Metode untuk memecahkan batasan. Ketidakpastian. Urutan pertumbuhan fungsi

Turunan suatu fungsi tidak jauh letaknya, dan menurut aturan L'Hopital, turunan tersebut tepat berada di tempat fungsi aslinya berada. Keadaan ini membantu mengungkap ketidakpastian dalam bentuk 0/0 atau ∞/∞ dan beberapa ketidakpastian lain yang muncul saat menghitung membatasi hubungan dua fungsi yang sangat kecil atau sangat besar. Perhitungannya sangat disederhanakan dengan menggunakan aturan ini (sebenarnya ada dua aturan dan catatan untuknya):

Seperti yang terlihat dari rumus di atas, pada saat menghitung limit perbandingan dua fungsi yang sangat kecil atau sangat besar, maka limit perbandingan dua fungsi tersebut dapat diganti dengan limit perbandingan dua fungsi tersebut. turunan dan dengan demikian memperoleh hasil tertentu.

Mari kita beralih ke rumusan aturan L'Hopital yang lebih tepat.

Aturan L'Hopital untuk kasus limit dua besaran yang sangat kecil. Biarkan fungsinya F(X) Dan G(X A. Dan pada intinya A A turunan suatu fungsi G(X) bukan nol ( G"(X A sama satu sama lain dan sama dengan nol:

.

Aturan L'Hopital untuk kasus limit dua besaran tak terhingga. Biarkan fungsinya F(X) Dan G(X) memiliki turunan (yaitu, terdiferensiasi) di lingkungan titik tertentu A. Dan pada intinya A mereka mungkin tidak memiliki turunannya. Apalagi di sekitar titik tersebut A turunan suatu fungsi G(X) bukan nol ( G"(X)≠0) dan limit fungsi tersebut karena x cenderung terhadap nilai fungsi di titik tersebut A sama satu sama lain dan sama dengan tak terhingga:

.

Maka limit rasio fungsi-fungsi tersebut sama dengan limit rasio turunannya:

Dengan kata lain, untuk ketidakpastian berbentuk 0/0 atau ∞/∞, limit rasio dua fungsi sama dengan limit rasio turunannya, jika turunannya ada (berhingga, yaitu sama dengan a suatu bilangan tertentu, atau tak terhingga, yaitu sama dengan tak terhingga).

Catatan.

1. Aturan L'Hopital juga berlaku pada saat fungsinya F(X) Dan G(X) tidak ditentukan kapan X = A.

2. Jika, saat menghitung limit perbandingan turunan fungsi F(X) Dan G(X) kita kembali menemui ketidakpastian berbentuk 0/0 atau ∞/∞, maka aturan L'Hopital harus diterapkan berulang kali (minimal dua kali).

3. Aturan L'Hopital juga berlaku jika argumen fungsi (x) tidak cenderung ke bilangan berhingga A, dan hingga tak terhingga ( X → ∞).

Ketidakpastian tipe lain juga dapat direduksi menjadi ketidakpastian tipe 0/0 dan ∞/∞.

Pengungkapan ketidakpastian jenis “nol dibagi nol” dan “tak terhingga dibagi tak terhingga”

Contoh 1.

X=2 menyebabkan ketidakpastian dalam bentuk 0/0. Oleh karena itu, diperoleh turunan dari setiap fungsi

Turunan polinomial dihitung pada pembilangnya, dan pada penyebutnya - turunan dari fungsi logaritma kompleks. Sebelum tanda sama dengan yang terakhir, biasa saja membatasi, mengganti dua, bukan X.

Contoh 2. Hitung limit perbandingan dua fungsi menggunakan aturan L'Hopital:

Larutan. Mengganti nilai ke dalam fungsi tertentu X

Contoh 3. Hitung limit perbandingan dua fungsi menggunakan aturan L'Hopital:

Larutan. Mengganti nilai ke dalam fungsi tertentu X=0 menyebabkan ketidakpastian dalam bentuk 0/0. Oleh karena itu, kita menghitung turunan fungsi pembilang dan penyebutnya dan mendapatkan:

Contoh 4. Menghitung

Larutan. Mengganti nilai x yang sama dengan plus tak terhingga ke dalam suatu fungsi tertentu akan menimbulkan ketidakpastian dalam bentuk ∞/∞. Oleh karena itu, kami menerapkan aturan L'Hopital:

Komentar. Mari kita beralih ke contoh di mana aturan L'Hopital harus diterapkan dua kali, yaitu untuk sampai pada limit rasio turunan kedua, karena limit rasio turunan pertama adalah ketidakpastian berbentuk 0 /0 atau ∞/∞.

Mengungkap ketidakpastian dalam bentuk “nol kali tak terhingga”

Contoh 12. Menghitung

.

Larutan. Kita mendapatkan

Contoh ini menggunakan identitas trigonometri.

Pengungkapan ketidakpastian jenis "nol pangkat nol", "tak terhingga pangkat nol" dan "satu pangkat tak terhingga"

Ketidakpastian bentuk, atau biasanya direduksi menjadi bentuk 0/0 atau ∞/∞ dengan mengambil logaritma suatu fungsi dalam bentuk tersebut

Untuk menghitung limit suatu ekspresi, Anda harus menggunakan identitas logaritma, kasus khusus yang merupakan properti logaritma .

Dengan menggunakan identitas logaritma dan sifat kontinuitas suatu fungsi (untuk melewati tanda limit), limitnya harus dihitung sebagai berikut:

Secara terpisah, Anda harus menemukan limit ekspresi dalam eksponen dan build e sampai tingkat yang ditemukan.

Contoh 13.

Larutan. Kita mendapatkan

.

.

Contoh 14. Hitung menggunakan aturan L'Hopital

Larutan. Kita mendapatkan

Hitung limit ekspresi dalam eksponen

.

.

Contoh 15. Hitung menggunakan aturan L'Hopital

Seringkali banyak orang bertanya-tanya mengapa pembagian dengan nol tidak bisa digunakan? Pada artikel ini kita akan membahas secara detail tentang dari mana aturan ini berasal, serta tindakan apa yang dapat dilakukan dengan nol.

Dalam kontak dengan

Nol bisa disebut sebagai salah satu angka paling menarik. Angka ini tidak ada artinya, itu berarti kekosongan dalam arti kata yang sebenarnya. Namun, jika angka nol ditempatkan di sebelah angka apa pun, maka nilai angka tersebut akan menjadi beberapa kali lebih besar.

Nomornya sendiri sangat misterius. Saya menggunakannya lagi orang kuno Maya. Bagi suku Maya, nol berarti “permulaan”, dan hari kalender juga dimulai dari nol.

Sangat fakta yang menarik adalah tanda nol dan tanda ketidakpastian itu serupa. Dengan ini, bangsa Maya ingin menunjukkan bahwa nol adalah tanda yang identik dengan ketidakpastian. Di Eropa, sebutan nol muncul relatif baru.

Banyak juga orang yang mengetahui larangan terkait dengan nol. Siapa pun akan mengatakan itu Anda tidak dapat membaginya dengan nol. Guru di sekolah mengatakan hal ini, dan anak-anak biasanya percaya begitu saja. Biasanya, anak-anak tidak tertarik untuk mengetahui hal ini, atau mereka tahu apa yang akan terjadi jika, setelah mendengar larangan penting, mereka langsung bertanya, “Mengapa kamu tidak bisa membaginya dengan nol?” Namun seiring bertambahnya usia, minat Anda muncul, dan Anda ingin tahu lebih banyak tentang alasan larangan ini. Namun, ada bukti yang masuk akal.

Tindakan dengan nol

Pertama, Anda perlu menentukan tindakan apa yang dapat dilakukan dengan nol. Ada beberapa jenis tindakan:

• Tambahan;
• Perkalian;
• Pengurangan;
• Pembagian (nol demi angka);
• Eksponensial.

Penting! Jika Anda menambahkan nol ke suatu bilangan selama penjumlahan, maka bilangan tersebut akan tetap sama dan tidak akan mengubah nilai numeriknya. Hal yang sama terjadi jika Anda mengurangkan nol dari bilangan apa pun.

Saat mengalikan dan membagi semuanya sedikit berbeda. Jika kalikan angka apa pun dengan nol, maka hasil kali juga akan menjadi nol.

Mari kita lihat sebuah contoh:

Mari kita tulis ini sebagai tambahan:

Totalnya ada lima angka nol, jadi ternyata begitu

Mari kita coba mengalikan satu dengan nol. Hasilnya juga akan menjadi nol.

Nol juga dapat dibagi dengan bilangan lain yang tidak sama dengannya. Dalam hal ini, hasilnya adalah , yang nilainya juga nol. Aturan yang sama berlaku untuk bilangan negatif. Jika nol dibagi angka negatif, maka akan menjadi nol.

Anda juga dapat membuat angka apa pun ke nol derajat. Dalam hal ini, hasilnya akan menjadi 1. Penting untuk diingat bahwa ungkapan “nol pangkat nol” sama sekali tidak ada artinya. Jika Anda mencoba menaikkan nol ke pangkat apa pun, Anda mendapatkan nol. Contoh:

Kami menggunakan aturan perkalian dan mendapatkan 0.

Jadi apakah mungkin membaginya dengan nol?

Jadi, di sinilah kita sampai pada pertanyaan utama. Apakah mungkin membaginya dengan nol? sama sekali? Dan mengapa tidak mungkin membagi suatu bilangan dengan nol, mengingat semua tindakan lain dengan nol ada dan diterapkan? Untuk menjawab pertanyaan ini perlu beralih ke matematika yang lebih tinggi.

Mari kita mulai dengan definisi konsepnya, apa itu nol? Guru sekolah mengatakan bahwa nol bukanlah apa-apa. Kekosongan. Artinya, ketika Anda mengatakan bahwa Anda memiliki 0 pegangan, itu berarti Anda tidak memiliki pegangan sama sekali.

Dalam matematika tingkat tinggi, konsep “nol” lebih luas. Ini tidak berarti kekosongan sama sekali. Di sini angka nol disebut ketidakpastian karena jika kita sedikit riset, ternyata ketika kita membagi angka nol dengan nol, kita akan mendapatkan angka lain, yang belum tentu nol.

Tahukah Anda bahwa operasi aritmatika sederhana yang Anda pelajari di sekolah tidaklah sama satu sama lain? Tindakan paling mendasar adalah penjumlahan dan perkalian.

Bagi ahli matematika, konsep “” dan “pengurangan” tidak ada. Katakanlah: jika Anda mengurangi tiga dari lima, Anda akan mendapatkan dua. Seperti inilah bentuk pengurangannya. Namun, ahli matematika akan menuliskannya seperti ini:

Jadi, ternyata selisih yang tidak diketahui itu adalah suatu bilangan tertentu yang perlu dijumlahkan dengan 3 untuk mendapatkan 5. Artinya, tidak perlu mengurangkan apa pun, Anda hanya perlu mencari bilangan yang sesuai. Aturan ini berlaku untuk penjumlahan.

Segalanya sedikit berbeda dengan aturan perkalian dan pembagian. Diketahui bahwa perkalian dengan nol menghasilkan hasil nol. Misalnya, jika 3:0=x, maka jika Anda membalik entri tersebut, Anda mendapatkan 3*x=0. Dan bilangan yang dikalikan 0 akan menghasilkan nol pada hasil perkaliannya. Ternyata tidak ada bilangan yang memberikan nilai selain nol pada hasil kali nol. Artinya pembagian dengan nol tidak ada artinya, artinya sesuai dengan aturan kita.

Namun apa jadinya jika Anda mencoba membagi angka nol dengan dirinya sendiri? Mari kita ambil bilangan tak tentu sebagai x. Persamaan yang dihasilkan adalah 0*x=0. Itu bisa diselesaikan.

Jika kita mencoba mengambil nol dan bukan x, kita akan mendapatkan 0:0=0. Tampaknya logis? Namun jika kita mencoba mengambil bilangan lain, misalnya 1, selain x, kita akan mendapatkan 0:0=1. Situasi yang sama akan terjadi jika kita mengambil nomor lain dan masukkan ke dalam persamaan.

Dalam hal ini, ternyata bilangan lain dapat kita ambil sebagai faktornya. Hasilnya akan menjadi angka yang tak terhingga nomor yang berbeda. Terkadang pembagian dengan 0 dalam matematika tingkat tinggi masih masuk akal, tetapi biasanya muncul kondisi tertentu, sehingga kita masih dapat memilih satu bilangan yang sesuai. Tindakan ini disebut “pengungkapan ketidakpastian”. Dalam aritmatika biasa, pembagian dengan nol akan kehilangan maknanya lagi, karena kita tidak akan dapat memilih satu angka pun dari himpunan.

Penting! Anda tidak dapat membagi nol dengan nol.

Nol dan tak terhingga

Tak terhingga sangat sering ditemukan dalam matematika tingkat tinggi. Karena tidak penting bagi anak sekolah untuk mengetahui bahwa ada juga operasi matematika dengan tak terhingga, guru tidak dapat menjelaskan dengan baik kepada anak-anak mengapa mereka tidak dapat membagi dengan nol.

Siswa mulai mempelajari rahasia matematika dasar hanya pada tahun pertama institut. Matematika yang lebih tinggi menyediakan sejumlah besar masalah yang kompleks yang tidak memiliki solusi. Masalah yang paling terkenal adalah masalah ketidakterbatasan. Mereka dapat diselesaikan dengan menggunakan analisis matematis.

Bisa juga diterapkan hingga tak terbatas operasi matematika dasar: penjumlahan, perkalian dengan angka. Biasanya pengurangan dan pembagian juga digunakan, tetapi pada akhirnya tetap menjadi dua operasi sederhana.

Tapi apa yang akan terjadi jika kamu mencoba:

• Tak terhingga dikalikan dengan nol. Secara teori, jika kita mencoba mengalikan suatu bilangan dengan nol, kita akan mendapatkan nol. Tapi tak terhingga adalah himpunan angka tak tentu. Karena kita tidak dapat memilih satu angka dari himpunan ini, ekspresi ∞*0 tidak memiliki solusi dan sama sekali tidak ada artinya.
• Nol dibagi tak terhingga. Kisah yang sama seperti di atas juga terjadi di sini. Kita tidak bisa memilih satu angka, artinya kita tidak tahu harus membaginya dengan apa. Ungkapan itu tidak ada artinya.

Penting! Ketidakterbatasan sedikit berbeda dari ketidakpastian! Infinity adalah salah satu jenis ketidakpastian.

Sekarang mari kita coba membagi tak terhingga dengan nol. Tampaknya ketidakpastian harus ada. Namun jika kita mencoba mengganti pembagian dengan perkalian, kita mendapatkan jawaban yang sangat pasti.

Misalnya: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Ternyata seperti ini paradoks matematika.

Jawaban mengapa Anda tidak bisa membagi dengan nol

Eksperimen pikiran, mencoba membagi dengan nol

Kesimpulan

Jadi, sekarang kita tahu bahwa nol tunduk pada hampir semua operasi yang dilakukan dengan, kecuali satu operasi saja. Anda tidak bisa membaginya dengan nol hanya karena hasilnya tidak pasti. Kita juga mempelajari cara melakukan operasi dengan nol dan tak terhingga. Akibat dari tindakan tersebut adalah ketidakpastian.

Angka 0 dapat direpresentasikan sebagai batas tertentu yang memisahkan dunia bilangan real dari bilangan imajiner atau negatif. Karena posisinya yang ambigu, banyak operasi dengan nilai numerik ini tidak mematuhi logika matematika. Ketidakmungkinan membagi dengan nol adalah contoh utama dari hal ini. Dan operasi aritmatika yang diperbolehkan dengan nol dapat dilakukan dengan menggunakan definisi yang diterima secara umum.

Sejarah nol

Nol adalah titik acuan dalam semua sistem bilangan standar. Orang Eropa mulai menggunakan bilangan ini relatif baru, namun orang bijak di India kuno menggunakan angka nol seribu tahun sebelum bilangan kosong digunakan secara rutin oleh ahli matematika Eropa. Bahkan sebelum bangsa India, nol adalah nilai wajib dalam sistem numerik Maya. Orang-orang Amerika ini menggunakan sistem bilangan duodesimal, dan hari pertama setiap bulan dimulai dengan angka nol. Sangat menarik bahwa di antara bangsa Maya, tanda yang menunjukkan “nol” sepenuhnya bertepatan dengan tanda yang menunjukkan “tak terhingga”. Dengan demikian, bangsa Maya kuno menyimpulkan bahwa besaran-besaran ini identik dan tidak dapat diketahui.

Operasi matematika dengan nol

Operasi matematika standar dengan nol dapat direduksi menjadi beberapa aturan.

Tambahan: jika Anda menambahkan nol ke bilangan sembarang, nilainya tidak akan berubah (0+x=x).

Pengurangan: Saat Anda mengurangkan nol dari bilangan apa pun, nilai pengurangnya tetap tidak berubah (x-0=x).

Perkalian: Bilangan apa pun dikalikan dengan 0 menghasilkan 0 (a*0=0).

Pembagian: Nol dapat dibagi dengan bilangan apa pun yang tidak sama dengan nol. Dalam hal ini, nilai pecahan tersebut adalah 0. Dan pembagian dengan nol dilarang.

Eksponensial. Tindakan ini dapat dilakukan dengan nomor berapa pun. Bilangan sembarang yang dipangkatkan nol akan menghasilkan 1 (x 0 =1).

Nol pangkat apa pun sama dengan 0 (0 a = 0).

Dalam hal ini, kontradiksi segera muncul: ungkapan 0 0 tidak masuk akal.

Paradoks matematika

Banyak orang tahu dari sekolah bahwa pembagian dengan nol adalah hal yang mustahil. Namun karena alasan tertentu, tidak mungkin menjelaskan alasan larangan tersebut. Sebenarnya kenapa rumus membagi dengan nol tidak ada, padahal tindakan lain dengan angka ini cukup masuk akal dan mungkin dilakukan? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh ahli matematika.

Masalahnya, operasi aritmatika yang biasa dipelajari anak sekolah di sekolah dasar ternyata tidak sama seperti yang kita kira. Semua operasi sederhana dengan angka dapat direduksi menjadi dua: penjumlahan dan perkalian. Tindakan-tindakan ini merupakan inti dari konsep bilangan, dan operasi-operasi lain dibangun berdasarkan penggunaan keduanya.

Penjumlahan dan Perkalian

Mari kita ambil contoh pengurangan standar: 10-2=8. Di sekolah mereka menganggapnya sederhana: jika Anda mengurangi dua dari sepuluh mata pelajaran, tersisa delapan. Namun ahli matematika memandang operasi ini dengan cara yang sangat berbeda. Bagaimanapun, operasi seperti pengurangan tidak ada untuk mereka. Contoh ini dapat ditulis dengan cara lain: x+2=10. Bagi ahli matematika, perbedaan yang tidak diketahui hanyalah angka yang perlu dijumlahkan menjadi dua untuk menghasilkan delapan. Dan tidak diperlukan pengurangan di sini, Anda hanya perlu mencari nilai numerik yang sesuai.

Perkalian dan pembagian diperlakukan sama. Dalam contoh 12:4=3 Anda dapat memahami bahwa kita sedang membicarakan tentang membagi delapan benda menjadi dua tumpukan yang sama besar. Namun kenyataannya, ini hanyalah rumus terbalik untuk menulis 3x4 = 12. Contoh pembagian seperti itu dapat diberikan tanpa henti.

Contoh pembagian dengan 0

Di sinilah menjadi sedikit jelas mengapa Anda tidak bisa membagi dengan nol. Perkalian dan pembagian dengan nol mengikuti aturannya masing-masing. Semua contoh pembagian besaran ini dapat dirumuskan sebagai 6:0 = x. Tapi ini adalah notasi terbalik dari ekspresi 6 * x=0. Namun, seperti yang Anda ketahui, bilangan apa pun yang dikalikan 0 hanya menghasilkan 0 pada hasil perkaliannya. Sifat ini melekat pada konsep nilai nol.

Ternyata tidak ada bilangan yang jika dikalikan dengan 0 memberikan nilai nyata, yaitu soal ini tidak ada penyelesaiannya. Anda tidak perlu takut dengan jawaban ini; ini adalah jawaban alami untuk masalah seperti ini. Hanya saja rekor 6:0 itu tidak masuk akal dan tidak bisa menjelaskan apa pun. Singkatnya, ungkapan ini dapat dijelaskan dengan ungkapan abadi “pembagian dengan nol adalah hal yang mustahil”.

Apakah ada operasi 0:0? Memangnya kalau operasi perkalian dengan 0 itu sah, apakah nol bisa dibagi nol? Bagaimanapun juga, persamaan dalam bentuk 0x 5=0 cukup sah. Alih-alih angka 5 Anda bisa memasukkan 0, produknya tidak akan berubah.

Memang benar, 0x0=0. Tapi Anda tetap tidak bisa membaginya dengan 0. Seperti yang dinyatakan, pembagian hanyalah kebalikan dari perkalian. Jadi, jika dalam contoh 0x5=0, Anda perlu menentukan faktor kedua, kita mendapatkan 0x0=5. Atau 10. Atau tak terhingga. Membagi tak terhingga dengan nol - bagaimana Anda menyukainya?

Namun jika ada bilangan yang cocok dengan ekspresi tersebut, maka itu tidak masuk akal; kita tidak dapat memilih satu saja dari bilangan yang jumlahnya tak terhingga. Dan jika demikian, ini berarti ungkapan 0:0 tidak masuk akal. Ternyata nol itu sendiri pun tidak bisa dibagi nol.

Matematika yang lebih tinggi

Pembagian dengan nol adalah sakit kepala untuk matematika sekolah. Analisis matematika yang dipelajari di universitas teknik sedikit memperluas konsep masalah yang tidak ada solusinya. Misalnya, yang baru ditambahkan ke ekspresi 0:0 yang sudah diketahui, yang tidak memiliki solusi dalam kursus matematika sekolah:

• tak terhingga dibagi tak terhingga: ∞:∞;
• tak terhingga dikurangi tak terhingga: ∞−∞;
• satuan yang dipangkatkan hingga tak terhingga: 1 ∞ ;
• tak terhingga dikalikan 0: ∞*0;
• beberapa lainnya.

Tidak mungkin menyelesaikan ekspresi seperti itu menggunakan metode dasar. Namun matematika tingkat tinggi, berkat kemungkinan tambahan untuk sejumlah contoh serupa, memberikan solusi akhir. Hal ini terutama terlihat ketika mempertimbangkan masalah-masalah dari teori limit.

Membuka Ketidakpastian

Dalam teori limit, nilai 0 diganti dengan variabel bersyarat yang sangat kecil. Dan ekspresi di mana, saat mengganti nilai yang diinginkan pembagian dengan nol diperoleh dan dikonversi. Di bawah ini adalah contoh standar perluasan batas menggunakan transformasi aljabar biasa:

Seperti yang dapat Anda lihat dalam contoh, pengurangan pecahan saja akan membawa nilainya ke jawaban yang sepenuhnya rasional.

Saat mempertimbangkan limit fungsi trigonometri, ekspresinya cenderung direduksi hingga limit pertama yang luar biasa. Ketika mempertimbangkan limit yang penyebutnya menjadi 0 ketika limitnya diganti, digunakan limit luar biasa kedua.

Metode L'Hopital

Dalam beberapa kasus, limit ekspresi dapat diganti dengan limit turunannya. Guillaume L'Hopital - Ahli matematika Perancis, pendiri sekolah analisis matematika Perancis. Ia membuktikan bahwa limit suatu ekspresi sama dengan limit turunan dari ekspresi tersebut. Dalam notasi matematika, aturannya terlihat seperti ini.

Kami menemukan fungsi dasar dasar.

Saat berpindah ke fungsi yang tipenya lebih kompleks, kita pasti akan menjumpai munculnya ekspresi yang maknanya tidak terdefinisi. Ekspresi seperti ini disebut ketidakpastian.

Mari kita daftar semuanya jenis ketidakpastian utama: nol dibagi nol (0 dengan 0), tak terhingga dibagi tak terhingga, nol dikalikan tak terhingga, tak terhingga dikurangi tak terhingga, satu pangkat tak terhingga, nol pangkat nol, tak terhingga pangkat nol.

SEMUA EKSPRESI KETIDAKPASTIAN LAINNYA BUKAN DAN MENGAMBIL NILAI HINGGA ATAU TAK TERBATAS YANG SEPENUHNYA KHUSUS.

Temukan ketidakpastian memungkinkan:

• menyederhanakan bentuk fungsi (mengubah ekspresi menggunakan rumus perkalian yang disingkat, rumus trigonometri, perkalian dengan ekspresi konjugasi diikuti dengan pengurangan, dll.);
• penggunaan batasan yang luar biasa;
• penerapan aturan L'Hopital;
• menggunakan penggantian ekspresi yang sangat kecil dengan persamaannya (menggunakan tabel persamaan yang sangat kecil).

Mari kita kelompokkan ketidakpastiannya menjadi tabel ketidakpastian. Untuk setiap jenis ketidakpastian kami mengaitkan metode pengungkapannya (metode mencari batas).

Tabel ini, bersama dengan tabel limit fungsi dasar dasar, akan menjadi alat utama Anda dalam mencari batasan apa pun.

Mari kita berikan beberapa contoh ketika semuanya berjalan lancar setelah mengganti nilainya dan ketidakpastian tidak muncul.

Contoh.

Hitung batas

Larutan.

Substitusikan nilainya:

Dan kami segera menerima jawabannya.

Menjawab:

Contoh.

Hitung batas

Larutan.

Kita substitusikan nilai x=0 ke basis fungsi pangkat eksponensial kita:

Artinya, limitnya dapat ditulis ulang menjadi

Sekarang mari kita lihat indikatornya. Ini adalah fungsi kekuatan. Mari kita beralih ke tabel limit fungsi pangkat dengan eksponen negatif. Dari sana kita punya Dan , oleh karena itu, kita dapat menulis .

Berdasarkan hal tersebut, limit kita akan ditulis sebagai:

Kita kembali lagi ke tabel limit, namun untuk fungsi eksponensial dengan basis lebih besar dari satu, maka kita peroleh:

Menjawab:

Mari kita lihat contoh dengan solusi mendetail Mengungkap ketidakpastian dengan mengubah ekspresi.

Seringkali ekspresi di bawah tanda batas perlu sedikit diubah untuk menghilangkan ketidakpastian.

Contoh.

Hitung batas

Larutan.

Substitusikan nilainya:

Kita telah sampai pada ketidakpastian. Kami melihat tabel ketidakpastian untuk memilih metode solusi. Mari kita coba menyederhanakan ekspresinya.

Menjawab:

Contoh.

Hitung batas

Larutan.

Substitusikan nilainya:

Kami sampai pada ketidakpastian (0 hingga 0). Kami melihat tabel ketidakpastian untuk memilih metode solusi dan mencoba menyederhanakan ekspresi. Mari kalikan pembilang dan penyebutnya dengan ekspresi konjugasi ke penyebutnya.

Untuk penyebutnya, ekspresi konjugasinya adalah

Kami mengalikan penyebutnya sehingga kami dapat menerapkan rumus perkalian yang disingkat - selisih kuadrat dan kemudian mengurangi ekspresi yang dihasilkan.

Setelah serangkaian transformasi, ketidakpastian menghilang.

Menjawab:

KOMENTAR: Untuk limit jenis ini, metode perkalian dengan ekspresi konjugasi adalah tipikal, jadi silakan menggunakannya.

Contoh.

Hitung batas

Larutan.

Substitusikan nilainya:

Kita telah sampai pada ketidakpastian. Kami melihat tabel ketidakpastian untuk memilih metode solusi dan mencoba menyederhanakan ekspresi. Karena pembilang dan penyebutnya hilang pada x = 1, maka jika persamaan tersebut dapat dikurangi (x-1) maka ketidakpastian akan hilang.

Mari kita faktorkan pembilangnya:

Mari kita faktorkan penyebutnya:

Batasan kita akan berbentuk:

Setelah transformasi, ketidakpastian terungkap.

Menjawab:

Mari kita pertimbangkan batas tak terhingga dari ekspresi pangkat. Jika eksponen ekspresi pangkatnya positif, maka limit di tak terhingga adalah tak terhingga. Terlebih lagi, derajat terbesar adalah yang paling penting; sisanya dapat dibuang.

Contoh.

Contoh.

Jika ekspresi di bawah tanda limit adalah pecahan, dan pembilang dan penyebutnya merupakan ekspresi pangkat (m adalah pangkat dari pembilangnya, dan n adalah pangkat dari penyebutnya), maka ketika ketidakpastian berbentuk tak terhingga hingga tak terhingga muncul, dalam hal ini ketidakpastian terungkap membagi pembilang dan penyebutnya dengan

Contoh.

Hitung batas