गुण

• त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिसे केन्द्रक कहा जाता है, और इस बिंदु से 2:1 के अनुपात में दो भागों में विभाजित किया जाता है, जो शीर्ष से गिना जाता है।
• त्रिभुज को तीन माध्यिकाओं द्वारा छह बराबर त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है।
• त्रिभुज की बड़ी भुजा छोटी माध्यिका से मेल खाती है।
• माध्यिका बनाने वाले सदिशों से आप एक त्रिभुज बना सकते हैं।
• एफ़िन परिवर्तनों के साथ, माध्यिका माध्यिका के ऊपर चली जाती है।
• त्रिभुज की माध्यिका इसे दो बराबर भागों में विभाजित करती है।

सूत्र

• पक्षों के संदर्भ में माध्यिका के लिए सूत्र (स्टीवर्ट प्रमेय के माध्यम से या एक समांतर चतुर्भुज तक विस्तार करके और पक्षों के वर्गों के योग और विकर्णों के वर्गों के योग के समांतर चतुर्भुज में समानता का उपयोग करके):

, जहाँ m c भुजा c की माध्यिका है; a, b, c एक त्रिभुज की भुजाएँ हैं, इसलिए एक मनमाना त्रिभुज की माध्यिकाओं के वर्गों का योग हमेशा उसकी भुजाओं के वर्गों के योग से 4/3 गुना कम होता है।

• माध्यकों के संदर्भ में पक्ष का सूत्र:

, जहाँ त्रिभुज की संगत भुजाओं की माध्यिकाएँ त्रिभुज की भुजाएँ होती हैं।

यदि दो माध्यिकाएँ लंबवत हैं, तो उन भुजाओं के वर्गों का योग, जिन पर उन्हें गिराया गया है, तीसरी भुजा के वर्ग का 5 गुना है।

स्मरक नियम

मंझला बंदर,
जिसकी गहरी निगाह है,
ठीक बीच में कूदो
शीर्ष के खिलाफ पक्ष,
यह अब कहाँ है।

नोट्स (संपादित करें)

यह सभी देखें

लिंक

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "त्रिकोण माध्यिका" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

माध्यिका: प्लैनीमेट्री में त्रिभुज की माध्यिका, आँकड़ों में त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य से जोड़ने वाला खंड, माध्य वह जनसंख्या मान है जो क्रमबद्ध डेटा श्रृंखला को आधे माध्यिका (आँकड़ों) में विभाजित करता है ...। .. विकिपीडिया

माध्यिका: प्लानिमेट्री में एक त्रिभुज की माध्यिका, त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य से जोड़ने वाला खंड माध्यिका (आंकड़े) क्वांटाइल 0.5 माध्यिका (ट्रेस) दाएं और बाएं के बीच खींची गई ट्रेस की मध्य रेखा है ... विकिपीडिया

त्रिभुज और उसकी माध्यिकाएँ। त्रिभुज का माध्यिका त्रिभुज के अंदर का एक खंड है जो त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य से जोड़ता है, साथ ही इस खंड वाली एक सीधी रेखा भी है। सामग्री १ गुण २ सूत्र ... विकिपीडिया

वह रेखा जो त्रिभुज के शीर्ष को उसके आधार के मध्य बिंदु से जोड़ती है। रूसी भाषा में उपयोग में आने वाले विदेशी शब्दों का एक पूरा शब्दकोश। पोपोव एम।, 1907। माध्य (लैट। मेडियाना औसत) 1) जियोल। त्रिभुज के शीर्ष को जोड़ने वाला खंड ... ... रूसी भाषा के विदेशी शब्दों का शब्दकोश

ज्यामिति में माध्यिका (लैटिन मेडियाना मध्य से), एक खंड जो त्रिभुज के एक शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य से जोड़ता है। त्रिभुज के तीन M. एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे कभी-कभी त्रिभुज का "गुरुत्वाकर्षण केंद्र" कहा जाता है, इसलिए ... महान सोवियत विश्वकोश

त्रिभुज एक सीधी रेखा (या त्रिभुज के अंदर का एक खंड) है जो त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य से जोड़ता है। त्रिभुज के तीन M. एक बिंदु पर, स्वर्ग में प्रतिच्छेद करते हैं, त्रिभुज के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र कहा जाता है, केन्द्रक, या ... ... गणित का विश्वकोश

- (लैटिन मेडियाना मध्य से) त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत दिशा के मध्य से जोड़ने वाला एक खंड ... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

माध्यिका, माध्यिकाएँ, पत्नियाँ (अव्य। मेडियाना, लिट। मध्य)। 1. त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत भुजा (चटाई) के मध्य तक खींची गई एक सीधी रेखा। 2. आंकड़ों में, कई डेटा के लिए, संपत्ति के साथ एक मात्रा जो डेटा की संख्या, ... ... उषाकोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

मेडियन, एस, पत्नियां। गणित में, एक सीधी रेखा खंड जो त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत दिशा के मध्य बिंदु से जोड़ता है। ओज़ेगोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश। एस.आई. ओज़ेगोव, एन.यू. श्वेदोवा। १९४९ १९९२... Ozhegov's Explanatory Dictionary

मेडियन (लैटिन मिडियाना मध्य से), एक त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत पक्ष के मध्य से जोड़ने वाला एक खंड ... विश्वकोश शब्दकोश

त्रिभुज की माध्यिका, साथ ही ऊँचाई, एक ग्राफिकल पैरामीटर के रूप में कार्य करती है जो संपूर्ण त्रिभुज, उसके पक्षों और कोणों का मान निर्धारित करती है। तीन मान: माध्यिकाएँ, ऊँचाई और समद्विभाजक - यह किसी उत्पाद पर बारकोड की तरह है, हमारा काम बस इसे पढ़ने में सक्षम होना है।

परिभाषा

माध्यिका विपरीत भुजा की ऊँचाई और मध्य को जोड़ने वाला रेखाखंड है। त्रिभुज में तीन शीर्ष होते हैं, जिसका अर्थ है कि तीन माध्यिकाएँ हैं। माध्यिकाएँ सदैव ऊँचाई या समद्विभाजक से मेल नहीं खातीं। अक्सर ये अलग-अलग खंड होते हैं।

औसत गुण

• एक समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका, जो आधार की ओर खींची जाती है, ऊँचाई और समद्विभाजक के साथ मेल खाती है। एक समबाहु त्रिभुज में, सभी माध्यिकाएँ समद्विभाजक और ऊँचाई से मेल खाती हैं।
• त्रिभुज की सभी माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
• माध्यिका एक त्रिभुज को दो बराबर त्रिभुजों में और तीन माध्यिकाओं को 6 बराबर त्रिभुजों में विभाजित करती है।

समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुज कहलाते हैं, जिनका क्षेत्रफल बराबर होता है।

चावल। 1. तीन माध्यिकाएं 6 बराबर त्रिभुज बनाती हैं।

• माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु उन्हें ऊपर से गिनते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।
• एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की ओर खींची गई माध्यिका कर्ण की आधी होती है।

कार्य

ये सभी गुण याद रखने में आसान हैं, व्यवहार में ये आसानी से तय हो जाते हैं। विषय की बेहतर समझ के लिए, हम कई समस्याओं का समाधान करेंगे:

• एक समकोण त्रिभुज में पाद ज्ञात होते हैं, जो a = 3 और b = 4 के बराबर होते हैं। कर्ण c तक खींची गई माध्यिका m का मान ज्ञात कीजिए।

चावल। 2. समस्या के लिए आरेखण।

माध्यिका का मान ज्ञात करने के लिए, हमें कर्ण ज्ञात करना होगा, क्योंकि कर्ण की ओर खींची गई माध्यिका उसके आधे के बराबर होती है। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा कर्ण: $$ a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 $$

$$ c = \ sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = \ sqrt (9 + 16) = \ sqrt (25) = 5 $$

आइए माध्यिका मान ज्ञात करें: $$ m = (c \ over2) = (5 \ over2) = 2.5 $$ - परिणामी संख्या माध्यिका मान है।

त्रिभुज में माध्यिका मान समान नहीं होते हैं। इसलिए, यह कल्पना करना अनिवार्य है कि आपको किस मूल्य को खोजने की आवश्यकता है।

• त्रिभुज में भुजाओं के मान ज्ञात हैं: a = 7; बी = 8; सी = 9. माध्यिका का मान नीचे से पार्श्व b तक ज्ञात कीजिए।

चावल। 3. समस्या के लिए आरेखण।

इस समस्या को हल करने के लिए, आपको त्रिभुज की भुजाओं के साथ माध्यिका ज्ञात करने के लिए तीन सूत्रों में से एक का उपयोग करना होगा:

$$ मी ^ 2 = (1 \ over2) * (ए ^ 2 + सी ^ 2-बी ^ 2) $$

जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां मुख्य बात कोष्ठक में गुणांक और साइड वैल्यू के संकेतों को याद रखना है। संकेतों को याद रखना सबसे आसान है - जिस तरफ से माध्यिका को नीचे किया जाता है वह हमेशा घटाया जाता है। हमारे मामले में, यह बी है, लेकिन यह कोई अन्य हो सकता है।

मानों को सूत्र में रखें और माध्यिका मान ज्ञात करें: $$ m = \ sqrt ((1 \ over2) * (a ^ 2 + c ^ 2-b ^ 2)) $$

$$ m = \ sqrt ((1 \ over2) * (49 + 81-64)) = \ sqrt (33) $$ - आइए परिणाम को रूट के रूप में छोड़ दें।

• एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर खींची गई माध्यिका 8 होती है, और आधार स्वयं 6 होता है। शेष दो के साथ, यह माध्यिका त्रिभुज को 6 त्रिभुजों में विभाजित करती है। प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

माध्यिकाएं त्रिभुज को छह बराबर क्षेत्रों में विभाजित करती हैं। इसका मतलब है कि छोटे त्रिभुजों के क्षेत्रफल एक दूसरे के बराबर होंगे। यह बड़े का क्षेत्रफल ज्ञात करने और इसे 6 से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है।

एक समद्विबाहु त्रिभुज में आधार की ओर खींची गई माध्यिका दी गई है, यह समद्विभाजक और ऊँचाई है। इसका मतलब है कि त्रिभुज में आधार और ऊंचाई ज्ञात है। आप क्षेत्र पा सकते हैं।

$$ एस = (1 \ over2) * 6 * 8 = 24 $$

प्रत्येक छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल: $$ (24 \ over6) = 4 $$

हमने क्या सीखा?

हमने सीखा कि माध्यिका क्या है। हमने माध्यिका के गुणों का निर्धारण किया, और विशिष्ट समस्याओं का समाधान खोजा। हमने बुनियादी गलतियों के बारे में बात की और यह पता लगाया कि त्रिभुज की भुजाओं के माध्यम से माध्यिका ज्ञात करने के सूत्र को आसानी से और जल्दी से कैसे याद किया जाए।

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त्रिभुज की माध्यिकाएक त्रिभुज के शीर्ष को इस त्रिभुज की विपरीत भुजा के मध्य से जोड़ने वाला एक खंड है।

त्रिभुज की माध्यिकाओं के गुण

1. माध्यिका एक त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

2. त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो उनमें से प्रत्येक को शीर्ष से गिनते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करती है। इस बिंदु को त्रिभुज (सेंट्रोइड) का गुरुत्वाकर्षण केंद्र कहा जाता है।

3. संपूर्ण त्रिभुज को उसकी माध्यिकाओं द्वारा छह बराबर त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है।

भुजा की ओर खींची गई माध्यिका की लंबाई: (समांतर चतुर्भुज के निर्माण को पूरा करके और भुजाओं के वर्गों के योग और विकर्णों के वर्गों के योग के दोगुने के समांतर चतुर्भुज में समानता का उपयोग करके गोदी )

टी1.त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ एक बिंदु M पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो उनमें से प्रत्येक को 2: 1 के अनुपात में विभाजित करती है, जो त्रिभुज के शीर्षों से गिना जाता है। दिया गया: एबीसी,एसएस 1, एए 1, बी बी 1 - माध्यिका
∆एबीसी... साबित करें: और

D-in: मान लीजिए M त्रिभुज ABC की माध्यिकाओं CC 1, AA 1 का प्रतिच्छेदन बिंदु है। आइए A 2 - खंड AM के मध्य और C 2 - खंड CM के मध्य को चिह्नित करें। तब A 2 C 2 त्रिभुज की मध्य रेखा है एएमसी।माध्यम, ए 2 सी 2|| जैसा

और ए 2 सी 2 = 0.5 * एसी। साथ 1 ए 1 - त्रिभुज ABC की मध्य रेखा। इसलिए, ए 1 साथ 1 || एसी और ए 1 साथ 1 = 0.5 * एसी।

अहाता ए 2 सी 1 ए 1 सी 2- समांतर चतुर्भुज, क्योंकि इसकी विपरीत भुजाएँ A 1 साथ 1 तथा ए 2 सी 2समान और समानांतर हैं। अत, ए 2 एम =एमए 1 तथा सी 2 एम =एम सी 1 . इसका मतलब है कि अंक ए 2तथा एममाध्यिका साझा करें एए 2तीन बराबर भागों में, यानी AM = 2MA 2. इसी तरह सीएम = 2एमसी 1 ... तो, दो माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन का बिंदु M एए 2तथा सीसी 2त्रिभुज ABC उनमें से प्रत्येक को त्रिभुज के शीर्षों से गिनते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। यह ठीक उसी तरह से सिद्ध होता है कि माध्यिका AA 1 और BB 1 का प्रतिच्छेद बिंदु त्रिभुज के शीर्षों से गिनती करके उनमें से प्रत्येक को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

माध्यिका AA 1 पर ऐसा बिंदु बिंदु M है, इसलिए, बिंदु एमऔर माध्यिका AA 1 और BB 1 का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

इस प्रकार, एन

टी2.सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज के शीर्षों को केन्द्रक से जोड़ने वाले रेखाखंड इसे तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं। दिया है: ABC, इसकी माध्यिका है।

साबित करें: एस एएमबी =एस बीएमसी =एस एएमसी।सबूत। वी,उनके पास आम है। जबसे उनके आधार समान हैं और ऊपर से खींची गई ऊंचाई एम,उनके पास आम है। फिर

इसी प्रकार सिद्ध होता है कि एस एएमबी = एस एएमसी।इस प्रकार, एस एएमबी = एस एएमसी = एस सीएमबी।एन

एक त्रिभुज का समद्विभाजक। एक त्रिभुज के समद्विभाजक से संबंधित प्रमेय। द्विभाजक खोजने के सूत्र

कोण द्विभाजक- कोण के शीर्ष पर मूल के साथ एक किरण, कोण को दो बराबर कोणों में विभाजित करती है।

किसी कोण का समद्विभाजक कोण के अंदर के बिंदुओं का बिंदुपथ होता है, जो कोण की भुजाओं से समान दूरी पर होता है।

गुण

1. समद्विभाजक प्रमेय: त्रिभुज के भीतरी कोने का समद्विभाजक विपरीत भुजा को दो आसन्न भुजाओं के अनुपात के बराबर अनुपात में विभाजित करता है

2. त्रिभुज के आंतरिक कोणों के समद्विभाजक इस त्रिभुज में उत्कीर्ण वृत्त के केंद्र - केंद्र - एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

3. यदि किसी त्रिभुज में दो समद्विभाजक बराबर हों, तो त्रिभुज समद्विबाहु (स्टेनर - लेमस प्रमेय) होता है।

द्विभाजक की लंबाई की गणना

l c - भुजा c की ओर खींचे गए समद्विभाजक की लंबाई,

ए, बी, सी - क्रमशः ए, बी, सी के विपरीत त्रिभुज के किनारे,

पी - त्रिभुज का अर्ध-परिधि,

ए एल, बी एल - सेगमेंट की लंबाई जिसमें द्विभाजक एल सी पक्ष सी को विभाजित करता है,

α, β, क्रमशः A, B, C शीर्ष पर त्रिभुज के आंतरिक कोण हैं,

h c - त्रिभुज की ऊँचाई, भुजा c तक कम।

क्षेत्र विधि।

विधि का विवरण।नाम से यह पता चलता है कि इस पद्धति का मुख्य उद्देश्य क्षेत्र है। कई आकृतियों के लिए, उदाहरण के लिए एक त्रिभुज के लिए, क्षेत्रफल को आकृति तत्वों (त्रिकोण) के विभिन्न संयोजनों के रूप में काफी सरलता से व्यक्त किया जाता है। इसलिए, तकनीक बहुत प्रभावी हो जाती है जब किसी दिए गए आकृति के क्षेत्र के लिए विभिन्न अभिव्यक्तियों की तुलना की जाती है। इस मामले में, आकृति के ज्ञात और मांगे गए तत्वों से युक्त एक समीकरण उत्पन्न होता है, जिसे हल करके हम अज्ञात का निर्धारण करते हैं। यह वह जगह है जहां क्षेत्र विधि की मुख्य विशेषता स्वयं प्रकट होती है - यह एक ज्यामितीय समस्या से एक बीजगणितीय समस्या "बनाती है", एक समीकरण (और कभी-कभी समीकरणों की एक प्रणाली) को हल करने के लिए सब कुछ कम कर देती है।

1) तुलना विधि: एक ही आंकड़े के बड़ी संख्या में सूत्र एस के साथ जुड़ा हुआ है

2) एस अनुपात विधि: ट्रेस संदर्भ समस्याओं के आधार पर:

चेवा का प्रमेय

मान लीजिए बिंदु A ", B", C "एक त्रिभुज की रेखाओं BC, CA, AB पर स्थित है। रेखाएँ AA", BB ", CC" एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं यदि और केवल यदि

सबूत।

आइए हम खंडों के प्रतिच्छेदन बिंदु से निरूपित करें और। आइए हम बिंदु C और A से रेखा BB 1 तक लंबों को तब तक छोड़ते हैं जब तक कि वे इसके साथ क्रमशः K और L बिंदुओं पर प्रतिच्छेद न करें (आकृति देखें)।

चूँकि त्रिभुज और एक उभयनिष्ठ भुजा होती है, इसलिए उनके क्षेत्रफलों को इस भुजा की ओर खींची गई ऊँचाइयों के रूप में संदर्भित किया जाता है, अर्थात्। एएल और सीके:

अंतिम समानता सत्य है, क्योंकि समकोण त्रिभुज और न्यून कोण में समान हैं।

इसी प्रकार, हम प्राप्त करते हैं तथा

आइए इन तीन समानताओं को गुणा करें:

क्यू.ई.डी.

टिप्पणी। एक त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत दिशा में स्थित एक बिंदु या उसके विस्तार से जोड़ने वाला एक खंड (या एक खंड की निरंतरता) चेवियाना कहलाता है।

प्रमेय (उलटा चेवा का प्रमेय)... मान लीजिए बिंदु A ", B", C "क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB पर स्थित है। मान लीजिए कि संबंध

फिर खंड AA ", BB", CC "और एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

मेनेलॉस प्रमेय

मेनेलॉस का प्रमेय। मान लीजिए कि रेखा त्रिभुज ABC को प्रतिच्छेद करती है, और C 1 भुजा AB के साथ इसके प्रतिच्छेदन का बिंदु है, A 1 भुजा BC के साथ इसके प्रतिच्छेदन का बिंदु है, और B 1 भुजा AC के विस्तार के साथ इसके प्रतिच्छेदन का बिंदु है . फिर

सबूत ... बिंदु C से AB के समांतर एक सीधी रेखा खींचिए। मान लीजिए K इसके प्रतिच्छेद बिंदु को रेखा B 1 C 1 से निरूपित करता है।

त्रिभुज AC 1 B 1 और CKB 1 समरूप हैं (∟C 1 AB 1 = KCB 1, AC 1 B 1 = ∟CKB 1)। अत,

त्रिभुज BC 1 A 1 और CKA 1 भी समान हैं (∟BA 1 C 1 = KA 1 C, BC 1 A 1 = ∟CKA 1)। माध्यम,

प्रत्येक समानता से हम CK व्यक्त करते हैं:

कहा पे क्यू.ई.डी.

प्रमेय (उलटा मेनेलॉस प्रमेय)।मान लीजिए कि एक त्रिभुज ABC दिया गया है। मान लीजिए कि बिंदु C 1 भुजा AB पर स्थित है, बिंदु A 1 - भुजा BC पर है, और बिंदु B 1 भुजा AC के विस्तार पर है, और संबंध

फिर बिंदु A 1, B 1 और C 1 संरेख हैं।

एक त्रिभुज तीन भुजाओं वाला एक बहुभुज है, या तीन कड़ियों वाली एक बंद पॉलीलाइन, या तीन बिंदुओं को जोड़ने वाले तीन खंडों द्वारा बनाई गई एक आकृति है जो एक सीधी रेखा पर नहीं होती है (चित्र 1 देखें)।

त्रिभुज ABC . के मूल तत्व

सबसे ऊपर - अंक ए, बी, और सी;

दलों - शीर्षों को जोड़ने वाले खंड a = BC, b = AC और c = AB;

कोने - α, β, तीन जोड़ी भुजाओं से बनता है। ए, बी, और सी अक्षरों के साथ कोणों को अक्सर शिखर के रूप में संदर्भित किया जाता है।

त्रिभुज की भुजाओं और उसके आंतरिक क्षेत्र में स्थित कोण को आंतरिक कोण कहा जाता है, और इसका आसन्न कोण त्रिभुज का आसन्न कोण होता है (2, पृष्ठ 534)।

त्रिभुज की ऊँचाई, माध्यिकाएँ, समद्विभाजक और मध्य रेखाएँ

त्रिभुज में मुख्य तत्वों के अलावा, अन्य खंडों पर विचार किया जाता है जिनमें दिलचस्प गुण होते हैं: ऊँचाई, माध्यिकाएँ, द्विभाजक और मध्य रेखाएँ।

ऊंचाई

त्रिभुज की ऊँचाई- ये त्रिभुज के शीर्षों से विपरीत भुजाओं पर गिराए गए लंब हैं।

ऊंचाई को प्लॉट करने के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य करने होंगे:

1) एक सीधी रेखा खींचना जिसमें त्रिभुज की एक भुजा हो (यदि ऊँचाई एक अधिक त्रिभुज में न्यून कोण के शीर्ष से खींची जाती है);

2) उस शीर्ष से जो खींची गई सीधी रेखा के विपरीत स्थित है, एक बिंदु से इस सीधी रेखा तक एक खंड बनाएं, इसके साथ 90 डिग्री का कोण बनाएं।

त्रिभुज की भुजा के साथ ऊँचाई का प्रतिच्छेदन बिंदु कहलाता है आधार ऊंचाई (अंजीर देखें। 2)।

त्रिभुज उन्नयन गुण

एक समकोण त्रिभुज में, समकोण के शीर्ष से खींची गई ऊँचाई इसे मूल त्रिभुज के समान दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

एक न्यूनकोण त्रिभुज में, इसकी दो ऊँचाइयों ने समान त्रिभुजों को काट दिया।

यदि त्रिभुज न्यूनकोण है, तो ऊँचाई के सभी आधार त्रिभुज की भुजाओं के होते हैं, और अधिक कोण वाले त्रिभुज में, दो ऊँचाई भुजाओं की निरंतरता पर पड़ती हैं।

एक न्यूनकोण त्रिभुज में तीन ऊँचाइयाँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और इस बिंदु को कहते हैं ऑर्थोसेंटर त्रिकोण।

मंझला

माध्यिकाओं(अक्षांश से। मेडियाना - "मध्य") - ये त्रिभुज के शीर्षों को विपरीत पक्षों के मध्य बिंदुओं से जोड़ने वाले खंड हैं (चित्र 3 देखें)।

माध्यिका बनाने के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य करने होंगे:

1) पक्ष के मध्य का पता लगाएं;

2) त्रिभुज की भुजा के बीच के बिंदु को विपरीत शीर्ष के साथ एक खंड से जोड़ दें।

त्रिभुज की माध्यिकाओं के गुण

माध्यिका एक त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो उनमें से प्रत्येक को शीर्ष से गिनते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करती है। इस बिंदु को कहा जाता है ग्रैविटी केंद्र त्रिकोण।

संपूर्ण त्रिभुज को उसकी माध्यिकाओं द्वारा छह समान त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है।

द्विभाजक

समद्विभाजक(अक्षांश से। बीआईएस - दो बार "और सेको - I कट) त्रिभुज के अंदर संलग्न रेखा खंड हैं, जो इसके कोनों को समद्विभाजित करते हैं (चित्र 4 देखें)।

द्विभाजक बनाने के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य करने होंगे:

1) कोण के शीर्ष से निकलने वाली किरण का निर्माण करें और इसे दो बराबर भागों (कोण का द्विभाजक) में विभाजित करें;

2) विपरीत भुजा वाले त्रिभुज के कोण के द्विभाजक के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं;

3) त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत दिशा में प्रतिच्छेदन बिंदु से जोड़ने वाले खंड का चयन करें।

त्रिभुज के समद्विभाजक के गुण

त्रिभुज का कोण समद्विभाजक विपरीत भुजा को दो आसन्न भुजाओं के अनुपात के बराबर अनुपात में विभाजित करता है।

त्रिभुज के भीतरी कोनों के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। इस बिंदु को उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र कहा जाता है।

भीतरी और बाहरी कोनों के समद्विभाजक लंबवत होते हैं।

यदि त्रिभुज के बाहरी कोने का समद्विभाजक विपरीत भुजा के निरंतरता को प्रतिच्छेद करता है, तो ADBD = ACBC।

त्रिभुज के एक आंतरिक और दो बाहरी कोनों के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु इस त्रिभुज के तीन वृत्तों में से एक का केंद्र है।

त्रिभुज के दो आंतरिक और एक बाहरी कोनों के द्विभाजक के आधार एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं यदि बाहरी कोने का द्विभाजक त्रिभुज के विपरीत पक्ष के समानांतर नहीं होता है।

यदि त्रिभुज के बाहरी कोनों के समद्विभाजक विपरीत भुजाओं के समानांतर नहीं हैं, तो उनके आधार एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं।

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