ما هي المثلثات التي تنطبق عليها نظرية فيثاغورس؟ نظرية فيثاغورس: الخلفية والأدلة والأمثلة للتطبيق العملي
عندما بدأت في التعرف على الجذور التربيعية وكيفية حل المعادلات غير المنطقية (المساواة التي تحتوي على مجهول تحت علامة الجذر) ، ربما تكون قد حصلت على الفكرة الأولى عنها. الاستخدام العملي. القدرة على استخراج الجذر التربيعي للأرقام ضرورية أيضًا لحل المشكلات في تطبيق نظرية فيثاغورس. تتعلق هذه النظرية بأطوال أضلاع أي مثلث قائم الزاوية.
دع أطوال أرجل المثلث القائم (الضلعان اللذان يتقاربان بزاوية قائمة) يُشار إليها بالحروف ، وسيتم الإشارة إلى طول الوتر (أطول ضلع في المثلث يقع مقابل الزاوية القائمة) بالحرف. ثم ترتبط الأطوال المقابلة بالعلاقة التالية:
تسمح لك هذه المعادلة بإيجاد طول ضلع في مثلث قائم الزاوية في الحالة التي يكون فيها طول ضلعيه الآخرين معروفين. بالإضافة إلى ذلك ، يسمح لك بتحديد ما إذا كان المثلث المدروس قائمًا بزاوية ، بشرط أن تكون أطوال الأضلاع الثلاثة معروفة مسبقًا.
حل المسائل باستخدام نظرية فيثاغورس
لدمج المادة ، سنحل المشكلات التالية لتطبيق نظرية فيثاغورس.
لذلك معطى:
- طول إحدى الساقين 48 ، والوتر 80.
- طول الساق 84 ، والوتر 91.
دعنا نصل إلى الحل:
أ) استبدال البيانات في المعادلة أعلاه يعطي النتائج التالية:
48 2 + ب 2 = 80 2
2304 + ب 2 = 6400
ب 2 = 4096
ب= 64 أو ب = -64
نظرًا لأنه لا يمكن التعبير عن طول أحد أضلاع المثلث كرقم سالب ، يتم تجاهل الخيار الثاني تلقائيًا.
الجواب على الصورة الأولى: ب = 64.
ب) تم العثور على طول ضلع المثلث الثاني بنفس الطريقة:
84 2 + ب 2 = 91 2
7056 + ب 2 = 8281
ب 2 = 1225
ب= 35 أو ب = -35
كما في الحالة السابقة ، يتم تجاهل الحل السلبي.
الجواب على الصورة الثانية: ب = 35
نعطي:
- أطوال ضلعي المثلث الأصغر 45 و 55 على التوالي ، والأكبر منها 75.
- أطوال أضلاع المثلث الأصغر هي 28 و 45 على التوالي ، والأكبر منها 53.
نحل المشكلة:
أ) من الضروري التحقق مما إذا كان مجموع مربعات أطوال الأضلاع الأصغر لمثلث معين يساوي مربع طول المثلث الأكبر:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
وبالتالي ، فإن المثلث الأول ليس مثلثًا قائمًا.
ب) يتم إجراء نفس العملية:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
إذن ، المثلث الثاني مثلث قائم الزاوية.
أولاً ، أوجد طول الجزء الأكبر المكون من النقاط ذات الإحداثيات (-2 ، -3) و (5 ، -2). للقيام بذلك ، نستخدم الصيغة المعروفة لإيجاد المسافة بين النقاط في نظام إحداثيات مستطيل:
وبالمثل ، نجد طول المقطع المحصور بين النقاط ذات الإحداثيات (-2 ، -3) و (2 ، 1):
أخيرًا ، نحدد طول المقطع بين النقاط ذات الإحداثيات (2 ، 1) و (5 ، -2):
بما أن هناك مساواة:
ثم المثلث المقابل هو مثلث قائم الزاوية.
وبالتالي ، يمكننا صياغة إجابة المشكلة: نظرًا لأن مجموع مربعات الأضلاع ذات أقصر طول يساوي مربع الضلع الأطول طولًا ، فإن النقاط هي رؤوس مثلث قائم الزاوية.
تشكل القاعدة (الموجودة أفقيًا تمامًا) والدعامة (الموجودة بشكل عمودي تمامًا) والكابل (الممتد قطريًا) مثلثًا قائمًا ، على التوالي ، يمكن استخدام نظرية فيثاغورس للعثور على طول الكابل:
وبذلك يبلغ طول الكابل 3.6 متر تقريبًا.
معطى: المسافة من النقطة R إلى النقطة P (ضلع المثلث) هي 24 ، من النقطة R إلى النقطة Q (الوتر) - 26.
لذلك ، نساعد Vitya في حل المشكلة. نظرًا لأنه من المفترض أن تشكل أضلاع المثلث الموضح في الشكل مثلثًا قائمًا ، يمكنك استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الضلع الثالث:
إذن ، عرض البركة 10 أمتار.
سيرجي فاليريفيتش
نظرية فيثاغورس: مجموع مساحات المربعات التي تدعمها الأرجل ( أو ب) ، يساوي مساحة المربع المبني على الوتر ( ج).
صياغة هندسية:
تمت صياغة النظرية في الأصل على النحو التالي:
الصيغة الجبرية:
أي ، تدل على طول وتر المثلث من خلال جوأطوال الساقين أو ب :
أ 2 + ب 2 = ج 2كلا الصيغتين للنظرية متكافئتان ، لكن الصيغة الثانية أكثر بدائية ، ولا تتطلب مفهوم المنطقة. أي أنه يمكن التحقق من العبارة الثانية دون معرفة أي شيء عن المنطقة وقياس أطوال أضلاع المثلث القائم فقط.
نظرية فيثاغورس المعكوسة:
شهادة
على ال هذه اللحظةتم تسجيل 367 دليلًا على هذه النظرية في الأدبيات العلمية. من المحتمل أن نظرية فيثاغورس هي النظرية الوحيدة التي تحتوي على مثل هذا العدد المذهل من البراهين. لا يمكن تفسير هذا التنوع إلا من خلال الأهمية الأساسية لنظرية الهندسة.
بالطبع ، من الناحية المفاهيمية ، يمكن تقسيمهم جميعًا إلى عدد صغير من الفصول. أشهرها: البراهين بطريقة المساحة ، البراهين البديهية والغريبة (على سبيل المثال ، باستخدام المعادلات التفاضلية).
من خلال مثلثات متشابهة
الدليل التالي للصياغة الجبرية هو أبسط البراهين المبنية مباشرة من البديهيات. على وجه الخصوص ، لا يستخدم مفهوم منطقة الشكل.
اسمحوا ان ABCيوجد مثلث قائم الزاوية ج. دعونا نرسم ارتفاع من جوالدلالة على قاعدتها بواسطة ح. مثلث ACHعلى غرار المثلث ABCفي زاويتين. وبالمثل ، المثلث CBHمماثل ABC. تقديم التدوين
نحن نحصل
ما هو معادل
مضيفا ، نحصل عليه
براهين المنطقة
البراهين التالية ، على الرغم من بساطتها الظاهرة ، ليست بهذه البساطة على الإطلاق. كلهم يستخدمون خصائص المنطقة ، وإثباتها أكثر تعقيدًا من إثبات نظرية فيثاغورس نفسها.
إثبات عن طريق المعادلة
- رتب أربعة مثلثات قائمة بذاتها كما هو موضح في الشكل 1.
- رباعي مع جوانب جهو مربع لأن مجموع اثنين زوايا حادة 90 درجة والزاوية المستقيمة 180 درجة.
- مساحة الشكل كله تساوي ، من ناحية ، مساحة مربع مع ضلع (أ + ب) ، ومن ناحية أخرى ، مجموع مساحات أربعة مثلثات واثنين من الداخل مربعات.
Q.E.D.
الدليل من خلال التكافؤ
إثبات تبديل أنيق
يظهر مثال على أحد هذه البراهين في الرسم على اليمين ، حيث يتم تحويل المربع المبني على الوتر عن طريق التبديل إلى مربعين مبنيين على الساقين.
دليل إقليدس
الرسم لإثبات إقليدس
رسم توضيحي لإثبات إقليدس
فكرة برهان إقليدس هي كالتالي: دعنا نحاول إثبات أن نصف مساحة المربع المبني على الوتر تساوي مجموع نصف مساحات المربعات المبنية على الأرجل ، ثم مناطق المربعان الكبيران والصغيران متساويان.
ضع في اعتبارك الرسم الموجود على اليسار. على ذلك ، قمنا ببناء مربعات على جانبي مثلث قائم الزاوية ورسمنا شعاعا من رأس الزاوية اليمنى C عموديًا على الوتر AB ، ويقطع المربع ABIK ، المبني على الوتر ، إلى مستطيلين - BHJI و HAKJ ، على التوالى. اتضح أن مناطق هذه المستطيلات تساوي تمامًا مساحات المربعات المبنية على الأرجل المقابلة.
دعنا نحاول إثبات أن مساحة المربع DECA تساوي مساحة المستطيل AHJK للقيام بذلك ، نستخدم ملاحظة إضافية: مساحة المثلث بنفس الارتفاع والقاعدة المعطاة المستطيل يساوي نصف مساحة المستطيل المعطى. هذا نتيجة لتحديد مساحة المثلث على أنها نصف حاصل ضرب القاعدة والارتفاع. من هذه الملاحظة يترتب على ذلك أن مساحة المثلث ACK تساوي مساحة المثلث AHK (غير موضح) ، والتي بدورها تساوي نصف مساحة المستطيل AHJK.
دعونا الآن نثبت أن مساحة المثلث ACK تساوي أيضًا نصف مساحة مربع DECA. الشيء الوحيد الذي يجب القيام به لهذا هو إثبات المساواة بين المثلثات ACK و BDA (حيث أن مساحة المثلث BDA تساوي نصف مساحة المربع بواسطة الخاصية المذكورة أعلاه). هذه المساواة واضحة ، والمثلثات متساوية في ضلعين والزاوية بينهما. وهي - AB = AK ، AD = AC - من السهل إثبات المساواة بين الزوايا CAK و BAD بطريقة الحركة: دعنا ندير المثلث CAK 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة ، فمن الواضح أن الأضلاع المقابلة للمثلثين المعتبرين سيتطابق (نظرًا لحقيقة أن الزاوية عند رأس المربع تساوي 90 درجة).
الحجة حول المساواة بين مناطق المربع BCFG والمستطيل BHJI متشابهة تمامًا.
وهكذا أثبتنا أن مساحة المربع المبني على الوتر هي مجموع مساحات المربعات المبنية على الأرجل. يتم توضيح الفكرة وراء هذا الدليل بشكل أكبر مع الرسوم المتحركة أعلاه.
إثبات ليوناردو دافنشي
إثبات ليوناردو دافنشي
العنصران الرئيسيان للإثبات هما التماثل والحركة.
ضع في اعتبارك الرسم ، كما يتضح من التناظر ، المقطع جأنايشريح المربع أبحي إلى جزأين متطابقين (منذ المثلثات أبجو يحأنامتساوية في البناء). باستخدام دوران 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة ، نرى مساواة الأشكال المظللة جأيأنا و جيدأب . من الواضح الآن أن مساحة الشكل المظلل بواسطتنا تساوي مجموع نصف مساحات المربعات المبنية على الأرجل ومساحة المثلث الأصلي. من ناحية أخرى ، فهي تساوي نصف مساحة المربع المبني على الوتر ، زائد مساحة المثلث الأصلي. الخطوة الأخيرة في الإثبات متروكة للقارئ.
إثبات بطريقة متناهية الصغر
غالبًا ما يُعزى الدليل التالي باستخدام المعادلات التفاضلية إلى عالم الرياضيات الإنجليزي الشهير هاردي ، الذي عاش في النصف الأول من القرن العشرين.
النظر في الرسم الموضح في الشكل وملاحظة التغيير في الجانب أ، يمكننا كتابة العلاقة التالية لزيادات الضلع اللامتناهية في الصغر منو أ(باستخدام مثلثات مماثلة):
إثبات بطريقة متناهية الصغر
باستخدام طريقة فصل المتغيرات نجد
تعبير أكثر عمومية لتغيير الوتر في حالة زيادات كلا الساقين
دمج هذه المعادلة واستخدام الشروط الأولية ، نحصل عليها
ج 2 = أ 2 + ب 2 + ثابت.وهكذا ، نصل إلى الإجابة المطلوبة
ج 2 = أ 2 + ب 2 .من السهل أن نرى أن الاعتماد التربيعي في الصيغة النهائية يظهر بسبب التناسب الخطي بين جانبي المثلث والزيادات ، بينما يرجع المجموع إلى المساهمات المستقلة من زيادة الأرجل المختلفة.
يمكن الحصول على دليل أبسط إذا افترضنا أن إحدى الساقين لا تشهد زيادة (في هذه الحالة ، الساق ب). ثم نحصل على ثابت التكامل
الاختلافات والتعميمات
- إذا تم إنشاء أشكال أخرى مماثلة على الأرجل ، بدلاً من المربعات ، فإن التعميم التالي لنظرية فيثاغورس يكون صحيحًا: في المثلث القائم ، يكون مجموع مساحات الأشكال المتشابهة المبنية على الأرجل مساويًا لمساحة الشكل المبني على الوتر.خاصه:
- مجموع مساحات المثلثات العادية المبنية على الأرجل يساوي مساحة المثلث العادي المبني على الوتر.
- مجموع مساحات أنصاف الدوائر المبنية على الأرجل (كما في القطر) يساوي مساحة نصف الدائرة المبنية على الوتر. يستخدم هذا المثال لإثبات خصائص الأشكال المقيدة بأقواس من دائرتين وتحمل اسم أبقراط لونولا.
تاريخ
Chu-pei 500-200 قبل الميلاد. على اليسار يوجد نقش: مجموع مربعي أطوال الارتفاع والقاعدة هو مربع طول الوتر.
يتحدث الكتاب الصيني القديم Chu-pei عن مثلث فيثاغورس بجوانب 3 و 4 و 5: في نفس الكتاب ، تم اقتراح رسم يتزامن مع أحد رسومات الهندسة الهندوسية في باسكارا.
يعتقد Kantor (أكبر مؤرخ ألماني للرياضيات) أن المساواة 3 ² + 4 ² = 5² كانت معروفة بالفعل للمصريين حوالي 2300 قبل الميلاد. هـ ، في عهد الملك أمنمحات الأول (حسب البردية 6619 لمتحف برلين). وفقا لكانتور ، فإن الحاربين ، أو "المراسلين" ، قاموا ببناء زوايا قائمة باستخدام مثلثات قائمة مع جوانب 3 و 4 و 5.
من السهل جدًا إعادة إنتاج طريقة البناء الخاصة بهم. خذ حبلًا طوله 12 مترًا واربطه به على طول شريط ملون على مسافة 3 أمتار. من أحد الطرفين و 4 أمتار من الطرف الآخر. ستُحاط الزاوية اليمنى بين الجانبين بطول 3 و 4 أمتار. قد يعترض على Harpedonapts أن طريقتهم في البناء تصبح غير ضرورية إذا استخدم المرء ، على سبيل المثال ، المربع الخشبي الذي يستخدمه جميع النجارين. في الواقع ، تُعرف الرسومات المصرية التي توجد بها مثل هذه الأداة ، على سبيل المثال ، رسومات تصور ورشة نجارة.
يُعرف المزيد إلى حد ما عن نظرية فيثاغورس بين البابليين. في نص واحد يعود إلى زمن حمورابي أي إلى 2000 ق. هـ ، يتم إعطاء حساب تقريبي لوتر المثلث القائم. من هذا يمكننا أن نستنتج أنه في بلاد ما بين النهرين كانوا قادرين على إجراء حسابات بمثلثات قائمة الزاوية ، على الأقل في بعض الحالات. استنادًا إلى المستوى الحالي للمعرفة حول الرياضيات المصرية والبابلية ، من ناحية ، ومن ناحية أخرى ، بناءً على دراسة نقدية للمصادر اليونانية ، خلص Van der Waerden (عالم رياضيات هولندي) إلى ما يلي:
المؤلفات
بالروسية
- Skopets Z. A.المنمنمات الهندسية. م ، 1990
- يلنسكي ش.على خطى فيثاغورس. م ، 1961
- Van der Waerden B. L.علم الصحوة. رياضيات مصر القديمة وبابل واليونان. م ، 1959
- جليزر جي.تاريخ الرياضيات في المدرسة. م ، 1982
- دبليو ليتسمان ، "نظرية فيثاغورس" م ، 1960.
- موقع حول نظرية فيثاغورس مع عدد كبير من البراهين ، المادة مأخوذة من كتاب دبليو ليتسمان ، يتم تقديم عدد كبير من الرسومات كملفات رسومية منفصلة.
- نظرية فيثاغورس وثلاثيات فيثاغورس من كتاب دي في أنوسوف "نظرة على الرياضيات وشيء منها"
- حول نظرية فيثاغورس وطرق إثباتها جلاسر ، الأكاديمي في الأكاديمية الروسية للتربية ، موسكو
باللغة الإنجليزية
- نظرية فيثاغورس في WolframMathWorld
- Cut-The-Knot ، قسم في نظرية فيثاغورس ، حوالي 70 دليلًا ومعلومات إضافية شاملة (هندسة)
مؤسسة ويكيميديا. 2010.
طرق مختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس
طالب من فئة 9 "أ"
مذكرة التفاهم الثانوية №8
المستشار العلمي:
مدرس رياضيات
مذكرة التفاهم الثانوية №8
فن. عيد الميلاد الجديد
إقليم كراسنودار.
فن. عيد الميلاد الجديد
حاشية. ملاحظة.
تعتبر نظرية فيثاغورس بحق الأكثر أهمية في سياق الهندسة وتستحق اهتمامًا وثيقًا. إنه الأساس لحل العديد من المشكلات الهندسية ، وهو الأساس لدراسة المسار النظري والعملي للهندسة في المستقبل. النظرية محاطة بأغنى المواد التاريخية المتعلقة بمظهرها وطرق إثباتها. إن دراسة تاريخ تطور الهندسة تغرس حبًا لهذا الموضوع ، وتساهم في تنمية الاهتمام المعرفي والثقافة العامة والإبداع ، وتطور أيضًا مهارات البحث.
نتيجة لنشاط البحث ، تم تحقيق هدف العمل ، وهو تجديد المعرفة وتعميمها على إثبات نظرية فيثاغورس. تمكنت من العثور والمراجعة طرق مختلفةالأدلة وتعميق المعرفة حول الموضوع ، وتجاوز صفحات الكتاب المدرسي.
تقنع المواد التي تم جمعها أن نظرية فيثاغورس هي النظرية الكبرى للهندسة ولها أهمية نظرية وعملية كبيرة.
مقدمة. الخلفية التاريخية 5 الجسم الرئيسي 8
3- الخلاصة 19
4. الأدب المستخدم 20
1 المقدمة. مرجع التاريخ.
جوهر الحقيقة أنها لنا إلى الأبد ،
عندما نرى الضوء مرة واحدة على الأقل في بصيرتها ،
ونظرية فيثاغورس بعد كل هذه السنوات
بالنسبة لنا ، بالنسبة له ، لا جدال فيه ولا تشوبه شائبة.
للاحتفال ، أعطيت الآلهة نذرًا من قبل فيثاغورس:
للمس الحكمة اللانهائية ،
ذبح مئة ثور بفضل الابدية.
صلى الضحية بعد ذلك الصلاة والثناء.
منذ ذلك الحين ، أيها الثيران ، عندما يشمون ، يدفعون ،
ما يقود الناس إلى الحقيقة الجديدة مرة أخرى ،
يزمجرون بشراسة فلا بول يسمعونه ،
مثل فيثاغورس زرع الرعب فيهم إلى الأبد.
الثيران ، عاجزين عن مقاومة الحقيقة الجديدة ،
ماذا تبقى؟ - فقط أغمض عينيك ، هدير ، ارتجف.
من غير المعروف كيف أثبت فيثاغورس نظريته. المؤكد أنه اكتشفها تحت تأثير العلم المصري القوي. حالة خاصةكانت نظرية فيثاغورس - خصائص المثلث ذي الجوانب 3 و 4 و 5 - معروفة لبناة الأهرامات قبل ولادة فيثاغورس بفترة طويلة ، بينما درس هو نفسه مع الكهنة المصريين لأكثر من 20 عامًا. هناك أسطورة تقول أنه بعد أن أثبت نظريته الشهيرة ، ضحى فيثاغورس بثور للآلهة ، ووفقًا لمصادر أخرى ، حتى 100 ثور. هذا ، مع ذلك ، يتناقض مع المعلومات حول وجهات النظر الأخلاقية والدينية لفيثاغورس. في المصادر الأدبية ، يمكن للمرء أن يقرأ أنه "حرم حتى قتل الحيوانات ، بل وأكثر من ذلك إطعامها ، لأن للحيوانات روح مثلنا". لم يأكل فيثاغورس إلا العسل والخبز والخضروات وأحيانًا الأسماك. فيما يتعلق بكل هذا ، يمكن اعتبار الإدخال التالي أكثر منطقية: "... وحتى عندما اكتشف أن الوتر في المثلث الأيمن يتوافق مع الأرجل ، فقد ضحى بثور مصنوع من عجين القمح."
إن شعبية نظرية فيثاغورس كبيرة لدرجة أن براهينها موجودة حتى في الروايات ، على سبيل المثال ، في قصة الكاتب الإنجليزي الشهير هكسلي "أرخميدس الشاب". نفس الدليل ، ولكن بالنسبة للحالة الخاصة لمثلث قائم الزاوية متساوي الساقين ، يتم تقديمه في حوار أفلاطون مينو.
منزل حكاية خرافية.
"بعيدًا ، بعيدًا ، حيث لا تطير حتى الطائرات ، هو بلد الهندسة. في هذا البلد غير المعتاد كانت هناك مدينة مدهشة - مدينة Teorem. ذات يوم أتت فتاة جميلة تدعى Hypotenuse إلى هذه المدينة. حاولت الحصول على غرفة ، لكن أينما تقدمت ، تم رفضها في كل مكان. في النهاية اقتربت من المنزل المتهالك وطرقت عليه. تم فتحها من قبل رجل أطلق على نفسه اسم الزاوية اليمنى ، ودعا Hypotenuse للعيش معه. بقي الوتر في المنزل الذي عاش فيه رايت أنجل وولديه الصغيرين ، المسمى كاتيت. منذ ذلك الحين ، تغيرت الحياة في The Right Angle House بطريقة جديدة. قام الوتر بغرس الزهور في النافذة ، ونشر الورود الحمراء في الحديقة الأمامية. اتخذ المنزل شكل مثلث قائم. لقد أحببت كلتا ساقي Hypotenuse كثيرًا وطلبتا منها البقاء إلى الأبد في منزلهما. في المساء ، تجتمع هذه العائلة الودودة على مائدة العائلة. يلعب Right Angle أحيانًا لعبة الغميضة مع أطفاله. غالبًا ما يكون عليه أن ينظر ، ويختبئ الوتر بمهارة شديدة بحيث يصعب العثور عليه. مرة واحدة خلال اللعبة ، لاحظت Right Angle خاصية مثيرة للاهتمام: إذا تمكن من العثور على الأرجل ، فلن يكون من الصعب العثور على Hypotenuse. لذا يجب أن أقول أن الزاوية اليمنى تستخدم هذا النمط بنجاح كبير. تعتمد نظرية فيثاغورس على خاصية هذا المثلث القائم الزاوية.
(من كتاب أ. أوكونيف "شكرًا على الدرس يا أطفال").
صياغة مرحة للنظرية:
إذا أعطينا مثلث
وعلاوة على ذلك ، بزاوية قائمة ،
هذا هو مربع الوتر
يمكننا دائمًا العثور بسهولة على:
نبني الأرجل في مربع ،
نجد مجموع الدرجات -
وبهذه الطريقة البسيطة
سوف نصل إلى النتيجة.
بدراسة الجبر وبدايات التحليل والهندسة في الصف العاشر ، كنت مقتنعا أنه بالإضافة إلى طريقة إثبات نظرية فيثاغورس المدروسة في الصف الثامن ، هناك طرق أخرى لإثباتها. أقدمهم للنظر فيها.
2. الجزء الرئيسي.
نظرية. مربع في مثلث قائم الزاوية
الوتر يساوي مجموع مربعات الساقين.
1 الطريق.
باستخدام خصائص مساحات المضلعات ، نؤسس علاقة رائعة بين الوتر وأرجل المثلث القائم.
دليل.
أ ، فيوالوتر من(الشكل 1 ، أ).
دعنا نثبت ذلك ج² = أ² + ب².
دليل.
نكمل المثلث إلى مربع به ضلع أ + بكما يظهر في الشكل. 1 ب. المساحة S لهذا المربع هي (أ + ب) ². من ناحية أخرى ، يتكون هذا المربع من أربعة مثلثات قائمة الزاوية متساوية ، مساحة كل منها ½ av، ومربع بضلع من،لذلك S = 4 * ½ av + s² = 2av + s².
في هذا الطريق،
(أ + ب) ² = 2 av + s²,
ج² = أ² + ب².
لقد تم إثبات النظرية.
2 طريقة.
بعد دراسة موضوع "المثلثات المتشابهة" ، اكتشفت أنه يمكنك تطبيق تشابه المثلثات على إثبات نظرية فيثاغورس. وبالتحديد ، استخدمت العبارة التي مفادها أن ضلع المثلث القائم الزاوية هو متوسط التناسب بين الوتر والجزء من الوتر المحصور بين الرجل والارتفاع المرسوم من رأس الزاوية اليمنى.
النظر في مثلث قائم الزاوية بزاوية قائمة C ، CD هو الارتفاع (الشكل 2). دعنا نثبت ذلك تيار متردد² + جنوب غرب² = AB²
.
دليل.
بناءً على بيان حول ضلع مثلث قائم الزاوية:
AC = ، CB =.
نربّع ونضيف المساواة الناتجة:
AC² = AB * AD ، CB² = AB * DB ؛
AC² + CB² = AB * (AD + DB) ، حيث AD + DB = AB ، إذن
AC² + CB² = AB * AB ،
AC² + CB² = AB².
الدليل كامل.
3 طرق.
يمكن تطبيق تعريف جيب التمام للزاوية الحادة لمثلث قائم الزاوية على إثبات نظرية فيثاغورس. النظر في الشكل. 3.
دليل:
لنفترض أن ABC مثلث قائم الزاوية بزاوية قائمة C. ارسم قرص مضغوط ارتفاعه من رأس الزاوية اليمنى C.
بتعريف جيب تمام الزاوية:
cos A \ u003d AD / AC \ u003d AC / AB. ومن ثم AB * AD = AC²
بطريقة مماثلة،
cos B \ u003d BD / BC \ u003d BC / AB.
ومن ثم AB * BD \ u003d BC².
بإضافة مصطلح المساواة الناتج حسب المصطلح مع ملاحظة أن AD + DВ = AB ، نحصل على:
تيار متردد² + شمس² = AB (AD + DB) = AB²
الدليل كامل.
4 طريقة.
بعد دراسة موضوع "النسب بين أضلاع وزوايا مثلث قائم الزاوية" ، أعتقد أنه يمكن إثبات نظرية فيثاغورس بطريقة أخرى.
ضع في اعتبارك مثلث قائم بذاته مع أرجل أ ، فيوالوتر من. (الشكل 4).
دعنا نثبت ذلك ج² = أ² + ب².
دليل.
خطيئة ب =أ / ج ; كوس ب =كما , ثم ، بتربيع المساواة الناتجة ، نحصل على:
الخطيئة² ب =في² / ثانية² ؛ كوس² في\ u003d a² / s².
عند إضافتها ، نحصل على:
الخطيئة² في+ cos² ب = v² / s² + a² / s² حيث sin² في+ cos² ب = 1 ،
1 \ u003d (v² + a²) / s² ، لذلك ،
ج² = أ² + ب².
الدليل كامل.
5 طرق.
يعتمد هذا الدليل على قطع المربعات المبنية على الأرجل (الشكل 5) وتكديس الأجزاء الناتجة على المربع المبني على الوتر.
6 طرق.
لإثبات على القسطرة الشمسبناء بى سى دى ABC(الشكل 6). نحن نعلم أن مناطق الأشكال المتشابهة مرتبطة بمربعات ذات أبعاد خطية متشابهة:
بطرح الثانية من المساواة الأولى ، نحصل عليها
c2 = a2 + ب 2.
الدليل كامل.
7 طرق.
منح(الشكل 7):
عضلات المعدة،= 90 درجة ، الشمس= أ ، أس =ب ، أب = ج.
إثبات:c2 = a2 +ب 2.
دليل.
دع الساق ب لكن.دعنا نواصل المقطع جنوب غربلكل نقطة فيوبناء مثلث bmdبحيث النقاط مو لكنتقع على جانب واحد من خط مستقيم قرص مضغوطبجانب ذلك، دينار بحريني =ب، BDM= 90 درجة ، DM= أ إذن bmd= ABCعلى الجانبين والزاوية بينهما. النقاط أ و مالاتصال عن طريق الشرائح صباحا.لدينا MD قرص مضغوطو تيار متردد قرص مضغوط ،يعني مستقيم تيار مترددبالتوازي مع خط مستقيم MD.لأن MD< АС, ثم مباشرة قرص مضغوطو صباحاليست موازية. لذلك، AMDC-شبه منحرف مستطيل.
في المثلث الأيمن ABC و bmd 1 + 2 = 90 درجة و 3 + 4 = 90 درجة ، لكن منذ ذلك الحين = = ، ثم 3 + 2 = 90 درجة ؛ ومن بعد AVM= 180 درجة - 90 درجة = 90 درجة. اتضح أن شبه منحرف AMDCمقسمة إلى ثلاثة مثلثات قائمة غير متداخلة ، ثم على بديهيات المنطقة
(أ + ب) (أ + ب)
بقسمة جميع شروط عدم المساواة على نحصل عليها
لكنب + c2 + أب = (أ +ب) , 2 أب+ c2 = أ 2+ 2 أب+ ب 2 ،
c2 = a2 + ب 2.
الدليل كامل.
8 طرق.
تعتمد هذه الطريقة على وتر المثلث القائم وأرجله ABC.يقوم ببناء المربعات المقابلة ويثبت أن المربع المبني على الوتر يساوي مجموع المربعات المبنية على الأرجل (الشكل 8).
دليل.
1) DBC= FBA= 90 درجة ؛
DBC + ABC= FBA + abcيعني، FBC = ديسيبل.
في هذا الطريق، FBC=ABD(على الجانبين والزاوية بينهما).
2) 
,
حيث AL DE ، نظرًا لأن BD هي قاعدة مشتركة ، DL-الارتفاع الكلي.
3) 
، لأن FB هو قاعدة ، AB- الإرتفاع الإجمالي.
4) 
5) وبالمثل ، يمكن للمرء أن يثبت ذلك 
6) عند إضافة مصطلح على حدة ، نحصل على:
, قبل الميلاد 2
= AB2 + AC2
.
الدليل كامل.
9 طرق.
دليل.
1) دع ABDE- مربع (الشكل 9) ، ضلع منه يساوي وتر المثلث القائم ABC (AB= ج ، BC = أ ، AC =ب).
2) دع DK قبل الميلادو DK = الشمس ،منذ 1 + 2 = 90 درجة (مثل الزوايا الحادة لمثلث قائم الزاوية) ، 3 + 2 = 90 درجة (كزاوية مربع) ، AB= BD(جوانب المربع).
وسائل، ABC= BDK(بالوتر والزاوية الحادة).
3) دع EL العاصمة ، صباحا EL.يمكن إثبات أن ABC = BDK = DEL = EAM (بالأرجل لكنو ب).ثم كانساس= سم= ML= لوسي= لكن -ب.
4) SKB = 4S + SKLMC= 2 أب+ (أ-ب) ،من2 = 2ab + a2 - 2ab + b2 ،c2 = a2 + b2.
الدليل كامل.
10 طريقة.
يمكن إجراء الإثبات على شكل يسمى مازحا "بنطلون فيثاغورس" (الشكل 10). تتمثل فكرتها في تحويل المربعات المبنية على الأرجل إلى مثلثات متساوية ، والتي تشكل معًا مربع الوتر.
ABCالتحول ، كما هو موضح بالسهم ، ويأخذ الموضع KDN.بقية الشكل AKDCBيساوي مساحة المربع AKDC-إنه متوازي أضلاع AKNB.
صنع نموذج متوازي الأضلاع AKNB. نحول متوازي الأضلاع كما هو موضح في محتوى العمل. لإظهار تحول متوازي الأضلاع إلى مثلث متساوٍ ، أمام أعين الطلاب ، قطعنا مثلثًا في النموذج ونقلناه إلى أسفل. إذن مساحة المربع AKDCيساوي مساحة المستطيل. وبالمثل ، نقوم بتحويل مساحة المربع إلى مساحة المستطيل.
لنقم بتحويل مربع مبني على ساق لكن(الشكل 11 ، أ):
أ) يتحول المربع إلى متوازي أضلاع متساوي الحجم (الشكل 11.6):
ب) متوازي الأضلاع يدور ربع دورة (الشكل 12):
ج) يتحول متوازي الأضلاع إلى مستطيل متساوي الحجم (الشكل 13): 11 طريقة.
دليل:
PCL-مستقيم (الشكل 14) ؛
KLOA= ACPF= ACED= أ 2 ؛
LGBO= CVMR =CBNQ= ب 2;
AKGB= AKLO +LGBO= ج 2 ؛
c2 = a2 + ب 2.
انتهى الإثبات .
12 طريقة.
أرز. يوضح الرقم 15 برهانًا أصليًا آخر لنظرية فيثاغورس.
هنا: مثلث ABC بزاوية قائمة C ؛ الجزء فرنك بلجيكيعمودي جنوب غربويساوي ذلك المقطع يكونعمودي ABويساوي ذلك المقطع ميلاديعمودي تيار مترددويساوي له نقاط F ، C ،دتنتمي إلى خط مستقيم واحد ؛ رباعي الزوايا ADFBو ACBEمتساوية لأن ABF = البنك المركزي الأوروبي ؛مثلثات ADFو بارعمتساوون نطرح من كلا الرباعين المتساويين مثلثًا مشتركًا لهما abcنحن نحصل
, c2 = a2 +
ب 2.
الدليل كامل.
13 طريقة.
مساحة هذا المثلث القائم الزاوية تساوي من ناحية ,
مع آخر ، ,
3 - الخلاصة
نتيجة لنشاط البحث ، تم تحقيق هدف العمل ، وهو تجديد المعرفة وتعميمها على إثبات نظرية فيثاغورس. كان من الممكن إيجاد ودراسة طرق مختلفة لإثبات ذلك وتعميق المعرفة حول الموضوع من خلال تجاوز صفحات الكتاب المدرسي.
إن المادة التي جمعتها أكثر إقناعًا بأن نظرية فيثاغورس هي النظرية العظيمة للهندسة ولها أهمية نظرية وعملية كبيرة. في الختام ، أود أن أقول: إن سبب شعبية نظرية فيثاغورس للثالوث هو الجمال والبساطة والأهمية!
4. الأدب المستخدم.
1. مسلية الجبر. . موسكو "نوكا" 1978.
2. الملحق التربوي والمنهجي الأسبوعي لجريدة "الأول من سبتمبر" بتاريخ 24/2001.
3. الهندسة 7-9. وإلخ.
4. الهندسة 7-9. وإلخ.
تأكد من أن المثلث المعطى لك مثلث قائم الزاوية ، لأن نظرية فيثاغورس تنطبق فقط على المثلثات القائمة. في المثلثات القائمة ، إحدى الزوايا الثلاث تساوي دائمًا 90 درجة.
- يُشار إلى الزاوية القائمة في المثلث القائم بمربع بدلاً من المنحنى ، والذي يمثل الزوايا غير القائمة.
قم بتسمية جوانب المثلث.عيّن الساقين كـ "أ" و "ب" (الأرجل هي أضلاع متقاطعة بزوايا قائمة) ، والوتر على أنها "ج" (الوتر هو أكبر ضلع في المثلث القائم يقع مقابل الزاوية القائمة).
حدد أي ضلع من أضلاع المثلث تريد إيجاده.تتيح لك نظرية فيثاغورس إيجاد أي جانب من أضلاع مثلث قائم الزاوية (إذا كان الضلعان الآخران معروفين). حدد الجانب الذي يجب إيجاده (أ ، ب ، ج).
- على سبيل المثال ، إذا كان وتر المثلث يساوي 5 ، ولديك ساق تساوي 3. في هذه الحالة ، تحتاج إلى إيجاد الضلع الثاني. سنعود إلى هذا المثال لاحقًا.
- إذا كان الضلعان الآخران غير معروفين ، فمن الضروري إيجاد طول أحد الضلعين المجهولين لتتمكن من تطبيق نظرية فيثاغورس. للقيام بذلك ، استخدم الدوال المثلثية الأساسية (إذا أعطيت قيمة إحدى الزوايا غير القائمة).
استبدل في الصيغة a 2 + b 2 \ u003d c 2 بالقيم المعطاة لك (أو القيم التي وجدتها).تذكر أن a و b أرجل ، و c هي الوتر.
- في مثالنا ، اكتب: 3² + b² = 5².
ربّع كل جانب معروف.أو اترك الدرجات - يمكنك تربيع الأرقام لاحقًا.
- في مثالنا ، اكتب: 9 + b² = 25.
افصل الجانب المجهول في أحد طرفي المعادلة.للقيام بذلك ، انقل القيم المعروفة إلى الجانب الآخر من المعادلة. إذا وجدت الوتر ، ففي نظرية فيثاغورس ، يكون معزولًا بالفعل على جانب واحد من المعادلة (لذلك لا يلزم فعل أي شيء).
- في مثالنا ، انقل 9 إلى الجانب الأيمنمعادلات لعزل المجهول ب². ستحصل على b² = 16.
خذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة بعد أن يكون هناك مجهول (تربيع) في أحد طرفي المعادلة وتقاطع (رقم) على الجانب الآخر.
- في مثالنا ، b² = 16. خذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة واحصل على b = 4. إذن الضلع الثاني هو 4.
استخدم نظرية فيثاغورس في الحياة اليوميةلأنه يمكن تطبيقه في مجموعة واسعة من المواقف العملية. للقيام بذلك ، تعلم كيفية التعرف على المثلثات القائمة في الحياة اليومية - في أي موقف يتقاطع فيه كائنان (أو خطان) بزوايا قائمة ، ويربط كائن ثالث (أو خط) (قطريًا) قمم أول عنصرين (أو خطوط) ، يمكنك استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع المجهول (إذا كان الضلعان الآخران معروفين).
- مثال: سلم متكئ على مبنى. يقع أسفل الدرج على بعد 5 أمتار من قاعدة الجدار. الجزء العلوييقع الدرج على بعد 20 مترًا من الأرض (أعلى الحائط). ما هو طول السلم؟
- "5 أمتار من قاعدة الجدار" تعني أن أ = 5 ؛ "على بعد 20 مترًا من الأرض" يعني أن ب = 20 (أي أنك أعطيت قدمين من مثلث قائم الزاوية ، حيث يتقاطع جدار المبنى وسطح الأرض بزوايا قائمة). طول السلم هو طول الوتر ، وهو غير معروف.
- أ² + ب² = ج²
- (5) ² + (20) ² = ج²
- 25 + 400 = ج²
- 425 = ج²
- ج = √425
- ج = 20.6. وبالتالي ، يبلغ الطول التقريبي للسلالم 20.6 مترًا.
- "5 أمتار من قاعدة الجدار" تعني أن أ = 5 ؛ "على بعد 20 مترًا من الأرض" يعني أن ب = 20 (أي أنك أعطيت قدمين من مثلث قائم الزاوية ، حيث يتقاطع جدار المبنى وسطح الأرض بزوايا قائمة). طول السلم هو طول الوتر ، وهو غير معروف.
نظرية فيثاغورس
وبالمثل ، فإن المثلث CBH مشابه لـ ABC. تقديم التدوين 
1. رتب أربعة مثلثات قائمة بذاتها كما هو موضح في الشكل. 
فكرة برهان إقليدس هي كالتالي: دعنا نحاول إثبات أن نصف مساحة المربع المبني على الوتر تساوي مجموع نصف مساحات المربعات المبنية على الأرجل ، ثم مناطق المربعان الكبيران والصغيران متساويان. ضع في اعتبارك الرسم الموجود على اليسار. على ذلك ، قمنا ببناء مربعات على جانبي مثلث قائم الزاوية ورسمنا شعاعا من رأس الزاوية اليمنى C عموديًا على الوتر AB ، ويقطع المربع ABIK ، المبني على الوتر ، إلى مستطيلين - BHJI و HAKJ ، على التوالى. اتضح أن مناطق هذه المستطيلات تساوي تمامًا مساحات المربعات المبنية على الأرجل المقابلة. دعنا نحاول إثبات أن مساحة المربع DECA تساوي مساحة المستطيل AHJK للقيام بذلك ، نستخدم ملاحظة إضافية: مساحة المثلث بنفس الارتفاع والقاعدة المعطاة المستطيل يساوي نصف مساحة المستطيل المعطى. هذا نتيجة لتحديد مساحة المثلث على أنها نصف حاصل ضرب القاعدة والارتفاع. من هذه الملاحظة يترتب على ذلك أن مساحة المثلث ACK تساوي مساحة المثلث AHK (غير موضح) ، والتي بدورها تساوي نصف مساحة المستطيل AHJK. دعونا الآن نثبت أن مساحة المثلث ACK تساوي أيضًا نصف مساحة مربع DECA. الشيء الوحيد الذي يجب القيام به لهذا هو إثبات المساواة بين المثلثات ACK و BDA (حيث أن مساحة المثلث BDA تساوي نصف مساحة المربع بواسطة الخاصية المذكورة أعلاه). هذه المساواة واضحة ، والمثلثات متساوية في ضلعين والزاوية بينهما. وهي - AB = AK ، AD = AC - من السهل إثبات المساواة بين الزوايا CAK و BAD بطريقة الحركة: دعنا ندير المثلث CAK 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة ، فمن الواضح أن الأضلاع المقابلة للمثلثين المعتبرين سيتطابق (نظرًا لحقيقة أن الزاوية عند رأس المربع تساوي 90 درجة). الحجة حول المساواة بين مناطق المربع BCFG والمستطيل BHJI متشابهة تمامًا. وهكذا أثبتنا أن مساحة المربع المبني على الوتر هي مجموع مساحات المربعات المبنية على الأرجل. 
ضع في اعتبارك الرسم ، كما يتضح من التناظر ، فإن المقطع CI يقطع المربع ABHJ إلى جزأين متطابقين (لأن المثلثين ABC و JHI متساويان في البناء). باستخدام دوران 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة ، نرى مساواة الأشكال المظللة CAJI و GDAB. من الواضح الآن أن مساحة الشكل المظلل بواسطتنا تساوي مجموع نصف مساحات المربعات المبنية على الأرجل ومساحة المثلث الأصلي. من ناحية أخرى ، فهي تساوي نصف مساحة المربع المبني على الوتر ، زائد مساحة المثلث الأصلي. الخطوة الأخيرة في الإثبات متروكة للقارئ.
