मानक परिभाषा: "एक वेक्टर एक निर्देशित रेखा खंड है।" यह आमतौर पर एक स्नातक के वैक्टर के ज्ञान की सीमा है। किसी प्रकार के "निर्देशित खंड" की आवश्यकता किसे है?

लेकिन वास्तव में, वैक्टर क्या हैं और वे क्यों हैं?
मौसम पूर्वानुमान। "उत्तर पश्चिम हवा, गति 18 मीटर प्रति सेकंड।" सहमत हूँ, हवा की दिशा (जहाँ से चलती है) और उसकी गति का मॉड्यूल (अर्थात, निरपेक्ष मान) भी मायने रखता है।

जिन राशियों की कोई दिशा नहीं होती उन्हें अदिश राशि कहते हैं। द्रव्यमान, कार्य, विद्युत आवेश कहीं भी निर्देशित नहीं होते हैं। उन्हें केवल एक संख्यात्मक मान की विशेषता है - "कितने किलोग्राम" या "कितने जूल"।

भौतिक राशियाँ जिनका न केवल एक निरपेक्ष मान होता है, बल्कि एक दिशा भी होती है, सदिश राशियाँ कहलाती हैं।

गति, बल, त्वरण - सदिश। उनके लिए, "कितना" महत्वपूर्ण है और यह महत्वपूर्ण है "कहाँ"। उदाहरण के लिए, मुक्त गिरावट त्वरण पृथ्वी की सतह की ओर निर्देशित है, और इसका मान 9.8 m/s 2 है। संवेग, विद्युत क्षेत्र शक्ति, चुंबकीय क्षेत्र प्रेरण भी सदिश राशियाँ हैं।

आपको याद होगा कि भौतिक राशियों को लैटिन या ग्रीक अक्षरों से दर्शाया जाता है। अक्षर के ऊपर का तीर इंगित करता है कि मात्रा एक सदिश है:

यहाँ एक और उदाहरण है।
कार A से B की ओर जा रही है। अंतिम परिणाम बिंदु ए से बिंदु बी तक इसकी गति है, यानी एक वेक्टर द्वारा आंदोलन .

अब यह स्पष्ट है कि एक सदिश एक निर्देशित खंड क्यों है। ध्यान दें, वेक्टर का अंत वह जगह है जहां तीर है। वेक्टर लंबाईइस खंड की लंबाई कहा जाता है। मनोनीत: या

अब तक, हम अंकगणित और प्रारंभिक बीजगणित के नियमों के अनुसार अदिश राशियों के साथ काम कर रहे हैं। वेक्टर एक नई अवधारणा है। यह गणितीय वस्तुओं का एक और वर्ग है। उनके अपने नियम हैं।

एक समय की बात है, हम संख्याओं के बारे में भी नहीं जानते थे। उनके साथ परिचित प्राथमिक ग्रेड में शुरू हुआ। यह पता चला कि संख्याओं की एक दूसरे के साथ तुलना की जा सकती है, जोड़ा, घटाया, गुणा और विभाजित किया जा सकता है। हमने सीखा कि एक नंबर और एक नंबर शून्य होता है।
अब हम वैक्टर को जानते हैं।

वैक्टर के लिए "से अधिक" और "से कम" की अवधारणाएं मौजूद नहीं हैं - आखिरकार, उनकी दिशाएं भिन्न हो सकती हैं। आप केवल वैक्टर की लंबाई की तुलना कर सकते हैं।

लेकिन वैक्टर के लिए समानता की अवधारणा है।
बराबरवे सदिश हैं जिनकी लंबाई और दिशा समान है। इसका मतलब है कि वेक्टर को विमान के किसी भी बिंदु पर अपने समानांतर ले जाया जा सकता है।
एकएक सदिश कहलाती है जिसकी लंबाई 1 है। शून्य - एक सदिश जिसकी लंबाई शून्य के बराबर है, अर्थात इसकी शुरुआत अंत के साथ मेल खाती है।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में वैक्टर के साथ काम करना सबसे सुविधाजनक है - वह जिसमें हम फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाते हैं। निर्देशांक प्रणाली में प्रत्येक बिंदु दो संख्याओं से मेल खाता है - इसके x और y निर्देशांक, भुज और कोटि।
वेक्टर भी दो निर्देशांक द्वारा दिया जाता है:

यहाँ, सदिश के निर्देशांक कोष्ठकों में - x और y में लिखे गए हैं।
उन्हें ढूंढना आसान है: वेक्टर के अंत का निर्देशांक घटाकर इसकी शुरुआत का समन्वय।

यदि वेक्टर निर्देशांक दिए गए हैं, तो इसकी लंबाई सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है

वेक्टर जोड़

वैक्टर जोड़ने के दो तरीके हैं।

एक । समांतर चतुर्भुज नियम। सदिश और जोड़ने के लिए, हम दोनों के मूल बिंदुओं को एक ही बिंदु पर रखते हैं। हम समांतर चतुर्भुज को पूरा करते हैं और उसी बिंदु से समांतर चतुर्भुज का विकर्ण खींचते हैं। यह वैक्टर और का योग होगा।

हंस, कैंसर और पाइक के बारे में कल्पित कहानी याद है? उन्होंने बहुत कोशिश की, लेकिन उन्होंने गाड़ी को कभी नहीं हिलाया। आखिरकार, उनके द्वारा गाड़ी पर लगाए गए बलों का सदिश योग शून्य के बराबर था।

2. सदिश जोड़ने का दूसरा तरीका त्रिभुज नियम है। आइए समान वैक्टर लें और . हम दूसरे की शुरुआत को पहले वेक्टर के अंत में जोड़ते हैं। अब पहले की शुरुआत और दूसरे के अंत को जोड़ते हैं। यह वैक्टर और का योग है।

उसी नियम से, आप कई वैक्टर जोड़ सकते हैं। हम उन्हें एक-एक करके जोड़ते हैं, और फिर पहले की शुरुआत को आखिरी के अंत से जोड़ते हैं।

कल्पना कीजिए कि आप बिंदु A से बिंदु B, B से C, C से D, फिर E और फिर F पर जा रहे हैं। इन क्रियाओं का अंतिम परिणाम A से F की ओर बढ़ना है।

वैक्टर जोड़ते समय और हमें मिलता है:

वेक्टर घटाव

वेक्टर को वेक्टर के विपरीत निर्देशित किया जाता है। वैक्टर की लंबाई और बराबर हैं।

अब यह स्पष्ट है कि सदिशों का घटाव क्या है। वैक्टर का अंतर और वेक्टर और वेक्टर का योग है।

एक वेक्टर को एक संख्या से गुणा करें

किसी सदिश को k संख्या से गुणा करने पर एक सदिश प्राप्त होता है जिसकी लंबाई लंबाई से k गुना भिन्न होती है। यदि k शून्य से बड़ा है, तो यह सदिश के साथ सह-दिशात्मक है, और यदि k शून्य से कम है, तो विपरीत दिशा में निर्देशित होता है।

वैक्टर का डॉट उत्पाद

वैक्टर को न केवल संख्याओं से, बल्कि एक दूसरे से भी गुणा किया जा सकता है।

सदिशों का अदिश गुणनफल सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की कोज्या का गुणनफल होता है।

ध्यान दें - हमने दो वैक्टरों को गुणा किया, और हमें एक अदिश, यानी एक संख्या मिली। उदाहरण के लिए, भौतिकी में, यांत्रिक कार्य दो सदिशों के अदिश गुणनफल के बराबर होता है - बल और विस्थापन:

यदि वेक्टर लंबवत हैं, तो उनका डॉट उत्पाद शून्य है।
और इस प्रकार अदिश उत्पाद को सदिशों के निर्देशांकों के रूप में व्यक्त किया जाता है और:

अदिश उत्पाद के सूत्र से, आप सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कर सकते हैं:

स्टीरियोमेट्री में यह सूत्र विशेष रूप से सुविधाजनक है। उदाहरण के लिए, गणित में प्रोफ़ाइल USE की समस्या 14 में, आपको प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच या एक रेखा और एक समतल के बीच के कोण को खोजने की आवश्यकता है। समस्या 14 को अक्सर शास्त्रीय की तुलना में कई गुना तेजी से हल किया जाता है।

गणित के स्कूली पाठ्यक्रम में केवल सदिशों के अदिश गुणनफल का अध्ययन किया जाता है।
यह पता चला है कि, स्केलर के अलावा, एक वेक्टर उत्पाद भी होता है, जब दो वैक्टरों को गुणा करने के परिणामस्वरूप एक वेक्टर प्राप्त होता है। भौतिकी में परीक्षा कौन पास करता है, वह जानता है कि लोरेंत्ज़ बल और एम्पीयर बल क्या हैं। इन बलों को खोजने के सूत्रों में बिल्कुल वेक्टर उत्पाद शामिल हैं।

वेक्टर एक बहुत ही उपयोगी गणितीय उपकरण हैं। आप पहले कोर्स में इसके बारे में आश्वस्त होंगे।

इस लेख में, आप और मैं एक "जादू की छड़ी" की चर्चा शुरू करेंगे जो आपको ज्यामिति में कई समस्याओं को सरल अंकगणित में कम करने की अनुमति देगा। यह "छड़ी" आपके जीवन को बहुत आसान बना सकती है, खासकर जब आप स्थानिक आंकड़े, खंड आदि बनाने में असुरक्षित महसूस करते हैं। इसके लिए एक निश्चित कल्पना और व्यावहारिक कौशल की आवश्यकता होती है। जिस विधि पर हम यहां विचार करना शुरू करेंगे, वह आपको सभी प्रकार की ज्यामितीय संरचनाओं और तर्क से लगभग पूरी तरह से अलग करने की अनुमति देगी। विधि कहा जाता है "समन्वय विधि". इस लेख में, हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. कार्तिकये निर्देशांक
2. विमान पर अंक और वैक्टर
3. दो बिंदुओं से एक वेक्टर बनाना
4. वेक्टर लंबाई (दो बिंदुओं के बीच की दूरी)
5. मध्यबिंदु निर्देशांक
6. सदिशों का डॉट उत्पाद
7. दो सदिशों के बीच का कोण

मुझे लगता है कि आप पहले ही अनुमान लगा चुके हैं कि निर्देशांक पद्धति को ऐसा क्यों कहा जाता है? यह सच है कि इसे ऐसा नाम मिला, क्योंकि यह ज्यामितीय वस्तुओं के साथ नहीं, बल्कि उनकी संख्यात्मक विशेषताओं (निर्देशांक) के साथ काम करता है। और परिवर्तन ही, जो ज्यामिति से बीजगणित में जाना संभव बनाता है, एक समन्वय प्रणाली की शुरुआत में शामिल है। यदि मूल आकृति समतल थी, तो निर्देशांक द्वि-आयामी हैं, और यदि आकृति त्रि-आयामी है, तो निर्देशांक त्रि-आयामी हैं। इस लेख में, हम केवल द्वि-आयामी मामले पर विचार करेंगे। और लेख का मुख्य उद्देश्य आपको समन्वय विधि की कुछ बुनियादी तकनीकों का उपयोग करना सिखाना है (यूनिफाइड स्टेट परीक्षा के भाग बी में प्लैनिमेट्री में समस्याओं को हल करते समय वे कभी-कभी उपयोगी साबित होते हैं)। इस विषय पर निम्नलिखित दो खंड समस्या C2 (स्टीरियोमेट्री की समस्या) को हल करने के तरीकों की चर्चा के लिए समर्पित हैं।

निर्देशांक पद्धति पर चर्चा शुरू करना कहाँ से तर्कसंगत होगा? शायद एक समन्वय प्रणाली की अवधारणा के साथ। याद कीजिए जब आप उससे पहली बार मिले थे। मुझे ऐसा लगता है कि 7 वीं कक्षा में, जब आपने उदाहरण के लिए एक रैखिक कार्य के अस्तित्व के बारे में सीखा। मैं आपको याद दिला दूं कि आपने इसे बिंदु दर बिंदु बनाया है। क्या तुम्हें याद है? आपने एक मनमाना संख्या चुना, इसे सूत्र में प्रतिस्थापित किया और इस तरह से गणना की। उदाहरण के लिए, यदि, तब, यदि, तब, आदि। परिणामस्वरूप आपको क्या मिला? और आपको निर्देशांक के साथ अंक प्राप्त हुए: और। इसके बाद, आपने एक "क्रॉस" (समन्वय प्रणाली) खींचा, उस पर एक पैमाना चुना (एक खंड के रूप में आपके पास कितने सेल होंगे) और उस पर आपको प्राप्त बिंदुओं को चिह्नित किया, जिसे आपने फिर एक सीधी रेखा से जोड़ा, जिसके परिणामस्वरूप लाइन फ़ंक्शन का ग्राफ है।

कुछ चीजें हैं जिन्हें आपको थोड़ा और विस्तार से समझाने की आवश्यकता है:

1. आप सुविधा के कारणों के लिए एक खंड चुनते हैं, ताकि तस्वीर में सब कुछ अच्छी तरह से और कॉम्पैक्ट रूप से फिट हो सके

2. यह माना जाता है कि अक्ष बाएँ से दाएँ जाता है, और अक्ष नीचे से ऊपर की ओर जाता है

3. वे एक समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को मूल बिंदु कहते हैं। यह एक पत्र के साथ चिह्नित है।

4. एक बिंदु के निर्देशांक के रिकॉर्ड में, उदाहरण के लिए, कोष्ठक में बाईं ओर अक्ष के साथ बिंदु का निर्देशांक है, और दाईं ओर, अक्ष के साथ है। विशेष रूप से, इसका सीधा सा अर्थ है कि बिंदु

5. निर्देशांक अक्ष पर किसी भी बिंदु को सेट करने के लिए, आपको उसके निर्देशांक (2 अंक) निर्दिष्ट करने होंगे

6. अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,

7. अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,

8. अक्ष को x-अक्ष कहा जाता है

9. अक्ष को y-अक्ष कहा जाता है

अब हम आपके साथ अगला कदम उठाते हैं: दो बिंदुओं को चिह्नित करें। इन दोनों बिंदुओं को एक रेखा से जोड़िए। और हम तीर को ऐसे लगाते हैं जैसे कि हम एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर एक खंड खींच रहे हैं: अर्थात, हम अपने खंड को निर्देशित करेंगे!

याद रखें कि निर्देशित खंड का दूसरा नाम क्या है? यह सही है, इसे वेक्टर कहा जाता है!

इस प्रकार, यदि हम एक बिंदु को एक बिंदु से जोड़ते हैं, और शुरुआत बिंदु A होगी, और अंत बिंदु B होगा,तब हमें एक वेक्टर मिलता है। 8वीं कक्षा में आपने भी किया था ये निर्माण, याद है?

यह पता चला है कि वैक्टर, जैसे बिंदुओं को दो संख्याओं द्वारा निरूपित किया जा सकता है: इन संख्याओं को वेक्टर के निर्देशांक कहा जाता है। प्रश्न: क्या आपको लगता है कि सदिश के आरंभ और अंत के निर्देशांकों को जानना हमारे लिए इसके निर्देशांक खोजने के लिए पर्याप्त है? यह पता चला है कि हाँ! और यह करना बहुत आसान है:

इस प्रकार, चूंकि वेक्टर में बिंदु शुरुआत और अंत है, वेक्टर के निम्नलिखित निर्देशांक हैं:

उदाहरण के लिए, यदि, तो वेक्टर के निर्देशांक

अब इसके विपरीत करते हैं, वेक्टर के निर्देशांक खोजें। इसके लिए हमें क्या बदलने की जरूरत है? हां, आपको शुरुआत और अंत को स्वैप करने की आवश्यकता है: अब वेक्टर की शुरुआत एक बिंदु पर होगी, और अंत एक बिंदु पर होगा। फिर:

बारीकी से देखें, वैक्टर और में क्या अंतर है? उनका अंतर केवल निर्देशांक में संकेत है। वे विपरीत हैं। यह तथ्य इस प्रकार लिखा गया है:

कभी-कभी, यदि यह विशेष रूप से नहीं बताया गया है कि कौन सा बिंदु वेक्टर की शुरुआत है, और कौन सा अंत है, तो वैक्टर को दो बड़े अक्षरों से नहीं, बल्कि एक निचले मामले से दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए :, आदि।

अब थोड़ा अभ्यासऔर निम्नलिखित वैक्टर के निर्देशांक खोजें:

इंतिहान:

अब समस्या को थोड़ा और कठिन हल करें:

एक बिंदु पर ऑन-चा-स्क्रैप के साथ एक वेक्टर टोरस में सह-या-दी-ऑन-यू होता है। ढूँढें-दी-ते abs-cis-su अंक।

वही सब काफी नीरस है: आज्ञा देना बिंदु के निर्देशांक. फिर

मैंने एक वेक्टर के निर्देशांक क्या हैं, यह निर्धारित करके सिस्टम को संकलित किया। फिर बिंदु के निर्देशांक हैं। हम एब्सिस्सा में रुचि रखते हैं। फिर

उत्तर:

आप वैक्टर के साथ और क्या कर सकते हैं? हां, लगभग सब कुछ सामान्य संख्याओं के समान ही है (सिवाय इसके कि आप विभाजित नहीं कर सकते, लेकिन आप दो तरीकों से गुणा कर सकते हैं, जिनमें से एक की चर्चा हम यहां थोड़ी देर बाद करेंगे)

1. वेक्टरों को एक दूसरे के साथ ढेर किया जा सकता है
2. सदिशों को एक दूसरे से घटाया जा सकता है
3. सदिशों को एक मनमाना गैर-शून्य संख्या से गुणा (या विभाजित) किया जा सकता है
4. वैक्टर को एक दूसरे से गुणा किया जा सकता है

इन सभी कार्यों में काफी दृश्य ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। उदाहरण के लिए, त्रिभुज (या समांतर चतुर्भुज) जोड़ और घटाव का नियम:

एक संख्या से गुणा या भाग करने पर एक वेक्टर फैलता या सिकुड़ता या दिशा बदलता है:

हालांकि, यहां हमें इस सवाल में दिलचस्पी होगी कि निर्देशांक का क्या होता है।

1. दो सदिशों को जोड़ने (घटाने) पर, हम उनके निर्देशांक तत्व को तत्व से जोड़ते (घटाना) करते हैं। वह है:

2. जब किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाता है, तो उसके सभी निर्देशांक इस संख्या से गुणा (विभाजित) हो जाते हैं:

उदाहरण के लिए:

· को-या-दी-नट सेंचुरी-टू-रा का योग ज्ञात करें।

आइए पहले प्रत्येक सदिश के निर्देशांक ज्ञात करें। दोनों का उद्गम एक ही है - मूल बिंदु। उनके सिरे अलग हैं। फिर, । अब हम सदिश के निर्देशांकों की गणना करते हैं तो परिणामी सदिश के निर्देशांकों का योग बराबर होता है।

उत्तर:

अब निम्नलिखित समस्या को स्वयं हल करें:

· सदिश के निर्देशांकों का योग ज्ञात कीजिए

हम जाँच:

आइए अब निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: निर्देशांक तल पर हमारे पास दो बिंदु हैं। उनके बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें? पहला बिंदु होने दें, और दूसरा। आइए उनके बीच की दूरी को निरूपित करें। आइए स्पष्टता के लिए निम्नलिखित चित्र बनाएं:

मैने क्या किया है? मैंने, सबसे पहले, बिंदुओं को जोड़ा और, और बिंदु से अक्ष के समानांतर एक रेखा भी खींची, और बिंदु से अक्ष के समानांतर एक रेखा खींची। क्या वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिससे एक अद्भुत आकृति बनती है? वह अद्भुत क्यों है? हाँ, आप और मैं समकोण त्रिभुज के बारे में लगभग सब कुछ जानते हैं। खैर, पाइथागोरस प्रमेय, निश्चित रूप से। वांछित खंड इस त्रिभुज का कर्ण है, और खंड पैर हैं। बिंदु के निर्देशांक क्या हैं? हां, उन्हें चित्र से खोजना आसान है: चूंकि खंड अक्षों के समानांतर हैं और, क्रमशः, उनकी लंबाई खोजना आसान है: यदि हम खंडों की लंबाई को क्रमशः, के माध्यम से निरूपित करते हैं, तो

अब पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हैं। हम पैरों की लंबाई जानते हैं, हम कर्ण पाएंगे:

इस प्रकार, दो बिंदुओं के बीच की दूरी निर्देशांक से वर्ग अंतर का मूल योग है। या - दो बिंदुओं के बीच की दूरी उन्हें जोड़ने वाले खंड की लंबाई है। यह देखना आसान है कि बिंदुओं के बीच की दूरी दिशा पर निर्भर नहीं करती है। फिर:

इससे हम तीन निष्कर्ष निकालते हैं:

आइए दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने पर थोड़ा अभ्यास करें:

उदाहरण के लिए, यदि, तो और के बीच की दूरी है

या अलग तरीके से चलते हैं: वेक्टर के निर्देशांक खोजें

और वेक्टर की लंबाई पाएं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह वही है!

अब अपने आप से थोड़ा अभ्यास करें:

कार्य: दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी का पता लगाएं:

हम जाँच:

यहाँ एक ही सूत्र के लिए कुछ और समस्याएँ हैं, हालाँकि वे थोड़ी भिन्न हैं:

1. पलक-से-रा की लंबाई का वर्ग खोजें।

2. पलक की लंबाई-से-रा . का नया-दी-ते वर्ग

मुझे लगता है कि आप उन्हें आसानी से संभाल सकते हैं? हम जाँच:

1. और यह सावधानी के लिए है) हम पहले ही वैक्टर के निर्देशांक पा चुके हैं: । तब वेक्टर के निर्देशांक होते हैं। इसकी लंबाई का वर्ग होगा:

2. वेक्टर के निर्देशांक खोजें

तो इसकी लंबाई का वर्ग है

कुछ भी जटिल नहीं है, है ना? सरल अंकगणित, और कुछ नहीं।

निम्नलिखित पहेलियों को स्पष्ट रूप से वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है, वे सामान्य ज्ञान और सरल चित्र खींचने की क्षमता के लिए हैं।

1. एब्सिस्सा अक्ष के साथ, ऑन-क्लो-ऑन-फ्रॉम-कट, कनेक्ट-वन-एन-वें-वें बिंदु के कोण के उन साइन को खोजें।

तथा

हम इसे यहाँ कैसे करने जा रहे हैं? आपको अक्ष और उसके बीच के कोण की ज्या ज्ञात करने की आवश्यकता है। और हम साइन की तलाश कहाँ कर सकते हैं? यह सही है, एक समकोण त्रिभुज में। तो हमें क्या करने की ज़रूरत है? इस त्रिकोण का निर्माण करें!

चूंकि बिंदु के निर्देशांक और, फिर खंड बराबर है, और खंड। हमें कोण की ज्या ज्ञात करनी है। आपको याद दिला दूं कि ज्या विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है, तो

हम क्या करने के लिए बचे हैं? कर्ण ज्ञात कीजिए। आप इसे दो तरीकों से कर सकते हैं: पाइथागोरस प्रमेय (पैर ज्ञात हैं!) का उपयोग करना या दो बिंदुओं के बीच की दूरी के लिए सूत्र का उपयोग करना (वास्तव में पहली विधि के समान!)। मैं दूसरा रास्ता जाऊंगा:

उत्तर:

अगला काम आपको और भी आसान लगेगा। वह - बिंदु के निर्देशांक पर।

कार्य 2.बिंदु से, प्रति-पेन-दी-कु-लार को एब्स-सिस अक्ष पर उतारा जाता है। नई-दी-ते एब्स-सीआईएस-सु ओएस-नो-वा-निया प्रति-पेन-दी-कु-ला-रा।

आइए एक चित्र बनाएं:

लंब का आधार वह बिंदु है जिस पर यह x-अक्ष (अक्ष) को काटता है मेरे लिए यह एक बिंदु है। चित्र से पता चलता है कि इसमें निर्देशांक हैं: . हम एब्सिस्सा में रुचि रखते हैं - यानी "एक्स" घटक। वह बराबर है।

उत्तर: .

कार्य 3.पिछली समस्या की शर्तों के तहत, बिंदु से निर्देशांक अक्षों तक की दूरी का योग ज्ञात कीजिए।

कार्य आम तौर पर प्राथमिक होता है यदि आप जानते हैं कि एक बिंदु से कुल्हाड़ियों की दूरी क्या है। तुम्हे पता हैं? मुझे आशा है, लेकिन फिर भी मैं आपको याद दिलाता हूं:

तो, मेरे चित्र में, थोड़ा अधिक स्थित, मैंने पहले से ही एक ऐसे लंबवत का चित्रण किया है? यह कौन सी धुरी है? धुरी को। और फिर इसकी लंबाई क्या है? वह बराबर है। अब स्वयं अक्ष पर एक लंब खींचिए और उसकी लंबाई ज्ञात कीजिए। यह बराबर होगा, है ना? तब उनका योग बराबर होता है।

उत्तर: .

कार्य 4.समस्या 2 की स्थितियों में, x-अक्ष के परितः बिंदु के सममित बिंदु की कोटि ज्ञात कीजिए।

मुझे लगता है कि आप सहज रूप से समझते हैं कि समरूपता क्या है? बहुत सारी वस्तुओं में यह है: कई इमारतें, टेबल, विमान, कई ज्यामितीय आकार: एक गेंद, एक सिलेंडर, एक वर्ग, एक समचतुर्भुज, आदि। मोटे तौर पर, समरूपता को इस प्रकार समझा जा सकता है: एक आकृति में दो (या अधिक) होते हैं। समान आधा। इस समरूपता को अक्षीय कहा जाता है। फिर अक्ष क्या है? यह ठीक वह रेखा है जिसके साथ आकृति, अपेक्षाकृत बोलकर, समान हिस्सों में "कट" हो सकती है (इस चित्र में, समरूपता की धुरी सीधी है):

अब चलो अपने काम पर वापस आते हैं। हम जानते हैं कि हम एक ऐसे बिंदु की तलाश कर रहे हैं जो अक्ष के बारे में सममित हो। तब यह अक्ष सममिति की धुरी है। इसलिए, हमें एक बिंदु को चिह्नित करने की आवश्यकता है ताकि अक्ष खंड को दो बराबर भागों में काट दे। ऐसे बिंदु को स्वयं चिह्नित करने का प्रयास करें। अब मेरे समाधान से तुलना करें:

क्या आपने ऐसा ही किया? अच्छा! पाया बिंदु पर, हम कोटि में रुचि रखते हैं। वह बराबर है

उत्तर:

अब मुझे बताओ, एक सेकंड के लिए सोचने के बाद, y-अक्ष के बारे में बिंदु A के सममित बिंदु का भुज क्या होगा? आपका जवाब क्या है? सही उत्तर: ।

सामान्य तौर पर, नियम इस तरह लिखा जा सकता है:

एक्स-अक्ष के बारे में एक बिंदु के सममित बिंदु में निर्देशांक होते हैं:

y-अक्ष के किसी बिंदु के सममित बिंदु के निर्देशांक होते हैं:

खैर, अब यह वाकई डरावना है। एक कार्य: उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु के सापेक्ष किसी बिंदु के सममित हो। आप पहले अपने लिए सोचें, और फिर मेरे चित्र को देखें!

उत्तर:

अब समांतर चतुर्भुज समस्या:

टास्क 5: अंक हैं ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma। ढूँढें-डी-ते या-डी-ऑन-टू अंक।

आप इस समस्या को दो तरीकों से हल कर सकते हैं: तर्क और समन्वय विधि। मैं पहले निर्देशांक विधि लागू करूंगा, और फिर मैं आपको बताऊंगा कि आप अलग तरीके से कैसे निर्णय ले सकते हैं।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि बिंदु का भुज बराबर है। (यह बिंदु से x-अक्ष पर खींचे गए लंब पर स्थित है)। हमें निर्देशांक खोजने की जरूरत है। आइए इस तथ्य का लाभ उठाएं कि हमारी आकृति एक समांतर चतुर्भुज है, जिसका अर्थ है कि। दो बिंदुओं के बीच की दूरी के लिए सूत्र का उपयोग करके खंड की लंबाई पाएं:

हम बिंदु को अक्ष से जोड़ने वाले लंबवत को कम करते हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु को एक अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है।

खंड की लंबाई बराबर है। (समस्या का पता लगाएं, जहां हमने इस क्षण पर चर्चा की थी), फिर हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके खंड की लंबाई पाएंगे:

खंड की लंबाई बिल्कुल उसके कोटि के समान है।

उत्तर: .

एक और समाधान (मैं सिर्फ एक तस्वीर प्रदान करूंगा जो इसे दिखाता है)

समाधान प्रगति:

1. खर्च

2. बिंदु निर्देशांक और लंबाई खोजें

3. सिद्ध कीजिए।

और एक लंबाई काटने की समस्या:

अंक हैं-ला-युत-ज़िया टॉप-शि-ऑन-मील त्रि-कोण-नो-का। उसकी मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए, par-ral-lel-noy।

क्या आपको याद है कि त्रिभुज की मध्य रेखा क्या होती है? तब आपके लिए यह कार्य प्राथमिक है। अगर आपको याद नहीं है, तो मैं आपको याद दिला दूं: त्रिभुज की मध्य रेखा एक ऐसी रेखा है जो विपरीत पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है। यह आधार के समानांतर है और इसके आधे के बराबर है।

आधार एक खंड है। हमें इसकी लंबाई पहले देखनी थी, यह बराबर है। तब मध्य रेखा की लंबाई आधी लंबी और बराबर होती है।

उत्तर: .

टिप्पणी: इस समस्या को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है, जिसे हम थोड़ी देर बाद देखेंगे।

इस बीच, यहां आपके लिए कुछ कार्य हैं, उन पर अभ्यास करें, वे काफी सरल हैं, लेकिन वे समन्वय विधि का उपयोग करके "अपना हाथ भरने" में मदद करते हैं!

1. अंक दिखाई देते हैं-ला-युत-ज़िया टॉप-शि-ऑन-मील ट्रै-पे-टियन। इसकी मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

2. अंक और यव-ला-युत-ज़िया वेर-शि-ना-मील पा-राल-ले-लो-ग्राम-मा। ढूँढें-डी-ते या-डी-ऑन-टू अंक।

3. कट से लंबाई ज्ञात कीजिए, दूसरे बिंदु को जोड़िए और

4. ko-or-di-nat-noy प्लेन पर रेड-शेन-नोय फाई-गु-रे के लिए क्षेत्र खोजें-दी-ते।

5. na-cha-le ko-or-di-nat पर केंद्रित एक वृत्त एक बिंदु से होकर गुजरता है। ढूँढें-दे-ते उसकी रा-दी-मूंछें।

6. नई-दी-ते रा-दी-उस सर्कल-नो-स्टी, वर्णन-सान-नोय समकोण-नो-का के पास, कुछ-रो-गो के टॉप-शि-एन में सह-या - दी-ना-आप सह-से-उत्तर-लेकिन

समाधान:

1. यह ज्ञात है कि एक समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा उसके आधारों के योग के आधे के बराबर होती है। आधार बराबर है, लेकिन आधार। फिर

उत्तर:

2. इस समस्या को हल करने का सबसे आसान तरीका यह देखना है कि (समांतर चतुर्भुज नियम)। वैक्टर के निर्देशांक की गणना करें और मुश्किल नहीं है:। वैक्टर जोड़ते समय, निर्देशांक जोड़े जाते हैं। फिर निर्देशांक हैं। बिंदु के समान निर्देशांक हैं, क्योंकि वेक्टर की शुरुआत निर्देशांक वाला एक बिंदु है। हम समन्वय में रुचि रखते हैं। वह बराबर है।

उत्तर:

3. हम दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र के अनुसार तुरंत कार्य करते हैं:

उत्तर:

4. चित्र को देखिए और बताइए कि किन दो आकृतियों के बीच छायांकित क्षेत्र "निचोड़ा हुआ" है? यह दो वर्गों के बीच सैंडविच है। फिर वांछित आकृति का क्षेत्रफल छोटे वर्ग के क्षेत्रफल घटाकर बड़े वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर होता है। छोटे वर्ग की भुजा बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है और इसकी लंबाई है

तो छोटे वर्ग का क्षेत्रफल है

हम एक बड़े वर्ग के साथ भी ऐसा ही करते हैं: इसका पक्ष बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है और इसकी लंबाई बराबर है

तो बड़े वर्ग का क्षेत्रफल है

वांछित आकृति का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:

उत्तर:

5. यदि वृत्त का उद्गम केंद्र है और यह एक बिंदु से होकर जाता है, तो इसकी त्रिज्या खंड की लंबाई के बिल्कुल बराबर होगी (एक चित्र बनाएं और आप समझ जाएंगे कि यह स्पष्ट क्यों है)। इस खंड की लंबाई पाएं:

उत्तर:

6. यह ज्ञात है कि एक आयत के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या उसके विकर्ण के आधे के बराबर होती है। आइए दो विकर्णों में से किसी की लंबाई ज्ञात करें (आखिरकार, एक आयत में वे बराबर होते हैं!)

उत्तर:

अच्छा, क्या आपने सब कुछ मैनेज कर लिया? यह पता लगाना इतना कठिन नहीं था, है ना? यहां केवल एक नियम है - एक दृश्य चित्र बनाने में सक्षम होने के लिए और इससे सभी डेटा को "पढ़ें"।

हमारे पास बहुत कम बचा है। वस्तुतः दो और बिंदु हैं जिन पर मैं चर्चा करना चाहूंगा।

आइए इस सरल समस्या को हल करने का प्रयास करें। दो अंक दें और दिया जाए। खंड के मध्य के निर्देशांक खोजें। इस समस्या का समाधान इस प्रकार है: बिंदु को वांछित मध्य होने दें, फिर उसके निर्देशांक हैं:

वह है: खंड के मध्य के निर्देशांक = खंड के सिरों के संगत निर्देशांक का अंकगणितीय माध्य।

यह नियम बहुत सरल है और आमतौर पर छात्रों के लिए मुश्किलें पैदा नहीं करता है। आइए देखें कि किन समस्याओं में और इसका उपयोग कैसे किया जाता है:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th point और

2. अंक हैं यव-ला-युत-ज़िया वेर-शि-ना-मी-चे-यू-रेह-कोयला-नो-का। उसके दीया-गो-ऑन-लेई के री-रे-से-चे-निया के फाइंड-दी-ते या-दी-ना-तू अंक।

3. सर्कल के केंद्र के लिए खोजें-दी-ते एब्स-सीआईएस-सु, वर्णन-सान-नॉय आयत-नो-का के पास, सबसे ऊपर-शि-हमारे पास कुछ-रो-गो सह-या-दी- ना-आप सह-से-पशु चिकित्सक-stvenno-लेकिन।

समाधान:

1. पहला काम सिर्फ एक क्लासिक है। हम खंड के मध्य बिंदु का निर्धारण करके तुरंत कार्य करते हैं। उसके पास निर्देशांक हैं। कोटि बराबर है।

उत्तर:

2. यह देखना आसान है कि दिया गया चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है (यहां तक ​​कि एक समचतुर्भुज भी!)। आप पक्षों की लंबाई की गणना करके और उनकी एक दूसरे के साथ तुलना करके इसे स्वयं सिद्ध कर सकते हैं। मुझे समांतर चतुर्भुज के बारे में क्या पता है? इसके विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से समद्विभाजित किया जाता है! आह! तो विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु क्या है? यह किसी भी विकर्ण का मध्य है! मैं, विशेष रूप से, विकर्ण चुनूंगा। तब बिंदु के निर्देशांक होते हैं। बिंदु की कोटि किसके बराबर होती है।

उत्तर:

3. आयत के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र क्या है? यह इसके विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के साथ मेल खाता है। आयत के विकर्णों के बारे में आप क्या जानते हैं? वे बराबर हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में विभाजित है। कार्य को पहले वाले तक कम कर दिया गया है। उदाहरण के लिए, विकर्ण लें। फिर यदि परिबद्ध वृत्त का केंद्र है, तो मध्य है। मैं निर्देशांक की तलाश में हूं: एब्सिस्सा बराबर है।

उत्तर:

अब आप अपने आप से थोड़ा अभ्यास करें, मैं केवल प्रत्येक समस्या का उत्तर दूंगा ताकि आप स्वयं को जांच सकें।

1. नई-दी-ते रा-दी-उस सर्कल-नो-स्टी, वर्णन-सान-नोय त्रिकोण-नो-का के पास, किसी-रो-गो के शीर्ष में को-या-दी-नो मिस्टर्स हैं

2. ढूँढें-दी-ते या-दी-ना-तू सर्कल के केंद्र, त्रिकोण-नो-का के पास सान-नॉय का वर्णन करें, सबसे ऊपर-शि-हमारे पास कुछ-रो-गो निर्देशांक हैं

3. किस प्रकार का ra-di-y-sa एक ऐसा वृत्त होना चाहिए जिसमें एक बिंदु पर एक केंद्र हो ताकि वह एब्स-सिस अक्ष को स्पर्श करे?

4. अक्ष के री-री-से-चे-इंग और फ्रॉम-कट, कनेक्ट-न्या-यू-थ-वें बिंदु और

उत्तर:

क्या सब कुछ ठीक हो गया? मुझे वास्तव में इसकी उम्मीद है! अब - आखिरी धक्का। अब विशेष रूप से सावधान रहें। अब मैं जो सामग्री समझाऊंगा वह न केवल भाग बी में सरल समन्वय विधि की समस्याओं के लिए प्रासंगिक है, बल्कि समस्या सी 2 में भी पाई जाती है।

मैंने अपना कौन सा वादा अभी तक पूरा नहीं किया है? याद रखें कि मैंने वैक्टर पर कौन से ऑपरेशन शुरू करने का वादा किया था और आखिरकार मैंने कौन से ऑपरेशन शुरू किए? क्या मुझे यकीन है कि मैं कुछ भी नहीं भूला हूँ? भूल गया! मैं यह बताना भूल गया कि वैक्टर के गुणन का क्या मतलब है।

किसी सदिश को सदिश से गुणा करने के दो तरीके हैं। चुनी हुई विधि के आधार पर, हमें एक अलग प्रकृति की वस्तुएँ मिलेंगी:

वेक्टर उत्पाद काफी मुश्किल है। यह कैसे करना है और इसकी आवश्यकता क्यों है, हम आपके साथ अगले लेख में चर्चा करेंगे। और इसमें हम अदिश उत्पाद पर ध्यान देंगे।

पहले से ही दो तरीके हैं जो हमें इसकी गणना करने की अनुमति देते हैं:

जैसा आपने अनुमान लगाया, परिणाम वही होना चाहिए! तो आइए पहले पहले तरीके को देखें:

निर्देशांक के माध्यम से डॉट उत्पाद

ढूँढें: - डॉट उत्पाद के लिए सामान्य संकेतन

गणना का सूत्र इस प्रकार है:

यानी डॉट उत्पाद = वैक्टर के निर्देशांक के उत्पादों का योग!

उदाहरण:

फाइंड-डी-ते

समाधान:

प्रत्येक वैक्टर के निर्देशांक खोजें:

हम सूत्र द्वारा अदिश उत्पाद की गणना करते हैं:

उत्तर:

आप देखिए, कुछ भी जटिल नहीं है!

अच्छा, अब इसे स्वयं आजमाएँ:

फाइंड-डी-ते स्केलर-नो प्रो-फ्रॉम-वे-डी-नी शताब्दी-टू-डिच और

क्या आप संभाल पाओगे? शायद उसने एक छोटी सी चाल पर ध्यान दिया? चलो देखते है:

वेक्टर निर्देशांक, जैसा कि पिछले कार्य में है! उत्तर: ।

निर्देशांक के अलावा, स्केलर उत्पाद की गणना करने का एक और तरीका है, अर्थात्, वैक्टर की लंबाई और उनके बीच के कोण के कोसाइन के माध्यम से:

वैक्टर और के बीच के कोण को दर्शाता है।

अर्थात्, अदिश गुणन सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर होता है।

हमें इस दूसरे सूत्र की आवश्यकता क्यों है, यदि हमारे पास पहला है, जो बहुत सरल है, कम से कम इसमें कोई कोसाइन नहीं हैं। और हमें इसकी आवश्यकता है ताकि पहले और दूसरे फ़ार्मुलों से हम यह पता लगा सकें कि वैक्टर के बीच के कोण को कैसे खोजा जाए!

फिर एक सदिश की लंबाई का सूत्र याद रखें!

फिर अगर मैं इस डेटा को डॉट उत्पाद सूत्र में प्लग करता हूं, तो मुझे मिलता है:

लेकिन दूसरी तरफ:

तो हमारे पास क्या है? अब हमारे पास दो सदिशों के बीच के कोण की गणना करने का एक सूत्र है! कभी-कभी संक्षिप्तता के लिए इस प्रकार भी लिखा जाता है:

अर्थात्, वैक्टर के बीच के कोण की गणना के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

1. हम निर्देशांक के माध्यम से अदिश उत्पाद की गणना करते हैं
2. वैक्टर की लंबाई पाएं और उन्हें गुणा करें
3. बिंदु 1 के परिणाम को बिंदु 2 के परिणाम से विभाजित करें

आइए उदाहरणों के साथ अभ्यास करें:

1. पलकों-से-रा-मील और के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।

2. पिछली समस्या की शर्तों के तहत, वैक्टर के बीच कोसाइन का पता लगाएं

आइए इसे करते हैं: मैं पहली समस्या को हल करने में आपकी मदद करूँगा, और दूसरी समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करूँगा! मैं सहमत हूं? तो चलिए शुरू करते हैं!

1. ये वैक्टर हमारे पुराने दोस्त हैं। हम पहले ही उनके अदिश गुणनफल पर विचार कर चुके हैं और यह बराबर था। उनके निर्देशांक हैं: , . तब हम उनकी लंबाई पाते हैं:

फिर हम वैक्टर के बीच कोसाइन की तलाश कर रहे हैं:

कोण की कोज्या क्या है? यह कोना है।

उत्तर:

खैर, अब दूसरी समस्या को स्वयं हल करें, और फिर तुलना करें! मैं बस एक बहुत छोटा समाधान दूंगा:

2. निर्देशांक हैं, निर्देशांक हैं।

मान लीजिए कि सदिशों के बीच का कोण है और, तब

उत्तर:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सीधे वैक्टर पर कार्य और परीक्षा पेपर के भाग बी में निर्देशांक की विधि काफी दुर्लभ है। हालाँकि, C2 समस्याओं के विशाल बहुमत को एक समन्वय प्रणाली शुरू करके आसानी से हल किया जा सकता है। तो आप इस लेख को एक आधार मान सकते हैं, जिसके आधार पर हम काफी पेचीदा रचनाएँ करेंगे जिनकी हमें जटिल समस्याओं को हल करने की आवश्यकता होगी।

निर्देशांक और वैक्टर। मध्यवर्ती स्तर

आप और मैं निर्देशांक की विधि का अध्ययन जारी रखते हैं। पिछले भाग में, हमने कई महत्वपूर्ण सूत्र निकाले जो अनुमति देते हैं:

1. वेक्टर निर्देशांक खोजें
2. एक वेक्टर की लंबाई पाएं (वैकल्पिक रूप से: दो बिंदुओं के बीच की दूरी)
3. वैक्टर जोड़ें, घटाएं। उन्हें वास्तविक संख्या से गुणा करें
4. एक खंड के मध्य बिंदु का पता लगाएं
5. वैक्टर के डॉट उत्पाद की गणना करें
6. वैक्टर के बीच का कोण खोजें

बेशक, संपूर्ण समन्वय विधि इन 6 बिंदुओं में फिट नहीं होती है। यह विश्लेषणात्मक ज्यामिति जैसे विज्ञान का आधार है, जिससे आप विश्वविद्यालय में परिचित होंगे। मैं सिर्फ एक नींव बनाना चाहता हूं जो आपको एक ही राज्य में समस्याओं को हल करने की अनुमति देगी। परीक्षा। हमने भाग बी के कार्यों को समझ लिया अब गुणात्मक रूप से नए स्तर पर जाने का समय आ गया है! यह लेख उन C2 समस्याओं को हल करने के लिए एक विधि के लिए समर्पित होगा जिसमें समन्वय विधि पर स्विच करना उचित होगा। यह तार्किकता इस बात से निर्धारित होती है कि समस्या में क्या पाया जाना चाहिए और कौन सा आंकड़ा दिया गया है। इसलिए, यदि प्रश्न हैं तो मैं समन्वय विधि का उपयोग करूंगा:

1. दो तलों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
2. एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
3. दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
4. एक बिंदु से एक समतल की दूरी ज्ञात करें
5. एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी ज्ञात कीजिए
6. एक सीधी रेखा से समतल की दूरी ज्ञात कीजिए
7. दो रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

यदि समस्या की स्थिति में दी गई आकृति क्रांति का पिंड है (गेंद, बेलन, शंकु...)

निर्देशांक विधि के लिए उपयुक्त आंकड़े हैं:

1. घनाभ
2. पिरामिड (त्रिकोणीय, चतुर्भुज, षट्कोणीय)

मेरे अनुभव में भी समन्वय विधि का उपयोग करना अनुचित है:

1. वर्गों के क्षेत्रों का पता लगाना
2. निकायों की मात्रा की गणना

हालांकि, यह तुरंत ध्यान दिया जाना चाहिए कि समन्वय विधि के लिए तीन "प्रतिकूल" स्थितियां व्यवहार में काफी दुर्लभ हैं। अधिकांश कार्यों में, यह आपका तारणहार बन सकता है, खासकर यदि आप त्रि-आयामी निर्माणों में बहुत मजबूत नहीं हैं (जो कभी-कभी काफी जटिल होते हैं)।

मैंने ऊपर सूचीबद्ध सभी आंकड़े क्या हैं? वे अब सपाट नहीं हैं, जैसे कि एक वर्ग, त्रिकोण, वृत्त, लेकिन बड़ा! तदनुसार, हमें द्वि-आयामी नहीं, बल्कि त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली पर विचार करने की आवश्यकता है। यह काफी आसानी से बनाया गया है: बस एब्सिस्सा और कोर्डिनेट्स के अलावा, हम एक और एक्सिस, एप्लिकेट एक्सिस का परिचय देंगे। आंकड़ा योजनाबद्ध रूप से उनकी सापेक्ष स्थिति दिखाता है:

ये सभी परस्पर लंबवत हैं, एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे हम मूल बिंदु कहेंगे। एब्सिस्सा अक्ष, पहले की तरह, निरूपित किया जाएगा, कोर्डिनेट अक्ष - और शुरू की गई अनुप्रयुक्त अक्ष -।

यदि पहले विमान के प्रत्येक बिंदु को दो संख्याओं की विशेषता थी - एब्सिस्सा और कोर्डिनेट, तो अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु को पहले से ही तीन नंबरों द्वारा वर्णित किया गया है - एब्सिस्सा, ऑर्डिनेट, एप्लिकेट। उदाहरण के लिए:

तदनुसार, बिंदु का भुज बराबर है, कोटि है, और अनुप्रयुक्त है।

कभी-कभी किसी बिंदु के एब्सिस्सा को एब्सिस्सा अक्ष पर बिंदु का प्रक्षेपण भी कहा जाता है, कोर्डिनेट, कोर्डिनेट अक्ष पर बिंदु का प्रक्षेपण होता है, और एप्लिकेट एप्लिकेट अक्ष पर बिंदु का प्रक्षेपण होता है। तदनुसार, यदि एक बिंदु दिया जाता है, तो निर्देशांक वाला एक बिंदु:

एक विमान पर एक बिंदु का प्रक्षेपण कहा जाता है

एक विमान पर एक बिंदु का प्रक्षेपण कहा जाता है

एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है: क्या द्वि-आयामी मामले के लिए व्युत्पन्न सभी सूत्र अंतरिक्ष में मान्य हैं? इसका उत्तर है हां, वे न्यायसंगत हैं और उनका रूप एक जैसा है। एक छोटे से विवरण के लिए। मुझे लगता है कि आपने पहले ही अनुमान लगा लिया था कि कौन सा है। सभी सूत्रों में, हमें अनुप्रयुक्त अक्ष के लिए उत्तरदायी एक और पद जोड़ना होगा। अर्थात्।

1. यदि दो बिंदु दिए गए हैं: , तो:

• वेक्टर निर्देशांक:
• दो बिंदुओं के बीच की दूरी (या वेक्टर लंबाई)
• खंड के मध्य में निर्देशांक हैं

2. यदि दो सदिश दिए गए हैं: और, तो:

• उनका डॉट उत्पाद है:
• सदिशों के बीच के कोण की कोज्या है:

हालांकि, अंतरिक्ष इतना आसान नहीं है। जैसा कि आप समझते हैं, एक और निर्देशांक का जोड़ इस स्थान में "जीवित" आंकड़ों के स्पेक्ट्रम में एक महत्वपूर्ण विविधता का परिचय देता है। और आगे के वर्णन के लिए, मुझे कुछ, मोटे तौर पर, सीधी रेखा के "सामान्यीकरण" का परिचय देना होगा। यह "सामान्यीकरण" एक विमान होगा। प्लेन के बारे में आप क्या जानते हैं? इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें कि विमान क्या है? कहना बहुत मुश्किल है। हालाँकि, हम सभी सहज रूप से कल्पना करते हैं कि यह कैसा दिखता है:

मोटे तौर पर, यह अंतरिक्ष में एक तरह का अंतहीन "पत्ती" है। "इन्फिनिटी" को समझना चाहिए कि विमान सभी दिशाओं में फैला हुआ है, यानी इसका क्षेत्रफल अनंत के बराबर है। हालांकि, "उंगलियों पर" यह स्पष्टीकरण विमान की संरचना के बारे में थोड़ा सा भी विचार नहीं देता है। और हम इसमें रुचि लेंगे।

आइए ज्यामिति के मूल सिद्धांतों में से एक को याद करें:

• एक सीधी रेखा समतल पर दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती है, इसके अलावा, केवल एक:

या अंतरिक्ष में इसका एनालॉग:

बेशक, आपको याद है कि दो दिए गए बिंदुओं से एक सीधी रेखा के समीकरण को कैसे प्राप्त किया जाए, यह बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है: यदि पहले बिंदु में निर्देशांक हैं: और दूसरा, तो सीधी रेखा का समीकरण इस प्रकार होगा:

आप 7वीं कक्षा में इससे गुजरे हैं। अंतरिक्ष में, एक सीधी रेखा का समीकरण इस तरह दिखता है: हमें निर्देशांक के साथ दो बिंदु मिलते हैं: , तो उनसे गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है:

उदाहरण के लिए, एक रेखा बिंदुओं से होकर गुजरती है:

इसे कैसे समझा जाना चाहिए? इसे इस प्रकार समझा जाना चाहिए: एक बिंदु एक रेखा पर स्थित होता है यदि इसके निर्देशांक निम्नलिखित प्रणाली को संतुष्ट करते हैं:

हम एक सीधी रेखा के समीकरण में बहुत रुचि नहीं लेंगे, लेकिन हमें एक सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर की बहुत महत्वपूर्ण अवधारणा पर ध्यान देने की आवश्यकता है। - कोई भी गैर-शून्य वेक्टर किसी दी गई रेखा पर या उसके समानांतर स्थित होता है।

उदाहरण के लिए, दोनों सदिश एक सीधी रेखा के दिशा सदिश हैं। आज्ञा देना एक सीधी रेखा पर स्थित एक बिंदु हो, और इसका निर्देशन सदिश हो। तब एक सीधी रेखा के समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

एक बार फिर, मुझे एक सीधी रेखा के समीकरण में बहुत दिलचस्पी नहीं होगी, लेकिन मुझे वास्तव में आपको यह याद रखना होगा कि दिशा वेक्टर क्या है! फिर से: यह कोई भी शून्येतर सदिश है जो किसी रेखा पर या उसके समानांतर स्थित है।

वापस लेना समतल का त्रि-बिंदु समीकरणअब इतना तुच्छ नहीं है, और आमतौर पर हाई स्कूल के पाठ्यक्रम में शामिल नहीं किया जाता है। परन्तु सफलता नहीं मिली! जब हम जटिल समस्याओं को हल करने के लिए समन्वय पद्धति का सहारा लेते हैं तो यह तकनीक महत्वपूर्ण होती है। हालाँकि, मुझे लगता है कि आप कुछ नया सीखने की इच्छा से भरे हुए हैं? इसके अलावा, आप विश्वविद्यालय में अपने शिक्षक को प्रभावित करने में सक्षम होंगे जब यह पता चलेगा कि आप पहले से ही उस तकनीक का उपयोग करना जानते हैं जिसका आमतौर पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति के पाठ्यक्रम में अध्ययन किया जाता है। तो चलो शुरू करते है।

एक समतल का समीकरण समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरण से बहुत भिन्न नहीं होता है, अर्थात् इसका रूप होता है:

कुछ संख्याएँ (सभी शून्य के बराबर नहीं), लेकिन चर, उदाहरण के लिए: आदि। जैसा कि आप देख सकते हैं, एक समतल का समीकरण एक सीधी रेखा (रैखिक फलन) के समीकरण से बहुत अलग नहीं है। हालाँकि, याद रखें कि हमने आपसे क्या बहस की थी? हमने कहा कि यदि हमारे पास तीन बिंदु हैं जो एक सीधी रेखा पर नहीं हैं, तो विमान का समीकरण उनसे विशिष्ट रूप से बहाल हो जाता है। पर कैसे? मैं आपको समझाने की कोशिश करूंगा।

चूंकि समतल समीकरण है:

और बिंदु इस विमान के हैं, फिर प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक को विमान के समीकरण में प्रतिस्थापित करते समय, हमें सही पहचान मिलनी चाहिए:

इस प्रकार, अज्ञात के साथ पहले से ही तीन समीकरणों को हल करने की आवश्यकता है! दुविधा! हालाँकि, हम हमेशा यह मान सकते हैं कि (इसके लिए हमें विभाजित करने की आवश्यकता है)। इस प्रकार, हमें तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरण मिलते हैं:

हालाँकि, हम ऐसी प्रणाली को हल नहीं करेंगे, लेकिन इसके बाद आने वाली गुप्त अभिव्यक्ति को लिखेंगे:

दिए गए तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण

\[\बाएं| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(सरणी)) \right| = 0\]

विराम! यह और क्या है? कुछ बहुत ही असामान्य मॉड्यूल! हालाँकि, आप अपने सामने जो वस्तु देखते हैं, उसका मॉड्यूल से कोई लेना-देना नहीं है। इस वस्तु को तृतीय-क्रम निर्धारक कहा जाता है। अब से, जब आप किसी समतल पर निर्देशांकों की विधि का अध्ययन करते हैं, तो आप अक्सर इन्हीं निर्धारकों से रूबरू होंगे। तीसरा क्रम निर्धारक क्या है? अजीब तरह से, यह सिर्फ एक संख्या है। यह समझना बाकी है कि हम सारणिक के साथ किस विशिष्ट संख्या की तुलना करेंगे।

आइए पहले तीसरे क्रम के निर्धारक को अधिक सामान्य रूप में लिखें:

कुछ नंबर कहां हैं। इसके अलावा, पहले सूचकांक से हमारा मतलब पंक्ति संख्या से है, और सूचकांक से - स्तंभ संख्या। उदाहरण के लिए, इसका अर्थ है कि दी गई संख्या दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ के प्रतिच्छेदन पर है। आइए निम्नलिखित प्रश्न करें: हम वास्तव में ऐसे निर्धारक की गणना कैसे करेंगे? यानी हम इसकी तुलना किस विशिष्ट संख्या से करेंगे? ठीक तीसरे क्रम के निर्धारक के लिए, एक अनुमानी (दृश्य) त्रिभुज नियम है, यह इस तरह दिखता है:

1. मुख्य विकर्ण के तत्वों का उत्पाद (ऊपर बाएं से नीचे दाएं) उन तत्वों का उत्पाद जो मुख्य विकर्ण के लिए पहला त्रिभुज "लंबवत" बनाते हैं, उन तत्वों का उत्पाद जो दूसरे त्रिभुज को "लंबवत" बनाते हैं। विकर्ण
2. द्वितीयक विकर्ण के तत्वों का गुणनफल (ऊपरी दाएं कोने से निचले बाएँ तक) उन तत्वों का गुणनफल जो द्वितीयक विकर्ण का पहला त्रिभुज "लंबवत" बनाते हैं, दूसरे त्रिभुज "लंबवत" बनाने वाले तत्वों का गुणनफल द्वितीयक विकर्ण का
3. तब निर्धारक चरण पर प्राप्त मूल्यों के बीच के अंतर के बराबर होता है और

यदि हम यह सब संख्याओं में लिखते हैं, तो हमें निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त होता है:

हालाँकि, आपको इस रूप में गणना पद्धति को याद रखने की आवश्यकता नहीं है, यह केवल त्रिकोणों को अपने सिर में रखने के लिए पर्याप्त है और इस बात का बहुत विचार है कि क्या जोड़ा जाता है और फिर क्या घटाया जाता है)।

आइए एक उदाहरण के साथ त्रिभुज विधि का वर्णन करें:

1. सारणिक की गणना करें:

आइए जानें कि हम क्या जोड़ते हैं और क्या घटाते हैं:

"प्लस" के साथ आने वाली शर्तें:

यह मुख्य विकर्ण है: तत्वों का गुणनफल है

पहला त्रिभुज, "मुख्य विकर्ण के लंबवत: तत्वों का गुणनफल है

दूसरा त्रिभुज, "मुख्य विकर्ण के लंबवत: तत्वों का गुणनफल है

हम तीन नंबर जोड़ते हैं:

शब्द जो "माइनस" के साथ आते हैं

यह एक पार्श्व विकर्ण है: तत्वों का गुणनफल है

पहला त्रिभुज, "द्वितीयक विकर्ण के लंबवत: तत्वों का गुणनफल है

दूसरा त्रिभुज, "द्वितीयक विकर्ण के लंबवत: तत्वों का गुणनफल है

हम तीन नंबर जोड़ते हैं:

जो कुछ किया जाना बाकी है, वह है प्लस शब्दों के योग से घटाना:

इस तरह,

जैसा कि आप देख सकते हैं, तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना में कुछ भी जटिल और अलौकिक नहीं है। केवल त्रिभुजों के बारे में याद रखना महत्वपूर्ण है न कि अंकगणितीय गलतियाँ करना। अब खुद की गणना करने का प्रयास करें:

हम जाँच:

1. मुख्य विकर्ण के लंबवत पहला त्रिभुज:
2. मुख्य विकर्ण के लंबवत दूसरा त्रिभुज:
3. प्लस शर्तों का योग:
4. भुजा के विकर्ण पर लंबवत पहला त्रिभुज:
5. दूसरा त्रिभुज, भुजा के विकर्ण के लंबवत:
6. माइनस के साथ शर्तों का योग:
7. धनात्मक पदों का योग घटा ऋण पदों का योग:

यहां आपके लिए कुछ और निर्धारक हैं, उनके मूल्यों की गणना स्वयं करें और उत्तरों की तुलना करें:

उत्तर:

अच्छा, क्या सब कुछ मेल खाता था? बढ़िया, तो आप आगे बढ़ सकते हैं! यदि कठिनाइयाँ हैं, तो मेरी सलाह यह है: इंटरनेट पर ऑनलाइन निर्धारक की गणना के लिए कार्यक्रमों का एक समूह है। आपको केवल अपने स्वयं के निर्धारक के साथ आने की जरूरत है, इसकी गणना स्वयं करें, और फिर इसकी तुलना प्रोग्राम की गणना के साथ करें। और इसी तरह जब तक परिणाम मिलना शुरू नहीं हो जाते। मुझे यकीन है कि यह क्षण आने में लंबा नहीं होगा!

अब हम उस सारणिक पर लौटते हैं जिसे मैंने तब लिखा था जब मैंने दिए गए तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल के समीकरण के बारे में बात की थी:

आपको बस इतना करना है कि सीधे इसके मूल्य की गणना करें (त्रिकोण विधि का उपयोग करके) और परिणाम को शून्य के बराबर सेट करें। स्वाभाविक रूप से, चूंकि वे चर हैं, इसलिए आपको कुछ ऐसे व्यंजक मिलेंगे जो उन पर निर्भर करते हैं। यह व्यंजक तीन दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले एक समतल का समीकरण होगा जो एक सीधी रेखा पर नहीं होता है!

आइए इसे एक साधारण उदाहरण के साथ स्पष्ट करें:

1. बिंदुओं से गुजरने वाले तल के समीकरण की रचना कीजिए

हम इन तीन बिंदुओं के लिए एक निर्धारक की रचना करते हैं:

सरलीकरण:

अब हम इसकी गणना सीधे त्रिभुजों के नियम के अनुसार करते हैं:

\[(\बाएं| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ दाएं| = \बाएं((x + 3) \दाएं) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

इस प्रकार, बिंदुओं से गुजरने वाले तल का समीकरण है:

अब एक समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करें, और फिर हम इस पर चर्चा करेंगे:

2. बिंदुओं से गुजरने वाले तल का समीकरण ज्ञात कीजिए

खैर, अब समाधान पर चर्चा करते हैं:

हम एक निर्धारक बनाते हैं:

और इसके मूल्य की गणना करें:

तब समतल के समीकरण का रूप है:

या, कम करके, हम प्राप्त करते हैं:

अब आत्म-नियंत्रण के लिए दो कार्य:

1. तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण बनाइए:

उत्तर:

क्या सब कुछ मेल खाता था? फिर, यदि कुछ कठिनाइयाँ हैं, तो मेरी सलाह यह है: अपने सिर से तीन बिंदु लें (उच्च संभावना के साथ वे एक सीधी रेखा पर नहीं होंगे), उन पर एक विमान बनाएं। और फिर खुद को ऑनलाइन चेक करें। उदाहरण के लिए, साइट पर:

तथापि, सारणिकों की सहायता से हम न केवल तल के समीकरण का निर्माण करेंगे। याद रखें, मैंने आपको बताया था कि वैक्टर के लिए, न केवल डॉट उत्पाद परिभाषित किया गया है। एक वेक्टर भी है, साथ ही एक मिश्रित उत्पाद भी है। और यदि दो सदिशों का अदिश गुणनफल एक संख्या होगी, तो दो सदिशों का सदिश गुणनफल एक सदिश होगा, और यह सदिश दिए गए सदिशों के लंबवत होगा:

इसके अलावा, इसका मापांक वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होगा और। एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी की गणना करने के लिए हमें इस वेक्टर की आवश्यकता होगी। हम वैक्टर के क्रॉस उत्पाद की गणना कैसे कर सकते हैं और यदि उनके निर्देशांक दिए गए हैं? तीसरे क्रम का निर्धारक फिर से हमारी सहायता के लिए आता है। हालांकि, इससे पहले कि मैं क्रॉस उत्पाद की गणना के लिए एल्गोरिदम पर आगे बढ़ूं, मुझे एक छोटा गीतात्मक विषयांतर करना होगा।

यह विषयांतर आधार वैक्टर से संबंधित है।

योजनाबद्ध रूप से उन्हें चित्र में दिखाया गया है:

आपको क्या लगता है कि उन्हें बुनियादी क्यों कहा जाता है? तथ्य यह है कि :

या तस्वीर में:

इस सूत्र की वैधता स्पष्ट है, क्योंकि:

वेक्टर उत्पाद

अब मैं क्रॉस उत्पाद पेश करना शुरू कर सकता हूं:

दो सदिशों का सदिश गुणनफल एक सदिश है जिसकी गणना निम्नलिखित नियम के अनुसार की जाती है:

अब क्रॉस उत्पाद की गणना के कुछ उदाहरण देते हैं:

उदाहरण 1: वैक्टर का क्रॉस उत्पाद खोजें:

समाधान: मैं एक निर्धारक बनाता हूं:

और मैं इसकी गणना करता हूं:

अब, आधार वैक्टर के माध्यम से लिखने से, मैं सामान्य वेक्टर संकेतन पर लौटूंगा:

इस तरह:

अब कोशिश करो।

तैयार? हम जाँच:

और परंपरागत रूप से दो नियंत्रित करने के लिए कार्य:

1. निम्नलिखित वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद खोजें:
2. निम्नलिखित वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद खोजें:

उत्तर:

तीन वैक्टर का मिश्रित उत्पाद

मुझे जो आखिरी निर्माण चाहिए वह तीन वैक्टरों का मिश्रित उत्पाद है। यह, एक अदिश की तरह, एक संख्या है। इसकी गणना करने के दो तरीके हैं। - सारणिक के माध्यम से, - मिश्रित उत्पाद के माध्यम से।

अर्थात्, मान लें कि हमारे पास तीन वैक्टर हैं:

फिर तीन वैक्टरों के मिश्रित उत्पाद की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

1. - अर्थात मिश्रित उत्पाद एक सदिश का अदिश गुणनफल और दो अन्य सदिशों का सदिश गुणनफल होता है

उदाहरण के लिए, तीन वैक्टर का मिश्रित उत्पाद है:

वेक्टर उत्पाद का उपयोग करके स्वयं इसकी गणना करने का प्रयास करें और सुनिश्चित करें कि परिणाम मेल खाते हैं!

और फिर - एक स्वतंत्र समाधान के लिए दो उदाहरण:

उत्तर:

समन्वय प्रणाली का विकल्प

खैर, अब हमारे पास ज्यामिति में जटिल स्टीरियोमेट्रिक समस्याओं को हल करने के लिए ज्ञान की सभी आवश्यक नींव हैं। हालांकि, सीधे उदाहरणों और एल्गोरिदम को हल करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, मेरा मानना ​​​​है कि निम्नलिखित प्रश्न पर ध्यान देना उपयोगी होगा: वास्तव में कैसे किसी विशेष आकृति के लिए एक समन्वय प्रणाली चुनें।आखिरकार, यह समन्वय प्रणाली की सापेक्ष स्थिति और अंतरिक्ष में आकृति का चुनाव है जो अंततः यह निर्धारित करेगा कि गणना कितनी बोझिल होगी।

मैं आपको याद दिलाता हूं कि इस खंड में हम निम्नलिखित आकृतियों पर विचार कर रहे हैं:

1. घनाभ
2. सीधा प्रिज्म (त्रिकोणीय, षट्कोणीय…)
3. पिरामिड (त्रिकोणीय, चतुर्भुज)
4. टेट्राहेड्रोन (त्रिकोणीय पिरामिड के समान)

एक घनाभ या घन के लिए, मैं निम्नलिखित निर्माण की अनुशंसा करता हूं:

यही है, मैं आंकड़ा "कोने में" रखूंगा। क्यूब और बॉक्स बहुत अच्छे आंकड़े हैं। उनके लिए, आप हमेशा इसके शीर्षों के निर्देशांक आसानी से प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि (जैसा चित्र में दिखाया गया है)

तो शीर्ष निर्देशांक हैं:

बेशक, आपको इसे याद रखने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह याद रखना कि घन या आयताकार बॉक्स को किस प्रकार सर्वोत्तम स्थिति में रखा जाए, वांछनीय है।

सीधा प्रिज्म

प्रिज्म एक अधिक हानिकारक आंकड़ा है। आप इसे अलग-अलग तरीकों से अंतरिक्ष में व्यवस्थित कर सकते हैं। हालांकि, मुझे लगता है कि निम्नलिखित सबसे अच्छा विकल्प है:

त्रिकोणीय प्रिज्म:

अर्थात्, हम त्रिभुज की एक भुजा को पूरी तरह से अक्ष पर रखते हैं, और एक शीर्ष मूल के साथ मेल खाता है।

हेक्सागोनल प्रिज्म:

यही है, एक कोने मूल के साथ मेल खाता है, और पक्षों में से एक अक्ष पर स्थित है।

चतुर्भुज और हेक्सागोनल पिरामिड:

एक घन के समान स्थिति: हम आधार के दो पक्षों को समन्वय अक्षों के साथ जोड़ते हैं, हम मूल के साथ एक कोने को जोड़ते हैं। बिंदु के निर्देशांक की गणना करने के लिए केवल एक छोटी सी कठिनाई होगी।

हेक्सागोनल पिरामिड के लिए - हेक्सागोनल प्रिज्म के समान। मुख्य कार्य फिर से शीर्ष के निर्देशांक खोजने में होगा।

टेट्राहेड्रोन (त्रिकोणीय पिरामिड)

स्थिति बहुत कुछ वैसी ही है जैसी मैंने त्रिकोणीय प्रिज्म के लिए दी थी: एक शीर्ष मूल के साथ मेल खाता है, एक पक्ष समन्वय अक्ष पर स्थित है।

खैर, अब आप और मैं अंतत: समस्याओं का समाधान शुरू करने के करीब हैं। लेख की शुरुआत में मैंने जो कहा था, उससे आप निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं: अधिकांश सी 2 समस्याएं 2 श्रेणियों में आती हैं: कोण के लिए समस्याएं और दूरी के लिए समस्याएं। पहले हम कोण ज्ञात करने की समस्याओं पर विचार करेंगे। बदले में, उन्हें निम्नलिखित श्रेणियों में विभाजित किया जाता है (जैसे-जैसे जटिलता बढ़ती है):

कोनों को खोजने में समस्या

1. दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करना
2. दो तलों के बीच का कोण ज्ञात करना

आइए इन समस्याओं पर क्रमिक रूप से विचार करें: आइए दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करके प्रारंभ करें। आइए, याद रखें, क्या आपने और मैंने पहले भी इसी तरह के उदाहरणों को हल किया है? आपको याद है, क्योंकि हमारे पास पहले से ही कुछ ऐसा ही था ... हम दो वैक्टर के बीच के कोण की तलाश कर रहे थे। मैं आपको याद दिलाता हूं, यदि दो सदिश दिए गए हैं: और, तो उनके बीच का कोण संबंध से ज्ञात होता है:

अब हमारा एक लक्ष्य है - दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करना। आइए "सपाट चित्र" की ओर मुड़ें:

दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करने पर हमें कितने कोण प्राप्त होते हैं? पहले से ही चीजें। सच है, उनमें से केवल दो समान नहीं हैं, जबकि अन्य उनके लिए लंबवत हैं (और इसलिए उनके साथ मेल खाते हैं)। तो हमें दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण पर क्या विचार करना चाहिए: या? यहाँ नियम है: दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण हमेशा डिग्री से अधिक नहीं होता है. यानी हम हमेशा दो कोणों से सबसे छोटे डिग्री माप वाले कोण का चयन करेंगे। यानी इस चित्र में दोनों रेखाओं के बीच का कोण बराबर है। हर बार दो कोणों में से सबसे छोटा कोण खोजने की जहमत न उठाने के लिए, चालाक गणितज्ञों ने मॉड्यूल का उपयोग करने का सुझाव दिया। इस प्रकार, दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

एक चौकस पाठक के रूप में, आपके पास एक प्रश्न होना चाहिए था: वास्तव में, हमें ये वही संख्याएँ कहाँ से मिलती हैं जिनकी हमें कोण की कोसाइन की गणना करने की आवश्यकता होती है? उत्तर: हम इन्हें रेखाओं के दिशा सदिशों से लेंगे! इस प्रकार, दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

1. हम फॉर्मूला 1 लागू करते हैं।

या अधिक विस्तार से:

1. हम पहली सीधी रेखा के दिशा वेक्टर के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं
2. हम दूसरी पंक्ति के दिशा वेक्टर के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं
3. उनके अदिश उत्पाद के मापांक की गणना करें
4. हम पहले वेक्टर की लंबाई की तलाश कर रहे हैं
5. हम दूसरे वेक्टर की लंबाई की तलाश कर रहे हैं
6. बिंदु 4 के परिणामों को बिंदु 5 . के परिणामों से गुणा करें
7. हम बिंदु 3 के परिणाम को बिंदु 6 के परिणाम से विभाजित करते हैं। हमें रेखाओं के बीच के कोण का कोज्या प्राप्त होता है
8. यदि यह परिणाम हमें कोण की सटीक गणना करने की अनुमति देता है, तो हम इसे ढूंढते हैं
9. अन्यथा, हम आर्ककोसाइन के माध्यम से लिखते हैं

खैर, अब कार्यों पर आगे बढ़ने का समय है: मैं पहले दो के समाधान को विस्तार से प्रदर्शित करूंगा, मैं दूसरे के समाधान को संक्षेप में प्रस्तुत करूंगा, और मैं केवल अंतिम दो कार्यों के उत्तर दूंगा, आपको अवश्य करना चाहिए उनके लिए सभी गणना स्वयं करें।

कार्य:

1. दाएँ tet-ra-ed-re में, you-so-the tet-ra-ed-ra और me-di-a-noy bo-ko-how साइड के बीच का कोण खोजें।

2. राइट-फॉरवर्ड सिक्स-कोयला-पी-रा-मी-डी में, सौ-रो-ना-ओस-नो-वा-निया किसी तरह बराबर हैं, और साइड पसलियां बराबर हैं, सीधे के बीच का कोण खोजें लाइनें और।

3. दाहिने हाथ के चार-आप-रेच-कोयला-नोय पी-रा-मी-डाई के सभी किनारों की लंबाई एक दूसरे के बराबर है। सीधी रेखाओं के बीच के कोण का पता लगाएं और यदि फ्रॉम-रे-ज़ोक - यू-सो-दैट दिया गया पी-रा-मी-डाई, बिंदु से-रे-दी-ऑन उसकी बो-को-थ रिब है

4. घन के किनारे पर से-मी-चे-एक बिंदु तक ताकि सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करें और

5. बिंदु - घन के किनारों पर से-री-दी-नई-दी-ते सीधी रेखाओं के बीच का कोण और।

यह कोई संयोग नहीं है कि मैंने कार्यों को इस क्रम में रखा। जबकि आपके पास अभी तक समन्वय विधि को नेविगेट करने का समय नहीं है, मैं स्वयं सबसे "समस्याग्रस्त" आंकड़ों का विश्लेषण करूंगा, और मैं आपको सबसे सरल घन से निपटने के लिए छोड़ दूंगा! धीरे-धीरे आपको सीखना होगा कि सभी आंकड़ों के साथ कैसे काम करना है, मैं कार्यों की जटिलता को विषय से विषय तक बढ़ाऊंगा।

आइए समस्याओं को हल करना शुरू करें:

1. एक चतुष्फलक खींचिए, इसे निर्देशांक तंत्र में रखिए जैसा कि मैंने पहले सुझाया था। चूँकि चतुष्फलक नियमित है, तो इसके सभी फलक (आधार सहित) सम त्रिभुज हैं। चूँकि हमें भुजा की लंबाई नहीं दी गई है, मैं इसे बराबर ले सकता हूँ। मुझे लगता है कि आप समझते हैं कि कोण वास्तव में इस बात पर निर्भर नहीं करेगा कि हमारा टेट्राहेड्रोन कितना "फैला हुआ" होगा? मैं चतुष्फलक में ऊँचाई और माध्यिका भी बनाऊँगा। रास्ते में, मैं इसका आधार बनाऊंगा (यह हमारे काम भी आएगा)।

मुझे और के बीच के कोण को खोजने की जरूरत है। हम क्या जानते हैं? हम केवल बिंदु के निर्देशांक को जानते हैं। इसलिए, हमें बिंदुओं के अधिक निर्देशांक खोजने की आवश्यकता है। अब हम सोचते हैं: एक बिंदु एक त्रिभुज की ऊंचाइयों (या द्विभाजक या माध्यिका) का प्रतिच्छेदन बिंदु है। एक बिंदु एक ऊंचा बिंदु है। बिंदु खंड का मध्यबिंदु है। फिर अंत में हमें खोजने की जरूरत है: बिंदुओं के निर्देशांक:।

आइए सबसे सरल से शुरू करें: बिंदु निर्देशांक। आकृति को देखें: यह स्पष्ट है कि एक बिंदु का अनुप्रयोग शून्य के बराबर है (बिंदु एक समतल पर स्थित है)। इसकी कोटि बराबर है (क्योंकि यह माध्यिका है)। इसका भुज खोजना अधिक कठिन है। हालाँकि, यह पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर आसानी से किया जाता है: एक त्रिभुज पर विचार करें। इसका कर्ण बराबर है, और एक पैर बराबर है तो:

अंत में हमारे पास है:

आइए अब बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें। यह स्पष्ट है कि इसका अनुप्रयोग फिर से शून्य के बराबर है, और इसकी कोटि एक बिंदु के समान है, अर्थात। आइए इसका भुज ज्ञात करें। यह बहुत मामूली रूप से किया जाता है यदि कोई याद रखता है कि एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाइयों को प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा अनुपात में विभाजित किया जाता हैऊपर से गिनती। चूँकि:, तब बिंदु का वांछित भुज, खंड की लंबाई के बराबर, बराबर होता है:। इस प्रकार, बिंदु के निर्देशांक हैं:

आइए बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें। यह स्पष्ट है कि इसका भुज और कोटि बिंदु के भुज और कोटि से मेल खाते हैं। और पिपली खंड की लंबाई के बराबर है। - यह त्रिभुज के पैरों में से एक है। एक त्रिभुज का कर्ण एक खंड है - एक पैर। यह उन कारणों के लिए खोजा गया है जिन्हें मैंने बोल्ड में हाइलाइट किया है:

बिंदु खंड का मध्यबिंदु है। फिर हमें खंड के मध्य के निर्देशांक के सूत्र को याद रखने की आवश्यकता है:

यही है, अब हम दिशा वैक्टर के निर्देशांक देख सकते हैं:

खैर, सब कुछ तैयार है: हम सभी डेटा को सूत्र में बदलते हैं:

इस तरह,

उत्तर:

आपको ऐसे "भयानक" उत्तरों से डरना नहीं चाहिए: समस्याओं के लिए C2 यह एक सामान्य अभ्यास है। मुझे इस भाग में "सुंदर" उत्तर से आश्चर्य होगा। साथ ही, जैसा कि आपने नोट किया, मैंने व्यावहारिक रूप से पाइथागोरस प्रमेय और एक समबाहु त्रिभुज की ऊंचाइयों की संपत्ति के अलावा किसी और चीज का सहारा नहीं लिया। यानी स्टीरियोमेट्रिक समस्या को हल करने के लिए, मैंने बहुत कम से कम स्टीरियोमेट्री का इस्तेमाल किया। इसमें लाभ आंशिक रूप से बोझिल गणनाओं द्वारा "बुझा हुआ" है। लेकिन वे काफी एल्गोरिथम हैं!

2. समन्वय प्रणाली के साथ-साथ उसके आधार के साथ एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड बनाएं:

हमें रेखाओं और के बीच का कोण ज्ञात करना है। इस प्रकार, हमारा कार्य बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के लिए कम हो गया है: . हम छोटे आरेखण से अंतिम तीन के निर्देशांक पाएंगे, और हम बिंदु के निर्देशांक के माध्यम से शीर्ष के निर्देशांक पाएंगे। काम बहुत है, लेकिन शुरुआत करनी होगी!

a) निर्देशांक: यह स्पष्ट है कि इसका अनुप्रयुक्त और कोटि शून्य है। आइए एब्सिस्सा का पता लगाएं। ऐसा करने के लिए, एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें। काश, इसमें हम केवल कर्ण को ही जानते हैं, जो किसके बराबर होता है। हम पैर को खोजने की कोशिश करेंगे (क्योंकि यह स्पष्ट है कि पैर की लंबाई का दोगुना हमें बिंदु का भुज देगा)। हम उसकी तलाश कैसे कर सकते हैं? आइए याद करें कि पिरामिड के आधार पर हमारे पास किस प्रकार की आकृति है? यह एक नियमित षट्भुज है। इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि सभी पक्ष और सभी कोण बराबर हैं। हमें ऐसा ही एक कोना खोजने की जरूरत है। कोई विचार? बहुत सारे विचार हैं, लेकिन एक सूत्र है:

एक नियमित n-gon के कोणों का योग होता है .

इस प्रकार, एक नियमित षट्भुज के कोणों का योग डिग्री है। तब प्रत्येक कोण बराबर होता है:

आइए तस्वीर को फिर से देखें। यह स्पष्ट है कि खंड कोण का समद्विभाजक है। फिर कोण डिग्री है। फिर:

फिर कहाँ।

तो इसके निर्देशांक हैं

b) अब हम आसानी से बिंदु का निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं: .

ग) बिंदु के निर्देशांक खोजें। चूँकि इसका भुज खंड की लंबाई के साथ मेल खाता है, यह बराबर है। कोटि ज्ञात करना भी बहुत कठिन नहीं है: यदि हम बिंदुओं को जोड़ते हैं और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को निरूपित करते हैं, तो मान लीजिए। (इसे स्वयं सरल निर्माण करें)। तब इस प्रकार, बिंदु B की कोटि खण्डों की लंबाई के योग के बराबर होती है। आइए फिर से त्रिभुज को देखें। फिर

तब से तब से बिंदु के निर्देशांक हैं

d) अब बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। एक आयत पर विचार करें और सिद्ध करें कि इस प्रकार, बिंदु के निर्देशांक हैं:

ई) यह शीर्ष के निर्देशांक खोजने के लिए बनी हुई है। यह स्पष्ट है कि इसका भुज और कोटि बिंदु के भुज और कोटि से मेल खाते हैं। आइए एक ऐप ढूंढते हैं। तब से। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें। समस्या की स्थिति से, पार्श्व किनारे। यह मेरे त्रिभुज का कर्ण है। तब पिरामिड की ऊंचाई पैर है।

फिर बिंदु के निर्देशांक हैं:

बस इतना ही, मेरे पास रुचि के सभी बिंदुओं के निर्देशांक हैं। मैं सीधी रेखाओं के निर्देशन वैक्टर के निर्देशांक की तलाश में हूं:

हम इन वैक्टरों के बीच के कोण की तलाश कर रहे हैं:

उत्तर:

फिर से, इस समस्या को हल करते समय, मैंने किसी भी परिष्कृत तरकीब का उपयोग नहीं किया, सिवाय एक नियमित एन-गॉन के कोणों के योग के सूत्र के अलावा, साथ ही एक समकोण त्रिभुज की कोसाइन और साइन की परिभाषा के अलावा।

3. चूंकि हमें फिर से पिरामिड में किनारों की लंबाई नहीं दी गई है, मैं उन्हें एक के बराबर मानूंगा। इस प्रकार, चूंकि सभी किनारे, और न केवल पक्ष वाले, एक दूसरे के बराबर हैं, तो पिरामिड और मी के आधार पर एक वर्ग है, और पार्श्व फलक नियमित त्रिकोण हैं। आइए समस्या के पाठ में दिए गए सभी डेटा को चिह्नित करते हुए, इस तरह के एक पिरामिड के साथ-साथ एक विमान पर इसके आधार को चित्रित करें:

हम और के बीच के कोण की तलाश कर रहे हैं। जब मैं बिंदुओं के निर्देशांक की तलाश कर रहा हूँ तो मैं बहुत संक्षिप्त गणना करूँगा। आपको उन्हें "डिक्रिप्ट" करने की आवश्यकता होगी:

बी) - खंड के मध्य। उसके निर्देशांक:

ग) मैं एक त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके खंड की लंबाई ज्ञात करूंगा। मैं पाइथागोरस प्रमेय द्वारा एक त्रिभुज में खोजूंगा।

निर्देशांक:

d) - खंड के मध्य में। इसके निर्देशांक हैं

ई) वेक्टर निर्देशांक

च) वेक्टर निर्देशांक

छ) एक कोण की तलाश में:

घन सबसे सरल आकृति है। मुझे यकीन है कि आप इसे अपने आप समझ सकते हैं। प्रश्न 4 और 5 के उत्तर इस प्रकार हैं:

एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण ज्ञात करना

खैर, सरल पहेलियों का समय समाप्त हो गया है! अब उदाहरण और भी कठिन होंगे। एक रेखा और एक तल के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए, हम इस प्रकार आगे बढ़ेंगे:

1. तीन बिंदुओं का उपयोग करके, हम समतल का समीकरण बनाते हैं
   ,
   तीसरे क्रम के निर्धारक का उपयोग करना।
2. दो बिंदुओं से हम सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं:
3. हम एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच के कोण की गणना करने के लिए सूत्र लागू करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सूत्र उस सूत्र से बहुत मिलता-जुलता है जिसका उपयोग हम दो रेखाओं के बीच के कोणों को खोजने के लिए करते थे। दाईं ओर की संरचना बिल्कुल वैसी ही है, और बाईं ओर अब हम पहले की तरह एक ज्या की तलाश कर रहे हैं, न कि कोसाइन की। खैर, एक बुरा कार्य जोड़ा गया - विमान के समीकरण की खोज।

चलो ठंडे बस्ते में न डालें उदाहरण हल करना:

1. ओस-नो-वा-नी-एम सीधे-मेरा पुरस्कार-हम हैं-ला-एट-ज़िया बराबर-लेकिन-गरीब-रेन-एन त्रिकोण-निक यू-विद-दैट पुरस्कार-हम बराबर हैं। सीधी रेखा और समतल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

2. एक आयताकार pa-ral-le-le-pi-pe-de में पश्चिम Nai-di-te से सीधी रेखा और समतल के बीच का कोण

3. दाहिने हाथ के छह-कोयला प्रिज्म में, सभी किनारे बराबर होते हैं। सीधी रेखा और समतल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

4. दाएं त्रिकोणीय pi-ra-mi-de में os-but-va-ni-em के साथ पसली Nai-di-te कोण के पश्चिम से, os का ob-ra-zo-van -ny समतल -नो-वा-निया और स्ट्रेट-माय, पसलियों के से-रे-दी-ना से गुजरते हुए और

5. शीर्ष के साथ दाहिने चतुर्भुज pi-ra-mi-dy के सभी किनारों की लंबाई एक दूसरे के बराबर है। यदि बिंदु pi-ra-mi-dy के bo-ko-in-th किनारे पर se-re-di-on है, तो सीधी रेखा और समतल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

दोबारा, मैं पहली दो समस्याओं को विस्तार से हल करूंगा, तीसरा - संक्षेप में, और मैं आपके लिए अंतिम दो को आपके लिए हल करने के लिए छोड़ देता हूं। इसके अलावा, आपको पहले से ही त्रिकोणीय और चतुर्भुज पिरामिड से निपटना था, लेकिन अभी तक प्रिज्म से नहीं।

समाधान:

1. एक प्रिज्म और उसका आधार भी बनाइए। आइए इसे समन्वय प्रणाली के साथ जोड़ते हैं और समस्या विवरण में दिए गए सभी डेटा को चिह्नित करते हैं:

कुछ अनुपातों का पालन न करने के लिए मैं क्षमा चाहता हूं, लेकिन समस्या को हल करने के लिए यह वास्तव में इतना महत्वपूर्ण नहीं है। विमान मेरे प्रिज्म की सिर्फ "पिछली दीवार" है। यह केवल अनुमान लगाने के लिए पर्याप्त है कि ऐसे विमान के समीकरण का रूप है:

हालाँकि, इसे सीधे भी दिखाया जा सकता है:

हम इस तल पर मनमाना तीन बिंदु चुनते हैं: उदाहरण के लिए, .

आइए विमान का समीकरण बनाएं:

आपके लिए व्यायाम: इस निर्धारक की गणना स्वयं करें। क्या आप सफल हुए? तब समतल के समीकरण का रूप है:

या केवल

इस तरह,

उदाहरण को हल करने के लिए, मुझे सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक खोजने होंगे। चूंकि बिंदु मूल के साथ मेल खाता है, वेक्टर के निर्देशांक बस बिंदु के निर्देशांक के साथ मेल खाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पहले बिंदु के निर्देशांक पाते हैं।

ऐसा करने के लिए, एक त्रिकोण पर विचार करें। आइए ऊपर से एक ऊँचाई (यह एक माध्यिका और एक समद्विभाजक भी है) खींचते हैं। चूँकि, तब बिंदु की कोटि बराबर होती है। इस बिंदु का भुज ज्ञात करने के लिए, हमें खंड की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा हमारे पास है:

फिर बिंदु के निर्देशांक हैं:

एक बिंदु एक बिंदु पर "उठाया" है:

फिर वेक्टर के निर्देशांक:

उत्तर:

जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसी समस्याओं को हल करने में मौलिक रूप से कुछ भी मुश्किल नहीं है। वास्तव में, प्रिज्म जैसी आकृति का "सीधापन" प्रक्रिया को थोड़ा और सरल करता है। अब अगले उदाहरण पर चलते हैं:

2. हम एक समानांतर चतुर्भुज खींचते हैं, इसमें एक विमान और एक सीधी रेखा खींचते हैं, और अलग से इसका निचला आधार भी खींचते हैं:

सबसे पहले, हम विमान का समीकरण पाते हैं: इसमें स्थित तीन बिंदुओं के निर्देशांक:

(पहले दो निर्देशांक एक स्पष्ट तरीके से प्राप्त किए जाते हैं, और आप बिंदु से चित्र से अंतिम निर्देशांक आसानी से पा सकते हैं)। फिर हम विमान के समीकरण की रचना करते हैं:

हम गणना करते हैं:

हम दिशा वेक्टर के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं: यह स्पष्ट है कि इसके निर्देशांक बिंदु के निर्देशांक के साथ मेल खाते हैं, है ना? निर्देशांक कैसे खोजें? ये बिंदु के निर्देशांक हैं, जो अनुप्रयुक्त अक्ष के साथ एक द्वारा उठाए गए हैं! . फिर हम वांछित कोण की तलाश कर रहे हैं:

उत्तर:

3. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड बनाएं, और फिर उसमें एक समतल और एक सीधी रेखा खींचे।

यहाँ एक विमान खींचना भी समस्याग्रस्त है, इस समस्या के समाधान का उल्लेख नहीं करना, लेकिन समन्वय विधि की परवाह नहीं है! इसकी बहुमुखी प्रतिभा में इसका मुख्य लाभ निहित है!

विमान तीन बिंदुओं से होकर गुजरता है: . हम उनके निर्देशांक ढूंढ रहे हैं:

एक) । अंतिम दो बिंदुओं के निर्देशांक स्वयं प्रदर्शित करें। इसके लिए आपको हेक्सागोनल पिरामिड के साथ समस्या को हल करना होगा!

2) हम समतल का समीकरण बनाते हैं:

हम वेक्टर के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं:। (त्रिकोणीय पिरामिड समस्या फिर से देखें!)

3) हम एक कोण की तलाश कर रहे हैं:

उत्तर:

जैसा कि आप देख सकते हैं, इन कार्यों में अलौकिक रूप से कठिन कुछ भी नहीं है। आपको बस जड़ों से बहुत सावधान रहने की जरूरत है। अंतिम दो समस्याओं के लिए, मैं केवल उत्तर दूंगा:

जैसा कि आप देख सकते हैं, समस्याओं को हल करने की तकनीक हर जगह समान है: मुख्य कार्य कोने के निर्देशांक ढूंढना और उन्हें कुछ सूत्रों में बदलना है। कोणों की गणना के लिए समस्याओं के एक और वर्ग पर विचार करना हमारे लिए बाकी है, अर्थात्:

दो तलों के बीच कोणों की गणना

समाधान एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:

1. तीन बिंदुओं के लिए हम पहले विमान के समीकरण की तलाश कर रहे हैं:
2. अन्य तीन बिंदुओं के लिए, हम दूसरे तल के समीकरण की तलाश कर रहे हैं:
3. हम सूत्र लागू करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सूत्र पिछले दो से काफी मिलता-जुलता है, जिसकी मदद से हम सीधी रेखाओं के बीच और एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच के कोणों की तलाश कर रहे थे। तो इसे याद रखना आपके लिए मुश्किल नहीं होगा। आइए सीधे समस्या में कूदें:

1. एक सौ-आरओ-ओन के आधार पर सही त्रिकोणीय प्रिज्म बराबर है, और साइड फेस का डाय-गो-नल बराबर है। पुरस्कार के आधार के तल और तल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

2. राइट-फॉरवर्ड फोर-यू-री-कोल-नोय पी-रा-मी-डी में, किसी के सभी किनारे बराबर हैं, विमान और विमान को-स्टू के बीच के कोण की साइन का पता लगाएं, जो गुजर रहा है प्रति-पेन-दी-कु-लाइर-लेकिन सीधे-मेरी की बात।

3. एक नियमित चार-कोयला प्रिज्म में, os-no-va-nia की भुजाएँ समान होती हैं, और भुजाएँ समान होती हैं। मैं-चे-से-किनारे के किनारे पर ताकि। विमानों और के बीच के कोण का पता लगाएं

4. सम चतुर्भुज प्रिज्म में, आधारों की भुजाएँ समान होती हैं, और भुजाएँ समान होती हैं। किनारे से-मी-चे-एक बिंदु तक ताकि विमानों के बीच के कोण का पता लगाएं और।

5. घन में, तलों और के बीच के कोण का सह-si-nus ज्ञात कीजिए

समस्या समाधान:

1. मैं एक नियमित (आधार पर - एक समबाहु त्रिभुज) त्रिकोणीय प्रिज्म बनाता हूं और उस पर समस्या की स्थिति में दिखाई देने वाले विमानों को चिह्नित करता हूं:

हमें दो विमानों के समीकरणों को खोजने की जरूरत है: आधार समीकरण तुच्छ रूप से प्राप्त किया जाता है: आप तीन बिंदुओं के लिए संबंधित निर्धारक बना सकते हैं, लेकिन मैं तुरंत समीकरण बनाउंगा:

अब आइए समीकरण खोजें बिंदु के निर्देशांक हैं बिंदु - चूँकि - माध्यिका और त्रिभुज की ऊँचाई, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा त्रिभुज में खोजना आसान है। तब बिंदु के निर्देशांक होते हैं: बिंदु का अनुप्रयोग खोजें ऐसा करने के लिए, एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें

तब हमें निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त होते हैं: हम समतल के समीकरण की रचना करते हैं।

हम विमानों के बीच के कोण की गणना करते हैं:

उत्तर:

2. एक चित्र बनाना:

सबसे कठिन बात यह समझना है कि यह किस तरह का रहस्यमय विमान है, जो एक बिंदु से लंबवत होकर गुजरता है। खैर, मुख्य बात यह है कि यह क्या है? मुख्य बात सावधानी है! दरअसल, रेखा लंबवत है। रेखा भी लंबवत है। तब इन दो रेखाओं से गुजरने वाला तल रेखा के लंबवत होगा, और, वैसे, बिंदु से होकर गुजरेगा। यह समतल पिरामिड के शीर्ष से भी गुजरता है। फिर वांछित विमान - और विमान हमें पहले ही दिया जा चुका है। हम बिंदुओं के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं।

हम बिंदु के माध्यम से बिंदु का निर्देशांक पाते हैं। एक छोटे से चित्र से यह निष्कर्ष निकालना आसान है कि बिंदु के निर्देशांक इस प्रकार होंगे: पिरामिड के शीर्ष के निर्देशांक खोजने के लिए अब क्या खोजना बाकी है? अभी भी इसकी ऊंचाई की गणना करने की जरूरत है। यह उसी पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके किया जाता है: पहले, साबित करें कि (आधार पर एक वर्ग बनाने वाले छोटे त्रिकोणों से)। चूंकि शर्त के अनुसार, हमारे पास है:

अब सब कुछ तैयार है: शीर्ष निर्देशांक:

हम विमान के समीकरण की रचना करते हैं:

आप पहले से ही निर्धारकों की गणना के विशेषज्ञ हैं। आप आसानी से प्राप्त करेंगे:

या अन्यथा (यदि हम दोनों भागों को दो के मूल से गुणा करें)

आइए अब समतल का समीकरण ज्ञात करें:

(आप यह नहीं भूले कि हम विमान का समीकरण कैसे प्राप्त करते हैं, ठीक है? यदि आप यह नहीं समझते हैं कि यह ऋण कहाँ से आया है, तो विमान के समीकरण की परिभाषा पर वापस जाएँ! यह हमेशा निकला कि मेरा विमान मूल के थे!)

हम निर्धारक की गणना करते हैं:

(आप देख सकते हैं कि समतल का समीकरण बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण से मेल खाता है और सोचिए क्यों!)

अब हम कोण की गणना करते हैं:

हमें साइन खोजने की जरूरत है:

उत्तर:

3. एक पेचीदा सवाल: आयताकार प्रिज्म क्या है, आप क्या सोचते हैं? यह आपके लिए एक प्रसिद्ध समानांतर चतुर्भुज है! तुरंत ड्राइंग! आप आधार को अलग से चित्रित भी नहीं कर सकते, यहाँ इसका बहुत कम उपयोग है:

समतल, जैसा कि हमने पहले देखा, एक समीकरण के रूप में लिखा गया है:

अब हम एक विमान बनाते हैं

हम तुरंत विमान के समीकरण की रचना करते हैं:

एक कोण की तलाश में

अब अंतिम दो समस्याओं के उत्तर:

खैर, अब ब्रेक लेने का समय है, क्योंकि आप और मैं महान हैं और आपने बहुत अच्छा काम किया है!

निर्देशांक और वैक्टर। अग्रवर्ती स्तर

इस लेख में, हम आपके साथ एक अन्य वर्ग की समस्याओं पर चर्चा करेंगे जिन्हें समन्वय विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है: दूरी की समस्याएं। अर्थात्, हम निम्नलिखित मामलों पर विचार करेंगे:

1. तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी की गणना।

मैंने दिए गए कार्यों का आदेश दिया है क्योंकि उनकी जटिलता बढ़ जाती है। खोजना सबसे आसान है विमान दूरी के लिए बिंदुऔर सबसे कठिन हिस्सा ढूंढ रहा है प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी. हालाँकि, निश्चित रूप से, कुछ भी असंभव नहीं है! आइए विलंब न करें और समस्याओं के प्रथम वर्ग पर विचार करने के लिए तुरंत आगे बढ़ें:

एक बिंदु से एक विमान की दूरी की गणना

इस समस्या को हल करने के लिए हमें क्या चाहिए?

1. बिंदु निर्देशांक

इसलिए, जैसे ही हमें सभी आवश्यक डेटा मिलते हैं, हम सूत्र लागू करते हैं:

आपको पहले से ही पता होना चाहिए कि हम पिछली समस्याओं से विमान के समीकरण का निर्माण कैसे करते हैं जिसका मैंने पिछले भाग में विश्लेषण किया था। चलो तुरंत व्यापार के लिए नीचे उतरें। योजना इस प्रकार है: 1, 2 - मैं आपको निर्णय लेने में मदद करता हूं, और कुछ विस्तार से, 3, 4 - केवल उत्तर, आप स्वयं निर्णय लें और तुलना करें। शुरू किया गया!

कार्य:

1. एक घन दिया है। घन के किनारे की लंबाई है कट से फ्लैट तक se-re-di-ny से ढूँढें-दी-ते दूरी

2. द राइट-विल-नया फोर-यू-रेख-कोयला-नया पि-रा-मी-दा बो-को-वो एज सौ-रो-ऑन द ओएस-नो-वा-निया बराबर है। ढूँढें-दी-वे एक बिंदु से एक विमान तक की दूरी जहां - किनारों पर से-रे-दी-।

3. दाहिने त्रिकोणीय pi-ra-mi-de में os-but-va-ni-em के साथ, दूसरा किनारा बराबर है, और एक सौ-ro-on os-no-va-niya बराबर है। ढूँढें-दी-वे ऊपर से विमान तक की दूरी।

4. दाहिने हाथ के छह-कोयला प्रिज्म में, सभी किनारे बराबर होते हैं। ढूँढें-दी-वे एक बिंदु से एक विमान तक की दूरी।

समाधान:

1. एकल किनारों वाला एक घन बनाएं, एक खंड और एक तल बनाएं, खंड के मध्य को अक्षर द्वारा निरूपित करें

.

सबसे पहले, आइए एक आसान से शुरू करें: एक बिंदु के निर्देशांक खोजें। तब से (खंड के मध्य के निर्देशांक याद रखें!)

अब हम तीन बिंदुओं पर समतल का समीकरण बनाते हैं

\[\बाएं| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

अब मैं दूरी खोजना शुरू कर सकता हूं:

2. हम फिर से एक ड्राइंग के साथ शुरू करते हैं, जिस पर हम सभी डेटा को चिह्नित करते हैं!

एक पिरामिड के लिए उसका आधार अलग से खींचना उपयोगी होगा।

यहां तक ​​​​कि तथ्य यह है कि मैं एक चिकन पंजा की तरह आकर्षित करता हूं, हमें इस समस्या को आसानी से हल करने से नहीं रोकेगा!

अब एक बिंदु के निर्देशांक खोजना आसान है

बिंदु के निर्देशांक के बाद से

2. चूँकि बिंदु a के निर्देशांक खंड के मध्य में हैं, तो

हम समतल पर दो और बिंदुओं के निर्देशांक आसानी से प्राप्त कर सकते हैं। हम समतल के समीकरण की रचना करते हैं और इसे सरल करते हैं:

\[\बाएं| (\ बाएँ | (\ start (सरणी) (*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

चूंकि बिंदु में निर्देशांक हैं: , तो हम दूरी की गणना करते हैं:

उत्तर (बहुत दुर्लभ!):

अच्छा, समझे? मुझे ऐसा लगता है कि यहां सब कुछ उतना ही तकनीकी है जितना कि उदाहरणों में हमने पिछले भाग में आपके साथ विचार किया था। तो मुझे यकीन है कि अगर आपने उस सामग्री में महारत हासिल कर ली है, तो आपके लिए बाकी दो समस्याओं को हल करना मुश्किल नहीं होगा। मैं आपको केवल उत्तर दूंगा:

एक रेखा से एक समतल की दूरी की गणना करना

दरअसल, यहां कुछ भी नया नहीं है। एक रेखा और एक तल एक दूसरे के सापेक्ष कैसे स्थित हो सकते हैं? उनके पास सभी संभावनाएं हैं: प्रतिच्छेद करना, या एक सीधी रेखा समतल के समानांतर है। आपके विचार में उस रेखा से उस तल की दूरी क्या है जिससे दी गई रेखा प्रतिच्छेद करती है? मुझे ऐसा लगता है कि यह स्पष्ट है कि इतनी दूरी शून्य के बराबर है। दिलचस्प मामला।

दूसरा मामला पेचीदा है: यहाँ दूरी पहले से ही शून्य है। हालाँकि, चूंकि रेखा समतल के समानांतर है, इसलिए रेखा का प्रत्येक बिंदु इस तल से समान दूरी पर है:

इस तरह:

और इसका मतलब है कि मेरा कार्य पिछले एक में कम हो गया है: हम रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं, हम विमान के समीकरण की तलाश कर रहे हैं, हम बिंदु से विमान की दूरी की गणना करते हैं। वास्तव में, परीक्षा में ऐसे कार्य अत्यंत दुर्लभ हैं। मैं केवल एक समस्या खोजने में कामयाब रहा, और इसमें डेटा ऐसा था कि समन्वय विधि उस पर बहुत लागू नहीं थी!

अब आइए समस्याओं के एक और अधिक महत्वपूर्ण वर्ग की ओर बढ़ते हैं:

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी की गणना करना

हमें क्या चाहिए होगा?

1. जिस बिंदु से हम दूरी की तलाश कर रहे हैं उसके निर्देशांक:

2. एक सीधी रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक

3. सीधी रेखा के दिशा सदिश निर्देशांक

हम किस सूत्र का उपयोग करते हैं?

इस भिन्न का हर आपके लिए क्या मायने रखता है और इसलिए यह स्पष्ट होना चाहिए: यह सीधी रेखा के निर्देशन सदिश की लंबाई है। यहाँ एक बहुत ही पेचीदा अंश है! अभिव्यक्ति का अर्थ है वैक्टर के वेक्टर उत्पाद का मॉड्यूल (लंबाई) और वेक्टर उत्पाद की गणना कैसे करें, हमने काम के पिछले भाग में अध्ययन किया। अपने ज्ञान को ताज़ा करें, यह अब हमारे लिए बहुत उपयोगी होगा!

इस प्रकार, समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:

1. हम उस बिंदु के निर्देशांक ढूंढ रहे हैं जहां से हम दूरी की तलाश कर रहे हैं:

2. हम उस रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक ढूंढ रहे हैं जिससे हम दूरी की तलाश कर रहे हैं:

3. एक वेक्टर का निर्माण

4. हम सीधी रेखा के दिशा सदिश का निर्माण करते हैं

5. क्रॉस उत्पाद की गणना करें

6. हम परिणामी वेक्टर की लंबाई की तलाश कर रहे हैं:

7. दूरी की गणना करें:

हमारे पास बहुत काम है, और उदाहरण काफी जटिल होंगे! तो अब अपना सारा ध्यान केंद्रित करें!

1. दाना एक दाहिने हाथ का त्रिकोणीय pi-ra-mi-da एक शीर्ष के साथ है। ऑस-नो-वा-निया पी-रा-मी-डाई पर एक सौ-रो-ओ बराबर है, आप-तो-ता बराबर है। बो-को-वें किनारे के से-री-दी-नी से सीधी रेखा तक की उन दूरियों का पता लगाएं, जहां बिंदु और पसलियों के से-रे-दी-नी और सह-पशु चिकित्सक हैं -स्टीवन-लेकिन।

2. पसलियों की लंबाई और समकोण-नो-पैरा-राल-ले-पी-पे-दा क्रमशः बराबर हैं, और टॉप-शि-एन से स्ट्रेट-माय तक की दूरी खोजें

3. दाहिने छह-कोयला प्रिज्म में, झुंड के सभी किनारे समान होते हैं find-di-एक बिंदु से एक सीधी रेखा तक की दूरी

समाधान:

1. हम एक साफ-सुथरी ड्राइंग बनाते हैं, जिस पर हम सभी डेटा को चिह्नित करते हैं:

हमारे पास आपके लिए बहुत काम है! मैं सबसे पहले शब्दों में वर्णन करना चाहूंगा कि हम क्या देखेंगे और किस क्रम में:

1. बिंदुओं के निर्देशांक और

2. बिंदु निर्देशांक

3. बिंदुओं के निर्देशांक और

4. सदिशों के निर्देशांक और

5. उनका क्रॉस उत्पाद

6. वेक्टर लंबाई

7. वेक्टर उत्पाद की लंबाई

8. से दूरी

खैर, हमें बहुत काम करना है! चलो अपनी आस्तीन ऊपर करो!

1. पिरामिड की ऊंचाई के निर्देशांक खोजने के लिए, हमें बिंदु के निर्देशांक जानने की जरूरत है। इसका अनुप्रयोग शून्य है, और कोटि इसके भुज के बराबर है। अंत में, हमें निर्देशांक मिले:

बिंदु निर्देशांक

2. - खंड के मध्य

3. - खंड के मध्य

मध्य

4. निर्देशांक

वेक्टर निर्देशांक

5. वेक्टर उत्पाद की गणना करें:

6. वेक्टर की लंबाई: सबसे आसान तरीका यह है कि यह खंड त्रिभुज की मध्य रेखा है, जिसका अर्थ है कि यह आधा आधार के बराबर है। ताकि।

7. हम वेक्टर उत्पाद की लंबाई पर विचार करते हैं:

8. अंत में, दूरी ज्ञात कीजिए:

ओह, बस इतना ही! ईमानदारी से, मैं आपको बताऊंगा: पारंपरिक तरीकों (निर्माणों के माध्यम से) द्वारा इस समस्या को हल करना बहुत तेज़ होगा। लेकिन यहाँ मैंने सब कुछ एक तैयार एल्गोरिथम में घटा दिया! मुझे लगता है कि समाधान एल्गोरिदम आपके लिए स्पष्ट है? इसलिए, मैं आपसे शेष दो समस्याओं को स्वयं हल करने के लिए कहूंगा। उत्तरों की तुलना करें?

फिर से, मैं दोहराता हूं: समन्वय पद्धति का सहारा लेने के बजाय, निर्माण के माध्यम से इन समस्याओं को हल करना आसान (तेज) है। मैंने केवल आपको एक सार्वभौमिक विधि दिखाने के लिए हल करने के इस तरीके का प्रदर्शन किया जो आपको "कुछ भी खत्म न करने" की अनुमति देता है।

अंत में, समस्याओं के अंतिम वर्ग पर विचार करें:

तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी की गणना

यहां समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म पिछले एक के समान होगा। हमारे पास क्या है:

3. पहली और दूसरी पंक्तियों के बिंदुओं को जोड़ने वाला कोई सदिश:

हम रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करते हैं?

सूत्र है:

अंश मिश्रित उत्पाद का मॉड्यूल है (हमने इसे पिछले भाग में पेश किया था), और भाजक पिछले सूत्र के समान है (रेखाओं के निर्देशन वैक्टर के वेक्टर उत्पाद का मॉड्यूल, जिसके बीच की दूरी हम की तलाश में)।

मैं आपको याद दिलाऊंगा कि

फिर दूरी सूत्र को फिर से लिखा जा सकता है:

इस सारणिक को सारणिक से विभाजित करें! हालांकि, ईमानदार होने के लिए, मैं यहाँ चुटकुलों के मूड में नहीं हूँ! यह सूत्र, वास्तव में, बहुत बोझिल है और जटिल गणनाओं की ओर ले जाता है। अगर मैं तुम होते, तो मैं इसे केवल अंतिम उपाय के रूप में उपयोग करता!

आइए उपरोक्त विधि का उपयोग करके कुछ समस्याओं को हल करने का प्रयास करें:

1. दायीं त्रिभुजाकार प्रिज्म में, सभी किनारे किसी न किसी तरह बराबर हैं, सीधी रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए और।

2. एक दायीं ओर के आकार के त्रिकोणीय प्रिज्म को देखते हुए, किसी के ओएस-नो-वा-निया के सभी किनारे से-चे-टियन के बराबर होते हैं, दूसरी पसली से गुजरते हुए और से-रे-दी-नु पसली होते हैं यव-ला-एट-स्या स्क्वायर-रा-टॉम। स्ट्रेट-वी-मील और . के बीच फाइंड-दी-ते डिस-स्टो-आई-नी

मैं पहले का फैसला करता हूं, और उसके आधार पर आप दूसरा तय करते हैं!

1. मैं एक प्रिज्म बनाता हूँ और रेखाएँ अंकित करता हूँ और

बिंदु C निर्देशांक: तब

बिंदु निर्देशांक

वेक्टर निर्देशांक

बिंदु निर्देशांक

वेक्टर निर्देशांक

वेक्टर निर्देशांक

\[\बाएं((बी,\ओवरराइटएरो (ए(ए_1)) \ओवरराइटएरो (बी(सी_1))) \दाएं) = \बाएं| (\ start(array)(*(20)(l))(\ start(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\ start(array)(*(20) (सी))0&0&1\end(सरणी))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\अंत(सरणी))\अंत(सरणी)) \दाएं| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

हम वैक्टर और के बीच क्रॉस उत्पाद पर विचार करते हैं

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \बाएं| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\ start(array) )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\ start(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

अब हम इसकी लंबाई पर विचार करते हैं:

उत्तर:

अब दूसरे कार्य को ध्यान से पूरा करने का प्रयास करें। इसका उत्तर होगा:.

निर्देशांक और वैक्टर। संक्षिप्त विवरण और बुनियादी सूत्र

एक वेक्टर एक निर्देशित खंड है। - वेक्टर की शुरुआत, - वेक्टर का अंत।
वेक्टर को या द्वारा दर्शाया जाता है।

निरपेक्ष मूल्यवेक्टर - वेक्टर का प्रतिनिधित्व करने वाले खंड की लंबाई। के रूप में नामित।

वेक्टर निर्देशांक:

,
सदिश \displaystyle a के सिरे कहां हैं।

वैक्टर का योग:।

वैक्टर का उत्पाद:

वैक्टर का डॉट उत्पाद:

सदिशों का अदिश गुणन उनके निरपेक्ष मानों के गुणनफल और उनके बीच के कोण की कोज्या के बराबर होता है:

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ऑक्सी

हे लेकिन ओए.

, कहाँ पे ओए .

इस तरह, .

एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

समाधान।

:

उत्तर:

ऑक्सीज़ीअंतरिक्ष में।

लेकिन ओएएक विकर्ण होगा।

इस मामले में (क्योंकि ओए ओए .

इस तरह, वेक्टर लंबाई .

उदाहरण।

वेक्टर लंबाई की गणना करें

समाधान।

, फलस्वरूप,

उत्तर:

विमान पर सीधी रेखा

सामान्य समीकरण

कुल्हाड़ी + बाय + सी (> 0)।

वेक्टर = (ए; बी)एक सामान्य रेखा वेक्टर है।

वेक्टर रूप में: + सी = 0, जहाँ एक सीधी रेखा पर एक मनमाना बिंदु का त्रिज्या सदिश है (चित्र 4.11)।

विशेष स्थितियां:

1) + सी = 0 . द्वारा- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा बैल;

2) कुल्हाड़ी+सी=0- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा ओए;

3) कुल्हाड़ी + बाय = 0- रेखा मूल से होकर गुजरती है;

4) वाई = 0- एक्सिस बैल;

5) एक्स = 0- एक्सिस ओए.

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण

कहाँ पे ए, बी- निर्देशांक अक्षों पर एक सीधी रेखा द्वारा काटे गए खंडों का आकार।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण(चित्र 4.11)

रेखा और अक्ष के लिए सामान्य रूप से बनने वाला कोण कहाँ है बैल; पीनिर्देशांक की उत्पत्ति से रेखा तक की दूरी है।

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को सामान्य रूप में लाना:

यहाँ सीधी रेखा का सामान्यीकृत कारक है; चिन्ह को चिन्ह के विपरीत चुना जाता है सी, अगर और मनमाने ढंग से, अगर सी = 0.

निर्देशांक द्वारा एक वेक्टर की लंबाई ढूँढना।

वेक्टर की लंबाई द्वारा निरूपित किया जाएगा। इस संकेतन के कारण, वेक्टर की लंबाई को अक्सर वेक्टर के मापांक के रूप में जाना जाता है।

आइए निर्देशांकों द्वारा समतल पर सदिश की लंबाई ज्ञात करके प्रारंभ करें।

हम समतल पर एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का परिचय देते हैं ऑक्सी. मान लीजिए इसमें एक वेक्टर दिया गया है और इसके निर्देशांक हैं। आइए एक सूत्र प्राप्त करें जो आपको निर्देशांक और के माध्यम से वेक्टर की लंबाई खोजने की अनुमति देता है।

निर्देशांक की उत्पत्ति से अलग सेट करें (बिंदु से हे) वेक्टर । बिंदु के अनुमानों को निरूपित करें लेकिननिर्देशांक अक्षों पर और क्रमशः और एक विकर्ण के साथ एक आयत पर विचार करें ओए.

पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर, समानता , कहाँ पे . एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक वेक्टर के निर्देशांक की परिभाषा से, हम यह दावा कर सकते हैं कि और, और निर्माण द्वारा, लंबाई ओएवेक्टर की लंबाई के बराबर है, इसलिए, .

इस तरह, सदिश की लंबाई ज्ञात करने का सूत्रविमान पर इसके निर्देशांक में रूप है .

यदि सदिश को निर्देशांक सदिशों में अपघटन के रूप में दर्शाया जाता है , तो इसकी लंबाई की गणना उसी सूत्र द्वारा की जाती है , चूंकि इस मामले में गुणांक और दिए गए निर्देशांक प्रणाली में वेक्टर के निर्देशांक हैं।

एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

कार्तीय निर्देशांकों में दिए गए सदिश की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान।

निर्देशांक द्वारा वेक्टर की लंबाई खोजने के लिए तुरंत सूत्र लागू करें :

उत्तर:

अब हमें एक सदिश की लंबाई ज्ञात करने का सूत्र प्राप्त होता है एक आयताकार समन्वय प्रणाली में इसके निर्देशांक द्वारा ऑक्सीज़ीअंतरिक्ष में।

मूल बिंदु से सदिश को अलग रखें और बिंदु के अनुमानों को निरूपित करें लेकिननिर्देशांक अक्षों पर भी। फिर हम पक्षों पर और एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का निर्माण कर सकते हैं जिसमें ओएएक विकर्ण होगा।

इस मामले में (क्योंकि ओएएक आयताकार समांतर चतुर्भुज का विकर्ण है), जहाँ से . वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करने से हम समानताएं और लंबाई लिख सकते हैं ओएवेक्टर की वांछित लंबाई के बराबर है, इसलिए, .

इस तरह, वेक्टर लंबाई अंतरिक्ष में इसके निर्देशांक के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर है, अर्थात्, सूत्र द्वारा पाया जाता है .

उदाहरण।

वेक्टर लंबाई की गणना करें , आयताकार समन्वय प्रणाली के orts कहाँ हैं।

समाधान।

हमें एक सदिश का प्रसार रूप के निर्देशांक सदिशों के रूप में दिया जाता है , फलस्वरूप, . फिर, निर्देशांक द्वारा एक वेक्टर की लंबाई खोजने के सूत्र के अनुसार, हमारे पास है।

6.4. डॉट उत्पाद के कुछ अनुप्रयोग

11. कारकों के निर्देशांक के रूप में एक वेक्टर के अदिश उत्पाद की अभिव्यक्ति। प्रमेय।

12. एक सदिश की लंबाई, एक खंड की लंबाई, सदिशों के बीच का कोण, सदिशों के लंबवत होने की स्थिति।

13. सदिशों का सदिश गुणनफल, उसके गुण। एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल।

14. वैक्टर का मिश्रित उत्पाद, इसके गुण। वेक्टर समानता की स्थिति। समानांतर चतुर्भुज का आयतन। पिरामिड का आयतन।

15. समतल पर एक सीधी रेखा स्थापित करने की विधियाँ।

16. समतल पर एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण (व्युत्पत्ति)। गुणांक का ज्यामितीय अर्थ।

17. खण्डों में एक समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण (निष्कर्ष)।

समतल के सामान्य समीकरण को खंडों में समतल के समीकरण में घटाना।

18. ढलान (आउटपुट) वाले समतल में एक सीधी रेखा का समीकरण।

19. दो बिंदुओं से गुजरने वाले समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण (निष्कर्ष)।

20. समतल पर सीधी रेखाओं के बीच का कोण (निष्कर्ष)।

21. समतल (आउटपुट) पर एक बिंदु से एक सीधी रेखा की दूरी।

22. समतल पर सीधी रेखाओं की समांतरता और लंबवतता की शर्तें (निष्कर्ष)।

23. समतल का समीकरण। समतल का सामान्य समीकरण (व्युत्पत्ति)। गुणांक का ज्यामितीय अर्थ।

24. खंडों में समतल का समीकरण (निष्कर्ष)।

25. तीन बिंदुओं (आउटपुट) से गुजरने वाले समतल का समीकरण।

26. विमानों के बीच का कोण (आउटपुट)।

27. एक बिंदु से एक समतल (आउटपुट) की दूरी।

28. समतलों की समांतरता और लंबवतता की शर्तें (निष्कर्ष)।

29. r3 में एक सरल रेखा के समीकरण। दो स्थिर बिंदुओं (व्युत्पत्ति) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण।

30. अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण (व्युत्पत्ति)।

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरणों का संकलन।

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरणों के विशेष मामले।

अंतरिक्ष में दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के विहित समीकरण।

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरणों से एक सीधी रेखा के अन्य प्रकार के समीकरणों में संक्रमण।

31. सीधी रेखाओं (आउटपुट) के बीच का कोण।

32. समतल (आउटपुट) पर एक बिंदु से एक सीधी रेखा तक की दूरी।

एक समतल पर एक बिंदु से एक सीधी रेखा की दूरी - सिद्धांत, उदाहरण, समाधान।

समतल पर किसी दिए गए बिंदु से दी गई सीधी रेखा की दूरी ज्ञात करने का पहला तरीका।

दूसरी विधि, जो आपको किसी दिए गए बिंदु से विमान पर दी गई रेखा तक की दूरी का पता लगाने की अनुमति देती है।

एक समतल पर किसी दिए गए बिंदु से दी गई सीधी रेखा तक की दूरी ज्ञात करने पर समस्याओं का समाधान करना।

अंतरिक्ष में एक बिंदु से एक सीधी रेखा की दूरी - सिद्धांत, उदाहरण, समाधान।

अंतरिक्ष में एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी ज्ञात करने का पहला तरीका।

दूसरी विधि, जो आपको अंतरिक्ष में एक बिंदु से एक सीधी रेखा तक की दूरी खोजने की अनुमति देती है।

33. समांतरता और अंतरिक्ष में रेखाओं की लंबवतता की शर्तें।

34. अंतरिक्ष में सीधी रेखाओं और समतल के साथ एक सीधी रेखा की पारस्परिक व्यवस्था।

35. एक दीर्घवृत्त (व्युत्पत्ति) का शास्त्रीय समीकरण और उसकी रचना। एक दीर्घवृत्त के विहित समीकरण का रूप होता है, इसके अलावा सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ कहाँ होती हैं। दीर्घवृत्त का निर्माण कैसे करें?

36. अतिपरवलय (व्युत्पत्ति) का शास्त्रीय समीकरण और उसकी रचना। स्पर्शोन्मुख।

37. एक परवलय (व्युत्पत्ति) और निर्माण का विहित समीकरण।

38. समारोह। बुनियादी परिभाषाएँ। बुनियादी प्राथमिक कार्यों के रेखांकन।

39. संख्या क्रम। संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा।

40. अपरिमित रूप से छोटी और अपरिमित रूप से बड़ी मात्राएँ। उनके बीच संबंध के बारे में प्रमेय, गुण।

41. परिमित सीमा वाले चरों पर क्रियाओं पर प्रमेय।

42. संख्या ई।

विषय

निर्धारण के तरीके

गुण

कहानी

अनुमान

43. किसी फलन की सीमा की परिभाषा। अनिश्चितताओं का खुलासा।

44. उल्लेखनीय सीमाएं, उनका निष्कर्ष। तुल्य अपरिमित मात्राएँ।

विषय

पहली अद्भुत सीमा

दूसरी अद्भुत सीमा

45. एकतरफा सीमाएं। कार्य की निरंतरता और निरंतरता। एकतरफा सीमा

किसी फ़ंक्शन की बाएँ और दाएँ सीमाएँ

पहली तरह का असंततता बिंदु

दूसरी तरह का असंततता बिंदु

विराम बिंदु

46. ​​एक व्युत्पन्न की परिभाषा। ज्यामितीय अर्थ, व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ। एक वक्र और एक बिंदु के लिए स्पर्शरेखा और सामान्य समीकरण।

47. व्युत्क्रम, जटिल कार्यों के व्युत्पन्न पर प्रमेय।

48. सरलतम प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न।

49. पैरामीट्रिक, निहित और घातीय कार्यों का अंतर।

21. निहित और पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित कार्यों का अंतर

21.1. निहित कार्य

21.2. फ़ंक्शन को पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित किया गया है

50. उच्च आदेश के डेरिवेटिव। टेलर सूत्र।

51. विभेदक। अनुमानित गणना के लिए अंतर का अनुप्रयोग।

52. रोले, लैग्रेंज, कॉची के प्रमेय। ल अस्पताल का नियम।

53. किसी फ़ंक्शन की एकरसता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों पर प्रमेय।

54. किसी फ़ंक्शन के अधिकतम, न्यूनतम का निर्धारण। किसी फ़ंक्शन के चरम के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों पर प्रमेय।

प्रमेय (आवश्यक चरम स्थिति)

55. वक्रों की उत्तलता और अवतलता। विवर्तन अंक। विभक्ति बिंदुओं के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों पर प्रमेय।

सबूत

57. एन-वें क्रम के निर्धारक, उनके गुण।

58. मैट्रिक्स और उन पर कार्रवाई। मैट्रिक्स रैंक।

परिभाषा

संबंधित परिभाषाएं

गुण

रैखिक परिवर्तन और मैट्रिक्स रैंक

59. उलटा मैट्रिक्स। व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व पर प्रमेय।

60. रैखिक समीकरणों की प्रणाली। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का मैट्रिक्स समाधान। क्रेमर का नियम। गॉस विधि। क्रोनकर-कैपेली प्रमेय।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करने की प्रणाली, समाधान के तरीके, उदाहरण।

परिभाषाएँ, अवधारणाएँ, पदनाम।

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्राथमिक प्रणालियों का समाधान।

क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों को हल करना।

मैट्रिक्स विधि (उलटा मैट्रिक्स का उपयोग करके) द्वारा रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करना।

गॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों को हल करना।

सामान्य रूप के रैखिक बीजीय समीकरणों को हल करने वाली प्रणाली।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय।

सामान्य रूप के रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि।

समाधान की मौलिक प्रणाली के वैक्टर का उपयोग करके सजातीय और अमानवीय रैखिक बीजगणितीय प्रणालियों के सामान्य समाधान की रिकॉर्डिंग।

समीकरणों के सिस्टम का हल धीमा करना।

समस्याओं के उदाहरण जो रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए कम करते हैं।

12. एक सदिश की लंबाई, एक खंड की लंबाई, सदिशों के बीच का कोण, सदिशों के लंबवत होने की स्थिति।

वेक्टर - यह एक निर्देशित खंड है जो अंतरिक्ष में या एक विमान में दो बिंदुओं को जोड़ता है।सदिशों को आमतौर पर या तो छोटे अक्षरों से या शुरुआती और अंत बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। ऊपर आमतौर पर एक पानी का छींटा है।

उदाहरण के लिए, एक बिंदु से निर्देशित एक वेक्टर एमुद्दे पर बी, निरूपित किया जा सकता है एक ,

शून्य वेक्टर 0 या 0 - एक सदिश है जिसका प्रारंभ और अंत बिंदु समान हैं, अर्थात ए = बी. यहाँ से, 0 = – 0 .

वेक्टर की लंबाई (मापांक)एक उस खंड की लंबाई है जो इसका प्रतिनिधित्व करती है एबी, द्वारा निरूपित |एक | . विशेष रूप से | | 0 | = 0.

सदिश कहलाते हैं समरेखयदि उनके निर्देशित खंड समानांतर रेखाओं पर स्थित हैं। कोलिनियर वैक्टर एक तथा बी नामित हैं एक || बी .

तीन या अधिक सदिश कहलाते हैं समतलीयअगर वे एक ही विमान में झूठ बोलते हैं।

वैक्टर का जोड़। चूंकि वेक्टर हैं निर्देशितखंड, फिर उनका जोड़ किया जा सकता है ज्यामितीय. (सदिशों का बीजगणितीय जोड़ नीचे वर्णित है, "यूनिट ऑर्थोगोनल वैक्टर" पैराग्राफ में)। चलो दिखावा करते हैं कि

एक = एबीतथा बी = सीडी,

तो वेक्टर __ __

एक + बी = अब+ सीडी

दो कार्यों का परिणाम है:

एक)समानांतर स्थानांतरणवैक्टर में से एक ताकि इसका प्रारंभ बिंदु दूसरे वेक्टर के अंत बिंदु के साथ मेल खाता हो;

बी)ज्यामितीय जोड़, अर्थात। निश्चित वेक्टर के शुरुआती बिंदु से अनुवादित वेक्टर के अंतिम बिंदु तक जाने वाले परिणामी वेक्टर का निर्माण करना।

वैक्टर का घटाव। घटाए गए वेक्टर को विपरीत के साथ बदलकर इस ऑपरेशन को पिछले एक में घटा दिया गया है: एक – बी =एक + (– बी ) .

जोड़ के नियम।

मैं। एक + बी = बी + एक (वी सक्षम कानून)।

द्वितीय. (एक + बी ) + सी = एक + (बी + सी ) (संयुक्त कानून)।

III. एक + 0 = एक .

चतुर्थ। एक + (– एक ) = 0 .

किसी संख्या से सदिश के गुणन के नियम।

मैं। एक · एक = एक , 0 · एक = 0 , एम· 0 = 0 , (– एक) · एक = – एक .

द्वितीय. एमएक = एक एम,| एमएक | = | एम | · | ए | .

III. एम (एनएक ) = (एम एन)एक . (संयुक्त

गुणन का नियम).

चतुर्थ। (एम+एन) एक = एमएक +एनएक , (वितरक

एम(एक + बी ) = एमएक + एमबी . गुणन का नियम).

वैक्टर का अदिश उत्पाद। __ __

शून्येतर सदिशों के बीच का कोण अबतथा सीडीबिंदु संरेखित होने तक वैक्टर द्वारा उनके समानांतर स्थानांतरण के दौरान बनने वाला कोण है एतथा C. सदिशों का डॉट उत्पादएक तथा बी के बराबर संख्या कहा जाता है उनके बीच के कोण की कोज्या द्वारा उनकी लंबाई का गुणनफल:

यदि सदिशों में से एक शून्य है, तो उनका अदिश गुणन, परिभाषा के अनुसार, शून्य है:

(एक , 0 ) = ( 0 , बी ) = 0 .

यदि दोनों वैक्टर गैर-शून्य हैं, तो उनके बीच के कोण की कोज्या की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

अदिश उत्पाद ( ए, ए ) के बराबर | एक | 2 कहा जाता है अदिश वर्ग।वेक्टर लंबाई एक और इसका अदिश वर्ग संबंधित है:

दो वैक्टर का डॉट उत्पाद:

- सकारात्मकयदि सदिशों के बीच का कोण मसालेदार;

- नकारात्मकयदि सदिशों के बीच का कोण बेवकूफ.

दो शून्येतर सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य है तो और केवल अगर उनके बीच का कोण सही है, अर्थात। जब ये वैक्टर लंबवत (ऑर्थोगोनल) होते हैं:

अदिश उत्पाद के गुण। किसी भी वैक्टर के लिए एक , बी, सी और कोई संख्या एमनिम्नलिखित संबंध मान्य हैं:

मैं। (एक , बी ) = (बी ० ए ) . (वी सक्षम कानून)

द्वितीय. (एमएक , बी ) = एम(एक , बी ) .

III.(ए + बी, सी ) = (एक , सी ) + (बी, सी ). (वितरण कानून)

यूनिट ऑर्थोगोनल वैक्टर। किसी भी आयताकार समन्वय प्रणाली में, आप दर्ज कर सकते हैं इकाई जोड़ीदार ओर्थोगोनल वैक्टरमैं , जे तथा क निर्देशांक अक्षों से संबद्ध: मैं - धुरी के साथ एक्स, जे - धुरी के साथ यूतथा क - धुरी के साथ जेड. इस परिभाषा के अनुसार:

(मैं , जे ) = (मैं , क ) = (जे , क ) = 0,

| मैं | =| जे | =| कश्मीर | = 1.

कोई वेक्टर एक इन वैक्टरों के संदर्भ में एक अनोखे तरीके से व्यक्त किया जा सकता है: एक = एक्समैं + आपजे + जेडक . लेखन का दूसरा रूप: एक = (एक्स, वाई, जेड) यहां एक्स, आप, जेड-निर्देशांकवेक्टर एक इस समन्वय प्रणाली में। इकाई ऑर्थोगोनल वैक्टर के अंतिम संबंध और गुणों के अनुसार मैं, जो , क दो सदिशों के अदिश गुणनफल को भिन्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

होने देना एक = (एक्स, वाई, जेड); बी = (यू, वी, डब्ल्यू) फिर ( एक , बी ) = ग्यारहवीं +yv +zw.

दो सदिशों का अदिश गुणन संगत निर्देशांकों के गुणनफलों के योग के बराबर होता है।

वेक्टर की लंबाई (मापांक) एक = (एक्स, आप, जेड ) के बराबर है:

इसके अलावा, अब हम सक्षम हैं बीजगणितीयवैक्टर पर संचालन, अर्थात्, वैक्टर के जोड़ और घटाव को निर्देशांक द्वारा किया जा सकता है:

ए + ख = (एक्स + यू, वाई + वी, जेड + डब्ल्यू) ;

एक – ख = (एक्स–तुम, तुम– वी, ज़ू–वू) .

वैक्टर के वेक्टर उत्पाद। वेक्टर कला [एक, बी ] वैक्टरएक तथाबी (उस क्रम में) एक वेक्टर कहा जाता है:

वेक्टर की लंबाई के लिए एक और सूत्र है [ ए, बी ] :

| [ ए, बी ] | = | एक | | बी | पाप ( ए, बी ) ,

अर्थात। लंबाई ( मापांक ) वैक्टर का क्रॉस उत्पादएक तथाबी इन सदिशों की लंबाई (मॉड्यूल) और उनके बीच के कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर है।दूसरे शब्दों में: वेक्टर की लंबाई (मापांक)[ ए, बी ] संख्यात्मक रूप से वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर एक तथाबी .

वेक्टर उत्पाद गुण।

मैं।वेक्टर [ ए, बी ] लंबवत है (ऑर्थोगोनल)दोनों वैक्टर एक तथा बी .

(इसे साबित करें, कृपया!)।

द्वितीय.[ एक , बी ] = – [बी ० ए ] .

III. [ एमएक , बी ] = एम[एक , बी ] .

चतुर्थ। [ ए + बी, सी ] = [ एक , सी ] + [ बी, सी ] .

वी [ एक , [ बी, सी ] ] = बी (एसी ) – सी (ए, बी ) .

VI. [ [ एक , बी ] , सी ] = बी (एसी ) – एक (बी, सी ) .

समरेखण के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त वैक्टर एक = (एक्स, वाई, जेड) तथा बी = (यू, वी, डब्ल्यू) :

समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त वैक्टर एक = (एक्स, वाई, जेड), बी = (यू, वी, डब्ल्यू) तथा सी = (पी, क्यू, आर) :

उदाहरण दिए गए वैक्टर: एक = (1, 2, 3) और बी = (– 2 , 0 ,4).

उनके डॉट और वेक्टर उत्पादों और कोण की गणना करें

इन वैक्टर के बीच।

हल उपयुक्त सूत्रों (ऊपर देखें) का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

एक)। अदिश उत्पाद:

(ए, बी ) = 1 (-2) + 2 0 + 3 4 = 10;

बी)। वेक्टर उत्पाद:

"

सदिश a → की लंबाई a → द्वारा निरूपित की जाएगी। यह अंकन किसी संख्या के मापांक के समान होता है, इसलिए सदिश की लंबाई को सदिश का मापांक भी कहा जाता है।

निर्देशांकों द्वारा समतल पर एक सदिश की लंबाई ज्ञात करने के लिए, एक आयताकार कार्तीय निर्देशांक प्रणाली O x y पर विचार करना आवश्यक है। मान लीजिए कि इसमें कुछ सदिश a → निर्देशांक a x है; एक वाई। हम सदिश a → की लंबाई (मापांक) को निर्देशांक a x और a y के पदों में ज्ञात करने के लिए एक सूत्र प्रस्तुत करते हैं।

सदिश O A → = a → को मूल बिन्दु से अलग रखिए। आइए निर्देशांक अक्षों पर बिंदु A के संगत अनुमानों को A x और A y के रूप में परिभाषित करें। अब एक आयत O A x A A y पर विचार करें जिसका विकर्ण O A है।

पाइथागोरस प्रमेय से समानता O A 2 = O A x 2 + O A y 2 का अनुसरण करती है, जहां से O A = O A x 2 + O A y 2। एक आयताकार कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली में एक वेक्टर के निर्देशांक की पहले से ही ज्ञात परिभाषा से, हम प्राप्त करते हैं कि ओ ए एक्स 2 = ए एक्स 2 और ओ ए वाई 2 = ए वाई 2, और निर्माण द्वारा, ओ ए की लंबाई लंबाई के बराबर है वेक्टर ओ ए → इसलिए, ओ ए → = ओ ए एक्स 2 + ओ ए वाई 2।

इसलिए यह पता चला है कि सदिश की लंबाई ज्ञात करने का सूत्रए → = ए एक्स; a y का संगत रूप है: a → = a x 2 + a y 2 ।

यदि सदिश a → को निर्देशांक सदिश a → = a x i → + a y j → में विस्तार के रूप में दिया जाता है, तो इसकी लंबाई की गणना उसी सूत्र a → = a x 2 + a y 2 का उपयोग करके की जा सकती है, इस मामले में गुणांक a x और y हैं दिए गए निर्देशांक प्रणाली में वेक्टर a → के निर्देशांक के रूप में।

उदाहरण 1

वेक्टर a → = 7 की लंबाई की गणना करें; ई, एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दिया गया है।

समाधान

एक सदिश की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम निर्देशांक a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e द्वारा सदिश की लंबाई ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करेंगे।

उत्तर: ए → = 49 + ई।

सदिश a → = a x की लंबाई ज्ञात करने का सूत्र; एक वाई; अंतरिक्ष में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली ऑक्सीज़ में इसके निर्देशांक द्वारा ए जेड, विमान पर मामले के लिए सूत्र के समान व्युत्पन्न होता है (नीचे चित्र देखें)

इस मामले में, ओ ए 2 \u003d ओ ए एक्स 2 + ओ ए वाई 2 + ओ ए जेड 2 (चूंकि ओए एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का विकर्ण है), इसलिए ओ ए \u003d ओ ए एक्स 2 + ओ ए वाई 2 + ओ ए जेड 2। वेक्टर के निर्देशांक की परिभाषा से, हम निम्नलिखित समानताएं O A x = a x लिख सकते हैं; ओ ए वाई = ए वाई; ओ ए जेड = ए जेड; , और OA की लंबाई उस सदिश की लंबाई के बराबर है जिसकी हम तलाश कर रहे हैं, इसलिए, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2।

यह इस प्रकार है कि वेक्टर a → = a x की लंबाई; एक वाई; a z, a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 के बराबर है।

उदाहरण 2

सदिश a → = 4 i → - 3 j → + 5 k → की लंबाई की गणना करें, जहां i → , j → , k → आयताकार निर्देशांक प्रणाली के इकाई सदिश हैं।

समाधान

एक सदिश a → = 4 i → - 3 j → + 5 k → के अपघटन को देखते हुए, इसके निर्देशांक a → = 4 , - 3 , 5 हैं। उपरोक्त सूत्र का प्रयोग करते हुए, हमें a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 प्राप्त होता है।

उत्तर: ए → = 5 2।

एक वेक्टर की लंबाई उसके प्रारंभ और अंत बिंदुओं के निर्देशांक के संदर्भ में होती है

ऊपर, सूत्र व्युत्पन्न किए गए थे जो आपको इसके निर्देशांक द्वारा एक वेक्टर की लंबाई खोजने की अनुमति देते हैं। हमने समतल पर और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में मामलों पर विचार किया है। आइए उनका उपयोग इसके प्रारंभ और अंत बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा वेक्टर के निर्देशांक खोजने के लिए करें।

तो, दिए गए निर्देशांक A (a x; a y) और B (b x; b y) के साथ दिए गए बिंदु, इसलिए वेक्टर A B → में निर्देशांक (b x - a x; b y - a y) हैं, जिसका अर्थ है कि इसकी लंबाई सूत्र द्वारा निर्धारित की जा सकती है: ए बी → = (बी एक्स - ए एक्स) 2 + (बी वाई - ए वाई) 2

और यदि दिए गए निर्देशांक A (a x; a y; a z) और B (b x; b y; b z) के साथ त्रि-आयामी अंतरिक्ष में अंक दिए गए हैं, तो वेक्टर A B → की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

ए बी → = (बी एक्स - ए एक्स) 2 + (बी वाई - ए वाई) 2 + (बी जेड - ए जेड) 2

उदाहरण 3

सदिश A B → की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली A 1, 3, B-3, 1 में है।

समाधान

समतल पर प्रारंभ और अंत बिंदुओं के निर्देशांकों से सदिश लंबाई ज्ञात करने के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 ।

दूसरा समाधान इन सूत्रों के बदले में आवेदन का तात्पर्य है: ए बी → = (- 3 - 1; 1 - 3) = (- 4; 1 - 3); ए बी → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3। -

उत्तर: ए बी → = 20 - 2 3।

उदाहरण 4

निर्धारित करें कि सदिश A B → की लंबाई किन मानों के लिए 30 के बराबर है यदि A (0 , 1 , 2) ; बी (5, 2, λ 2)।

समाधान

सबसे पहले, आइए सूत्र के अनुसार वेक्टर A B → की लंबाई लिखें: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2

फिर हम परिणामी अभिव्यक्ति को 30 के बराबर करते हैं, यहाँ से हमें वांछित मिलता है:

26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 और l और 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2, 2 = 2, 3 = 0।

उत्तर: 1 \u003d - 2, 2 \u003d 2, 3 \u003d 0.

कोज्या के नियम का उपयोग करके सदिश की लंबाई ज्ञात करना

काश, एक वेक्टर के निर्देशांक हमेशा कार्यों में ज्ञात नहीं होते हैं, तो आइए एक वेक्टर की लंबाई खोजने के अन्य तरीकों पर विचार करें।

मान लीजिए कि दो सदिशों A B → , A C → की लंबाई और उनके बीच का कोण (या कोण की कोज्या) दिया गया है, और सदिश B C → या C B → की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है। इस मामले में, आपको त्रिभुज △ ए बी सी में कोसाइन प्रमेय का उपयोग करना चाहिए, पक्ष बी सी की लंबाई की गणना करें, जो वेक्टर की वांछित लंबाई के बराबर है।

आइए निम्नलिखित उदाहरण में ऐसे मामले पर विचार करें।

उदाहरण 5

वैक्टर A B → और A C → की लंबाई क्रमशः 3 और 7 के बराबर है, और उनके बीच का कोण π 3 के बराबर है। वेक्टर बी सी → की लंबाई की गणना करें।

समाधान

इस मामले में वेक्टर बी सी → की लंबाई त्रिभुज △ ए बी सी के पक्ष बी सी की लंबाई के बराबर है। त्रिभुज के पक्षों ए बी और ए सी की लंबाई स्थिति से ज्ञात होती है (वे संबंधित वैक्टर की लंबाई के बराबर होती हैं), उनके बीच का कोण भी ज्ञात होता है, इसलिए हम कोसाइन प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं: बी सी 2 = ए बी 2 + A C 2 - 2 A B A C cos (A B , → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 3 7 cos 3 = 37 ⇒ B C = 37 इस प्रकार, B C → = 37 ।

उत्तर: बी सी → = 37।

अतः, निर्देशांकों द्वारा एक सदिश की लंबाई ज्ञात करने के लिए, आरंभ और अंत के बिंदुओं के निर्देशांकों के अनुसार, निम्नलिखित सूत्र हैं a → = a x 2 + a y 2 या a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 वेक्टर का A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 या A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, कुछ मामलों में कोज्या प्रमेय इस्तेमाल किया जाना चाहिए।

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