभाज्य नहीं हैं, क्योंकि 2+3+5= 10 और 5+6+6= 17 (और हम जानते हैं कि न तो 10 और न ही 17 को शेषफल के बिना 3 से विभाजित किया जा सकता है)।

4 चिन्ह से विभाज्यता

विभाज्यता का यह परीक्षण अधिक जटिल होगा। यदि संख्या के अंतिम 2 अंक एक ऐसी संख्या बनाते हैं जो 4 से विभाज्य है या यह 00 है, तो संख्या 4 से विभाज्य है, अन्यथा यह संख्या शेष के बिना 4 से विभाज्य नहीं है।
उदाहरण के लिए: 1 00 और 3 64 4 से विभाज्य हैं, क्योंकि पहले मामले में संख्या समाप्त होती है 00 , और दूसरे में 64 , जो बदले में शेषफल के बिना 4 से विभाज्य है (64:4=16)
नंबर 3 57 और 8 86 4 से विभाज्य नहीं हैं क्योंकि न तो 57 न 86 4 से विभाज्य नहीं हैं, और इसलिए विभाज्यता के इस मानदंड के अनुरूप नहीं हैं।

5 . से विभाज्यता का चिन्ह

और फिर, हमारे पास विभाज्यता का एक सरल संकेत है: यदि एक प्राकृतिक संख्या का रिकॉर्ड अंक 0 या 5 के साथ समाप्त होता है, तो यह संख्या 5 से शेष के बिना विभाज्य है। यदि संख्या का रिकॉर्ड एक अलग अंक के साथ समाप्त होता है, तो बिना शेषफल वाली संख्या 5 से विभाज्य नहीं है।
इसका मतलब है कि अंकों में समाप्त होने वाली कोई भी संख्या 0 तथा 5 , उदाहरण के लिए 1235 5 और 43 0 , नियम के अंतर्गत आते हैं और 5 से विभाज्य हैं।
और, उदाहरण के लिए, 1549 3 और 56 4 5 या 0 में समाप्त नहीं होता है, जिसका अर्थ है कि वे शेष के बिना 5 से विभाज्य नहीं हो सकते।

6 . से विभाज्यता का चिन्ह

हमारे सामने एक भाज्य संख्या 6 है, जो संख्या 2 और 3 का गुणनफल है। इसलिए, 6 से विभाज्यता का चिह्न भी संयुक्त है: किसी संख्या को 6 से विभाज्य होने के लिए, इसे विभाज्यता के दो संकेतों के अनुरूप होना चाहिए। उसी समय: 2 से विभाज्यता का चिन्ह और 3 से विभाज्यता का चिन्ह। उसी समय, ध्यान दें कि 4 जैसी भाज्य संख्या में विभाज्यता का एक व्यक्तिगत संकेत है, क्योंकि यह संख्या 2 का एक उत्पाद है। . लेकिन 6 से विभाज्यता के परीक्षण के लिए वापस।
संख्या 138 और 474 सम हैं और 3 (1+3+8=12, 12:3=4 और 4+7+4=15, 15:3=5) से विभाज्यता के संकेतों के अनुरूप हैं, जिसका अर्थ है कि वे हैं 6. लेकिन 123 और 447, हालांकि वे 3 से विभाज्य हैं (1+2+3=6, 6:3=2 और 4+4+7=15, 15:3=5), लेकिन वे विषम हैं, और इसलिए 2 से विभाज्यता की कसौटी के अनुरूप नहीं है, और इसलिए 6 से विभाज्यता की कसौटी के अनुरूप नहीं है।

7 . से विभाज्यता का चिन्ह

यह विभाज्यता मानदंड अधिक जटिल है: एक संख्या 7 से विभाज्य है यदि इस संख्या के दहाई की संख्या से अंतिम दोगुने अंक को घटाने का परिणाम 7 से विभाज्य है या 0 के बराबर है।
यह सुनने में थोड़ा भ्रमित करने वाला लगता है, लेकिन व्यवहार में यह सरल है। अपने लिए देखें: संख्या 95 9, 7 से विभाज्य है क्योंकि 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 बिना शेष के 7 से विभाज्य है)। इसके अलावा, यदि परिवर्तनों के दौरान प्राप्त संख्या के साथ कठिनाइयाँ हैं (इसके आकार के कारण, यह समझना मुश्किल है कि यह 7 से विभाज्य है या नहीं, तो इस प्रक्रिया को आप जितनी बार चाहें उतनी बार जारी रख सकते हैं)।
उदाहरण के लिए, 45 5 और 4580 1 में 7 से विभाज्यता के संकेत हैं। पहले मामले में, सब कुछ काफी सरल है: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. दूसरे मामले में, हम यह करेंगे: 4580 -2*1=4580-2=4578. हमारे लिए यह समझना मुश्किल है कि क्या 457 8 बटा 7, तो चलिए इस प्रक्रिया को दोहराते हैं: 457 -2*8=457-16=441. और फिर से हम विभाज्यता के चिन्ह का उपयोग करेंगे, क्योंकि हमारे सामने अभी भी तीन अंकों की संख्या है 44 1. तो, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, यानी। 42 बिना किसी शेषफल के 7 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि 45801 भी 7 से विभाज्य है।
और यहाँ संख्याएँ हैं 11 1 और 34 5, 7 से विभाज्य नहीं है क्योंकि 11 -2*1=11-2=9 (9, 7 से समान रूप से विभाज्य नहीं है) तथा 34 -2*5=34-10=24 (24 7 से समान रूप से विभाज्य नहीं है)।

8 . से विभाज्यता का चिन्ह

8 से विभाज्यता का चिन्ह इस तरह लगता है: यदि अंतिम 3 अंक एक संख्या बनाते हैं जो 8 से विभाज्य है, या यह 000 है, तो दी गई संख्या 8 से विभाज्य है।
नंबर 1 000 या 1 088 8 से विभाज्य हैं: पहला समाप्त होता है 000 , द्वितीय 88 :8=11 (बिना शेषफल के 8 से विभाज्य)।
और यहाँ नंबर 1 . हैं 100 या 4 757 8 से विभाज्य नहीं हैं क्योंकि संख्याएँ 100 तथा 757 शेषफल के बिना 8 से विभाज्य नहीं हैं।

9 . से विभाज्यता का चिन्ह

विभाज्यता का यह चिन्ह 3 से विभाज्यता के चिन्ह के समान है: यदि किसी संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य है, तो संख्या भी 9 से विभाज्य है; यदि किसी संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य नहीं है, तो वह संख्या 9 से विभाज्य नहीं है।
उदाहरण के लिए: 3987 और 144, 9 से विभाज्य हैं क्योंकि पहले मामले में 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - शेषफल के बिना 9 से विभाज्य), और दूसरे में 1+4+4= 9 (9:9=1 - भी 9 से शेषफल के बिना विभाज्य)।
लेकिन संख्याएँ: 235 और 141 9 से विभाज्य नहीं हैं, क्योंकि 2+3+5= 10 और 1+4+1= 6 (और हम जानते हैं कि न तो 10 और न ही 6 को शेषफल के बिना 9 से विभाजित किया जा सकता है)।

10, 100, 1000 और अन्य बिट इकाइयों से विभाज्यता के संकेत

मैंने इन विभाज्यता मानदंडों को जोड़ दिया क्योंकि उन्हें उसी तरह वर्णित किया जा सकता है: एक संख्या एक बिट इकाई से विभाज्य होती है यदि संख्या के अंत में शून्य की संख्या किसी दिए गए बिट इकाई में शून्य की संख्या से अधिक या उसके बराबर होती है।
दूसरे शब्दों में, उदाहरण के लिए, हमारे पास इस तरह की संख्याएँ हैं: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . जो सभी 1 . से विभाज्य हैं 0 ; 46400 और 867 000 1 . से भी विभाज्य हैं 00 ; और उनमें से केवल एक - 867 000 1 . से विभाज्य 000 .
बिट इकाई से कम शून्य में समाप्त होने वाली कोई भी संख्या उस बिट इकाई से विभाज्य नहीं होती है, जैसे कि 600 30 और 7 93 शेयर न करें 1 00 .

11 . से विभाज्यता का चिन्ह

यह पता लगाने के लिए कि क्या कोई संख्या 11 से विभाज्य है, आपको इस संख्या के सम और विषम अंकों के योग का अंतर ज्ञात करना होगा। यदि यह अंतर 0 के बराबर है या शेष के बिना 11 से विभाज्य है, तो संख्या बिना शेष के 11 से विभाज्य है।
इसे स्पष्ट करने के लिए, मैं उदाहरणों पर विचार करने का प्रस्ताव करता हूं: 2 35 4, 11 से विभाज्य है क्योंकि ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 भी 11 से विभाज्य है क्योंकि ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
और यहाँ 1 . है 1 1 या 4 35 4, 11 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि पहली स्थिति में हमें (1 + 1) प्राप्त होता है - 1 = 1, और दूसरे में ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

12 . से विभाज्यता का चिन्ह

संख्या 12 संयुक्त है। इसकी विभाज्यता का चिन्ह एक ही समय में 3 और 4 से विभाज्यता के संकेतों का पत्राचार है।
उदाहरण के लिए, 300 और 636, 4 से विभाज्यता के दोनों संकेतों के अनुरूप हैं (अंतिम 2 अंक शून्य हैं या 4 से विभाज्य हैं) और 3 से विभाज्यता के संकेत (अंकों का योग और पहली और दूसरी संख्या को 3 से विभाजित किया जाता है) ), और इसलिए, वे शेषफल के बिना 12 से विभाज्य हैं।
लेकिन 200 या 630 12 से विभाज्य नहीं हैं, क्योंकि पहले मामले में संख्या केवल 4 से विभाज्यता के संकेत से मेल खाती है, और दूसरे में - केवल 3 से विभाज्यता के संकेत के लिए। लेकिन एक ही समय में दोनों संकेत नहीं।

13 . से विभाज्यता का चिन्ह

13 से विभाज्यता का एक संकेत यह है कि यदि किसी संख्या के दहाई की संख्या को इस संख्या की इकाइयों में 4 से गुणा करने पर, 13 का गुणज या 0 के बराबर हो, तो वह संख्या स्वयं 13 से विभाज्य होती है।
उदाहरण के लिए 70 2. सो 70 +4*2=78, 78:13=6 (78, 13 से समान रूप से विभाज्य है), इसलिए 70 2 बिना शेषफल के 13 से विभाज्य है। एक और उदाहरण संख्या है 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. संख्या 130 बिना शेष के 13 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि दी गई संख्या 13 से विभाज्यता के चिन्ह से मेल खाती है।
अगर हम नंबर लेते हैं 12 5 या 21 2, तब हम पाते हैं 12 +4*5=32 और 21 +4*2=29 क्रमशः, और न तो 32 और न ही 29 शेष के बिना 13 से विभाज्य हैं, जिसका अर्थ है कि दी गई संख्याएँ शेष के बिना 13 से विभाज्य नहीं हैं।

संख्याओं की विभाज्यता

जैसा कि ऊपर से देखा जा सकता है, यह माना जा सकता है कि किसी भी प्राकृतिक संख्या का मिलान विभाज्यता के अपने व्यक्तिगत चिह्न या "समग्र" चिह्न से किया जा सकता है यदि संख्या कई अलग-अलग संख्याओं का गुणक है। लेकिन जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, मूल रूप से संख्या जितनी बड़ी होगी, इसकी विशेषता उतनी ही जटिल होगी। शायद विभाज्यता मानदंड की जाँच में लगने वाला समय भाग के बराबर या उससे अधिक हो सकता है। इसलिए हम आमतौर पर सबसे सरल विभाज्यता परीक्षणों का उपयोग करते हैं।