हमारे चारों ओर परवलय के विषय पर परियोजना। कक्षा एमओयू "ग्रैबत्सेव्स्काया माध्यमिक विद्यालय", शिक्षक: क्रूस तात्याना वैलेंटाइनोव्ना।"

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पाठ मकसद:इस विषय पर आवश्यक ज्ञान और कौशल का पुनरुत्पादन और सुधार;

कार्यों का विश्लेषण और उनके कार्यान्वयन के तरीके;

तार्किक सोच विकसित करना;

चार्ट बनाने और "पढ़ने" की क्षमता को मजबूत करना;

गणित के इतिहास में रुचि पैदा करना।

पाठ का प्रकार: छात्रों के ज्ञान, कौशल, क्षमताओं को समेकित और परीक्षण करने के लिए एक पाठ।

उपकरण:

• पावरप्वाइंट प्रस्तुति;
• चित्रकारी के औज़ार।

मैं। इतिहास संदर्भ। (स्लाइड 2)

पेर्गा का अपोलोनियस (पेर्गे, 262 ईसा पूर्व - 190 ईसा पूर्व) एक प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ है, जो तीन में से एक (यूक्लिड और आर्किमिडीज के साथ) पुरातनता के महान ज्यामिति हैं जो तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में रहते थे।

अपोलोनियस मुख्य रूप से मोनोग्राफ के लिए प्रसिद्ध हुआ "शंकु खंड"(8 पुस्तकें), जिसमें उन्होंने दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय का एक अर्थपूर्ण सामान्य सिद्धांत दिया। अपोलोनियस ने ही इन वक्रों के लिए सामान्य नामों का सुझाव दिया था; उससे पहले, उन्हें केवल "शंकु के खंड" कहा जाता था। उन्होंने अन्य गणितीय शब्द भी पेश किए, जिनमें से लैटिन एनालॉग्स ने हमेशा के लिए विज्ञान में प्रवेश किया, विशेष रूप से: एसिम्प्टोट, एब्सिसा, ऑर्डिनेट, एप्लिकेट।

"परबोला" का अर्थ अनुप्रयोग या दृष्टान्त है। लंबे समय तक, यह शंकु की कट लाइन का नाम था, जब तक कि एक द्विघात कार्य प्रकट नहीं हुआ।

जीवन में परवलय के गुणों का अनुप्रयोग।

यह पता चला है कि एक द्विघात फलन के परवलय ग्राफ में निम्नलिखित दिलचस्प गुण होते हैं: एक ऐसा बिंदु और एक ऐसी रेखा होती है कि परवलय का प्रत्येक बिंदु इस बिंदु से और इस रेखा से समान रूप से दूर होता है (बिंदु को फोकस कहा जाता है परवलय, और रेखा को इसकी डायरेक्ट्रीक्स कहा जाता है)। परवलय की यह संपत्ति प्राचीन ग्रीस के गणितज्ञों को पहले से ही ज्ञात थी।

क्षितिज के कोण पर फेंका गया पत्थर, या तोप से दागा गया प्रक्षेप्य, परवलयिक प्रक्षेपवक्र के साथ उड़ता है।

यदि आप एक परवलय को उसकी सममिति की धुरी के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको एक सतह मिलती है जिसे क्रांति का परवलय कहा जाता है। यदि आप एक गिलास में चम्मच से पानी को जोर से हिलाते हैं, और फिर चम्मच को हटा देते हैं, तो पानी की सतह एक ऐसे परवलयिक का रूप ले लेगी।

और यहाँ एक और जिज्ञासु गुण है: यदि क्रांति के एक परवलय को अपनी धुरी के चारों ओर एक उपयुक्त गति से घुमाया जाता है, तो परवलयिक के प्रत्येक बिंदु पर केन्द्रापसारक बल और गुरुत्वाकर्षण के परिणामी को इसकी सतह के लंबवत निर्देशित किया जाएगा।

एक अजीब आकर्षण इस संपत्ति पर आधारित है: यदि आप एक बड़े परवलयिक को घुमाते हैं, तो इसके अंदर स्थित प्रत्येक व्यक्ति को ऐसा लगता है कि वह खुद फर्श पर मजबूती से खड़ा है, और अन्य सभी लोग चमत्कारिक रूप से दीवारों पर रहते हैं।

द्वितीय. परवलय ग्राफ के स्थान के बारे में ज्ञान का सामान्यीकरण। (स्लाइड 3-5)

एक परवलय को ध्यान में रखते हुए...

इस खंड में, हम दिखाएंगे कि आप वर्ग त्रिपद के गुणांकों के बारे में बहुत सारी जानकारी कैसे प्राप्त कर सकते हैं वाई \u003d कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी,इसके ग्राफ पर विचार करते हुए - एक परवलय।

आइए पहले प्रसिद्ध तथ्यों को याद करें।

1) गुणांक चिह्न एक(पर एक्स 2)परवलय की शाखाओं की दिशा दिखाता है:

एक >ओ - शाखाएं ऊपर;

एक< 0 - ветви вниз.

गुणांक मापांक, एक"शीतलता" के लिए जिम्मेदार

परवलय: अधिक "स्टीपर" परवलय।

तय करना अभ्यास 1. (स्लाइड 6, 7)

प्रत्येक वर्ग त्रिपद के लिए:

2) गुणांक बी(के साथ साथ एक)परवलय के शीर्ष के भुज को निर्धारित करता है:

विशेष रूप से, जब एक= एक वर्ग त्रिपद के शीर्ष का 1 भुज वाई \u003d एक्स 2 + बीएक्स + सीबराबर।

पर बी> 0 शीर्ष अक्ष के बाईं ओर स्थित है कहां,पर बी< 0 - दाईं ओर, पर बी = 0- अक्ष पर कहां.

तय करना व्यायाम 2. (स्लाइड 8, 9)

उनके प्रत्येक वर्ग त्रिपद के लिए:

रेखाचित्र पर इसका ग्राफ ज्ञात कीजिए।

3) गुणांक रखना ए और बी औरबदलना साथ, हम परवलय को "उठा" और "निचला" करेंगे। ड्राइंग में मूल्य को "पढ़ें" कैसे साथ?

यह स्पष्ट है कि सी = वाई (0)-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय ओ.यू.

तय करना व्यायाम 3. (स्लाइड 11, 12)

ए) शेड्यूल कहां है?

बी) और क्या है: साथया 1 ?

ग) चिन्ह का निर्धारण करें बी.

तय करना व्यायाम 4. (स्लाइड 13, 14)

ड्राइंग फ़ंक्शन ग्राफ़ दिखाता है:

अक्ष के साथ कहां, जा रहा है, हमेशा की तरह, "नीचे से ऊपर" अक्ष के लंबवत ओह, मिटा दिया।

क) किस फलन का ग्राफ 1 है और किसका ग्राफ 2 है?

बी) संकेत सी और डी निर्धारित करें।

ग) चिह्न बी निर्धारित करें।

तय करना व्यायाम 5. (स्लाइड 15, 16)

ड्राइंग फ़ंक्शन ग्राफ़ दिखाता है:

वाई \u003d एक्स 2 + 4x + सी,

वाई \u003d एक्स 2 + बीएक्स + डी और वाई \u003d एक्स 2 + 1,

अक्ष के साथ ओह, जा रहा है, हमेशा की तरह, "बाएं से दाएं" अक्ष के लंबवत कहां, मिटा दिया।

a) किस फंक्शन में ग्राफ 1 है, कौन-सा - 2, और कौन-सा - 3?

बी) संकेत निर्धारित करें बी.

ग) और क्या है: साथया डी?

घ) संकेतों को पहचानें साथतथा डी.

तय करना व्यायाम 6. (स्लाइड 17-19)

ड्राइंग फ़ंक्शन ग्राफ़ दिखाता है:

वाई \u003d कुल्हाड़ी 2 + एक्स + सी,

वाई \u003d -एक्स 2 + बीएक्स + 2

कुल्हाड़ियों के साथ कहांतथा ओह,एक मानक तरीके से व्यवस्थित (शीट के किनारों के समानांतर, ओह- क्षैतिज रूप से बाएं से दाएं कहां- लंबवत ("नीचे से ऊपर तक"), मिटा दिया गया।

ए) संकेत निर्धारित करें बी.

बी) संकेत निर्धारित करें साथ।

ग) साबित करें कि:

• अभ्यासों का समाधान उन तथ्यों पर आधारित है जो हम वर्ग त्रिपद के गुणांकों के बारे में जानते हैं;
• परवलय के गुण अत्यंत समृद्ध और विविध हैं, समस्या को हल करने के लिए उनका उपयोग करें।

कार्य (स्लाइड 20, 21)।

यह ज्ञात है कि परवलय, जो एक वर्ग त्रिपद का आलेख है वाई \u003d कुल्हाड़ी 2 + 10x + सी,तीसरी तिमाही में कोई अंक नहीं है।

निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य नहीं हो सकता है?

(ए) ए>0

(बी) परवलय का शीर्ष दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।

(सी) के साथ > 0

(ई) 1OO - 4 एसी < 0.

चूँकि परवलय का तीसरे चतुर्थांश में कोई बिंदु नहीं है, यह ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसलिए, एक> 0, इसलिए शीर्ष का भुज एक्स 0< 0. То есть вершина не может лежать ни в I, ни в IV четвертях. В III четверти ее нет по условию, значит, она лежит во II четверти. Итак, парабола обязана иметь такой вид, как показано на рисунке, поэтому условия А, В и С обязательно выполняются. Неравенство в Е означает, что дискриминант неположителен, то есть у квадратного трехчлена не более одного корня, - это условие тоже обязательно выполняется. Условие साथ> 0.1 किसी भी चीज़ का अनुसरण नहीं करता है।

दरअसल, इसका उल्लंघन किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, परवलय के लिए पर= एक्स 2+ 10एक्स + 0.01, जो समस्या की शर्तों को संतुष्ट करता है।

उत्तर: (डी)।

इस शब्द के अन्य अर्थ हैं। . (साहित्य)

परवलय - "तुलना, तुलना, समानता, सन्निकटन।"

एक अलंकारिक प्रकृति की एक छोटी कहानी, जिसका एक शिक्षाप्रद अर्थ और वर्णन का एक विशेष रूप है, जो एक वक्र (परवलय) के साथ चलती है: अमूर्त वस्तुओं से शुरू होकर, कहानी धीरे-धीरे मुख्य विषय पर पहुंचती है, और फिर वापस आती है फिर से।

परबोला।

परवलय के रिश्तेदार -

पास और दूर

सिलचेंको ओल्गा, इज़ोटोवा अन्ना

9 वीं कक्षा के छात्र एमबीओयू स्ट्रैशेविचस्काया माध्यमिक विद्यालय

शिक्षक: समोलिसोवा तात्याना वासिलिवेना

परियोजना का उद्देश्य:

दूसरे क्रम के वक्रों (परवलय) में से एक और उसके दायरे का अध्ययन करें।

परियोजना के उद्देश्यों:

1. परवलय की गणितीय परिभाषा दीजिए।

2. परवलय के गुणों का अध्ययन करें।

3. पता लगाएँ कि परवलय को शंकु खंड क्यों कहा जाता है।

4. परवलय के "रिश्तेदारों" के बारे में जानकारी प्राप्त करें

5. परवलय के अनुप्रयोग के क्षेत्रों की पहचान करें

हम सभी वर्ग त्रिपद से भली-भांति परिचित हैं, जिसके बारे में ऐसा लगता है कि हम सभी जानते हैं: जड़ों को कैसे खोजना है, और ग्राफ कैसे बनाना है, और द्विघात असमानताओं को कैसे हल करना है ... लेकिन यह जल्दबाजी का फैसला है - हमारे पुराने दोस्त के पास बहुत सारे रहस्य और आश्चर्य हैं!

परवलय (ग्रीक αραβολή - आवेदन) - एक वक्र, जिसके बिंदु एक निश्चित बिंदु से समान रूप से दूर होते हैं, जिसे फोकस कहा जाता है, और एक निश्चित सीधी रेखा से, जिसे परवलय का निर्देश कहा जाता है।

परवलयएक कट है शंकुअपने जेनरेट्रिक्स के समानांतर एक विमान।

निर्माण का दूसरा तरीका

यह पता चला है कि एक परवलय - एक द्विघात फ़ंक्शन का एक ग्राफ - एक दिलचस्प संपत्ति है: एक ऐसा बिंदु और ऐसी रेखा है कि परवलय का प्रत्येक बिंदु इस बिंदु से और इस रेखा से समान रूप से दूर है (बिंदु को कहा जाता है परवलय का फोकस, और रेखा को डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है)। परवलय की यह संपत्ति प्राचीन ग्रीस के गणितज्ञों को पहले से ही ज्ञात थी। फ़ंक्शन y \u003d x 2 के ग्राफ़ के लिए, निर्देशांक (0; 0.25) के साथ बिंदु है, और डायरेक्ट्रिक्स सीधी रेखा y \u003d -0.25 है।

यह पता लगाने की कोशिश करें कि आप इस संपत्ति का उपयोग करके परवलय कैसे बना सकते हैं।

परवलय गुण

1. परवलय - दूसरे क्रम का वक्र।

2. इसमें समरूपता का अक्ष होता है जिसे परवलय का अक्ष कहा जाता है। अक्ष फोकस से होकर गुजरता है और वर्टेक्स डायरेक्ट्रिक्स के लंबवत है।

3. ऑप्टिकल संपत्ति। परवलय की धुरी के समानांतर किरणों की एक किरण, परवलय में परिलक्षित होती है, इसके फोकस पर एकत्र की जाती है। इसके विपरीत, एक स्रोत से प्रकाश जो फोकस में है, एक परवलय द्वारा अपनी धुरी के समानांतर किरणों की किरण में परावर्तित होता है।

4. एक परवलय के लिए, फोकस (0; 0.25) पर होता है।

परवलय के लिए, फोकस बिंदु (0; f) पर होता है।

5. सभी परवलय समान होते हैं। फोकस और डायरेक्ट्रिक्स के बीच की दूरी पैमाने को निर्धारित करती है।

परवलय के निकटतम संबंधी- ये है घेरा , अतिशयोक्तितथा अंडाकार

और ये सभी वक्र एक साधारण शंकु से संबंधित हैं:

एक समतल खींचिए जो शंकु के अक्ष के समानांतर हो,

तो चौराहे की रेखा एक अतिपरवलय होगी

• यदि तल अक्ष के लंबवत है, तो प्रतिच्छेदन एक वृत्त है ,

• यदि विमान को अंतिम दो के बीच में रखा जाए,

तो चौराहा एक दीर्घवृत्त होगा।

यदि तल शंकु के जनक के समांतर है, तो चौराहा एक परवलय होगा ,

इसलिए, ये सभी वक्र एक साथ शंकु वर्ग कहलाते हैं।

पहले से ही 340 ईसा पूर्व में, ग्रीक गणितज्ञ मेनेचमस को इन वक्रों की इस संपत्ति के बारे में पता था, और दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व में, पेर्गा के अपोलोनियस ने एक समान ग्रंथ, कॉनिक सेक्शन लिखा था।

चक्रवात।

परवलय का एक अन्य प्रसिद्ध रिश्तेदार चक्रवात है। यह एक पहिया के रिम बिंदु का प्रक्षेपवक्र है जो एक सीधी रेखा में फिसले बिना लुढ़कता है। वक्र को यह नाम गैलीलियो ने दिया था। यदि आप एक चक्रवात के रूप में बनी पहाड़ी से स्लेज पर नीचे जाते हैं, तो वंश का समय इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि स्लेज कहाँ से लुढ़कना शुरू हुआ। लेकिन दूसरी ओर, किसी अन्य आकार की पहाड़ी के साथ समान ऊंचाई से उतरने में अधिक समय लगेगा। इस गुण के कारण, चक्रवात को "ब्राचिस्टोक्रोन" भी कहा जाता है। (ग्रीक शब्दों से जिसका अर्थ है "सबसे छोटा" और "समय")।

क्रांति का परवलयिक।

यदि आप किसी परवलय को उसकी घूर्णन अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको एक ऐसा पृष्ठ प्राप्त होता है जिसे परिक्रमण का परवलय कहा जाता है।

यदि आप एक गिलास में चम्मच से पानी को जोर से हिलाते हैं, और फिर चम्मच को हटा देते हैं, तो पानी की सतह एक ऐसे परवलयिक का रूप ले लेगी।

इंजीनियरिंग में Paraboloids का उपयोग

क्रांति का एक परवलयिक मुख्य अक्ष के समानांतर किरणों की एक किरण को एक बिंदु पर केंद्रित करता है।

क्रांति के एक परवलयिक की संपत्ति का उपयोग अक्सर मुख्य अक्ष के समानांतर किरणों की एक किरण को एक बिंदु में इकट्ठा करने के लिए किया जाता है - एक फोकस, या, इसके विपरीत, फोकस में एक स्रोत से विकिरण के समानांतर बीम बनाने के लिए।

परवलयिक एंटेना, परावर्तक दूरबीन, सर्चलाइट और कार हेडलाइट्स इसी सिद्धांत पर आधारित हैं।

Paraboloids का उपयोग इंजीनियरिंग में

परावर्तक दूरदर्शी

खोज-दीप

कार की रोशनी

सौर लाइटर

सूर्य की ऊर्जा का उपयोग करने का मूल तरीका। सोलर लाइटर एक स्टेनलेस स्टील परवलयिक दर्पण है, ठीक उसी तरह जैसे एथेंस में ओलंपिक की लौ को रोशन करने के लिए इस्तेमाल किया जाता था।

एक परवलयिक दर्पण एक केंद्र बिंदु में सारी ऊर्जा एकत्र करना और आग जलाना संभव बनाता है। इस समय तापमान 537 डिग्री सेल्सियस तक पहुंच सकता है। ऐसा उपकरण अभियान और अन्य क्षेत्र स्थितियों में अपरिहार्य होगा।

भौतिक स्थान में परवलय

परवलयिक कक्षा और इसके साथ उपग्रह की गति

गिरावट बास्केटबालगेंद

कैलिफोर्निया, यूएसए में परवलयिक सौर ऊर्जा संयंत्र।

प्रकृति में परबोला

परवलय। उसका आकार अविश्वसनीय है, जैसा कि उसकी ऊंचाई है। कुछ लोग

अभी भी इस अजीब चट्टान के अस्तित्व पर विश्वास नहीं होता है। इसीलिए उनका कहना है:

"कोई भगवान नहीं है, कोई परबोला नहीं है। और वे जो दिखाते हैं वह फोटोशॉप है।"

प्रकृति में परबोला

निस्संदेह, जो लोग मानते हैं कि एक परवलय केवल एक पाठ्यपुस्तक के पन्नों पर पाया जा सकता है, वे गलत हैं। चित्रों को ध्यान से देखें और उनमें परवलय खोजें।

पत्तियों, फूलों, जानवरों के कई चित्र स्वयं बनाएं और उनमें परवलय खोजें।

जानवरों के साम्राज्य में Parabolas

पशु कूद प्रक्षेपवक्र एक परवलय के करीब हैं

परिणाम

इस परियोजना पर काम करते हुए :

1. परवलय की एक कठोर गणितीय परिभाषा तैयार की जाती है।

2. परवलय के निर्माण की एक विधि पर विचार किया जाता है।

3. परवलय के कुछ गुणों का अध्ययन किया जाता है।

4. "परवलय" और "शंकु वर्गों" की अवधारणाओं के बीच संबंध का पता चलता है, परवलय के रिश्तेदार पाए जाते हैं।

5. परवलय के अनुप्रयोग के क्षेत्र निर्धारित किए जाते हैं (भौतिकी, प्रौद्योगिकी, खगोल विज्ञान, वास्तुकला, आदि)।

6. आसपास की दुनिया में गणित के महत्व की पुष्टि हो चुकी है।

उपयोग किए गए स्रोतों की सूची:

1. एक युवा गणितज्ञ का विश्वकोश शब्दकोश। ए.पी. सविन, एम, शिक्षाशास्त्र, 1982 द्वारा संकलित।

2. बच्चों के लिए विश्वकोश, खंड 11, "गणित", एम, "अवंता +", 1998।

3. गणितीय क्लब "कंगारू", "अराउंड द स्क्वायर ट्रिनोमियल" सेंट पीटर्सबर्ग, 2002।

4. वेबसाइट http://www/uvlekat- matem.narod.ru/

5.साइट www.bigpi.biysk.ru

6.साइट hi.wikipedia.org › चोटीदार खंड

परियोजना का उद्देश्य: दूसरे क्रम (परबोला) के वक्रों में से एक और उसके दायरे का अध्ययन करना। परियोजना के उद्देश्य: 1. परवलय की एक कठोर गणितीय परिभाषा दें। 2. परवलय के गुणों का अध्ययन करें। 3. पता लगाएँ कि परवलय को शंकु खंड क्यों कहा जाता है। 4. परवलय के अनुप्रयोग के क्षेत्रों की पहचान करें।

एक परवलय (ग्रीक παραβολή परिशिष्ट) एक वक्र होता है जिसके बिंदु किसी बिंदु से समान रूप से दूर होते हैं, जिसे फोकस कहा जाता है, और किसी सीधी रेखा से, जिसे परवलय का निर्देश कहा जाता है। दीर्घवृत्त और अतिपरवलय के साथ, परवलय एक शंक्वाकार खंड है। एक शंक्वाकार खंड की एक छवि जो एक परवलय है। एक शंकु खंड के रूप में एक परवलय का निर्माण।

एक परवलय का निर्माण पहला तरीका। एक परवलय को समीकरण को जाने बिना और केवल फ़ोकस और डायरेक्ट्रिक्स उपलब्ध होने के बिना, कम्पास और स्ट्रेटएज के साथ "बिंदुओं द्वारा" बनाया जा सकता है। शीर्ष फोकस और डायरेक्ट्रिक्स के बीच खंड का मध्यबिंदु है। वांछित इकाई खंड के साथ एक मनमाना संदर्भ प्रणाली डायरेक्ट्रिक्स पर सेट है। प्रत्येक बाद का बिंदु फोकस और डायरेक्ट्रिक्स के बिंदु के बीच खंड के लंबवत द्विभाजक का प्रतिच्छेदन है, जो मूल से इकाई खंड की दूरी के एक गुणक पर स्थित है, और इस बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा और अक्ष के समानांतर है परवलय

एक परवलय का निर्माण दूसरा तरीका। एक परवलय खींचने के लिए, आपको एक शासक, एक वर्ग, एक धागे की आवश्यकता होगी जिसकी लंबाई वर्ग के बड़े पैर के बराबर हो और बटन हों। हम धागे के एक छोर को फोकस से जोड़ते हैं, और दूसरा वर्ग के छोटे कोने के शीर्ष पर। आइए एक रूलर को डायरेक्ट्रिक्स से जोड़ दें और उस पर एक छोटे पैर के साथ एक वर्ग लगाएं। एक पेंसिल के साथ धागे को फैलाएं ताकि इसकी नोक कागज को छू ले और बड़े पैर के खिलाफ दब जाए। हम वर्गाकार को घुमाएंगे और पेंसिल को उसके पैर से दबाएंगे ताकि धागा तना हुआ रहे। इस मामले में, पेंसिल कागज पर एक परवलय खींचेगी।

एक परवलय के गुण 1. एक परवलय दूसरे क्रम का एक वक्र होता है। 2. इसमें समरूपता का अक्ष होता है जिसे परवलय का अक्ष कहा जाता है। अक्ष फोकस से होकर गुजरता है और वर्टेक्स डायरेक्ट्रिक्स के लंबवत है। 3. ऑप्टिकल संपत्ति। परवलय की धुरी के समानांतर किरणों की एक किरण, परवलय में परिलक्षित होती है, इसके फोकस पर एकत्र की जाती है। इसके विपरीत, एक स्रोत से प्रकाश जो फोकस में है, एक परवलय द्वारा अपनी धुरी के समानांतर किरणों की किरण में परावर्तित होता है। 4. एक परवलय के लिए, फोकस (0; 0.25) पर होता है। परवलय के लिए, फोकस बिंदु (0; f) पर होता है। 5. सभी परवलय समान होते हैं। फोकस और डायरेक्ट्रिक्स के बीच की दूरी पैमाने को निर्धारित करती है। 6. जब एक परवलय को सममिति की धुरी के चारों ओर घुमाया जाता है, तो एक अण्डाकार परवलय प्राप्त होता है।

परवलय के गुण Pn से फोकस F तक की दूरी Pn से Qn के समान होती है। 9-बिंदु प्रमेय के माध्यम से पास्कल के प्रमेय के प्रमाण के लिए चित्रण। F-Pn-Qn लाइनों की लंबाई समान है। हम कह सकते हैं कि, दीर्घवृत्त के विपरीत, परवलय का दूसरा फोकस अनंत पर है (डंडेलिन बॉल्स भी देखें)।

तकनीक में परवलयिकों का उपयोग करना क्रांति का एक परवलय मुख्य अक्ष के समानांतर किरणों के एक पुंज को एक बिंदु पर केंद्रित करता है। क्रांति के एक परवलयिक की संपत्ति का उपयोग अक्सर मुख्य अक्ष के समानांतर किरणों के एक बीम को एक फोकस बिंदु में इकट्ठा करने के लिए किया जाता है, या, इसके विपरीत, फोकस में एक स्रोत से विकिरण के समानांतर बीम बनाने के लिए किया जाता है। परवलयिक एंटेना, दूरबीन - परावर्तक, सर्चलाइट, कार हेडलाइट्स इसी सिद्धांत पर आधारित हैं। रेडियो दूरबीन एंटीना।

सोलर लाइटर सूर्य की ऊर्जा का उपयोग करने का एक मूल तरीका है। सोलर लाइटर एक स्टेनलेस स्टील परवलयिक दर्पण है, ठीक उसी तरह जैसे एथेंस में ओलंपिक की लौ को रोशन करने के लिए इस्तेमाल किया जाता था। एक परवलयिक दर्पण एक केंद्र बिंदु में सारी ऊर्जा एकत्र करना और आग जलाना संभव बनाता है। इस समय तापमान 537 डिग्री सेल्सियस तक पहुंच सकता है। ऐसा उपकरण अभियान और अन्य क्षेत्र स्थितियों में अपरिहार्य होगा।

भौतिक अंतरिक्ष में परवलय कुछ ब्रह्मांडीय पिंडों (धूमकेतु, क्षुद्रग्रह और अन्य) के एक तारे या अन्य विशाल वस्तु (एक तारा, एक ब्लैक होल या सिर्फ एक ग्रह) के पास पर्याप्त रूप से उच्च गति से गुजरने के प्रक्षेपवक्र में एक परवलय का आकार होता है (या अतिपरवलय)। ये पिंड अपनी उच्च गति और कम द्रव्यमान के कारण तारे के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र द्वारा कब्जा नहीं कर पाते हैं और अपनी मुक्त उड़ान जारी रखते हैं। इस घटना का उपयोग अंतरिक्ष यान के गुरुत्वाकर्षण युद्धाभ्यास के लिए किया जाता है।

बैलिस्टिक्स में परवलय का अनुप्रयोग बैलिस्टिक (ग्रीक βάλλειν से थ्रो तक) गणित और भौतिकी पर आधारित अंतरिक्ष में फेंके गए पिंडों की गति का विज्ञान है। यह मुख्य रूप से आग्नेयास्त्रों, रॉकेट प्रोजेक्टाइल और बैलिस्टिक मिसाइलों से दागे गए प्रोजेक्टाइल की आवाजाही पर केंद्रित है। आंतरिक बैलिस्टिक के बीच एक अंतर किया जाता है, जो बंदूक चैनल में एक प्रक्षेप्य की गति का अध्ययन करता है, बाहरी बैलिस्टिक के विपरीत, जो एक प्रक्षेप्य की गति का अध्ययन करता है क्योंकि यह बंदूक छोड़ देता है। बाहरी बैलिस्टिक द्वारा, एक नियम के रूप में, वे केवल बाहरी बलों की कार्रवाई के तहत वायु और वायुहीन अंतरिक्ष में निकायों की गति के विज्ञान को समझते हैं।

सस्पेंशन ब्रिज निर्माण संरचना। एक निलंबन पुल में मुख्य तनाव मुख्य केबलों में तन्यता तनाव और समर्थन में संपीड़न तनाव होते हैं, अवधि में तनाव स्वयं ही छोटे होते हैं। समर्थन में लगभग सभी बलों को लंबवत नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है और केबलों द्वारा स्थिर किया जाता है, इसलिए समर्थन बहुत पतले हो सकते हैं। विभिन्न संरचनात्मक तत्वों पर भार का अपेक्षाकृत सरल वितरण निलंबन पुलों के डिजाइन को सरल करता है। अपने स्वयं के वजन और पुल की अवधि के वजन के प्रभाव में, केबल शिथिल हो जाते हैं और एक परवलय के करीब एक चाप बनाते हैं। दो समर्थनों के बीच निलंबित एक अनलोडेड केबल तथाकथित का रूप ले लेती है। "कैटेनरी", जो लगभग क्षैतिज खंड में एक परवलय के करीब है। यदि केबलों के वजन की उपेक्षा की जा सकती है, और स्पैन का वजन पुल की लंबाई के साथ समान रूप से वितरित किया जाता है, तो केबल एक परवलय का रूप ले लेते हैं। यदि केबल का वजन सड़क के वजन के बराबर है, तो इसका आकार एक कैटेनरी और एक परवलय के बीच मध्यवर्ती होगा।

परिणाम इस परियोजना पर काम के दौरान: 1. एक परवलय की एक कठोर गणितीय परिभाषा तैयार की गई थी। 2. परवलय के निर्माण की एक विधि पर विचार किया जाता है। 3. परवलय के कुछ गुणों का अध्ययन किया जाता है। 4. "पैराबोला" और "शंकु वर्गों" की अवधारणाओं के बीच संबंध का पता चलता है। 5. परवलय (भौतिकी, प्रौद्योगिकी, बैलिस्टिक, खगोल विज्ञान, वास्तुकला, पुल निर्माण) के अनुप्रयोग के क्षेत्र निर्धारित किए जाते हैं। 6. आसपास की दुनिया में गणित के महत्व की पुष्टि हो चुकी है।

इंटरनेट संसाधन परवलय शंकु खंड एंटीना परावर्तक _ (दूरबीन) सर्चलाइट फोकस _ (भौतिकी) निलंबन पुल अण्डाकार परवलयिक

परबोला MBOU Igrimskaya माध्यमिक विद्यालय नंबर 2, साली तात्याना अनातोल्येवना, गणित के शिक्षक के बारे में संवाद

पाठ के लक्ष्य और उद्देश्य: द्विघात फलन के गुणों को दोहराएं। वास्तविक दुनिया के साथ एक द्विघात फलन और उसके ग्राफ का संबंध दिखाइए। परवलय के गुणों के अनुप्रयोग पर ज्ञान को व्यवस्थित करना।

परिभाषा। y \u003d ax 2 + b x + c के रूप का एक फलन, जहाँ a, b, c को संख्याएँ दी गई हैं, a≠0, x एक वास्तविक चर है, द्विघात फलन कहलाता है। उदाहरण: 1) y \u003d 5x + 1 4) y \u003d x 3 + 7x-1 2) y \u003d 3x 2 -1 5) y \u003d 4x 2 3) y \u003d -2x 2 + x + 3 6 ) वाई \u003d -3x 2 +2x

परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। परवलय की सममिति के अक्ष का समीकरण। फ़ंक्शन शून्य। वे अंतराल जिनमें फलन बढ़ता है, घटता है। अंतराल जिसमें फलन धनात्मक मान, ऋणात्मक मान लेता है। गुणांक a का चिन्ह क्या है? परवलय की शाखाओं की स्थिति गुणांक a पर कैसे निर्भर करती है?

परवलय का शीर्ष: असाइनमेंट। परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए: 1) y \u003d x 2 -4x-5 2) y \u003d -5x 2 +3 उत्तर: (2; -9) उत्तर: (0; 3) समरूपता अक्ष समीकरण: x \ u003d x 0

निर्देशांक अक्षों के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक। सी ऑक्स: y=0 ax 2 + b x+c=0 C Oy: x=0 y=c असाइनमेंट। निर्देशांक अक्षों के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए: 1) y=x 2 -x; 2) वाई \u003d एक्स 2 +3; 3) वाई \u003d 5x 2 -3x-2 (0; 0); (1; 0) (0; 3) (1; 0); (-0.4; 0); (0; 2)

परीक्षण। (-1;1) (- ;0) (1; ∞) (-∞;∞) (-1;0) x≠-1 कोई मान नहीं x y 0 y > 0 y

किसी फलन का आलेख खींचिए और उसके गुणों का पता लगाने के लिए आलेख का उपयोग कीजिए। वाई \u003d -x 2 -6x-8 फ़ंक्शन गुण: y\u003e 0 अंतराल पर y

द्विघात फलन का ग्राफ़ - परवलय परबोला (ग्रीक αραβολή - अनुप्रयोग) - किसी दी गई रेखा से समान दूरी वाले बिंदुओं का स्थान (जिसे परवलय का निदेशिका कहा जाता है) और दिए गए बिंदु (परवलय का फ़ोकस कहा जाता है)।

गुण एक परवलय दूसरे क्रम का एक वक्र है। इसमें समरूपता का एक अक्ष होता है जिसे परवलय अक्ष कहा जाता है। धुरी फोकस से होकर गुजरती है और डायरेक्ट्रिक्स के लंबवत है। यदि परवलय का फोकस स्पर्शरेखा के सापेक्ष परावर्तित हो जाता है, तो उसका प्रतिबिम्ब नियता पर स्थित होगा। परवलय रेखा का प्रतिपादक है। सभी परवलय समान हैं। फोकस और डायरेक्ट्रिक्स के बीच की दूरी पैमाने को निर्धारित करती है। जब एक परवलय को समरूपता की धुरी के चारों ओर घुमाया जाता है, तो एक अण्डाकार परवलय प्राप्त होता है। वाई > 0

आर्किमिडीज का फोकस यह दिन 212 ईसा पूर्व का है। जीवित रोमनों को जीवन भर याद रखा गया। किले की दीवार पर लगभग आधा हजार छोटे सूरज अचानक चमक उठे। पहले तो वे बस अंधे हो गए, लेकिन थोड़ी देर बाद कुछ शानदार हुआ: सिरैक्यूज़ के पास आने वाले उन्नत रोमन जहाज, एक के बाद एक, अचानक मशालों की तरह भड़कने लगे। रोमनों की उड़ान एक दहशत थी ...

किंवदंती के अनुसार, सिरैक्यूज़ के आर्किमिडीज़ ने अपने शहर की रक्षा करते हुए रोमन बेड़े को परवलयिक दर्पणों से जला दिया। ऐसे दर्पणों के गुणों का उपयोग सौर भट्टियों, दूरबीनों आदि के डिजाइन में किया जाता है।

अद्भुत परबोला मुझे गाना और मस्ती करना पसंद है, एक मजेदार नृत्य में घूमें। जब मैं धुरी के चारों ओर घूमता हूं, तो मैं एक महत्वपूर्ण आकृति की ओर मुड़ता हूं। और घुड़सवार दौड़ते हैं, वे उन्हें कार तक ले जाते हैं। और हर कोई आमंत्रित करना चाहता है - रहने के लिए घर की छत पर। रहस्य

ऊपर फेंका गया शरीर परवलय के अनुदिश गति करता है। गेंद को 1.5 मीटर की ऊंचाई से लंबवत ऊपर की ओर फेंकने दें, जिससे यह 10 मीटर/सेक का प्रारंभिक वेग दे। फिर ऊँचाई h (m में) जिस पर गेंद स्थित है, उड़ान समय t (s में) का द्विघात फलन है। यदि हम मानते हैं कि g \u003d 10 m / s, तो फ़ंक्शन h \u003d f (t) को सूत्र h \u003d 1.5 + 10t-5 t द्वारा वर्णित किया जा सकता है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय का हिस्सा है।

बढ़ी हुई जटिलता की समस्याओं को हल करने में परवलय के गुणों का अनुप्रयोग। 1. समीकरण के कितने मूल हैं: (x -100) (x -101) + (x - 101) (x -102) + (x -102) (x -100) \u003d 0?