Tablica formula za površine volumetrijskih figura. Kako pronaći površinu figure? Pravokutna ili kvadratna soba

Područje geometrijske figure- numerička karakteristika geometrijske figure koja pokazuje veličinu ove figure (dio površine ograničen zatvorenom konturom ove figure). Veličina područja izražava se brojem kvadratnih jedinica koje se u njemu nalaze.

Formule površine trougla

Formula za površinu trokuta po strani i visini
Površina trougla jednak polovini umnoška dužine stranice trokuta i dužine visine povučene ovoj strani
Formula za površinu trokuta zasnovanu na tri strane i poluprečniku opisane kružnice
Formula za površinu trokuta zasnovana na tri strane i poluprečniku upisane kružnice
Površina trougla jednak je proizvodu poluperimetra trokuta i poluprečnika upisane kružnice.

Formule kvadratne površine

Formula za površinu kvadrata po dužini stranice
Kvadratna površina jednak kvadratu dužine njegove stranice.
Formula za površinu kvadrata duž dijagonalne dužine
Kvadratna površina jednaka polovini kvadrata dužine njegove dijagonale.
S= 1 2
2

Formula površine pravokutnika

Površina pravougaonika

Formule površine paralelograma

Formula za površinu paralelograma na osnovu dužine i visine stranice
Površina paralelograma
Formula za površinu paralelograma zasnovanu na dvije strane i kutu između njih
Površina paralelograma jednak je proizvodu dužina njegovih stranica pomnoženog sa sinusom ugla između njih.
a b sin α

Formule za površinu romba

Formula za površinu romba na osnovu dužine i visine stranice
Područje romba jednak je proizvodu dužine njegove stranice i dužine visine spuštene na ovu stranu.
Formula za površinu romba na osnovu dužine stranice i kuta
Područje romba jednak je proizvodu kvadrata dužine njegove stranice i sinusa ugla između stranica romba.
Formula za površinu romba zasnovana na dužinama njegovih dijagonala
Područje romba jednak polovini umnoška dužina njegovih dijagonala.

Formule površine trapeza

Heronova formula za trapez
gdje je S površina trapeza,
- dužine osnova trapeza,
- dužine stranica trapeza,

Kako pronaći površinu figure?

Poznavanje i sposobnost izračunavanja površina različitih figura neophodno je ne samo za rješavanje jednostavnih geometrijskih problema. Ne možete bez ovog znanja prilikom sastavljanja ili provjere procjena za popravke prostorija, izračunavanja količine potrebnog potrošnog materijala. Dakle, hajde da shvatimo kako pronaći područja različitih oblika.

Dio ravnine koji se nalazi unutar zatvorene konture naziva se površina ove ravni. Površina je izražena brojem kvadratnih jedinica sadržanih u njoj.

Da biste izračunali površinu osnovnih geometrijskih oblika, morate koristiti ispravnu formulu.

Površina trougla

Oznake:

Ako su h, a poznati, tada se površina traženog trokuta određuje kao proizvod dužine stranice i visine trokuta spuštenog na ovu stranu, podijeljen na pola: S=(a h)/2
Ako su a, b, c poznati, tada se tražena površina izračunava pomoću Heronove formule: kvadratni korijen uzet iz proizvoda polovine perimetra trokuta i tri razlike polovine perimetra i svake strane trokuta: S = √ (p (p - a) (p - b)·(p - c)).
Ako su a, b, γ poznati, tada se površina trokuta određuje kao polovina umnožaka 2 stranice, pomnoženog sa vrijednošću sinusa ugla između ovih stranica: S=(a b sin γ)/2
Ako su a, b, c, R poznati, tada se tražena površina određuje dijeljenjem proizvoda dužina svih strana trokuta sa četiri polumjera opisane kružnice: S=(a b c)/4R
Ako su p, r poznati, tada se tražena površina trokuta određuje množenjem polovine perimetra polumjerom kruga upisanog u njega: S=p·r

Kvadratna površina

Oznake:

Ako je strana poznata, tada se površina date figure određuje kao kvadrat dužine njene stranice: S=a 2
Ako je d poznato, tada se površina kvadrata određuje kao polovina kvadrata dužine njegove dijagonale: S=d 2 /2

Površina pravougaonika

Oznake:

S - određena površina,
a, b - dužine stranica pravougaonika.

Ako su a, b poznati, tada je površina datog pravokutnika određena umnoškom dužina njegovih dviju stranica: S=a b
Ako su dužine stranica nepoznate, tada se površina pravokutnika mora podijeliti na trokute. U ovom slučaju, površina pravougaonika se određuje kao zbir površina trokuta koji ga čine.

Površina paralelograma

Oznake:

S je tražena površina,
a, b - dužine stranica,
h je dužina visine datog paralelograma,
d1, d2 - dužine dvije dijagonale,
α je ugao između stranica,
γ je ugao između dijagonala.

Ako su a, h poznati, tada se tražena površina određuje množenjem dužine stranice i visine spuštene na ovu stranu: S=a h
Ako su a, b, α poznati, tada se površina paralelograma određuje množenjem dužina stranica paralelograma i sinusa ugla između ovih stranica: S=a b sin α
Ako su poznati d 1 , d 2 , γ, tada se površina paralelograma određuje kao polovina proizvoda dužina dijagonala i sinusa ugla između ovih dijagonala: S=(d 1 d 2 sinγ) /2

Područje romba

Oznake:

S je tražena površina,
a - dužina strane,
h - dužina visine,
α je manji ugao između dvije stranice,
d1, d2 - dužine dvije dijagonale.

Ako su a, h poznati, tada se površina romba određuje množenjem dužine stranice s dužinom visine koja se spušta na ovu stranu: S=a h
Ako su a, α poznati, tada se površina romba određuje množenjem kvadrata dužine stranice sa sinusom ugla između stranica: S=a 2 sin α
Ako su d 1 i d 2 poznati, tada se tražena površina određuje kao polovina proizvoda dužina dijagonala romba: S=(d 1 d 2)/2

Područje trapeza

Oznake:

Ako su a, b, c, d poznati, tada se tražena površina određuje po formuli: S= (a+b) /2 *√.
Uz poznate a, b, h, tražena površina je određena kao proizvod polovine zbira osnovica i visine trapeza: S=(a+b)/2 h

Površina konveksnog četvorougla

Oznake:

Ako su poznati d 1 , d 2 , α, tada se površina konveksnog četverokuta određuje kao polovina proizvoda dijagonala četverokuta, pomnoženog sa sinusom ugla između ovih dijagonala: S=(d 1 · d 2 · sin α)/2
Za poznate p, r, površina konveksnog četverokuta određuje se kao proizvod poluperimetra četverokuta i polumjera kružnice upisane u ovaj četverokut: S=p r
Ako su poznati a, b, c, d, θ, tada se površina konveksnog četverokuta određuje kao kvadratni korijen proizvoda razlike poluperimetra i dužine svake stranice minus proizvod dužine svih strana i kvadrat kosinusa polovine zbira dva suprotna ugla: S 2 = (p - a )(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos 2 ((α+ β)/2)

Područje kruga

Oznake:

Ako je r poznato, tada se tražena površina određuje kao proizvod broja π i kvadratnog polumjera: S=π r 2

Ako je d poznat, tada se površina kruga određuje kao umnožak broja π s kvadratom prečnika podijeljenog sa četiri: S=(π d 2)/4

Područje složene figure

Složeni se mogu podijeliti na jednostavne geometrijske oblike. Površina kompleksne figure definira se kao zbir ili razlika njegovih sastavnih površina. Razmotrite, na primjer, prsten.

Oznaka:

S - područje prstena,
R, r - radijusi vanjskog i unutrašnjeg kruga, respektivno,
D, d su promjeri vanjskog i unutrašnjeg kruga, respektivno.

Da biste pronašli površinu prstena, morate oduzeti površinu od površine većeg kruga manji krug. S = S1-S2 = πR 2 -πr 2 = π (R 2 -r 2).

Dakle, ako su R i r poznati, tada se površina prstena određuje kao razlika u kvadratima polumjera vanjskog i unutrašnjeg kruga, pomnoženih s pi: S=π(R 2 -r 2).

Ako su D i d poznati, tada se površina prstena određuje kao četvrtina razlike u kvadratima prečnika vanjskog i unutrašnjeg kruga, pomnožene s pi: S= (1/4)(D 2 -d 2) π.

Patch area

Pretpostavimo da se unutar jednog kvadrata (A) nalazi drugi (B) (manje veličine), a trebamo pronaći zasjenjenu šupljinu između figura "A" i "B". Recimo, "okvir" malog kvadrata. Za ovo:

Pronađite površinu figure "A" (izračunato pomoću formule za pronalaženje površine kvadrata).
Slično, nalazimo područje na slici "B".
Oduzmite područje "B" od područja "A". I tako dobijamo površinu osenčene figure.

Sada znate kako pronaći područje različitih oblika.

Znanje o tome kako izmjeriti Zemlju pojavilo se u drevnim vremenima i postepeno se oblikovalo u nauci geometrije. Ova riječ je sa grčkog prevedena kao "premjer zemljišta".

Mjera dužine i širine ravnog dijela Zemlje je površina. U matematici se obično označava latinskim slovom S (od engleskog "square" - "površina", "kvadrat") ili grčkim slovom σ (sigma). S označava površinu figure na ravni ili površinu tijela, a σ je površina poprečnog presjeka žice u fizici. Ovo su glavni simboli, iako mogu postojati i drugi, na primjer, u području čvrstoće materijala, A je površina poprečnog presjeka profila.

U kontaktu sa

Proračunske formule

Poznavajući područja jednostavnih figura, možete pronaći parametre složenijih.. Drevni matematičari razvili su formule koje se mogu lako koristiti za njihovo izračunavanje. Takve figure su trokut, četverokut, mnogokut, krug.

Da bi se pronašla površina složene ravne figure, ona se razlaže na mnogo jednostavnih figura kao što su trokuti, trapezi ili pravokutnici. Zatim se pomoću matematičkih metoda izvodi formula za površinu ove figure. Slična metoda se koristi ne samo u geometriji, već iu matematičkoj analizi za izračunavanje površina figura ograničenih krivuljama.

Trougao

Počnimo od najjednostavnije figure - trokuta. Oni su pravougaoni, jednakokraki i jednakostrani. Uzmimo bilo koji trougao ABC sa stranicama AB=a, BC=b i AC=c (∆ ABC). Da bismo pronašli njegovu površinu, prisjetimo se sinusnih i kosinusnih teorema poznatih iz školskog kursa matematike. Ostavljajući sve proračune, dolazimo do sljedećih formula:

S=√ - Heronova formula, svima poznata, gdje je p=(a+b+c)/2 poluperimetar trougla;
S=a h/2, gdje je h visina spuštena na stranu a;
S=a b (sin γ)/2, gdje je γ ugao između stranica a i b;
S=a b/2, ako je ∆ ABC pravougaona (ovdje su a i b kraci);
S=b² (sin (2 β))/2, ako je ∆ ABC jednakokračan (ovdje je b jedan od “kukova”, β je ugao između “kukova” trougla);
S=a² √¾, ako je ∆ ABC jednakostraničan (ovdje je a stranica trougla).

Quadrangle

Neka postoji četverougao ABCD sa AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Da biste pronašli površinu S proizvoljnog 4-kuta, trebate ga podijeliti dijagonalom na dva trokuta, čije površine S1 i S2 općenito nisu jednake.

Zatim koristite formule za njihovo izračunavanje i sabiranje, tj. S=S1+S2. Međutim, ako 4-kutnik pripada određenoj klasi, tada se njegovo područje može pronaći pomoću prethodno poznatih formula:

S=(a+c) h/2=e h, ako je tetragon trapez (ovdje su a i c osnove, e je srednja linija trapeza, h je visina spuštena na jednu od osnova trapeza;
S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, ako je ABCD paralelogram (ovdje je φ ugao između stranica a i b, h visina spuštena na stranu a, d1 i d2 su dijagonale);
S=a b=d²/2, ako je ABCD pravougaonik (d je dijagonala);
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, ako je ABCD romb (a je stranica romba, φ je jedan od njegovih uglova, P je perimetar);
S=a²=P²/16=d²/2, ako je ABCD kvadrat.

Poligon

Da bi pronašli površinu n-ugla, matematičari ga razbijaju na najjednostavnije jednake figure - trokute, pronalaze površinu svakog od njih i zatim ih dodaju. Ali ako poligon pripada klasi regularnih, onda koristite formulu:

S=a n h/2=a² n/=P²/, gdje je n broj vrhova (ili stranica) poligona, a je stranica n-ugla, P je njegov perimetar, h je apotema, tj. segment povučen od centra poligona do jedne od njegovih strana pod uglom od 90°.

Krug

Krug je savršen poligon sa beskonačnim brojem strana. Moramo izračunati granicu izraza s desne strane u formuli za površinu poligona s brojem stranica n koji teži beskonačnosti. U ovom slučaju, perimetar poligona će se pretvoriti u dužinu kruga polumjera R, koji će biti granica naše kružnice, i postaće jednak P=2 π R. Zamijenite ovaj izraz u gornju formulu. dobićemo:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Nađimo granicu ovog izraza kao n→∞. Da bismo to učinili, uzimamo u obzir da je lim (cos (180°/n)) za n→∞ jednak cos 0°=1 (lim je predznak granice), a lim = lim za n→∞ je jednak 1/π (konvertovali smo stepen stepena u radijan, koristeći relaciju π rad=180°, i primenili prvu izuzetnu granicu lim (sin x)/x=1 na x→∞). Zamjenom dobivenih vrijednosti u posljednji izraz za S dolazimo do dobro poznate formule:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Jedinice

Koriste se sistemske i nesistemske mjerne jedinice. Jedinice sistema pripadaju SI (System International). Ovo je kvadratni metar (kv. metar, m²) i jedinice izvedene iz njega: mm², cm², km².

U kvadratnim milimetrima (mm²), na primjer, mjeri se površina poprečnog presjeka žica u elektrotehnici, u kvadratnim centimetrima (cm²) - poprečni presjek grede u strukturnoj mehanici, u kvadratnih metara(m²) - stanovi ili kuće, u kvadratnim kilometrima (km²) - teritorije u geografiji.

Međutim, ponekad se koriste nesistemske mjerne jedinice, kao što su: weave, ar (a), hektar (ha) i acre (as). Predstavimo sljedeće odnose: